SOLUCIONES Demostrar si los siguientes razonamientos son correctos mediante deducción natural (deben dibujarse las cajas necesarias) { (p → q) ∧ r, s → t, ¬r ∨ s } ⇒ q ∨ t { (p ∧ q) → r, r → s, q ∧ ¬ s } ⇒ ¬ p 1.- (p → q) ∧ r Premisa 1.- (p ∧ q) → r Premisa 2.- s → t Premisa 2.- r → s Premisa 3.- ¬r ∨ s Premisa 3.- q ∧ ¬ s Premisa 4.- ¬r Supuesto 4.- p Supuesto 5.- r ∧E 1 5.- q ∧E 3 6.- r ∧ ¬ r ∧ I 4,5 6.- p ∧ q ∧ I 4,5 7.- F FI 6 7.- r →E 1,6 8.- q ∨ t FE 7 8.- s → E 2,7 9.- ¬r → q ∨ t →I4,8 9.- ¬s ∧E3 10.- s ∧ ¬ s ∧ I 8,9 11.- ¬ p ¬I 4-10 10.- s Supuesto 11.- t →E2,9 12.- q ∨ t ∨ I 10 13.- s → q ∨ t →I 10,12 14.- q ∨ t ∨E 3,9,13 Para cada razonamiento, indicar el conjunto de cláusulas a utilizar para demostrar si es correcto y los pasos de resolución que llevan a la cláusula vacía: { (p → q) ∧ r, s → t, ¬r ∨ s } ⇒ q ∨ t Cláusulas a utilizar ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ¬ { (p ∧ q) → r, r → s, q ∧ ¬ s } ⇒ ¬ p Cláusulas a utilizar Pasos de resolución ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ Pasos de resolución ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ¬! ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ # ¬#$ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ∨ " ¬ " !" #" !$ %%! &' (%%&)* ,+-. /%*0 1231 &)4 5! 2%%167,&'8&)31* %! 9 → ∨ :4; <>= ∧ ¬ :4; ∧ <>= ?@ A,BC%D)EFGH D'H IF3FJD)JKCLH C*M*KNOH D'H JFP J3QCL C%CQL E?CLR I6SH D)C%JKQE6GJLQJFKCL$D)EF*P L CFTNH R H GCG3D'NCFGEL JCR H UCKJRJVCW JF ↔ ; 9 : → <>= D@ A,XF%D)CKE2GJ%JY JD'NP CL$JR6QL E6SL CW C%JF3W E6GE2GJQNL CD'H IFZ[KHJRD)EFP CGEL$KE?L JQCKC%JR6R \ W%H P J%GJRCLL CMZ[KJ%GJP JDP C*M*KJ%GJP H JFJ3R C%JY JD'ND'H IF → ; → :]< 9 ∧ ^$= G[@ A_6IR E2D'NCFGE2D)CFP CKW J%CD)EFSE'Y CKZ[KH F%JW%?CL SE6Z[D'NCFGEFEW J%CD)EFSE'Y CKZ$FE2D)CFP CK → :4; ` @A Dada la función: <>= ∧ : ¬< → ¬ ;= b ⊕ c si a = 0 y d = 0 f ( a , b , c, d ) = si a = d b + c Rellenar la tabla de verdad: acbedgf h i ijijilk i La expresión en forma de producto de sumas es: ijijiji k ijilknk k ilkmiji k ilkmilk k f (a, b, c, d ) = ∏ (1,7,8,9,14,15) ⋅ ∏ (0,2,4,6) ijilkmi Simplificar por el método de Karnaugh la expresión anterior: ilknkmi i ilknknk kmijiji k i X kmijilk o kmilkmi X k kmilknk o X knkmiji 0 X 0 0 k knkmilk o knknkmi knknknk ∅ 4 k o 0 Resultado de la simplificación: f (a, b, c, d ) = (a + b + c + d )(b + c) Puntuación: Pregunta Puntos 1 5 2 2 3 3 SOLUCIONES 4.