Ejemplo

Álgebra Lineal
Ma1010
Mínimos Cuadrados
Departamento de Matemáticas
ITESM
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 1/34
Introducción
En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente.
Esta situación es muy frecuente en el ajuste de datos a un modelo
matemático: cuando se tiene un conjunto de datos y un modelo con
parámetros a ajustar se conduce a un sistema de ecuaciones que
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
rara vez tiene solución. Entonces, lo que procede es encontrar los
valores de los parámetros que mejor ajustan el modelo a los datos.
Primero veremos el concepto de error al asumir una sustitución
como si fuera solución a un sistema de ecuaciones. Posteriormente
veremos el procedimiento para encontrar la solución que minimiza
el error cuadrático. Por último, veremos algunas aplicaciones del
método de mínimos cuadrados a ajuste de modelos.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 2/34
Error Cuadrático
Sea A x = b un sistema de ecuaciones (A m × n).
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea A x = b un sistema de ecuaciones (A m × n).
El error cuadrático cometido al asumir la
sustitución x = xo , simbolizado por k△kxo se
define por
k△kxo = kb − Axo k
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea A x = b un sistema de ecuaciones (A m × n).
El error cuadrático cometido al asumir la
sustitución x = xo , simbolizado por k△kxo se
define por
k△kxo = kb − Axo k
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Un vector x̃ se dice solución de mínimos
cuadrados de Ax = b
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea A x = b un sistema de ecuaciones (A m × n).
El error cuadrático cometido al asumir la
sustitución x = xo , simbolizado por k△kxo se
define por
k△kxo = kb − Axo k
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Un vector x̃ se dice solución de mínimos
cuadrados de Ax = b si x̃ es tal que minimiza el
error cuadrático entre todos los vectores en Rn .
Note que el error no se mide contra la solución
que de momento no se tiene y que posiblemente
no exista. Se mide en el efecto de si al sustituirla
en la ecuación da b y qué tal lejos quedó de b.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 3/34
Ejemplo
Determine el error de cuadrático cometido por
x = xo = (1, 2)′ como solución del sistema:




1
2
1




x
=
 2 −1 
 2 
3
3
−3
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 4/34
Ejemplo
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Determine el error de cuadrático cometido por
x = xo = (1, 2)′ como solución del sistema:




1
2
1




x
=
 2 −1 
 2 
3
3
−3
Solución
Directo de la definción:
k△kxo
=
=


 



1
1
2
1


 
1 
 2  −  2 −1  
 =  2


 

2 −3
−3
3
3
p
√
2
2
2
(−4) + (2) + (−12) = 2 41 Mínimos Cuadrados

5  

 −  0 
 

9 

Álgebra Lineal - p. 4/34
Las figuras 1 y 2 muestran loc cálculos realizados en la TI.
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 1: Ejemplo 1: Captura de datos.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 5/34
Mínimos Cuadrados y Proyección Ortogonal
El siguiente resultado indica que efectivamente existe solución al
problema de mínimos cuadrados y lo que la solución representa.
Teorema
Para cualquier matriz A m × n y cualquier vector m b existe
una solución x̃ de mínimos cuadrados para
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Ax = b.
Además, si bpr es la proyección ortogonal de b sobre el
espacio generado por las columnas de A, entonces
A x̃ = bpr
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 6/34
La figura 3 pretende ilustrar el teorema anterior. Bajo el supuesto
de A x = b inconsistente, el vector b está fuera de C(A). La
proyección de b sobre C(A) simbolizada por bpr es el elemento de
C(A) lo más cercano posible a b. El vector b − bpr resulta
perpendicular a todo C(A). Mínimos cuadrados no resuelve
Ax = b, sino Ax = bpr . Claro, el problema ahora es calcular bpr .
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 3: La proyección de b sobre C(A).
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 7/34
El siguiente resultado indica lo que debe satisfacer la solución al
problema de mínimos cuadrados y da el método para obtenerla.
Teorema
x̃ es una solución por mínimos cuadrados de
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Ax = b
si y sólo si x̃ es una solución de las ecuaciones normales:
AT A x̃ = AT b
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 8/34
El sistema anterior, podría tener infinitas soluciones en algunos
casos. El siguiente teorema indica las circunstancias en las cuales
es única la solución al problema y cómo determinar la solución de
mínimos cuadrados.
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Teorema
A tendrá columnas linealmente independientes si y sólo si
AT A es invertible. En este caso, la solución por mínimos
cuadrados es única y puede calcularse con
x̃ = (AT A)−1 AT b
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 9/34
El siguiente resultado da el método que usan los profesionales para
resolver el problema de mínimos cuadrados a partir una
factorización QR de la matriz de coeficientes.
Teorema
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Si A es una matriz de m × n con columnas linealmente
independientes, y si A = Q R es una factorización QR, la
única solución x̃ de A x = b por mínimos cuadrados se
expresa teóricamente con
x̃ = R−1 QT b
y puede calcularse resolviendo el sistema
R x̃ = QT b
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 10/34
Ejemplo de Solución
Ejemplo
el siguiente problema de mínimos
cuadrados y calcule el error de mínimos cuadrados
para el sistema:


