Auxiliar 4 - Estática - U

Sistemas Newtonianos: Estática / Energı́a Cinética de
Rotación
Profesor: Roberto Rondanelli
Auxiliares: Álvaro Aravena, Nicolás Cofré, Francisca Concha
November 7, 2011
1 Pequeño Resumen del Capı́tulo
1.1 Producto Vectorial
~yB
~ dos vectores, entonces el elemento:
Sean A
~ =A
~×B
~
C
~ como a B.
~
(a) Es un vector perpendicular tanto a A
~ = |A|
~ · |B|
~ · sin(θAB ), donde θAB es el ángulo entre A
~ y B,
~ θAB ∈ [0, π].
(b) |C|
(c) Satisface la regla de la mano derecha.
1.2 El torque de una fuerza
Se define el torque ~τ de una fuerza F~ aplicada en un punto P como:
~τ = ~r × F~
Donde r es el vector que une el origen O con el punto P .
1.3 El torque debido a la gravedad terrestre
El torque ejercido por la gravedad terrestre g sobre un cuerpo de masa M , con respecto
a un origen O viene dado por:
~τ =
N
X
i=1
~ri × (mi~g ) =
N
X
!
~ CM × (M~g )
mi~ri × ~g = R
i=1
~ CM es el vector que une el origen O con el centro de masas.
Donde R
1
1.4 Las leyes de la estática
Considere un sólido sobre el cual actúan N fuerzas externas: F~1 , F~2 , ..., F~N . Para que el
sistema esté en equilibrio estático:
(a) F~1 + F~2 + ... + F~N = ~0
(b) ~τP (F~1 ) + ~τP (F~2 ) + ... + ~τP (F~N ) = ~0
(c) ~v = ~0
(d) ω
~ P = ~0
1.5 Conservación de la Energı́a para una Partı́cula
El trabajo neto realizado por las fuerzas externas sobre una partı́cula es igual al cambio
de energı́a cinética de la propia partı́cula.
Z xf
Wneto =
xi
~ = Kf − Ki
F~ · dx
Fuerzas Conservativas: fuerzas tales que el trabajo que efectúan es sólo función de
la posición inicial y final de la particula (Ejemplos: peso, fuerza elástica). Para ellas,
se puede definir una función de energı́a potencial (U ), tal que el trabajo realizado viene
dado por:
Wc = −4U = Ui − Uf
Luego, para el caso en que actúan sólo fuerzas conservativas:
4(K + U ) = 4E = 0
Ahora bien, para el caso en que se presenten fuerzas conservativas y no conservativas,
se tiene:
X
W (F~N C ) = 4(K +
X
U)
1.6 El momento de Inercia
Consideremos un sólido rotando con velocidad angular ω en torno a un eje fijo O. El sistema está representado como un conjunto de N celdas, cada una de masa mi y distancia
al eje de rotación ρi con i = 1, 2, ..., N . Se define:
Momento de Inercia con respecto al eje O = IO =
N
X
mi (ρi )2
i=1
En general, se puede expresar de la forma I = γM L2 , donde M es la masa total del
cuerpo, L es una dimensión caracterı́stica y γ es un valor numérico.
2
1.7 Teorema de Steiner o de los Ejes Paralelos
Considere un cuerpo (o sistema de partı́culas) de masa M cuyo momento de inercia con
respecto a un determinado eje CM que pasa por el centro de masas es conocido (ICM ).
Entonces, el momento de inercia del cuerpo (o sistema de partı́culas) con respecto a un
eje A, paralelo al eje CM , es:
IA = ICM + M R2
Donde R es la distancia entre el eje A y CM .
1.8 Energı́a Cinética de Rotación
Considere un sólido rı́gido rotando con velocidad angular ω en torno a un eje fijo, con
respecto al cual, su momento de inercia es I.
1
Energı́a Cinética de Rotación = K = Iω 2
2
1.9 Energı́a Potencial Gravitatoria
Dado un cuerpo de masa M en presencia de gravedad terrestre g, que está constituido por
N celdas de masa mi , cuyas coordenadas con respecto al nivel cero de energia potencial
son yi para i = 1, 2, ..., N . Entonces la energı́a potencial gravitatoria total Ug es:
N
X
Ug =
N
X
mi gyi = M g
i=1
mi yi
i=1
M
= M gYCM
2 Problemas
P1. Considere una estructura formada por dos barras uniformes de masa m y largos a
y b, unidas de modo tal que forman un ángulo recto. La estructura cuelga con un
hilo (ver figura adjunta). Determine al ángulo α que forma la estructura con la
vertical si se encuentra en equilibrio estático.
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P2. Una barra de masa M y largo L puede girar libremente en torno a su punto de
apoyo O en una mesa horizontal. La masa se mantiene en equilibrio estático con
una masa m y una cuerda como indica la figura. Encuentre el ángulo α de equilibrio
m
si M
= 0.5.
