Mediciones con puentes - Ingeniería en Automatización y Control

UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
INGENIERÍA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL
Cátedra de Instrumentos y Mediciones – Docente: Adrián E. Ronconi
7. Mediciones con puentes.
7.1. Puentes de CC
Básicamente un puente de medición es una configuración circuital que permite medir
resistencias en forma indirecta, a través de un detector de cero. Los puentes de corriente
continua tienen el propósito de medir resistencias, de valores desconocidos, utilizando
patrones que sirven para ajustar a cero (equilibrio del puente).
La configuración puente consiste en tres mallas. Se disponen de cuatro resistencias,
entre ellas la desconocida, de una fuente de corriente continua y su resistencia interna, y un
galvanómetro. Se estudiará la influencia de la sensibilidad del galvanómetro y de la limitación
de la intensidad de corriente en los brazos del puente, así como la exactitud del puente con
respecto al valor de la incógnita a medir.
Existen algunas variantes para medir resistencias muy altas o muy bajas.
Figura 7.1
7.1.1. Puente de Wheatstone
El puente de Wheatstone tiene cuatro ramas resistivas, una fuente de f.e.m (una
batería) y un detector de cero (el galvanómetro). Para determinar la incógnita, el puente debe
estar balanceado y ello se logra haciendo que el galvanómetro mida 0 V, de forma que no
haya paso de corriente por él. Debido a esto se cumple que:
I1R1 = I 2 R2
(7.1)
Al lograr el equilibrio, la corriente del galvanómetro es 0, entonces:
I1 = I 3 =
E
R1 + R3
(7.2)
I2 = I 4 =
E
R2 + R x
(7.3)
Donde Rx es R4 (de la fig. 1), combinando las ecuaciones (7.1), (7.2) y (7.3) se obtiene:
R1
R2
=
R1 + R3 R2 + Rx
(7.4)
R1 Rx = R2 R3
(7.5)
Resolviendo:
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Expresando Rx en términos de las resistencias restantes:
Rx = R3
R2
R1
(7.6)
R3 se denomina Rama Patrón y R2 y R1 Ramas de Relación.
El puente de Wheatstone se emplea en mediciones de precisión de resistencias desde
1• hasta varios M•.
Errores asociados
La principal fuente de error se encuentra en los límites de las tres resistencias
conocidas. Otros errores pueden ser la insensibilidad en el detector de cero, cambios en las
resistencias debido a los efectos de calentamiento por la corriente, los problemas causados
por las f.e.m térmicas en el circuito si se miden resistencias de valores muy bajos y por
último, los errores debidos a la resistencia de contactos en la medición de valores de
resistencias muy bajos.
Equivalente Thévenin
Sirve para calcular la sensibilidad del galvanómetro para pequeños desequilibrios. Se
determina a partir de los terminales del galvanómetro c y d de la figura 7.1, ya que el
parámetro de interés es la corriente del galvanómetro.
Se deben realizar dos pasos para encontrar el equivalente de Thévenin:
1) Encontrar el voltaje equivalente entre las terminales c y d cuando se desconecta el
galvanómetro.
Ecd = Eac − Ead = I1 R1 − I 2 R2
Donde
E
R1 + R3
Entonces se obtiene:
I1 =
I2 =
Ecd = E (
R1
R2
−
)
R1 + R3 R2 + R4
E
R2 + R4
(7.7)
2) Determinar la resistencia equivalente a las terminales c y d, con la batería
remplazada por su resistencia interna.
Figura 7.2
Como la resistencia interna de la batería es muy baja se puede despreciar para su
equivalente de Thévenin de la figura 7.2, debido a esto se observa que entre los puntos a y b
hay un cortocircuito cuando Rb es 0•. La resistencia de Thévenin es:
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RTH =
R1 R3
RR
+ 2 4
R1 + R3 R2 + R4
(7.8)