 
#
1 1 "
2

 x1
 
=
 1 2 
 4 
x2
1 3
3
Resuelva
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 11/34
Solución
Basta resolver las ecuaciones normales AT Ae
x = AT b
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:


1
1
1
2
Mínimos Cuadrados


1

1
 1

3
1
1



1


e
x
=
2 
1
3
1
2



2


1
 4 


3
3
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 12/34
Solución
Basta resolver las ecuaciones normales AT Ae
x = AT b
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:


1
1
1
2


1

1
 1

3
1
1



1


e
x
=
2 
1
3
1
2



2


1
 4 


3
3
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
quedando las ecuaciones normales




3 6
9

x


e=
6 14
19
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 12/34
Solución
Basta resolver las ecuaciones normales AT Ae
x = AT b
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:


1
1
1
2


1

1
 1

3
1
1



1


e
x
=
2 
1
3
1
2



2


1
 4 


3
3
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
quedando las ecuaciones normales




3 6
9

x


e=
6 14
19
formando la matriz aumentada y reduciendo:




1 0
3 6
9
2
→


6 14 19
0 1 1/2
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 12/34
La solución del sistema normal es la solución por mínimos
cuadrados:


e=
x
Mínimos Cuadrados
2
1
2

Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 13/34
La solución del sistema normal es la solución por mínimos
cuadrados:


e=
x
2
1
2

cuyo error de mínimos cuadrados es:

 
2
1

 


k△k = kb − Ae
xk =  4 
− 1
3
1


−1 √
 2 
= 6

= 1 
2


−1 2
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos

1
 2 

2 

1
2
3


Álgebra Lineal - p. 13/34
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 4: Ejemplo 2: Captura de datos.
Figura 5: Ejemplo 2: solución por mínimos cuadrados usando
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 14/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimos
cuadrados ocurre en el área de la modelación.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimos
cuadrados ocurre en el área de la modelación. El
problema en general consiste en ajustar un
conjunto de datos a un cierto modelo matemático.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimos
cuadrados ocurre en el área de la modelación. El
problema en general consiste en ajustar un
conjunto de datos a un cierto modelo matemático.
El modelo contiene ciertos parámetros constantes
que deben determinarse para que éste se ajuste lo
más posible al conjunto de datos muestreados.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimos
cuadrados ocurre en el área de la modelación. El
problema en general consiste en ajustar un
conjunto de datos a un cierto modelo matemático.
El modelo contiene ciertos parámetros constantes
que deben determinarse para que éste se ajuste lo
más posible al conjunto de datos muestreados.
En la práctica, el conjunto de datos es grande y
variado y no existe un modelo matemático que se
ajuste perfectamente a los datos encontrados
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimos
cuadrados ocurre en el área de la modelación. El
problema en general consiste en ajustar un
conjunto de datos a un cierto modelo matemático.
El modelo contiene ciertos parámetros constantes
que deben determinarse para que éste se ajuste lo
más posible al conjunto de datos muestreados.
En la práctica, el conjunto de datos es grande y
variado y no existe un modelo matemático que se
ajuste perfectamente a los datos encontrados y lo
que se hace es determinar las constantes del
modelo que minimizan el error cuadrático
datos-modelo.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 15/34
Ejemplos modelado
Ejemplo
Determina la recta de mínimos cuadrados para el porcentaje de
calificaciones por encima del 80 que ha reunido el profesor de
álgebra lineal. Además, calcule el porcentaje esperado después del
décimo semestre.
Semestre
1
2
3
4
5
6
Porcentaje
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
b
b
b
b
e1
e2
b
e4
e5
b
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
e6
e3
-(0,0)(-0.1,-0.1)(7,0.5)
Meta: Encontrar un modelo que minimice el error total
Etotal =
6
X
ei 2
i=1
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 16/34
En este caso se desea ajustar los puntos
proporcionados a un modelo lineal que en general
tiene la forma:
y = mx + b
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntos
proporcionados a un modelo lineal que en general
tiene la forma:
y = mx + b
Los parámetros constantes a determinar en este
modelo son m y b.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntos
proporcionados a un modelo lineal que en general
tiene la forma:
y = mx + b
Los parámetros constantes a determinar en este
modelo son m y b. Las variables en este modelo
representan: x el semestre y y el porcentaje de
calificaciones por encima del 80.
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntos
proporcionados a un modelo lineal que en general
tiene la forma:
y = mx + b
Los parámetros constantes a determinar en este
modelo son m y b. Las variables en este modelo
representan: x el semestre y y el porcentaje de
calificaciones por encima del 80. Es importante
observar que nuestras incógitas son las
constantes del modelo no las variables: las
variables tomarán sus valores de los datos
muestreados
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntos
proporcionados a un modelo lineal que en general
tiene la forma:
y = mx + b
Los parámetros constantes a determinar en este
modelo son m y b. Las variables en este modelo
representan: x el semestre y y el porcentaje de
calificaciones por encima del 80. Es importante
observar que nuestras incógitas son las
constantes del modelo no las variables: las
variables tomarán sus valores de los datos
muestreados Así, el primer dato (semestre=1,
porcentaje de calificación=0.20) se convierte en la
ecuación:
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
m ∗ (semestre 1) + b = porcentaje 0.20 es decir b + m = 0.20
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 17/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje de
calificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b + 2 m = 0.25
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 18/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje de
calificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b + 2 m = 0.25
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
El tercer dato (semestre=3, porcentaje de
calificación=0.20) se convierte en la ecuación:
m (3) + b = 0.20, es decir: b + 3 m = 0.20
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 18/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje de
calificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b + 2 m = 0.25
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
El tercer dato (semestre=3, porcentaje de
calificación=0.20) se convierte en la ecuación:
m (3) + b = 0.20, es decir: b + 3 m = 0.20
El cuarto dato (semestre=4, porcentaje de
calificación=0.35) se convierte en la ecuación:
m (4) + b = 0.35, es decir: b + 4 m = 0.35
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 18/34
Continuando con este proceso nos lleva el sistema
de ecuaciones:
b + 1m
b + 2m
b + 3m
b + 4m
b + 5m
b + 6m
Mínimos Cuadrados
=
=
=
=
=
=
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 19/34
Continuando con este proceso nos lleva el sistema
de ecuaciones:
b + 1m
b + 2m
b + 3m
b + 4m
b + 5m
b + 6m
=
=
=
=
=
=
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Este sistema se escribe en la notación matricial
"
#
b
A
=b
m
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 19/34
Siendo





