Efecto Zeeman

El efecto Zeeman.
En 1896, Pieter Zeeman realizó un experimento en el cual observo un
desdoblamiento de las líneas espectrales emitidas por un sistema atómico cuando
éste era sometido a la acción de un campo magnético uniforme B. La primera
explicación de este efecto tuvo que esperar varios años, hasta que Bohr desarrolló
su modelo del átomo de hidrógeno, y consecuentemente fue una explicación
semiclásica. Posteriormente el efecto se explicó en términos de la Mecánica
Cuántica y, como en otros casos, los resultados cuantitativos de esta explicación
coincidieron, al menos parcialmente, con los resultados semiclásicos realizados
por Bohr. Este análisis del experimento puede hacerse de la siguiente manera:
La magnitud del momento dipolar magnético μ de una espira de corriente se
define como
μ = iA
y la dirección de μ se determina por la regla de la mano derecha. Considerando
que el movimiento del electrón en torno al núcleo es equivalente a una corriente
de magnitud –e/τ = -eω/2π (en donde τ es su periodo de revolución y ω es su
velocidad angular) en una espira cuyo radio r es el radio de alguna órbita del
modelo de Bohr, resulta que
μ=
e 2 ωe 2 1
πr =
πr = eωr 2
τ
2π
2
Por otra parte, como el momento angular L = r x p = r x mev, entonces L = mer2ω y
podemos decir que, en el caso del electrón,
μL = −
e
L
2me
en donde el subíndice L indica que este momento magnético está asociado con el
movimiento orbital del electrón.
Cuando un sistema atómico es sometido a la acción de un campo
magnético externo B, el momento magnético μL siente una torca τ = μL x B cuya
magnitud es
τ=
e= A(A + 1)B
eLB
senα =
senα = μB A(A + 1)Bsenα
2me
2me
en donde
μB =
eV
e=
J
= 9.2732 x10 −24 = 5.7885 x10 −5
2m e
T
T
es el llamado magnetón de Bohr y α es el ángulo entre μL y B (medido de μL hacia
B).
El trabajo WB realizado al pasar de una posición angular αi a otra posición
arbitraria α en presencia del campo magnético externo B (dirigido a lo largo del eje
z arbitrario) es entonces
α
∫
α
∫
WB = τdα = μ BB A(A + 1) senαdα =μ BB A(A + 1)(cos α − cos α i )
αi
αi
Si consideramos a la posición αi = π/2 como el origen de la energía
potencial, entonces la energía ΔEB asociada con una posición angular α de μL es
ΔEB = μBB A ( A + 1) cos α
Ahora bien, la posición angular α de L (y por lo tanto de μL) está cuantizada. Los
diferentes valores de α quedan determinados por:
cos α =
Lz
=
L
mA =
A ( A + 1)=
así que
ΔEB = μBBmA
Esto significa que a la energía EnA de un estado nA del electrón en el átomo de
hidrógeno hay que añadirle una energía ΔEB, lo cual produce un desdoblamiento
de los niveles degenerados. Por ejemplo la Figura 1 Muestra el desdoblamiento
producido en un nivel np y en uno nd, así como las transiciones posibles (que
ahora son quince) entre ellos.
mA
2
1
0
-1
-2
En + 2μBB
En + μBB
En
En - μBB
En - 2μBB
1
En + μBB
0
En
En - μBB
-1
Figura 1. Desdoblamiento de los niveles np y n´d de un
sistema atómico, así como las transiciones entre ellos.
Nótese que varias transiciones involucran el mismo cambio de energía y, en
consecuencia, la luz que emiten tiene la misma frecuencia y se observa como una
sola línea. Nótese también que algunas transiciones se han indicado con líneas
punteadas, ya que se trata de transiciones prohibidas por las reglas de selección
ΔA = ±1
ΔmA = 0, ±1
y
mencionadas anteriormente. En consecuencia, las nueve transiciones permitidas
se manifiestan como tres líneas en el espectro.
Evidentemente, un estado ns no sufre
desdoblamiento
alguno, así que las
Sin campo
transiciones de estados n´p a ese estado
también se observan como tripletes.