El equivalente de Thévenin del circuito del puente de Wheatstone se reduce a una
f.e.m. (Ecd) dada por la ecuación (7.7) y una resistencia interna (RTH) dada por la ecuación
(7.8) como se muestra en la figura 7.3.
Figura 7.3
Cuando el galvanómetro se conecta a las terminales del circuito equivalente de
Thévenin, la corriente es:
Ig =
Ecd
RTH + Rg
(7.9)
Donde Ig es la corriente del galvanómetro y Rg su resistencia.
Limitaciones
El límite superior para la resistencia a medir se debe a la insensibilidad del
desequilibrio, debido a los valores elevados de las resistencias, que hace alta la resistencia
equivalente de Thévenin, reduciendo la corriente del galvanómetro. El límite inferior se debe
a la resistencia de los alambres de conexión y a la resistencia de contacto de los bornes. La
primera se puede calcular o medir, pero la resistencia de contacto es difícil de calcular y
medir, por eso no se usa este puente para resistencias bajas. Es por eso que se utiliza el
puente de Wheatstone para resistencias que van desde 1• hasta varios M•.
Para el cálculo del error de insensibilidad se debe observar el siguiente gráfico:
Figura 7.4
Si se considera a R1 y a R2 fijos, una batería fija E con una resistencia Re, y un
galvanómetro de menor corriente discernible •Ig y resistencia Rg. Ahora se puede medir
distintas Rx variando R3 para satisfacer el equilibrio del puente de la ecuación (7.4).
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Si ahora se expresa el error •x para cualquier Rx, si •x es mucho menor que Rx, y
considerando a A y B de acuerdo a lo siguiente:
A = Re R1 + Re R2 + R1 R2 y B = R g + R1 + R2
Queda como el error mínimo de insensibilidad:
einsens.mínimo =
∆I g
ER1 R2
(
AB + R1 Rg R2
)
2
(7.10)
7.1.1.1 Puente de Wheatstone para R grandes
La medición de resistencias muy altas como la de aislamiento de un cable o la fuga de
un capacitor supera la capacidad del puente de Wheatstone ordinario. Como se requiere
voltajes altos para obtener una sensibilidad de deflexión suficiente. La corriente de fuga se
elimina mediante algún circuito de protección. Un alambre de protección, que rodea la
superficie aislante de la terminal, intercepta la corriente de fuga y la regresa a la batería,
evitando que entre al circuito puente. La figura 7.5 esquematiza la protección:
Figura 7.5
Otra forma es conectar la protección a la resistencia de tres terminales para evitar la
pérdida de corriente externa al circuito puente. La alta resistencia se coloca sobre dos
terminales aisladas. Los dos terminales principales se conectan a la Rx y el tercer terminal es
el punto en común de las resistencias R1 y R2. La figura 7.6 esquematiza lo explicado:
Figura 7.6
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7.1.2. Puente de Thompson (Kelvin)
El puente Kelvin es una modificación del puente Wheatstone y proporciona un
incremento en la exactitud de las resistencias de valor por debajo de 1•.
Puente de hilo (Thompson)
En la figura 7.7 se muestra el circuito de puente de hilo, representado por la resistencia
R y.
Ry representa la resistencia del alambre de conexión de R3 a Rx. Si se conecta el
galvanómetro en el punto m, Ry se suma a Rx, resultando una indicación por arriba de Rx.
Cuando se conecta en el punto n, Ry se suma a la rama de R3, ya que R3 indicará más de
lo real. Si el galvanómetro se conecta en el punto p, de tal forma que la razón de la
resistencia de n a p y de m a p iguale la razón de los resistores R1 y R2.
Figura 7.7
Rnp
=
Rmp
R1
R2
(7.11)
La ecuación de equilibrio queda
Rx + Rnp =
R1
(R3 + Rmp )
R2
(7.12)
Sustituyendo la ecuación (7.11) en la (7.12), se tiene
 R1
Rx + 
 R1 + R2