-Demostrar si los siguientes razonamientos son correctos mediante deducción natural (deben dibujarse las cajas que sean necesarias) { ∃x(P(x)∧Q(x)), ∀x(R(x)→¬Q(x)) } ⇒ ∃x¬R(x) { ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y)), ∀x(R(x,x)→¬R(a,x)) } ⇒ ∀x(R(x,x)→¬R(x,a) 1.- ∃x(P(x)∧Q(x)) Premisa 1.- ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y)) Premisa 2.- ∀x(R(x)→¬Q(x)) Premisa 2.- ∀x(R(x,x)→¬R(a,x)) Premisa 3.- (a) P(a) ∧ Q(a) Supuesto 3.- (b) libre 4.- R(a) Supuesto 4.- R(b,b) Supuesto 5.- R(a) → ¬Q(a) ∀E 2 5.- R(b,b) → ¬R(a,b) ∀E2 6.- ¬Q(a) →E4,5 6.- ¬R(a,b) →E4,5 7.- Q(a) ∧E3 7.- ∀y(¬R(y,b) → ¬R(b,y)) ∀E1 8.- Q(a) ∧ ¬Q(a) ∧I6,7 8.- ¬R(a,b) → ¬R(b,a) ∀E7 9.- ¬R(a) ¬I4-8 9.- ¬R(b,a) →E6,8 10.- ∃x¬R(x) ∃I 9 10.- R(b,b) → ¬R(b,a) →I4-9 11.- ∃x¬R(x) ∃E1,3-10 11.- ∀x(R(x,x)→¬R(x,a) ∀I3-10 Para cada razonamiento, indicar el conjunto de cláusulas a utilizar para demostrar si es correcto y los pasos de resolución que llevan a la cláusula vacía: { ∀x∀y(¬R(y,x)→¬R(x,y)), ∀x(R(x,x)→¬R(a,x)) } ⇒ ∀x(R(x,x)→¬R(x,a) { ∃x(P(x)∧Q(x)), ∀x(R(x)→¬Q(x)) } ⇒ ∃x¬R(x) Cláusulas a utilizar Cláusulas a utilizar ¬ ∨¬ Pasos de resolución a a ¬! ∨ ¬ ¬ ∨ ¬ Pasos de resolución #" ∨¬ #" # " %$ ! '/.103254 (56 ∨¬ .10#(74 2864 ¬ .10#(74 (56 ∨¬ .10#+84 (564.109*49:64.109*4 +65- '(*)9;- ¬ #" & '(*),+,- ¬ '2:),+84<(*)9;- ¬ .109*4 +6 & .10#+849:6 5.- ! " #$ %&')(*+ ,.-($/.'10!($32" #&')(#+4 5( 6 730!8 9 ,.5 4 ∀:<;>=9;?A@ :<B → CD;E:<BB FG H)IKJLM N.OJ P QJ.J5R S5TUSUVN W U9X!JYZROOJ P QJ.J+Z UL UO ¬∃: ∃[);>=9;E:+@ [)B ∧ CD;\[)BB ∧ ∀:4=9;?A@ :<B YG H)]O4SNY>NOJ WM U9^RN.X!JYZROOJ P QN.J.J P _` S5TUSUVJ W J.^RN.J P _R M N S.OJ P QN.J.X!JYZRO ∃:4=9;E:+@ ?aB → ∃[);bCD;\[)B ∧ =9;?A@ [)BB LcG H)I3M S_` S5TUSU9OJ P QJ.J.X!JYZROJ5TN SUO^RN.X!JYZROOJ P QN.J+Z UL UO ∃:<;bCD;E:<B ∧ =9;E:+@ ?aBB → ∀:4=9;?A@ :<B 6.- Implementar los siguientes predicados: a.longs(L,M):-M ]d N T. V P UKecf>HP US_ OgEh\es h Ji Funa ji h Y>ilista L i Njique h k ji h contiene _ i lj\ji!mcnG las longitudes de cada una de las listas de L. m1ophqi risi qj t uwvAxwy{z |}~|} t uwvAxwy{z | }~| }at uwvAx<z~ ~t uwvAxwy{z+~ t uwvAx<z |}~ t uwvAx<z | }~ at uwvAx<z+~ ~ y b.- repite(N,X,R):-R es una lista formada al repetir N veces el elemento X. Ejemplo: ?-repite(3,a,V). V = [a,a,a] a a z~ ~|} z~ ~| }!~ p y K~ a zK~ ~ c.- repes(L,R):-R es una lista formada al repetir N veces cada número N de la lista L. ]d N T.V P UKecf>HW N VNOgEhri qisi qji mcnG m1ophri ri ri qi qisi qi qj a{ a{ y{z |}~|} y{z | }~ ¡ z~ ~ ~ a y{z+~ +yw ~ a{ v)K¤z~ +y<~ ¡ ¢K£ ¢K£ ¢K£ v)K¤z |}~ +~ < v)K¤z | }~ ¡¥~|b} ¢K£ v)K¤z+~ ¡¥~