Campo débil
Resulta fácil demostrar que, con este
análisis, el desdoblamiento de las líneas
espectrales siempre se manifestará como
Figura N. Efecto
un triplete, y este es el caso observado en
Zeeman normal.
algunos elementos (como el zinc, el calcio y
el mercurio).
Resulta interesante obtener explícitamente la expresión de la torca τ, para
lo cual calculamos:
i
e
e
Lx
LxB = −
τ = μL x B = −
2me
2me
0
j
k
Ly
0
e
Lz =
B (L x j − L y i )
2me
B
y como
τ=
dL
eB
= iL x + jL y + kL z =
( jL x − iL y )
2me
dt
de donde se obtiene (derivando respecto del tiempo)
L z = 0,
= ⎛ eB
L
⎜
y
⎝ 2me
2
⎞
⎛ eB ⎞
⎟Lx = − ⎜
⎟ Ly
⎠
⎝ 2me ⎠
y
= − ⎛ eB
L
⎜
x
⎝ 2me
cuyas soluciones son
⎛ eB
⎞
L x = Asen ⎜
t + α⎟
⎝ 2me
⎠
y
2
⎞
⎛ eB ⎞
⎟Ly = − ⎜
⎟ Lx
⎠
⎝ 2me ⎠
⎞
⎛ eB
L y = Bsen ⎜
t + β⎟
⎠
⎝ 2me
la que implica que μL (y L) precesa en torno al eje z con una velocidad angular
ω=
eB
2me
Sin embargo, este desdoblamiento de cada línea espectral en tres es poco
frecuente, a pesar de llamarse efecto Zeeman normal. En la mayoría de los casos
se presenta el llamado efecto Zeeman anómalo, un ejemplo del cual se muestra
en la figura M
Sin campo
D1
D2
Campo débil
Figura M. Efecto Zeeman anómalo en cada una
de las líneas D del doblete del sodio.
Pospondremos la explicación del efecto Zeeman anómalo al siguiente
capítulo. Lo que si resulta claro es que este efecto puso de manifiesto la
degeneración energética de los estados electrónicos en un sistema atómico. La
presencia del campo magnético uniforme en la región donde se encontraban los
átomos preferenciaba una dirección del espacio, y entonces éstos “podían saber”
cual era la dirección z del sistema de referencia en el cual se había resuelto la
ecuación de Schröedinger. Al “señalar” una dirección del espacio, el campo
magnético B reduce la simetría del problema original y, como ya se señaló en el
capítulo anterior, esto rompe parcialmente la degeneración.
Pieter Zeeman Holanda 1865-1943
En 1885, Zeeman ingresó a la Universidad de Leyden y fue alumno de
Kamerlingh Onnes y de Lorentz (con quien compartió posteriormente el premio
Nobel de Física). En 1890 fue nombrado asistente de Lorentz, con lo cual se pudo
involucrar en un extenso programa de investigación que incluía el efecto Kerr, que
fue muy importante para su trabajo futuro. Después de doctorarse en 1893 estuvo
un año en el Instituto F. Kohlrausch's de Estrasburgo, trabajando bajo la dirección
de E. Cohn. Regresó a Leyden in 1894 y dio clase particulares de 1895 a 1897.
Sus temas de investigación principales siempre estuvieron relacionados con
fenómenos ópticos; en 1892 escribió un tratado intitulado Medidas relativas en el
fenómeno de Kerr y su tesis doctoral fue sobre este mismo tópico. Su principal
trabajo fue el estudio de la influencia del magnetismo en la radiación de luz, que
era una continuación lógica de sus investigaciones sobre el efecto Kerr.
Los resultados de estos últimos trabajos fueron presentados en la
Academia Real de Ciencias de Amsterdam por H. Kamerlingh Onnes (1896) y J.D.
van der Waals (1897), con los títulos Sobre la influencia de la magnetización en la
naturaleza de la luz emitida por una sustancia, y Sobre dobletes y tripletes en el
espectro causados por fuerzas magnéticas externas I, II y III. A partir de entonces
sus descubrimientos se conocen como el efecto Zeeman y por ellos le otorgaron el
Premio Nobel de Física en 1902.