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Cinemática.
Descripción Lagrangiana
Se realiza en función del movimiento de las partículas que forman el fluido. Necesita
identificar dichas partículas utilizando coordenadas de numeración.
v ( xn , y n , z n , t )
por ejemplo partícula que pasa por ( x1 , y1 , z1 ) en t = 0 :
v ( x10 , y10 , z10 , t )
Descripción Euleriana:
Consiste en el estudio del movimiento según las velocidades de los puntos que ocupa
el fluido sin importar qué partículas están en cada instante en cada posición. No
reconoce a las partículas.
v ( x, y , z , t )
1
∂ d
= + v ⋅∇
dt ∂t
Derivada sustancial de una magnitud (escalar o vectorial)
(derivada material)
Caso de la velocidad
dv ∂v =
+ v ⋅ ∇v
dt ∂t
∂v
derivada local
∂t
v ⋅ ∇v termino advectivo.
Gradiente de la velocidad
v
:
 ∂v x

 ∂x
 ∂v
∇v =  x
 ∂y
 ∂v
 x
 ∂z
∂v y
∂x
∂v y
∂y
∂v y
∂z
∂vz
∂x
∂vz
∂y






∂vz 

∂z 
2
Descripción del flujo (definiciones):
línea fluida: línea formada por una sucesión de partículas adyacentes.
(también: elemento fluido, superficie fluida, volumen o parcela fluida)
trayectoria: Recorrido de una determinada partícula en el tiempo.
línea de traza: Línea fluida formada por las partículas que han pasado por determinado
punto. (p. ej. emitidas desde un foco).
línea de corriente: Línea tangente al vector velocidad en cada punto para un instante
dado.
Se cumple que
v dl
con v = (u, v, w) y dl = (dx, dy, dz )
por lo que existen proporcionalidad entre componentes
dl
dx dy dz
=
=
=
v
u
v
w
t = to
3
v
tubo de corriente: volumen encerrado por la superficie
engendrada por las líneas de corriente que se
apoyan en una línea fluida cerrada.
En flujo estacionario las líneas de corriente coinciden
con las trayectorias.
∂v
=0
∂t
4
DEFORMACIÓN EN UN FLUIDO.
Cuando en un sólido se aplican fuerzas externas se puede producir una deformación:
Desplazamientos relativos entre las partículas que lo forman.
En los fluidos la deformación que se produce se puede medir según la variación del
campo de velocidades.
δvp
p
δs0
O
δr
δsp
δr
δv0
p
O
δsp= δs0 + δr ⋅ ∇s
Deformación en el sólido
δvp= δv0 + δr ⋅ ∇v
Deformación en el fluido
5
Tensor de deformación
Sea
v = (u1, u2 , u3 ) ; r = ( x1, x2 , x3 )
Tensor deformación
de velocidad
 ∂u 1

 ∂ x1
 ∂u 1
∇v = 
 ∂x 2
 ∂u 1
 ∂x
 3
∂u 2
∂ x1
∂u 2
∂x 2
∂u 2
∂x 3
∂u 3
∂ x1
∂u 3
∂x 2
∂u 3
∂x 3









6
Deformación lineal.
t
t + dt
A
B
A’
∂u
u1 + 1 δ x1
∂x1
u1
δ x1
B’
(δ x1 ) '
u1dt


∂u1
δ x1  dt
 u1 +
∂x1


1 d
d  A ' B ' − AB  ∂u1
x
=
δ
( 1)

=
δ x1 dt
dt 
AB
 ∂x1
7
Deformaciones lineales
Los términos diagonales del tensor deformación representan las deformaciones
lineales. En las tres direcciones:
∂u1
∂x1
;
∂u2
∂x2
;
∂u3
∂x3
Conjuntamente es la variación relativa (deformación) volumétrica
∂u i ∂u1 ∂u 2 ∂u 3
=
+
+
∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
;
∂u
1 d
(δV ) = i
δV dt
∂xi
8
Deformación lateral.
t
t + dt


∂u1
δ x2  dt
 u1 +
∂x2


∂u
u1 + 1 δ x2
∂x2
dα
B’
B
δ x2
A
u1
u2
C
u1dt
A’
dβ
C’
u2 dt


∂u2
δ x1  dt
 u2 +
∂x1


δ x1
u2 +
∂u2
δ x1
∂x1
 1  ∂u2
 
1 dα + d β 1 d  1  ∂u1
δ x2 dt  +
δ x1dt   =
=



δ
2
dt
2 dt  δ x2  ∂x2
x
∂
x

1 
1
 
1  ∂u ∂u 
=  1+ 2
2  ∂x2 ∂x1 
9
Rotación
t
t + dt


∂u1
δ x2  dt
 u1 +
∂x2


∂u
u1 + 1 δ x2
∂x2
−dα
B’
B
δ x2
A
u1
C
A
u2
u1dt
A’
dβ
C’
u2 dt


∂u2
δ x1  dt
 u2 +
∂x1


δ x1
u2 +
∂u2
δ x1
∂x1
 1  ∂u2
 
dα d β d  1  ∂u1
ω3 = −
δ x2 dt  +
δ x1dt  
+
= 
−

δ
dt
dt dt  δ x2  ∂x2
x
∂
x

1 
1
 
ω3 1  ∂u2 ∂u1 
= 
−

2 2  ∂x1 ∂x2 
10
Deformaciones lineales
Los términos diagonales del tensor deformación representan las deformaciones
lineales y conjuntamente la variación relativa (deformación) volumétrica.
∂u i ∂u1 ∂u 2 ∂u 3
=
+
+
∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
;
∂u
1 d
(δV ) = i
δV dt
∂xi
Deformaciones laterales y rotaciones
El resto de términos llevan las variaciones de forma y las rotaciones del fluido.
1  ∂u1 ∂u 2 


+
2  ∂x2 ∂x1 
→ Cambios de forma por unidad de tiempo. Variaciones
laterales del campo de velocidades (Cizallas )
1  ∂u 2 ∂u1 


−
2  ∂x1 ∂x2 
→
Rotación del fluido en el plano (1,2)
11
vorticidad
Llamamos vorticidad al vector
ω,
ω = ∇×u
que está relacionada con la velocidad según:
ω i = ε ijk
∂u k
∂x j
Con las componentes:
 ∂u3 ∂u 2 
 ∂u ∂u 
 ∂u
∂u 
 ; ω 2 =  1 − 3  ; ω 3 =  2 − 1 
−
 ∂x1 ∂x2 
 ∂x 2 ∂x3 
 ∂x3 ∂x1 
ω1 = 
12
El tensor gradiente de velocidad es suma de los tres tensores vistos
hasta ahora:
 ∂u1

 ∂ x1

A= 0

 0


0
∂u 2
∂x 2
0


0

 1  ∂u
∂u 
B =   2 + 1 
 2  ∂x1 ∂x 2 
 1  ∂u
∂u 
  3 + 1 
 2 ∂x
  1 ∂x 3 
Se tiene que

0 


0 

∂u 3 
∂ x 3 
1  ∂u1 ∂u 2 


+
2  ∂x 2 ∂x1 
0
1  ∂u 2 ∂u 3 


+
2  ∂x3 ∂x 2 
A+B=
∇v + ∇v
2
Deformación lineal. Volumétrica
1  ∂u1 ∂u 3  


+
2  ∂x3 ∂x1  
1  ∂u 2 ∂u 3  


+
2  ∂x3 ∂x 2  


0


; Deformación lateral
que representa la deformación del fluido
13

1  ∂u 2 ∂u1  1  ∂u3 ∂u1  


 


−
−
0
∂
∂
∂
∂
2
x
x
2
x
x

 1
2 
 1
3 
 1  ∂u ∂u 
1  ∂u3 ∂u 2   ∇v − ∇v
1
2


  =
C =  
−
0
−
∂
x
∂
x
2
∂
x
∂
x
2
2
  2
1 
3 
 2
 1  ∂u ∂u  1  ∂u

∂u3 
1
3
2
 




0
 2 ∂x − ∂x  2  ∂x − ∂x 

1 
 3
2 
  3

; Rotación
Así, el tensor gradiente de velocidad se puede poner como suma de los tensores A, B y C:
 ∂ u1

 ∂x1
 ∂u
A+B+C= 1
 ∂x 2
 ∂ u1
 ∂x
 3
∂u 2
∂x1
∂u 2
∂x 2
∂u 2
∂x3
∂u 3 

∂x1 
∂u 3 
 = ∇v
∂x 2 
∂u 3 
∂x3 
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 0
1
Tensor rotación también se puede escribir: C =  − ω
3
2
 ω2
2C ≡ ( (ω ) ) = ( ( ∇ × v ) )
ω3
0
− ω1
− ω2 