P3. Se desea colgar un tambor cilı́ndrico macizo de masa M y radio R como se ilustra
en la figura. El tambor es apoyado contra una pared vertical mediante una cinta
semienrollada como se indica en la figura. La aceleración de gravedad del lugar es
g y la cinta se ata al techo formando un ángulo β con la vertical.
(a) Determine la fuerza de contacto de la pared sobre la cinta (normal y roce).
(b) Calcule el coeficiente de roce necesario para la configuración deseada y comente
acerca de la viabilidad del proyecto.
P4. La figura adjunta muestra una L recta, formada por dos trozos de alambre uniforme.
El más corto es de masa m y largo l, mientras que el más largo es de masa 2m y
largo 2l. Si el sistema se encuenta en equilibrio estático, encuentre la razón entre
las reacciones normales en cada punto de contacto con el suelo.
P5. Una barra de masa M está articulada en uno de sus extremos a una pared vertical.
Del extremo opuesto pende una carga de masa m unida a la barra mediante una
cuerda ideal. La barra se mantiene en reposo en la configuración mostrada en la
figura debido a que una segunda cuerda (AB, también ideal) se engancha en el
extremo de la barra y la pared vertical. La segunda cuerda es lo suficientemente
larga como para poder engancharse en la pared (A) en cualquier posición haciendo
variar el ángulo α pero manteniendo el ángulo β = π4 .
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(a) Determine la tensión de la cuerda AB como función del ángulo α y grafique
esta función. En el gráfico, identifique el rango posible del ángulo α y evalúe
el valor de la tensión en los extremos de ese rango. Identifique el valor de α
que produce la mı́nima tension.
√
(b) Si la tensión máxima que soporta la cuerda es T = 2( M
2 + m) · g, identifique
el rango posible del ángulo α para el cual la cuerda no se corta. Identifı́quelo
en el gráfico.
P6. Dos esferas macizas idénticas, cada una de masa M y radio R, son adheridas firmemente entre sı́. El conjunto puede rotar libremente en torno a un eje fijo tangente
a uno de los polos del cuerpo, pivoteado en el canto horizontal de una mesa. Las
esferas se disponen con su eje polar vertical y se dejan caer desde el reposo por
efecto de la gravedad g. Determine la velocidad angular del cuerpo, como función
del ángulo de caida θ.
(Hint: El momento de inercia de una esfera maciza de masa m y radio r, con
respecto a un eje que pasa por su centro de masa, es ICM = 25 mr2 ).
P7. Considere una semiesfera de radio R, hecha de un material de densidad ρ0 , que se
encuentra sobre una superficie horizontal y apoyada contra una pared. Suponga
que, entre la semiesfera y el suelo, el coeficiente de roce estático es µ = 3/16,
mientras que entre la pared y la semiesfera el roce es nulo. El centro de masas
de una semiesfera homogénea se ubica sobre el eje de simetrı́a y a una distancia
b = 3R/8 de la base.
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(a) Haga un DCL para la semiesfera, y detalle las ecuaciones dadas por la 2a Ley
de Newton.
(b) Encuentre la magnitud y dirección del torque, respecto al punto de apoyo P ,
ejercido por la fuerza de gravedad cuando la semiesfera está ladeada en un
ángulo β.
(c) Encuentre la fuerza de roce entre la semiesfera y el suelo.
(d) Encuentre el ángulo máximo de inclinación βmax posible para que la esfera no
resbale.
P8. Un marco cuadrado de masa M está formado por cuatro barras masivas idénticas
de longitud b. El marco lleva centrada una ranura circular de radio r la cual
se mantiene firme a éste mediante un material rı́gido extremadamente liviano. El
sistema puede rotar sin fricción en torno a un eje horizontal que pasa por su centro.
Una carga de masa m cualga del marco mediante un cordel enrollado en la ranura.
(a) Determine la rapidez de caida de la carga luego de que ésta ha bajado una
distancia 4 partiendo del reposo.
(b) Examine e interprete su resultado para el caso m M .
(Hint: el momento de inercia de una barra de masa m y longitud d con respecto a
1
un eje que pasa por su centro de masa, perpendicular a la barra, es ICM = 12
md2 ).
P9. Considere la máquina de Atwood mostrada en la figura adjunta. La polea consta
de un disco uniforme de masa m (que coincide con el valor de la masa más pequeña
colgada de la máquina) y radio R. El roce entre la cuerda y la polea hace que esta
última gire mientras las masas estén en movimiento. La cuerda no tiene masa y
no desliza sobre la polea. La masa 2m parte del reposo desde una altura h.
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(a) Usando el teorema de conservación de la energı́a, encuentre la velocidad de la
masa 2m cuando llega al suelo.
(b) Encuentre la tensión de la cuerda a ambos lados de la máquina de Atwood.
Es decir, encuentre τ1 y τ2 en función de m, g y R. Recuerde que τ = Iα.
(c) Encuentre la tensión de la cuerda que sujeta la polea mientras las masas están
en movimiento.
(d) Encuentre la tensión de la cuerda que sujeta la polea después de que la masa
2m llega al suelo (y todas las componentes de la máquina de Atwood están
en reposo).
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