Problema 1

La programación lineal
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080.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – Ordinaria 2011
Una compañía minera extrae dos tipos de carbón, hulla y antracita, de forma que
todo el carbón extraído es vendido. Por exigencias gubernamentales, debe extraer
diariamente al menos el triple de camiones de hulla que de antracita. Además, por
la propia infraestructura de la compañía, como mucho se pueden extraer 80
camiones de carbón en un día y al menos 10 de ellos deben ser de antracita.
(a) ¿Cuántos camiones de cada tipo de carbón se pueden extraer en un día?
Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría
extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita?
(b) Si la ganancia por cada camión de hulla es de 4000 € y por cada camión de
antracita es de 6000 €, ¿cuántos camiones de cada tipo debería extraer en un día
para maximizar sus ganancias?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Número de camiones de hulla"
y ≡ "Número de camiones de antracita"
CONJUNTO DE RESTRICCIONES
x ≥ 3y
x + y ≤ 80
y ≥ 10
x ≥ 0 ; y ≥ 0∗
(∗) Restricción ya incluida en el contexto del problema
LA REGIÓN FACTIBLE
x = 3y
x
0
15
y
0
5
x + y = 80
x
y
0
80
80
0
El nombre de la función y la verificación de uno de los infinitos puntos del semiplano figuran,
en cada momento, a la derecha de los mismos.
x ≥ 3y
Punto (0, 10)
0 ≥ 30
NO se verifica
(0,10) ∉ región factible
x + y ≤ 80
(0, 0)
0 ≤ 80
SÍ se verifica
(0, 0) ∈ región factible
 Abel Martín
Del aula a la PAU
2
y ≥ 10
(0, 0)
0 ≥ 10
NO se verifica
(0, 0) ∉ región factible
x≥0
Todos los valores del primero y cuarto
cuadrantes
y≥0
Todos los valores del primero y segundo
cuadrantes
Las distintas combinaciones de número de camiones vienen representadas por los
puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es el número de
camiones de hulla e "y" es el número de camiones de antracita, con la condición de que
tanto "x" como "y" sean números naturales.
¿Podría extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita?
Como se puede apreciar, el punto D(20, 15) NO pertenece a la región factible, así que
NO se podrían extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita.
RESOLUCIÓN apartado (b)
Si la ganancia por cada camión de hulla es de 4000 € y por cada camión de antracita es de
6000 €, ¿cuántos camiones de cada tipo debería extraer en un día para maximizar sus
ganancias?
LA FUNCIÓN OBJETIVO
G(x, y) = 4000x + 6000y
LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está
acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono
que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono
que constituye la región factible:
 Abel Martín
La programación lineal
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CÁLCULO DE VÉRTICES
A(x, 10) Resolvemos el sistema
x = 3y 

y = 10 
x = 3·10
→ x = 30
x = 30 → y = 10 → A(30, 10)
B(x, y) Resolvemos el sistema
x + y = 80 
 3y + y = 80 → 4y = 80
x = 3y 
→ y = 20 → x = 3 · 20 → x = 60
x = 60 → y = 20 → B(60, 20)
C(x, 10) Resolvemos el sistema
x + y = 80

y = 10 
x + 10 = 80
x = 70
x = 70 → y = 10 → C(70, 10)
RECORDAMOS LA FUNCIÓN OBJETIVO
G(x, y) = 4000x + 6000y
ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A(30, 10)
B (60, 20)
C (70, 10)
G(x, y) = 4000x + 6000y
4000·30 + 6000·10 =
4000·60 + 6000·20 =
4000·70 + 6000·10 =
Valor
180 000
360 000
340 000
Para maximizar las ganancias tendrá que extraer 60 camiones de hulla y 20 de
antracita, momento en el que las ganancias serán de 360 000 €
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos.
0.25 puntos (b) 0.75 puntos.
 Abel Martín
Cuestión: