Capítulo 10 circuito resonante

Capítulo 10 Circuito Resonante
1
Capítulo 10
Circuito Resonante
Capítulo 10 Circuito Resonante
2
En el presente capítulo discutiremos el circuito resonante. De manera especial
se presentarán las combinaciones y características del mismo, por lo cual, en la
Sección 10.1 se ve el circuito resonante combinado con dispositivos L-C
básicos y sus características. En la Sección 10.2, Circuitos Resonantes RLC en
Serie, y en la Sección 10.3 Circuitos Resonantes RLC en paralelo, le
suministran a los estudiantes las características del circuito resonante RLC.
Finalmente, en la Sección 10.4, se discute la utilidad del circuito resonante, y
en la Sección 10.5, se presentan las aplicaciones de los mismos. Es de esperar
que el estudiante aprenda los principios del circuito resonante, la relación entre
los parámetros, y los campos de aplicación práctica.
10.1 Circuito Resonante L-C
En esta sección presentamos el circuito resonante L-C, y se divide en dos
partes: 10.1.1, Circuitos Resonantes LC en Serie y 10.1.2, Circuitos
Resonantes es Paralelo.
Para comenzar, revisemos las características de los capacitores e inductores,
vistos en los primeros capítulos y podemos clasificar las relaciones entre
dispositivos con impedancia y frecuencia como:
1. Resistencia (R) es independiente de la frecuencia. Su impedancia no
cambia cuando cambia la fuente de frecuencia.
2. Impedancia del inductor (L) es dependiente de la fuente de frecuencia.
En realidad es proporcional a la frecuencia. La impedancia (reactancia
inductiva) es XL = L = 2fL Ohmios.
3. La impedancia de capacitor (C) es dependiente de la fuente de
frecuencia; es inversamente proporcional a la frecuencia. La impedancia
(reactancia capacitiva) es XC = 1 / C = 1 / (2fL) Ohmios.
La Fig. 10.1 muestra las relaciones entre reactancia inductiva, reactancia
capacitiva y frecuencia. Se pueden dividir como tres condiciones que:
1. A una frecuencia = 0 (f = 0 Hz, es decir, estado de CD), XL = 2fL = 0 
y XC = 1 / (2fL) =  . Por lo tanto, la reactancia inductiva es igual a la
que existe en estado de cortocircuito. La cuando reactancia capacitiva
es infinita, lo cual es igual a un estado de circuito abierto.
2. Cuando la frecuencia se aumenta gradualmente a partir de 0, XL se
incrementa gradualmente y XC disminuye gradualmente.
3. Cuando la frecuencia es muy alta (f ) entonces XL  y es como un
circuito abierto, mientras que si XC  0, es como un circuito en corto.
La Fig. 10.1(a) muestra las relaciones entre reactancia inductiva y
frecuencia. XL = 2 f L, donde 2 L es constante, por lo que la reactancia
inductiva es proporcional a f, con una relación lineal.
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Capítulo 10 Circuito Resonante
La Fig. 10.1(b) muestra la relación entre reactancia capacitiva y frecuencia. XC
= 1/ (2  f C), donde 2C es constante, por lo tanto la reactancia capacitiva es
inversamente proporcional a f con una relación curva.
(a) Reactancia Inductiva vs
frecuencia
Reactancia capacitiva vs
frecuencia
Fig. 10.1 Relaciones
10.1.1
Resonancia L-C en Serie
Cuando se conecta un inductor L y un capacitor C en serie, como se muestra
en la Fig. 10.2(a), se tiene:
Reactancia inductiva, así como también,
que es la reactancia capacitiva y la impedancia total. Al aplicar una fuente de
frecuencia ajustable en el circuito en serie, se obtiene la curva de impedancia
como se muestra en la Fig. 10.2(b). El eje real es la frecuencia, y el eje
imaginario es la impedancia..
Eje imaginario
Frecuencia
f variable
Fig. 10.2 – Circuito LC en serie y curva de impedancia.
En la Fig. 10.2(b), se pueden ver las relaciones entre la impedancia total Z del
circuito LC en serie y la frecuencia f :
1. La frecuencia aumenta desde 0 Hz hasta f0,  XC   XL. En esta región, la
impedancia total revela que se trata de un circuito capacitivo, y la
impedancia total  Z  disminuirá gradualmente y la corriente aumenta.
Capítulo 10 Circuito Resonante
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2. f = f0, y entonces  XC  = XL, la impedancia total Z = 0, la corriente
alcanza el valor máximo, y en teoría llega al infinito.
3. La frecuencia se aleja de f0, f  f0, y  XC  < XL. En esta región, la
impedancia total revela que se trata de un circuito inductivo, y la
impedancia total  Z  aumenta gradualmente y la corriente disminuirá.
De lo anterior es posible obtener la curva de respuesta de la corriente vs
frecuencia, como se muestra en la Fig. 10.3. En este diagrama, cuando la
frecuencia fuente = f0, la corriente es muy alta. Se le llama resonancia LC en
serie. Esto sucede cuando XC = XL, es decir:
Capacitivo
Inductivo
Fig. 10.3 – Curva de respuesta para corriente vs. frecuencia en
un circuito LC en serie
f0 es la frecuencia resonante, que también se expresa como fr. Cuando la
frecuencia externa es igual a f0, hará que la impedancia del circuito = 0. Este
circuito se llama “circuito resonante” y la frecuencia externa se llama
“frecuencia resonante”. En la Fig. 10.3, cuando la frecuencia externa f es menor
que f0, XL <  XC, el circuito es capacitivo, y la corriente va adelantada 90º con
respecto al potencial. Cuando la frecuencia externa f es mayor que f0, entonces
XL >  XC, el circuito es inductivo, y la corriente va atrasada 90º con respecto al
potencial.
Ejemplo10.1. L = 0.4 H, C =100f en serie. Determinar la frecuencia resonante.
Respuesta: De acuerdo con la Ecuación (10.1),
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Capítulo 10 Circuito Resonante
10.1.2
Resonancia L-C en Paralelo.
Al conectar un capacitor y un inductor en paralelo, como se muestra en la Fig.
10.4(a), se obtienen respectivamente la suceptancia del conductor, la
admitancia total y la suceptancia del inductor con las siguientes fórmulas:
(a) circuito L-C paralelo (b) Curva de respuesta BL, BC, e Y
vs. frecuencia
Fig. 10.4 – Circuito paralelo L-C y curva de respuesta
De la Fig. 10.4(b) obtenemos la relación entre frecuencia y admitancia total del
circuito LC en paralelo como sigue:
(1) La frecuencia aumenta desde 0 Hz hasta f0,  BL   BC. En esta región, la
admitancia total revela que se trata de un circuito inductivo, y la
admitancia total  Y  disminuirá gradualmente y la corriente disminuye.
(2) Cuando f = f0 ,  BL  = BC, la admitancia total = 0. Por la Ley de Ohm, I =
VY = V x 0 = 0, por lo que la corriente es igual a cero. Todavía quedan
corrientes fluyendo en el capacitor y el inductor, que tienen la misma
magnitud pero con flujo opuesto.
(3) Cuando la frecuencia se aleja de f0, f  f0, y  BL  < BC. En esta región, la
admitancia total revela que se trata de un circuito capacitivo, y la
admitancia total  Y  aumenta gradualmente y la corriente aumentará
también.
De lo anterior es posible obtener la curva de respuesta de la corriente vs
frecuencia, como se muestra en la Fig. 10.5. En este diagrama, cuando la
frecuencia fuente = f0, la corriente es cero. Se le llama resonancia LC en
paralelo. Esto sucede cuando BC = BL, es decir:
siendo la frecuencia de resonancia
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Capítulo 10 Circuito Resonante
Cap.
Ind.
Fig. 10.5 – Curva de respuesta de la Corriente vs. Frecuencia en un circuito LC
en paralelo
Ejemplo 10.2: L = 1 H, C =100f en paralelo, con una fuente de tensión de 100
V con frecuencia variable. Determinar (1) la corriente resonante, y (2) la
corriente a través del inductor con esa resonancia.
Respuesta: (1) cuando su resonancia Y = 0, la fuente de corriente I = V x Y = V
x 0 = 0A. (2) De acuerdo con la Ecuación (10.2), la frecuencia resonante es:
Cuando está en resonancia:
10.1.3
Circuito R-L-C Resonante en Serie
En aplicaciones prácticas, no existe un circuito con “inductor puro”, y debe
haber una pequeña porción de resistencia interna en el inductor. Por lo tanto,
en análisis de circuitos, debemos usar como norma el circuito resonante RLC.
En esta sección, presentaremos las combinaciones y características de los
circuitos RLC resonantes en serie. En la sección 10.2.1 discutiremos primero la
impedancia y el ángulo de fase de los circuitos RLC resonantes en serie. En la
sección 10.2.2 se hablará de la potencia y del ancho de banda del los circuitos
RLC resonantes en serie, y finalmente en la sección 10.2.3 se discutirá el factor
de calidad Q y la selectividad.
Capítulo 10 Circuito Resonante
10.2.1
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Impedancia y Angulo de Fase de Circuito RLC
Resonante en Serie
La Fig. 10.6 muestra un circuito normal RLC en serie, que se puede considerar
como la suma de las resistencias en toda la red en serie, incluyendo la
resistencia interna de la fuente de tensión, la resistencia interna del inductor, la
resistencia de los alambres o de la resistencia. El capacitor y el inductor se
pueden simplificar como dispositivos ideales (con solamente reactancia
inductiva y capacitiva, sin ningún otro componente de resistencia).
Impedancia
f variable
Impedancia total
ZT
(a) Circuito
(b) Diagrama de Impedancia vs.
Frecuencia
Fig. 10.6 – circuito R-L-C en serie
De la Fig. 10.6 sabemos que la impedancia total del circuito es ZT = R+jXLjXC = R + j(XL-XC). Para producir resonancia en el circuito, la parte
imaginaria de la impedancia = 0: XL – XC = 0, o sea XL = XC
Finalmente, obtenemos la frecuencia de resonancia del circuito en
serie f0 como:
De la Ecuación (10.3), para el circuito resonante R-L-C en serie, tanto f como L
y C deben satisfacer la Ecuación, independientemente del valor de R.
Capítulo 10 Circuito Resonante
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En el circuito de la Fig. 10.6(a), la impedancia total del circuito en serie R-L-C
es una curva como se muestra en la Fig. 10.6(b),
---Ver Libro de Texto--La magnitud y ángulo de la impedancia ZT es:
---Ver Libro de Texto---
(10.4)
---Ver Libro de Texto---
(10.5)
Con resonancia XL = XC, la impedancia de resonancia Z0 = R y  = tan-1 0 = 0º;
cuando la frecuencia externa se cambia, el resultado se muestra en la Fig.
10.7:
1. f>f0, XL > XC. El circuito es inductivo. La impedancia aumentará
gradualmente y el ángulo de fase de su impedancia será mayor de 0º.
Tal como se muestra en la Fig. 10.7(a):
---Ver Libro de Texto--2. f = f0, XL = XC. Esta reactancia capacitiva es igual a la reactancia
inductiva. El circuito está en estado de resonancia. La impedancia R es
mínima y el ángulo de fase de la impedancia es 0º (Ver 10.7(b)).
---Ver Libro de Texto--3. f<f0, XL < XC. El circuito es capacitivo. La impedancia aumentará
gradualmente y el ángulo de fase de su impedancia será menor de 0º.
Tal como se muestra en la Fig. 10(c):
---Ver Libro de Texto---
Capítulo 10 Circuito Resonante
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Fig. 10.7 – Diagramas de impedancia
Si en el circuito no hay resistencia, cuando f > f0 el circuito es inductivo, y el
ángulo de fase de la impedancia es +90º. Cuando f < f0, entonces el circuito es
capacitivo y el ángulo de fase es –90º. Cuando el circuito es resonante, varía
entre inductivo y capacitivo y el ángulo de fase varía entre +90º y –90º. La Fig.
10.8(a) muestra el diagrama de frecuencia y del ángulo de fase de la
impedancia. Si consideramos el efecto de la resistencia, el ángulo de fase de la
impedancia depende de la resistencia y de la reactancia.
Cuando
llega a ser muy grande, el ángulo de fase tenderá a +90º o
a – 90º, y cuando está en resonancia, el ángulo de fase del circuito es todavía
igual a 0º, como se ve en la Fig. 10.8(b).
Angulo de fase 
(a) Sin resistencia
Angulo de fase 
(b) con resistencia
Fig. 10.8 – Angulo de fase vs. frecuencia
Con una misma frecuencia, cuando R llega a ser más grande, menor será  y
viceversa, cuando R se hace más pequeña,  se hará más grande. En el punto
de resonancia, el ángulo de fase es todavía de 0 grados. La Fig. 10.9 muestra
el diagrama relativo del ángulo de fase y la frecuencia, para diferentes valores
de R.
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Capítulo 10 Circuito Resonante
Angulo de fase 
R pequeño
R mediano
R grande
Fig. 10.9 – Diagrama de ángulo de fase de impedancia vs. Frecuencia para
diferentes valores de R.
Ejemplo 10.3. En la Fig. 10.6, R = 10 , L = 2 H, C = 2 F. Determine (1) la
frecuencia resonante f0, (2) la impedancia en el punto de resonancia, (3) la
impedancia a 60 Hz, la impedancia a 100 Hz.
Respuesta:
(2)
(3)
(4)
Capítulo 10 Circuito Resonante
10.2.2
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Potencia y Ancho de Banda en Circuitos RLC
Resonantes en Serie.
De acuerdo con la Ley de Ohm, sabemos que la corriente en un circuito es I =
V/Z. En la Fig. 10.6(b), se obtiene la impedancia mínima y la corriente máxima
cuando f = f0. Cuando f < f0 o cuando f > f0, la impedancia aumentará cuando la
frecuencia se aleja lo suficiente de f0. Cuando f = 0, el capacitor actúa como un
circuito abierto, por lo tanto la corriente es cero. Cuando f   , el inductor
actúa como un circuito abierto, y la corriente se aproxima a cero. Por lo tanto, la
curva de respuesta es como la que se muestra en la Fig. 10.10.
Fig. 10.10 – Curva de frecuencia vs. Corriente
La potencia total inducida por la corriente en cualquier frecuencia es:
La corriente tiene su máxima resonancia. De igual manera, la potencia es
máxima en esa resonancia, y por lo tanto, la potencia máxima P0 para el
circuito resonante en serie es:
La Fig. 10.11 muestra la curva de frecuencia vs. potencia. En el punto en el que
f = f0, es donde habrá la mayor potencia. Cuando f < f0 o cuando f > f0, la
potencia se disminuye conforme la frecuencia se aleja de f0.
En la práctica, es difícil que un circuito permanezca en estado de resonancia.
Por lo tanto, en general lo que se define es un rango razonable de frecuencia,
donde la respuesta de frecuencia es aceptable. Esta respuesta pierde su
calidad una vez fuera del rango. A este rango se le llama “Ancho de Banda”.
Capítulo 10 Circuito Resonante
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Fig. 10.11 – Curva de frecuencia vs. potencia
Por lo general, el ancho de banda (BW, por sus siglas en Inglés) se define
como el rango entre f2 – f1 de la Fig. 10.11.
BW = f = f2 – f1
(10.7)
Ambas frecuencias son las cuales la potencia está afectada por un factor de ½
de su máximo, por lo que las frecuencias f2 y f1 se llaman frecuencias de media
potencia o frecuencias de corte, dado que la potencia es la mitad de la potencia
de resonancia. La razón por la cual se les llama frecuencias de corte es por la
respuesta que llega a ser muy pobre cuando f < f1 o cuando f > f2. para lograr
una buena respuesta, la frecuencia debe estar entre f2 y f1, es decir, f1 < f< f2.
Cuando f = f0, la respuesta de la resonancia es la óptima.
A la mitad de la potencia de la frecuencia , la potencia PHP es:
De la Ecuación (10.8) sabemos que:
Cuando la corriente va desde alta hacia baja, la Ley de Ohm nos dice que
la impedancia será de baja hacia alta, por lo tanto, la impedancia Z a la
mitad de la potencia es:
La Fig. 10.12(a) muestra la curva de corriente vs. frecuencia. La Fig. 10.12(b)
muestra la curva de impedancia vs. frecuencia.
Capítulo 10 Circuito Resonante
(a) Curva de corriente vs.
frecuencia
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(b) curva de impedancia vs.
frecuencia
Fig. 10.12 – Curvas de corriente e impedancia para media potencia.
Ejemplo 10.4. Se tiene un circuito resonante en serie con V = 100º, R = 10
, L = 1 mH y C = 20 pF. Determine: (1) frecuencia de resonancia, (2)
corriente para la resonancia, y (3) la corriente en la frecuencia de corte.
Respuesta:
10.2.3
Factor de Calidad Q y Selectividad para
Circuitos R-L-C Resonantes en Serie.
El factor de calidad Q se define como: la relación entre la potencia de
reactancia y la potencia real del inductor o del capacitor, cuando el circuito está
en resonancia. Es decir,
En el circuito resonante en serie, las corrientes a través de cada dispositivo
son las mismas. Por lo tanto, la disipación de potencia en cada uno será:
Capítulo 10 Circuito Resonante
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---Ver Libro de Texto--Donde I0 es la corriente en el punto de resonancia, por lo tanto:
---Ver Libro de Texto--Multiplicando estas dos ecuaciones se obtiene:
---Ver Libro de Texto---
(10.10)
De la Ecuación (10.10) sabemos que entre menos resistencia haya, el valor de
Q será más alto. Por lo tanto, para obtener un Q alto, la resistencia se debe
mantener a un mínimo. Podemos también elevar la relación entre la inductancia
y la capacitancia y obtener un Q más alto.
En el punto de resonancia, I0 = V/R, y el potencial en el inductor VLO y en el
capacitor VCO son como sigue:
---Ver Libro de Texto-----Ver Libro de Texto--De las dos ecuaciones anteriores sabemos que el potencial en el inductor y en
el capacitor tienen la misma magnitud pero un fasor opuesto. Ambos son Q
veces el valor de la tensión de la fuente. Por lo tanto es necesario ponerle
atención a la tolerancia al potencial del inductor y del capacitor cuando se
diseña un circuito resonante en serie con un valor Q alto.