 R2
R 
 R y = 1  R3 + 
R2 

 R1 + R2
 
 R y 
 
(7.13)
Operando queda
Rx =
R1
R3
R2
(7.14)
Como conclusión, la ecuación (7.14) es la ecuación de equilibrio para el puente
Wheatstone y se ve que el efecto de la resistencia Ry se elimina conectando el galvanómetro
en el punto p.
Puente doble de Kelvin
Debido a que la ecuación (7.11) es difícil de lograr físicamente, se agrega un segundo
par juego de ramas de relación (a y b), mostrado en la figura 7.8
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Figura 7.8
Se conecta el galvanómetro en el punto p con el potencial apropiado entre m y n, para
eliminar la resistencia Ry. La relación entre las resistencias a y b debe ser igual a la relación R1
y R2. Con esta hipótesis también se demostrará que Ry no influye en el resultado final.
El galvanómetro será cero cuando el potencial en k sea igual al potencial en p, o
Ekl = Elmp, donde:
Ekl =
R2
R2
E=
R1 + R2
R1 + R2

(a + b) R y 
I  R3 + R x +

a + b + R y 

(7.15)
y

(a + b)R y 
b
Elmp = I  R3 +
×

a + b a + b + R y 

(7.16)
Cuando se logra el equilibrio, G debe ser cero y Ekl debe ser igual a Elmp, queda:

(a + b )R y  
(a + b)R y 
R2
b
I  R3 + Rx +
×
 = I  R3 +

R1 + R2 
a + b + R y 
a + b a + b + R y 

Simplificando y operando se obtiene:
R3 + Rx +
(a + b )R y
a + b + Ry
=
bRy
R1 R3
R + R2
+ R3 + 1
×
R2
R2
a + b + Ry
Despejando Rx y simplificando se obtiene:
Rx =
bR y
R1 R3
+
R1
a + b + Ry
 R1 a 

− 
 R2 b 
(7.17)
Si aplicamos la condición preestablecida a/b=R1/R2 nos queda la ecuación (7.14),
donde la resistencia Ry no tiene efecto en la medición.
Acoplando en forma mecánica a con R1 y b con R2, se logra medir resistencias desde
1• hasta aproximadamente 10µ•.
7.2.Puentes de CA
Los puentes de corriente alterna son más versátiles y en consecuencia tienen más
aplicaciones que los puentes de C.C. Se usan en medidas de resistencias en C.A., inductancia,
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capacidad e inductancia mutua, en función de patrones conocidos y relaciones conocidas de
elementos.
Su forma básica consiste en un puente de cuatro ramas, una fuente de excitación
(alterna) y un detector de cero (audífono, amplificador de C.A. con osciloscopio, etc.). Para
bajas frecuencias se puede utilizar la línea de potencia como fuente de excitación; y a altas
frecuencias se puede utilizar un oscilador.
La forma general de un puente de C.A. se presenta en la figura 7.9.
Figura 7.9
El equilibrio se alcanza cuando la respuesta del detector es cero o indica corriente nula.
El ajuste para obtener una respuesta nula se hace variando una o más ramas del puente. Las
condiciones de equilibrio son:
EBA = EBC
ó
I 1Z 1 = I 2 Z 2
(7.18)
Para la corriente del detector (condición de equilibrio), la corriente es:
I1 =
E
Z1 + Z 3
(7.19)
I2 =
E
Z2 + Z4
(7.20)
Al sustituir las ecuaciones (7.19) y (7.20) en la (7.18) se obtiene:
Z 1Z 4 = Z 2 Z 3
(7.21)
o la ecuación escrita en términos de admitancias:
Y 1Y 4 = Y 2Y 3
(7.22)
La ecuación (7.21) es la ecuación general para el equilibrio de un puente de CA.
Igualdades complejas para el equilibrio
Si las impedancias se escriben en forma polar, entonces la ecuación (7.21) es
simplemente una igualdad de números complejos:
Z1 Z 4 = Z 2 Z 3
(7.23)
θ 1+θ 4 =θ 2 +θ 3
(7.24)
Donde (7.23) es la igualdad de módulos de las ramas opuestas y (7.24) es la igualdad
de argumentos de ramas opuestas.
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Para determinar si un puente es ajustable o no, se deben verificar ambas igualdades
(7.23) y (7.24).
Criterio de selección de ramas
La elección de los elementos del circuito para el ajuste del equilibrio del puente
representa ordinariamente un compromiso entre varios factores, tales como la exactitud (se
busca elementos exactos y estables, en orden de exactitud son la resistencia, el capacitor y el
menos exacto la inductancia), y la facilidad y rapidez con que se llega al equilibrio. También
influyen otros factores para la elección final de las ramas, como ser el cambio de la capacidad
parásita al variar un elemento, y la posibilidad de equilibrio, lo cual se evalúa con el ángulo de
convergencia γc.
Angulo de convergencia, lugares de variación de parámetros
La rapidez con la cual se llega al equilibrio depende del ángulo de convergencia (γc), ya
que el mismo determina en cuantos pasos se llegará al cero.
Para calcular γc se considera que no se cumple con 7.23, esto es:
Z 1Z 4 − Z 2 Z 3 = d
(7.25)
Donde d representa un pequeño desequilibrio, es decir, que cuando d tiende a cero se
logra el equilibrio. En general para lograr el equilibrio se varían al menos dos parámetros S1 y
S2 (complejos).
Se define γc como:
 ∂d 
 ∂d 
γc = arg
 − arg

