Física Dinámica Movimiento Vertical de Una Esfera en un Fluido • • La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad Rangos de validez La fórmula general de la fuerza de rozamiento es Donde Cd se denomina coeficiente de arrastre, f es la densidad del medio, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es R2), y v es la velocidad. El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección es la viscosidad dinámica del transversal (en el caso de una esfera es 2R), y fluido. Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre Cd se puede escribir. Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad. El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de la densidad del fluido f , su viscosidad η (medida por otros procedimientos alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera debe cumplir que Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<200000, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente constante Cd 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad. Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido e), y que se mueve en un medio de densidad f . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s2 Movimiento en el vacío. La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado. Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el peso, el empuje y la fuerza de rozamiento. La ecuación del movimiento en su movimiento ascendente es Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v0. Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0. Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del movimiento ya que la velocidad cambia de signo. Ejemplo Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v0=0.01 m/s. 3 Datos: densidad de la arena e=2670 kg/m , densidad del agua 3 =0.001 kg/(m·s). kg/m , viscosidad El valor de G=6.14 m/s2 y el de f = 1000 =4213 s-1. El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes. En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=0.01 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua (en rojo). • • Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t. Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t. Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante. Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad Como la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo. Por tanto, tenemos que plantear las ecuaciones del movimiento en dos etapas, cuando el cuerpo asciende y cuando el cuerpo desciende. • Movimiento vertical hacia arriba Se puede escribir de una forma más simple, de la forma Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v0. Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0. • Movimiento vertical hacia abajo La ecuación del movimiento es ahora Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=t0, la velocidad inicial v=0. donde t0 es el tiempo que tarda el cuerpo en ascender hasta la máxima altura v=0. Integrando nuevamente obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante t=t0, el cuerpo parte de la altura máxima xmáx Ejemplo: Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y su radio de R=15 cm. Sabiendo que la densidad del aire es f =1.293 kg/m3 y su viscosidad es =17.1 10-6 kg/(m·s). =0.176 s/m. El número de Reynolds El valor de G=7.53 m/s2 y el de es en el momento del lanzamiento de la pelota vale El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de Reynolds esté dentro del intervalo 1000<Re<200000. http://www.loseskakeados.com