Las potencias a diferentes frecuencias son como sigue:
P = I2 Z, cuando está en frecuencia de resonancia, P0 es máximo y Z=R
---Ver Libro de Texto--En la potencia media, PHP :
Capítulo 10 Circuito Resonante
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---Ver Libro de Texto--Las frecuencias son f1 o f2, y la ecuación para la impedancia (10.4) es:
---Ver Libro de Texto--Por lo tanto, la potencia media es:
---Ver Libro de Texto--Cuando f1 es la frecuencia de media potencia y f1<f0, 2LC debe tener un valor
negativo. Al resolver la siguiente ecuación:
---Ver Libro de Texto---
o sea, ---Ver Libro de Texto--Usando la misma ecuación para probar que cuando f2 es la frecuencia de
media potencia y f2> f0, 2LC debe asumir un valor positivo. Se obtiene que:
---Ver Libro de Texto--El ancho de banda es:
Capítulo 10 Circuito Resonante
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De la ecuación anterior sabemos que:
De la Ecuación (10.11) sabemos que el BW es inversamente proporcional a
Q. Si la frecuencia de resonancia permanece constante, Q1 > Q2 implica que
BW 1 es más angosto que BW 2, como lo muestra la Fig. 10.13.
Fig. 10.13 – Relación entre Q y el Ancho de Banda.
Entre más ancho sea el ancho de banda, peor será la selectividad. Si el ancho
de banda es más angosto, se mejora la selectividad. Por lo tanto, la curva en la
Fig. 10.13 se llama curva de selectividad. La calidad de la selectividad afectará
el efecto de la frecuencia de amplificación. Para una mejor selectividad, el
ancho de banda es más angosto, pero se empeora la sensitividad. Por ello, el q
más alto producirá un ancho de banda más angosto y hace que la frecuencia
no se quede dentro del ancho de banda.
Capítulo 10 Circuito Resonante
L y C constantes
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R constante
Fig. 10.14 – Relación entre dispositivo y selectividad
Q se verá afectado por el RLC. Cuando L y C permanecen constantes, entre
mayor sea R, se tendrá un Q más bajo. Por lo tanto, el ancho de banda será
más amplio, como lo muestra la Fig. 10.14(a). Cuando R3 > R2 > R1, entonces
también Q1 > Q2 > Q3. Cuando R se mantiene constante, la relación L / C se
hace más alta, el Q se hace más pequeño y el ancho de banda será más
amplio, como lo muestra la Fig. 10.14(b).
Ejemplo 10.5. Se tiene un circuito RLC en serie, donde R = 10 , L = 2 mH, C =
20 F. Determine: (1) la frecuencia f0 de resonancia, (2) el valor de Q, y (3) el
ancho de banda.
Respuesta:
10.3
Circuito Resonante RLC en Paralelo
En esta sección se presentarán las combinaciones y características del circuito
RLC resonante en paralelo. Primero, discutiremos la impedancia y el ángulo de
fase de un circuito RLC resonante en paralelo en la sección 10.3.1. Luego, en
la sección 10.3.2 veremos la potencia y el ancho de banda de un circuito RLC
resonante en paralelo, y finalmente veremos el factor de calidad Q y la
selectividad en la Sección 10.3.3
18
Capítulo 10 Circuito Resonante
10.3.1
Impedancia y Angulo de Fase de Circuito RLC
Resonante en Paralelo
La Fig. 10.15(a) muestra un circuito normal RLC en paralelo. Para una mayor
conveniencia al analizar sus parámetros, se usa la admitancia del circuito. La
admitancia total para el circuito es Y = G + j (BC – BL), donde G = 1/R, BC = 1 /
XC, BL = 1 / XL. La Fig. 10.15(b) muestra la relación entre admitancia y
frecuencia.
(a) Circuito R-L-C en paralelo
(b) Curva admitancia vs. frecuencia
Fig. 10.15 – Circuito R-L-C paralelo
La condición para resonancia en el circuito es que la parte imaginaria de la
admitancia total sea igual a 0, o sea, BC – BL = 0, lo cual implica que:
Capítulo 10 Circuito Resonante
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Cuando se cambia la frecuencia externa, el diagrama de admitancia es tal
como se muestra en la Fig. 10.16:
1. Si f > f0, BL < BC, el circuito es capacitivo. La admitancia aumenta
gradualmente y el ángulo de fase de la admitancia será mayor de 0º, como
se muestra en la Fig. 10.16(a), es decir,
2. Si f = f0, BL = BC, la reactancia capacitiva es igual a la reactancia inductiva. El
circuito está en estado de resonancia. La admitancia G es mínima y el
ángulo de fase de la admitancia es 0º, como se muestra en la Fig. 10.16(b):
3. Si f < f0, BL > BC, el circuito es inductivo. La admitancia aumenta
gradualmente y el ángulo de fase de la admitancia será menor de 0º, como
se muestra en la Fig. 10.16(c):
Fig. 10.16 – Diagrama de admitancia para circuito resonante en paralelo.
Si en el circuito no hay resistencia, cuando f > f0 el circuito es capacitivo, y el
ángulo de fase de la impedancia es + 90º. Cuando f < f0, entonces el circuito es
inductivo y el ángulo de fase es –90º. Cuando el circuito es resonante, varía
entre inductivo y capacitivo y el ángulo de fase varía entre +90º y –90º. La Fig.
10.17(a) muestra el diagrama de frecuencia y del ángulo de fase de la
admitancia. Si consideramos el efecto de la resistencia, el ángulo de fase de la
admitancia depende de la resistencia y de la reactancia.
Cuando el valor
se hace muy grande, el ángulo de fase se
aproxima a + 90º o a – 90º. Cuando entra
en resonancia, el ángulo de fase del
circuito es todavía igual a 0º, como se
muestra en la Fig. 10.17(b).
Capítulo 10 Circuito Resonante
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Bajo una misma frecuencia, cuando G se hace más grande, la frecuencia de
admitancia  se hará más pequeña, y viceversa, cuando G disminuye,  se
hará más grande. En el punto de resonancia, el ángulo de fase es siempre 0
grados, como lo muestra la Fig. 10.18.
Angulo de Admitancia 
(a) Sin resistencia
Angulo de admitancia 
(b) con resistencia
Fig. 10.17 – Diagrama de frecuencia vs. ángulo de admitancia
Angulo de admitancia
Fig. 10.18 – Relación entre R y la Frecuencia
Ejemplo 10.6. En la Fig. 10.15 se tiene un circuito RLC paralelo, donde R = 10
k, L = 1 mH, C = 400 pF. Determine: (1) la frecuencia f0 de resonancia, (2) la
impedancia en el punto de resonancia, (3) la impedancia a la frecuencia de la
fuente de 100 kHz, (4) la impedancia a la frecuencia de la fuente de 400 kHz.
Capítulo 10 Circuito Resonante
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Respuesta: (1) ---Ver Libro de Texto--(2) En el punto de resonancia XL = XC
---Ver Libro de Texto--(3) cuando f = 100 kHz
---Ver Libro de Texto---
(4) cuando f = 400 kHz
---Ver Libro de Texto---
Capítulo 10 Circuito Resonante
10.3.2
22
Potencia y Ancho de Banda en Circuito R-L-C
Resonante Paralelo
De acuerdo con la Ley de Ohm, sabemos que la corriente en un circuito es I =
V/Z, y sustituyéndola en Y = I / Z obtenemos que I = VY. En la Fig. 10.15(b), se
obtiene la admitancia mínima y la corriente máxima cuando f = f0. Cuando f < f0
o cuando f > f0, la admitancia aumentará cuando la frecuencia se aleja lo
suficiente de f0. Cuando f = 0, el capacitor actúa como un circuito abierto, por lo
tanto la corriente es cero. Cuando f   , el inductor actúa como un circuito
abierto, y la corriente se aproxima a infinito. Por lo tanto, la curva de respuesta
de la corriente es como la que se muestra en la Fig. 10.19.
Fig. 10.19. Curva de frecuencia vs. corriente en circuito R-L-C paralelo
De la Ecuación (10.6), la corriente total inducida por la corriente a cualquier
frecuencia es P + I2Z, y sustituyendo Y = I/Z:
La V es una constante, ya que R-L-C se conecta en paralelo con una fuente de
tensión AC. De la Fig. 10.15(b), en el punto cuando f = f0 se obtiene la
admitancia mínima. Cuando f < f0 o cuando f > f0, la admitancia aumentará
cuando la frecuencia se aleja lo suficiente de f0. De aquí podemos obtener el
diagrama de potencia vs. frecuencia, como se muestra en la Fig. 10.20.
De las Fig. 10.20 y 10.15(a), encontramos que:
1. Cuando f < f0 o cuando f > f0, el circuito es capacitivo o inductivo. La
reactancia inductiva no es igual a la reactancia capacitiva. Por lo tanto, la
parte imaginaria de la admitancia se hará más grande, y la admitancia se
hará más grande, también. De la Ecuación (10.15) sabemos que la potencia
aumentará, también. Esto significa que las señales de salida de la fuente de
tensión V tienen mayor potencia disipada en el circuito R-L-C paralelo.
Capítulo 10 Circuito Resonante
23
Fig. 10.20 – Diagrama de potencia vs. frecuencia en circuito RLC paralelo
2. Cuando f = f0, el circuito es resistivo puro. La admitancia es mínima. De la
ecuación (10.15) sabemos que la potencia es mínima en este momento.
Esto significa que hay una disipación mínima de potencia en el circuito RLC.
Del análisis anterior sabemos que el significado de la curva de potencia en la
Fig. 10.20 es que la fuente de tensión V disipa la potencia en el circuito RLC.
Por lo tanto, hay una disipación mínima de potencia en el circuito RLC paralelo
en el punto f0, y la mayoría de la potencia puede entregarse. Cuando f < f0 o
cuando f > f0, y la frecuencia se aleja lo suficiente de f0, la potencia disipada en
el circuito RLC paralelo se aumentará gradualmente. Esto significa que la
salida de potencia se disminuirá gradualmente. La impedancia de resonancia y
la respuesta corriente vs. frecuencia en el circuito R-L-C paralela son opuestos
a los resultados del circuito R-L-C en serie. Por lo tanto, se le llama también
como antiresonante.
Fig. 10.21 – diagrama de ancho de banda.
En la Fig. 10.21 correspondiente al diagrama del ancho de banda de la
corriente, ésta tiene un mínimo I0 en el punto de resonancia. En el punto de 
veces la corriente existen dos frecuencias, f1 y f2, siendo la primera, la
frecuencia de corte bajo , y f2 la frecuencia de corte alto. El ancho de banda
BW es:
Capítulo 10 Circuito Resonante
(a) Potencia vs. frecuencia
24
(b) Admitancia vs. frecuencia
Fig. 10.22 – Corriente y admitancia en el ancho de banda.
Ejemplo 10.7. Se tiene un circuito paralelo resonante con V = 100º, R = 1
k, L = 1 mH y C = 20 F. Determine: (1) la frecuencia de resonancia, (2) la
corriente en el punto de resonancia, (3) la corriente en la frecuencia de corte
Respuesta:
10.3.3
Factor de Calidad Q y Selectividad para
Circuito R-L-C paralelo resonante.
De la Ecuación (10.19) sabemos que Q = PL / PR o que Q = PC / PR. Por lo tanto,
también sabemos que:
Capítulo 10 Circuito Resonante
25
O que:
De la Ecuación (10.16) sabemos que Q es proporcional a la resistencia. Para
obtener una Q alta, entonces es necesario que la resistencia se mantenga alta
en el circuito paralelo. Se puede también elevar la relación de capacitancia a
inductancia para obtener un Q más alto. En el punto de resonancia, V = I0R, las
corrientes en el inductor y capacitor son respectivamente:
De las ecuaciones anteriores sabemos que la corriente a través de un inductor
y de un capacitor son Q veces la corriente en la resistencia. La relación entre Q
y el ancho de banda es Q = f0 / BW, que es la misma relación que en el circuito
en serie.
Sabemos que el propósito del circuito resonante es dejar salir del circuito
solamente frecuencias particulares. Si el ancho de banda es muy amplio,
entonces cualquier frecuencia puede pasar por el circuito, y la selectividad es
pobre. No obstante, con un ancho de banda más angosto, se mejora la
selectividad, como se muestra en la Fig. 10.23.
De las ecuaciones anteriores: Q = f0 / BW, o sea BW = f0 / Q podemos obtener
ciertas conclusiones sobre el factor de calidad, ancho de banda, amplitud de la
onda de corriente y selectividad como sigue:
1. Si Q es relativamente grande, el ancho de banda será relativamente angosto,
la curva de la corriente se tornará más aguda y se mejora la selectividad,
como se muestra en la Fig. 10.23 (BW 1).
2. Si Q es relativamente pequeña, el ancho de banda será relativamente más
ancho, la curva de la corriente se tornará más suave y se desmejora la
selectividad, como se muestra en la Fig. 10.23 (BW 2).
Capítulo 10 Circuito Resonante
26
alto
bajo
Fig. 10.23. Comparación de la selectividad
Ejemplo 10.8. En la Fig. 10.15(a), cuando V = 2000º, R = 50 k, L = 4 mH y
C = 100 nF, determine: (1) factor de calidad, (2) corriente en el punto de
resonancia, (3) el flujo de corriente a través del capacitor e inductor, (4)
frecuencia de resonancia, y (5) ancho de banda.
Respuesta:
10.4
Circuitos Resonantes Utiles
La utilidad de un circuito LC resonante en paralelo se muestra en la Fig.
10.24(a). El inductor se hace arrollando un alambre alrededor de una bobina,
por lo tanto, el inductor no solamente tiene inductancia sino también
resistencia, como se puede ver en la Fig. 10.24(b). Esta resistencia es mucho
más pequeña que la impedancia del circuito. No obstante, cuando el circuito es
resonante, la resistencia sí es muy importante. Por lo tanto, no se puede
ignorar la resistencia durante el análisis del circuito. De igual forma para el
capacitor, ya que el alambre y las placas tienen resistencia, pero debido a su
valor bajo, la resistencia se puede ignorar.
Capítulo 10 Circuito Resonante
27
Para analizar el circuito de la Fig. 10.24(b), lo convertiremos en un circuito R-LC en paralelo, como se ve en la Fig. 10.25. Usamos la frecuencia resonante
como base debido a que el valor de R es el que tiene una influencia más
importante en este momento.
(a) Resonancia de Inductor-capacitor
en paralelo
(b) Resonancia real de Inductor capacitor
Fig. 10.24 – Circuito útil en paralelo
Fig. 10.25 – Circuito R-L-C equivalente en paralelo
Para convertir el circuito en serie resistencia – reactancia como se ve en la Fig.
10.26(a) a un circuito en paralelo resistencia – reactancia como en 10.26(b), la
impedancia equivalente en los dos terminales debe ser igual. La impedancia de
la resistencia – reactancia en serie es Z = RS  j XS, y la impedancia de la
resistencia – reactancia en paralelo es Y = GP  jBp, donde Y = 1/Z.
(a) Circuito en Serie
(b) Circuito en Paralelo
Fig. 10.26. Conversión de circuito resistencia – reactancia
de serie a paralelo
Capítulo 10 Circuito Resonante
28
Cuando:
Como Y = Gp +/- jBp, entonces la parte real de la ecuación anterior es Gp y la
parte imaginaria es Bp. Se puede obtener Rp y Xp como sigue:
En la Fig. 10.27(a) tenemos un circuito resistencia – reactancia en paralelo,
que se convierte en otro circuito resistencia – reactancia en serie como se
muestra en la Fig. 10.27(b). El método es el siguiente:
Si la reactancia en el circuito resistencia – reactancia en serie es capacitivo,
entonces, de la Ecuación (10.17) y (10.18) sabemos que la reactancia
equivalente en el circuito es:
(a) Circuito paralelo
(b) Circuito en serie
Fig. 10.27. Conversión de circuito resistencia – reactancia
de paralelo a serie
29
Capítulo 10 Circuito Resonante
---Ver Libro de Texto---
(10.22)
Cuando el circuito en la Fig. 10.25 funciona a la frecuencia de resonancia,
entonces:
---Ver Libro de Texto--Por lo tanto,
---Ver Libro de Texto---
Reacomodando de tal forma que:
---Ver Libro de Texto---
Sustituyendo en la Ecuación (10.21):
---Ver Libro de Texto---
(10.23)
En el punto de resonancia XLS = XC,
---Ver Libro de Texto---
De la Ecuación (10.23):
---Ver Libro de Texto-----Ver Libro de Texto---
(10.24)
En aplicaciones prácticas, cuando el factor de calidad es más alto de 10,
entonces L es mucho más alta que C. Esto convierte a R2C/L en un valor
pequeño, que se puede ignorar. Por lo tanto, cuando Q < 10 podemos usar la
Ecuación (10.24) para calcular la frecuencia de resonancia. Cuando Q > 10 se
puede ignorar R2C/L , y usar f0= ½  (LC).
El factor de calidad Q debe tener el mismo valor en circuitos R-L en serie y en
el circuito R-L paralelo equivalente. Esto se comprueba de la siguiente forma:
Capítulo 10 Circuito Resonante
30
---Ver Libro de Texto---
(10.25)
Ejemplo 10.9. Se conectan un capacitor con C = 100F, L = 0.03 H y R = 2 
en paralelo con una fuente de tensión de v = 1000º Voltios. Determine: (1) la
frecuencia de resonancia f0, y (2) el factor de calidad.
Respuesta: ---Ver Libro de Texto---
10.5
Aplicación de Otros Circuitos Resonantes
Básicamente, los circuitos resonantes se diseñan para obtener buenos efectos
en algunas frecuencias particulares. Otras frecuencias son rechazadas o su
señal se atenúa. Por lo tanto, estos circuitos se llaman “filtros”. Estos filtros
generalmente se usan en circuitos modernos de comunicación, y de los cuales
existen cuatro tipos:
1. Filtros pasa - banda
2. Filtros parada – banda
3. Filtros pasa - bajos
4. Filtros pasa - altos
10.5.1
Filtros Pasa - Banda
En realidad, el filtro pasa – banda es un circuito RLC resonante en serie.