 ∂S 1 
 ∂S 2 
(7.26)
 ∂d   ∂d 
Donde 
y
 se representan cada uno una recta en el plano complejo (Fig
 ∂S 1   ∂S 2 
7.10)
Im
Lugar de S1
Lugar de S2
Re
γc
Figura 7.10
A estas rectas se las denomina lugares de ajuste de S1 y S2.
Para determinar el equilibrio se hacen ajustes sucesivos de S1 y S2 obteniendo distintos
valores de d en cada caso. Se supone que se obtiene exactamente el mínimo en cada ajuste.
La aproximación n al cero, d=0, se ve que consta de una sucesión de pasos en zigzag
(Fig.7.11). El número de pasos necesarios depende del ángulo γc=β−α donde β es argumento
del lugar S1, y α el argumento del lugar S2.
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Lugar de S1
Im
Lugar de S2
γc
Re
Figura 7.11
Si el ángulo γc es pequeño, la convergencia al equilibrio requiere más ajustes que para
ángulos grandes. Si γc=90°, la convergencia es más rápida, por lo tanto se llega más rápido al
equilibrio (d=0).
El mínimo valor de γc está dado por:
γc mínimo= arc cos(1-r)
(7.27)
Donde r es la resolución del galvanómetro o detector.
7.2.1. Puente de Maxwell
Este puente de C.A. se utiliza para medir una inductancia desconocida en términos de
una capacitancia conocida.
Una de las ramas de relación tiene una resistencia y una capacidad en paralelo (Figura
7.12):
Figura 7.12
Escribiendo la ecuación (7-21) en términos de Zx (impedancia de la rama desconocida)
se obtiene:
Zx =
Z 2Z 3
Z1
(7.28)
Al escribir utilizando la admitancia Y1:
Zx = Z 2 Z 3Y 1
(7.29)
Observando a la figura 7.12, se obtiene que:
Z2=R2;
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Z3=R3;
y
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Y1 =
1
+ jwC 1
R1
(7.30)
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Donde w es la frecuencia angular (2πf). Sustituyendo estos valores en (7-29) da:
1

Zx = Rx + jwL x = R 2 R 3 + jwC 1 
 R1

(7.31)
Cuya parte real es:
Rx =
R 2 R3
R1
(7.32)
Y la imaginaria:
Lx = R 2 R 3C1
(7.33)
Cabe aclarar que las resistencias se expresan en ohms, las inductancias en henrys y las
capacitancias en faradios.
Limitaciones
El puente de Maxwell se limita a la medición de Q medio (1<Q<10). Esto se
fundamenta utilizando la ecuación (7.24), puesto que los ángulos de fase de R2 y R3 suman 0°
y la suma de los ángulos de las ramas 1 y 4 también será 0°, por lo tanto el ángulo de una
bobina de Q alto sería cercano a +90°, pero el ángulo de fase de la rama capacitiva debería
estar en –90° lo que significaría R1 muy grande lo que es poco práctico; por esta razón, para
estos valores de Q se utiliza el puente de Hay.
Para Q<1 existen problemas de convergencia debido a la aparición del denominado
equilibrio deslizante por valores de Q bajos (se genera una interacción entre los controles).
El procedimiento normal para equilibrar el puente de Maxwell consiste en ajustar R3
hasta que obtener el equilibrio inductivo y luego ajustar R1 hasta obtener el equilibrio
resistivo, repitiéndose este proceso hasta el equilibrio definitivo.
7.2.2. Puente de Hay
Como primera característica de este puente, se puede mencionar su utilización para la
medición de inductancias. En la figura 7.13 se observa la configuración clásica del puente
Hay. A primera vista este puente no difiere demasiado de su equivalente de Maxwell, salvo
que en esta ocasión el capacitor C1 se conecta en serie con la resistencia R1, por lo tanto para
ángulos de fase grandes la resistencia R1 debe tener un valor muy bajo. Es esta pequeña
diferencia constructiva la que permite su utilización para la medición de bobinas de Q alto
(Q>10).
Figura 7.13
Si se sustituyen los valores de impedancias de las ramas del puente en la ecuación
general de equilibrio de los puentes de CA (7.23), se obtiene:
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j
Z 2 = R2
Z 3 = R3
Z x = R x + jwL x
wC1
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación de equilibrio:
Z1 = R1 −