ω1 
0 
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Por otra parte se cumple que
δ r ⋅ ( (ω ) ) = ω × δ r , con lo que el campo de
velocidades se puede poner como:
 ∇v + ∇v 
 ∇v − ∇v 
v p = v 0 + δ r ⋅∇v = v 0 + δ r ⋅ 
+
δ
r
⋅


=
2
2




 ∇v + ∇v  δ r ⋅ ( ( ω ) )
 ∇v + ∇v  δ r ⋅ ( ( ∇ × v ) )
v0 + δ r ⋅ 
+
=
v
+
r
⋅
δ


+
0
2
2
2
2




 ∇v + ∇v  1 vp = v0 + δ r ⋅ 
 + (ω × δ r )
2

 2
donde los tres términos del último miembro representan:
v0
 ∇v + ∇v 

2


δr ⋅ 
1 (ω × δ r )
2
traslación
deformación
rotación.
16
Definimos circulación según:
Γ=
∫
por el teorema de Stokes se tiene:
es decir: Γ =
∫
S
ω = ∇ × u = rot u
Vorticidad:
c
∫
c
v ⋅ dl
ω
v ⋅ dl = ∫ rot v ⋅ ds
dl
s
ω ⋅ ds que representa el flujo de la
v
S
vorticidad a través de la superficie S
Cuando la vorticidad es cero se dice que el movimiento es irrotacional
C
ω =0
17
Ejemplos:
1.vórtice sólido
La velocidad angular es la misma en todo el
fluido ω0. utilizando coordenadas polares:
uθ = ω 0 r
ur = 0
uz = 0
y la vorticidad:
ωz =
1 ∂
1 ∂ur
(r uθ ) −
= 2ω0
r ∂r
r ∂θ
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2. vórtice irrotacional.
La vorticidad en todos los puntos es cero excepto en
el origen.
uθ =
c
r
0
ur = 0 → ωz = = 0
r
la vorticidad en el origen es ∞, ya que la circulación
de v a lo largo de cualquier línea cerrada que
contiene el origen O es finita y representa el flujo
de la vorticidad.
c
Γ = 2π r ⋅ = 2π c ≠ 0 (finito)
r
Γ=
∫ v ⋅ dl =∫ω ⋅ ds (th. Stokes)
⇓
ω ≠ 0 en algún punto (O )
ds → 0 ⇒ ω → ∞
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Función de corriente
Se dice que un fluido es incompresible cuando se cumple:
1 dρ
=0
ρ dt
o alternativamente
1 dδ V
=0
δ V dt
no hay variación relativa de densidad
(o volumen específico)
Según se ha visto en las deformaciones del fluido:
1 d δ V ∂ui
=
∂xi
δ V dt
con lo que se puede decir que en fluidos incompresibles se cumple:
∂ui
=0
∂xi
ó
∇ ⋅u = 0
ó
∂u1 ∂u2 ∂u3
+
+
=0
∂x1 ∂x 2 ∂x3
(1)
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En movimiento plano:
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
con
∂w
=0
∂z
ó w=0
(flujo solenoidal).
Las componentes de la velocidad se pueden tener de la derivación de una función
escalar según:
u=
∂ψ
∂y
;
v=−
∂ψ
∂x
∂u ∂v ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
=
−
=0
∂x ∂y ∂y∂x ∂x∂y
donde se cumple la ecuación (1) porque las
derivadas cruzadas son iguales:
La función ψ se llama función de corriente
(Potencial de corriente)
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ψ es constante a lo largo de las líneas de corriente
∂ψ
∂ψ
dx +
dy = 0
∂x
∂y
→
dψ = 0
El flujo transcurre entre líneas de potencial de corriente
constante.
Los valores mayores de ψ quedan a la izquierda del movimiento.
∂ψ ∂ψ ∇ψ =
i+
j = −vi + uj
∂x
∂y
−vi + uj
→
∇ψ ⊥ v
v = ui + vj
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La diferencia de valores de dos líneas de corriente
representan la cantidad de fluido que atraviesa una
línea transversal (C) en la unidad de tiempo (Flujo de
volumen):
ψ1
2
ψ 2 − ψ 1 = ∫ dψ = ∫
1
2
1
2 ∇ψ ⋅ dl = ∫ v × dl
1
v
C
ψ2
Φ = ψ 2 −ψ 1
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