La entrada proviene de una fuente de tensión con diferentes frecuencias, y la
salida se obtiene en el terminal de potencial de la resistencia, como se muestra
en la Fig. 10.28. La respuesta de la corriente vs. frecuencia ya se discutió
anteriormente, y la curva se muestra en la Fig. 10.29. En la frecuencia de
resonancia f0, se tiene la corriente máxima.
31
Capítulo 10 Circuito Resonante
ajustable
Voltaje de salida V0
Fig. 10.28 – Filtro pasa – banda
Fig. 10.29. Curva de respuesta
La tensión de salida entre los terminales de la resistencia se puede obtener
mediante la Ley de Ohm, V0 = IR. De esta ley, vemos que la tensión es
proporcional a la corriente, y la curva toma la forma que se muestra en la Fig.
10.29. En el punto de resonancia, la tensión de salida es un máximo y es igual
a la tensión de entrada. Como se mencionó antes, se puede obtener hasta
0.707 veces la tensión máxima de salida en la frecuencia de corte f1 y f2, donde
f2 – f1 es el ancho de banda BW. En frecuencias que se encuentren entre f1 y f2,
la tensión de salida es bastante alta. Para señales con frecuencias menores de
f1 o mayores de f2, las tensiones de salida son muy pequeñas. Esto significa
que aquellas señales con frecuencias entre f1 y f2 son más fáciles de hacer
pasar a través del circuito hacia la carga. Por lo tanto, a este circuito lo
llamamos “filtro pasa – banda”.
10.5.2
Filtros Parada – Banda
El efecto de este filtro es opuesto al filtro pasa – banda. Es también un circuito
RLC en serie pero la salida se obtiene de los terminales del inductor y el
capacitor, como se ve en la Fig. 10.30.
La tensión de salida
en la frecuencia de
Resonancia, VL y Vc tienen la misma magnitud pero dirección opuesta. Por lo
tanto, V0 es igual a 0.
Si la frecuencia es cero,
La tensión de
salida es igual a la tensión de entrada.
Si la frecuencia es infinita,
La tensión de
salida es igual a la de entrada. Por lo tanto, la curva de respuesta de la
frecuencia es como se muestra en la Fig. 10.31. Si la frecuencia se encuentra
entre f1 y f2, la salida es muy pequeña, y es difícil que la señal pase. Por ello
se llama “ filtro parada – banda”.
Capítulo 10 Circuito Resonante
32
Salida de tensión V0
Fig. 10.30 – Filtro parada - banda
Fig. 10.31 – Curva de respuesta para filtro parada - banda
10.5.3
Filtros Pasa – Bajo
En la Fig. 10.32(a) y (b), la reactancia inductiva XL = 2  fL es proporcional a la
frecuencia y la reactancia capacitiva Xc = ½  fC es inversamente proporcional a
la frecuencia. Cuando la frecuencia de entrada es cero, XL = 0, Xc = , y el
circuito se considera como en cortocircuito, con una salida de tensión de cero.
De lo anterior, se puede dibujar la respuesta de la frecuencia de la tensión de
salida como se muestra en la Fig. 10.33. Por lo tanto, cuando la frecuencia es
menor de f2, la señal es más fácil de pasar por el circuito. Por esto se le llama
“filtro pasa bajo”.
Capítulo 10 Circuito Resonante
33
Fig. 10.32 – Filtro pasa - bajo
Fig. 10.33 – Respuesta de la frecuencia para filtro pasa - bajo
10.5.4
Filtros Pasa – Altos
En la Fig. 10.34(a) y (b), cuando la frecuencia de entrada es cero, XL = 0, Xc =
, y la señal no puede pasar hacia la salida. Por lo tanto la tensión de salida es
igual a cero. Ciando la frecuencia es infinita, Xc = o y el circuito se considera
como en cortocircuito, siendo fácil de pasar la señal hacia la salida. Por lo tanto
la tensión de salida es igual a la de entrada. La respuesta de la frecuencia de
la tensión de salida como se muestra en la Fig. 10.35. Por lo tanto, cuando la
frecuencia es mayor de f1, la señal es más fácil de pasar por el circuito. Por
esto se le llama “filtro pasa alto”.
Fig. 10.34 – Filtro pasa - alto
Capítulo 10 Circuito Resonante
34
Fig. 10.35 – Respuesta de la frecuencia para un filtro pasa – alto
Estos filtros se pueden usar en diferentes aplicaciones, tal como separar las
señales de audio y video en un aparato de televisión. La modulación de la onda
portadora es como se muestra en la Fig. 10.36. Por lo general, cada canal de
televisión tiene un ancho de banda de 6 MHz, donde unos 4 MHz son para la
modulación de la señal de video, y se tiene un canal de modulación de audio
en los 4.5 MHz. Por lo tanto, se requieren dos filtros para separar estas dos
señales. Se pueden usar un circuito resonante paralelo L1C1 para obtener la
separación del audio en 4.5 MHz, y usar un circuito resonante en serie L2C2
para lograr la separación de la salida de video en 4.5 MHz. La respuesta de la
frecuencia es tal como se muestra en la Fig. 10.37.
Amplificador de
audio y video
Salida de audio
Entrada de audio
y video (A/V)
Señal de
Video
Señal de
audio
Salida de video
(a) Banda de modulación
(b) Circuito
Fig. 10.36 – separación de audio y video en TV
Capítulo 10 Circuito Resonante
Señal de audio
35
Señal de
video
Señal de
audio
Señal de
video
(a) Respuesta L1C1 de señal de audio
Señal L2C2 de video
Fig. 10.37 – Curvas de respuesta de audio y video
10.6
Resumen
I. Características de la resonancia R-L-C en serie
(1) Condición: XL = XC
(2) Impedancia de resonancia: Z = R (mínimo)
(3) Frecuencia de resonancia:
(4)Corriente de resonancia: I0 = V / Z0 = V / R (máximo
(5) Para f > f0, el circuito es inductivo.