j 
 R1 −
(Rx + jwL x ) = R2 R3
wC1 

(7.34)
Si se distribuye:
R1 R X +
Lx jRx
−
+ jwL x R1 = R2 R3
C1 wC1
Separando los términos reales de los imaginarios:
R1Rx +
Lx
= R2 R3
C1
(7.35)
Rx
= wL x R1
wC 1
(7.36)
Como en ambas ecuaciones (7.35) y (7.36) están presentes los términos Lx y Rx, se
deben resolver simultáneamente, entonces:
2
Rx =
Lx =
w 2 C1 R1 R2 R 3
1 + w 2C1 R1
2
2
(7.37)
2
(7.38)
R2 R3C1
1 + w 2 C1 R1
2
Como se puede observar en las expresiones (7.37) y (7.38) tanto la inductancia como
la resistencia desconocida se encuentran en función de la velocidad angular w, por lo tanto
sería necesario conocer con exactitud la frecuencia de la fuente de voltaje.
Observando la figura 7.14:
Rx
Z
wLx
Rx
1
wC x
Figura 7.14
Z
Se deduce que:
tan θ L =
X L wL X
=
=Q
R
RX
tan θ C =
XC
1
=
R
wC1R1
Si los ángulos de fase son iguales, sus tangentes también lo son:
tan θ L = tan θ C ⇒ Q =
1
wC1 R1
(7.39)
Si se reemplaza (7.39) en las igualdades (7.38), se obtiene:
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Lx =
R2 R3C1


1 +  1 2 
 Q 
(7.40)
Para Q>10, el término (1/Q2 )<1/100, por lo tanto:
Lx ≅ R2 R3C1
(7.41)
En resumen se puede decir que para la medición de inductores con Q alto (Q>10) se
debe utilizar el puente Hay. En el caso de inductores de Q bajo (Q<10) el método apropiado
es la medición a través del puente Maxwell.
7.2.3. Puente de Owen
El puente Owen es ampliamente utilizado para la medición de inductores, más
precisamente para aquellas inductancias con factor de calidad bajos (Q<1). Su configuración
clásica se representa en la figura 7.15, y observando esta se puede remplazar la ecuación de
equilibrio para los puentes de C.A.:
Z1 Z 3 = Z 2 Z 4
(7.42)