(6) Para f < f0, el circuito es capacitivo
(7) Para f = f0, el circuito es resistivo
(8) Potenciales de terminal:
(9) Factor de calidad :
(10) Ancho de banda BW :
(11) Si Q es relativamente alto, la forma de la onda es más aguda, y se mejora
la selectividad.
Capítulo 10 Circuito Resonante
36
II. Características del circuito R-L-C resonante paralelo
(1) Condición : BL = BC, que es lo mismo que XL = XC
(2) Frecuencia de resonancia f0 = 1/ 2  (LC)
(3) Impedancia de resonancia Z = R (máximo), admitancia Y = G (mínimo)
(4) Corriente de resonancia I0 = V/Z = VY = V/R = VG = IR (mínimo)
(5) Para f > f0, el circuito es capacitivo.
(6) Para f < f0 el circuito es inductivo
(7) Para f = f0, el circuito es resistivo.
(8) Corrientes: IR = V/R = I0 , IC = V / XLO = v / XCO = QI0
(9) Factor de calidad : Q = BLO / G = BCO / G = R(C/L)
(10) Ancho de banda BW : f2 – f1 = f0 / Q
(11) Si Q es relativamente alto, la forma de la onda es más aguda, y se mejora
la selectividad.
III. El circuito equivalente de un inductor real es una resistencia interna R y un
inductor puro L en serie.
IV. En un circuito LC resonante en paralelo real, si Q < 10 la frecuencia de
resonancia fo = 1 / (2(LC) ) (1-R2 C/L). Si Q > 10, la frecuencia de
resonancia fo = 1 / (2(LC). El factor de calidad es: Q = XLO / R = 2  fo L/R.
V. Los filtros pasa – banda y parada – banda son circuitos R-L-C en serie
resonantes. Si la salida se obtiene de los terminales de la resistencia es un
filtro pasa – bajo. Si la salida se obtiene de los terminales del inductor y
capacitor en serie, se trata de un filtro parada – banda.
VI. Filtro pasa – bajo: deja pasar las señales de baja frecuencia y rechaza o
atenúa al circuito con señales de alta frecuencia.
VII. Filtro pasa – alto: deja pasar las señales de alta frecuencia y rechaza o
atenúa al circuito con señales de baja frecuencia.
10.7
Preguntas
1. Cuando una corriente AC en un circuito RLC en serie está en resonancia, la
relación del fasor entre el potencial de terminal y la corriente es: _________
Capítulo 10 Circuito Resonante
37
2. En un circuito L-C en serie, si está en resonancia, la impedancia del circuito
es de ______.
3. En un circuito L-C en paralelo, si está en resonancia, la impedancia del
circuito es de ______.
4. En un circuito RLC en serie, la frecuencia de resonancia es de _______ Hz.
5. En un circuito RLC en serie, la corriente de resonancia es de _______ Hz.
6. En un circuito RLC en serie, si la frecuencia es mayor que la frecuencia de
resonancia, el circuito se comporta como ______.
7. En un circuito RLC en serie, la relación entre VL y VC es: _________.
8. En un circuito RLC en paralelo, si R=1K, L=0.5H, C=200F, entonces la
frecuencia de resonancia es de ______.
9. Si la frecuencia de resonancia en serie de un circuito RLC es de 1 kHz, el
factor de calidad es 20, entonces el ancho de banda es de ______ Hz.
10. En un circuito RLC en serie resonante, entre más pequeño sea R, el factor
de calidad será ______.
11. En un circuito RLC en serie, si la frecuencia es menor que la frecuencia de
resonancia, el circuito actúa como ______.
12. Anti-resonancia es : ______.
13. En un circuito RLC en paralelo, si la frecuencia es mayor que la frecuencia
de resonancia, el circuito actúa como ______.
14. En un circuito RLC en paralelo resonante, entre más pequeño sea R, el
factor de calidad será ______.
15. En un circuito RLC resonante, un factor de calidad alto significa: ______.
16. En un circuito RLC en serie, si R=5, L=0.1H, C=50F y el potencial en la
fuente de tensión es de 100 V, entonces la corriente es ____A en el punto
de resonancia.
17. Un circuito RLC en serie tiene 10 A en el punto de resonancia, entonces la
corriente es de _____A en las frecuencias de corte.
18. El circuito de la Fig. 10.38(a) es : ______.
19. El circuito de la Fig. 10.38(b) es: _______.
Fig. 10.38
Capítulo 10 Circuito Resonante
10.8
38
Problemas
1. Dibuje la curva de respuesta de frecuencia de la corriente del circuito L-C en
serie, y explíquelo brevemente.
2. Explique las condiciones que hacen que un circuito L-C en serie o L-C en
paralelo sean resonantes.
3. En la Fig. 10.39, determine: (1) frecuencia resonante, (2) impedancia
resonante, (3) corriente resonante, (4) corriente en las frecuencias de corte,
(5) potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia, (6) potencia
resonante, (7) factor de calidad, y (8) ancho de banda.
Fig. 10.39
Fig. 10.40
4. En la Fig. 10.40, determine: (1) frecuencia resonante, (2) admitancia
resonante, (3) corriente resonante, (4) corriente en las frecuencias de corte,
(5) potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia, (6) potencia
resonante, (7) factor de calidad, y (8) ancho de banda.
5. En la Fig. 10.41, determine: (1) frecuencia resonante, y (2) factor de calidad.
Fig. 10.41
Fig. 10.42
Capítulo 10 Circuito Resonante
39
6. ¿Qué es un filtro pasa – banda? Dibújelo y explique.
7. ¿Qué es un filtro pasa – bajo? Dibújelo y explique.
8. ¿Qué es un filtro pasa – alto? Dibújelo y explique.
9. En la Fig. 10.42, determine: (1) frecuencia resonante, (2) impedancia
resonante, (3) potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia.
10. En un circuito R-L-C en serie se obtiene resonancia a una frecuencia de 60
Hz. Determine la capacitancia si L = 0.4 H.
11. En la Fig. 10.43, ¿cuál debe ser la inductancia para que haya resonancia
en f = 2 kHz?
Fig. 10.43
12. Describa la relación entre factor de calidad y selectividad.
Capítulo 10 Circuito Resonante
40