1 
1 

 −
(Rx + jwL x ) = R2  R3 −
jwC 3 
 jwC1 

(7.43)
Por lo tanto:
Si se igualan las partes reales e imaginarias, se obtiene:
Rx =
C1 R2
C3
Lx = C1 R2 R3
R2
C1
˜
E
(7.44)
Detector
C3
R3
Lx
Rx
Figura 7.15
Como se puede ver de las ecuaciones (7.44), el equilibrio del puente es independiente
de la frecuencia, y como el término C1R2 es conocido, dicho equilibrio depende
exclusivamente de los elementos ajustables C3 y R3.
7.2.4. Puente de Schering
El puente de Schering se utiliza para la medición de capacitores, siendo de suma
utilidad para la medición de algunas de las propiedades de aislamiento (tgδ) , con ángulos de
fase muy cercanos a 90°.
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En la figura 7.16, se muestra el circuito típico del puente Schering, nótese que la rama
patrón (rama 3) solo contiene un capacitor. Por lo general, el capacitor patrón es de mica de
alta calidad para las mediciones generales de capacidad, o puede ser de un capacitor de aire
para mediciones de aislamiento.
Los capacitores de mica de buena calidad, poseen pérdidas muy bajas y por
consiguiente un ángulo aproximado de 90°, en cambio un capacitor de aire tiene un valor
muy estable y un campo eléctrico muy pequeño, por lo tanto el material aislante se puede
conservar fuera de cualquier campo fuerte.
Puesto que el capacitor patrón está en la rama 3, las sumas de los ángulos de fase de
las ramas 2 y 3 será 0° + 90° = 90°, para cumplir con la ecuación de equilibrio, se necesita
que los ángulos de fase de las ramas 1 y 4 sea de 90°. La conexión en paralelo del capacitor
C1 con el resistor R1 proporciona a la rama 1 un ángulo de fase pequeño, ya que en general la
medición desconocida Zx posee un ángulo de fase menor de 90°.
Figura 7.16
Planteando la ecuación general de equilibrio de los puentes de CA.
Z1 Z 4 = Z 2 Z 3
(7.45)
Aplicando la ecuación (7.45) al circuito de la Figura 7.16:
Z x = Z 2 Z 3Y1
(7.46)
Por lo tanto:
Rx −
 − j  1

j
 + jwC1 
= R2 
wC x
 wC 3  R1

Si se expande:
Rx −
RC
jR2
j
= 2 1−
wC x
C3
wC 3 R1
Igualando los términos reales y los imaginarios:
Rx = R2
C1
C3
C x = C3
R1
R2
(7.47)
Si se observa en el circuito de la Figura 7.16, se puede ver que las dos variables que se
escogen para el ajuste del equilibrio son el capacitor C1 y el resistor R2.
El factor de potencia o cos ϕ de la impedancia desconocida será:
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PF =
Rx
Zx
(7.48)
Para ángulos muy cercanos a 90°, la reactancia es casi igual a la impedancia, por lo
tanto:
Rx
= wC x R x
Xx
Entonces queda definido el factor de disipación D o tgδ de un dieléctrico
(representado por un circuito serie RC) como:
PF ≅
tgδ =
Rx
= wC x Rx
Xx
(7.49)
Como ya hemos visto, el factor de calidad de una bobina se define como Q=Xl/Rl, por
lo tanto de la ecuación (7.49) se observa que tg δ es el recíproco del factor de calidad (Q),
entonces:
tg δ = 1/Q
(7.50)
La tg δ es un factor que indica la calidad del capacitor, da la noción de cuan cercano
esta el ángulo de fase del capacitor del valor ideal de 90°. Con las ecuaciones (7.47) en la
expresión para tg δ, se tiene:
tgδ = wC1 R1
(7.51)
Si el resistor R1 tiene un valor fijo, el dial del capacitor C1 se puede calibrar
directamente en función de la tg δ. Esta es la utilidad práctica del puente de Schering, ya que
el término w aparece en la expresión de la tg δ por lo tanto la calibración del dial C1 solo se
conserva para la frecuencia a la cual se calibró el dial. Se puede utilizar una frecuencia
diferente multiplicando el dial C1 por la relación de las dos frecuencias.
El puente de Wien se desarrollará en la unidad temática 9.
7.3.Ilustraciones de Puentes Típicos:
A continuación se presentan algunas imágenes de los puentes de medición comerciales
más comunes.
Instrumentos y Mediciones
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
INGENIERÍA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL
Cátedra de Instrumentos y Mediciones – Docente: Adrián E. Ronconi
Circuito interno de puente de Wheatstone comercial
7.4.Temas a desarrollar:
1.
2.
3.
4.
Deducir y hallar la expresión del error de insensibilidad del puente de Wheatstone.
¿En qué consiste el denominado Test de lazo de Murria?
¿De qué depende el error de acoplamiento en un puente doble de Kelvin?
¿Cómo es la configuración práctica de un puente de Schering para medir la tgδ? ¿Cómo
deben ser las distintas ramas del puente?
7.5.Bibliografía:
1) 'Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición' de W. Cooper. Editorial
Prentice Hall 1982.
2) 'Análisis de medidas eléctricas' de E. Frank, Editorial Mc Graw Hill 1969
3) ‘Manual Yokogawa IM2755’
Instrumentos y Mediciones
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