A = 




Mínimos Cuadrados
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6










 ,b = 








0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40










Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 20/34
Por tanto,


#
"

1 1 1 1 1 1 
T

A A =
1 2 3 4 5 6 



Mínimos Cuadrados
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6

Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos

 "
#


6 21
=

21 91



Álgebra Lineal - p. 21/34
y


#
"

1 1 1 1 1 1 
T

A b =
1 2 3 4 5 6 



Mínimos Cuadrados
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40


 "
#


 = 1.85

7.35



Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 22/34
y


#
"

1 1 1 1 1 1 
T

A b =
1 2 3 4 5 6 



0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40


 "
#


 = 1.85

7.35



Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Así, las ecuaciones normales son
#
# "
#"
"
eb
1.85
6 21
=
7.35
m
e
21 91
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 22/34
Resolviendo este sistema
"
# "
#
1 0 0.13333
6 21 1.85
∼
21 91 7.35
0 1
0.05
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema
"
# "
#
1 0 0.13333
6 21 1.85
∼
21 91 7.35
0 1
0.05
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Por consiguiente, m
e = 0.05 y eb = 0.13333.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema
"
# "
#
1 0 0.13333
6 21 1.85
∼
21 91 7.35
0 1
0.05
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Por consiguiente, m
e = 0.05 y eb = 0.13333. De
manera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema
"
# "
#
1 0 0.13333
6 21 1.85
∼
21 91 7.35
0 1
0.05
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Por consiguiente, m
e = 0.05 y eb = 0.13333. De
manera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
Para x = 10 se obtiene
y = 0.13333 + 0.05 × 10 = 0.63333.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema
"
# "
#
1 0 0.13333
6 21 1.85
∼
21 91 7.35
0 1
0.05
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Por consiguiente, m
e = 0.05 y eb = 0.13333. De
manera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
Para x = 10 se obtiene
y = 0.13333 + 0.05 × 10 = 0.63333. Esto significa
que más o menos esperaríamos 63.3 % de
calificaciones estarían por encima del 80 en el
décimo semestre, si continúa esta tendencia de
calificaciones.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 23/34
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 6: Ejemplo 3: Captura de datos.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 24/34
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta y = m x + b que
se ajusta mejor, en el sentido de mínimos
cuadrados, a los datos de la siguiente tabla:
x
y
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
40 481
45 466
50 453
55 435
60 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los
puntos en el modelo, por ejemplo al sustituir el
primer punto queda la ecuación :
40m + b = 481
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 25/34
Solución
Convirtiendo cada dato en ecuación, obtenemos el sistema:
Mínimos Cuadrados
40 m + b
=
481
45 m + b
=
466
50 m + b
=
453
55 m + b
=
435
60 m + b
=
420
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Álgebra Lineal - p. 26/34
Solución
Convirtiendo cada dato en ecuación, obtenemos el sistema:
40 m + b
=
481
45 m + b
=
466
50 m + b
=
453
55 m + b
=
435
60 m + b
=
420
Así, el sistema queda A x = b con



40 1



 45 1 









A =  50 1  y b = 




 55 1 




60
Mínimos Cuadrados
1
481
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos


466 


453 


435 

420
Álgebra Lineal - p. 26/34
Así
T

A A=
12750
250
250
5


 y AT b = 
111985
2255


Por tanto, las ecuaciones normales quedan:




12750 250
111985
 x̃ = 

AT Ax̃ = AT b → 
250
5
2255
Al formar la aumentada y reducir obtenemos:



12750 250 111985
1 0
→

250
5
0 1
2255
−3.06
604.0
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos


De donde m̃ = −3.06 y b̃ = 604.0. Por tanto, el modelo del mínimo
error cuadrático es:
y = −3.06 x + 604.0 Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 27/34
Ejemplo
Una población de conejos en una gran isla se estimó desde 1981
hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
año
N
1981
2960
1982
4540
1983
8080
1984
17060
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Se espera que los datos se ajusten a una función exponencial
N (t) = No ek (t−1981)
Use el método de mínimos cuadrados para hacer este ajuste.
Usando esto determine la población en 1985.
Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste a un modelo lineal.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 28/34
Solución
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Tomando logaritmo natural al modelo propuesto
N (t) = No ek (t−1981) tenemos:
ln (N ) = k (t − 1981) + ln (No )
Si y = ln (N ) y b = ln (No ) el modelo buscado es:
y = k (t − 1981) + b
siendo los parámetros incógnitas k y b. Al añadir a la tabla de datos
la columna ln (N ) queda:
Mínimos Cuadrados
año
N
ln (N )
1981
2960
7.992944547
1982
4540
8.420682291
1983
8080
8.997147152
1984
17060
9.744491821
Álgebra Lineal - p. 29/34
Al sustituir los datos en el modelo, obtenemos las ecuaciones:
0k + b
=
7.992944547
1k + b
=
8.420682291
2k + b
=
8.997147152
3k + b
=
9.744491821
Así, el sistema tiene la forma A x = b con



0 1
7.992944547



 1 1 
 8.420682291



A=
 y b=
 2 1 
 8.997147152



3 1
9.744491821
Mínimos Cuadrados
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos







Álgebra Lineal - p. 30/34
De donde:
T

A A=
14
6
6
4


 y AT b = 
55.64845205
35.15526581


Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Por tanto, la matriz aumentada de las ecuaciones normales y su
reducción quedan




1 0 0.583110664
14 6 55.64845205
→


6 4 35.15526581
0 1 7.914150457
Concluimos que k = 0.583110664 y
No = eb = e7.914150457 = 2735.72143 . Por tanto, el modelo que
minimiza el error cuadrático bajo el logaritmo natural es:
N (t) ≈ 2735.72143 e.583110664 (t−1981)
Por tanto el estimado de la población para t = 1985 sería:
N (1985) ≈ 2735.72143 e.583110664 (1985−1981) = 28186.35046
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 31/34
El problema puede hacerse también utilizando la
factorización QR de A, estos cálculos se
muestran en las figuras 8, 9 y 10.
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 8: Ejemplo 5: Captura de datos.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 32/34
En la figura 9 se ilustra cómo tomar el logaritmo
natural a un vector columna.
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 9: Ejemplo 6: logaritmo de un vector y factorización
QR.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 33/34
En la figura 10 se muestra la solución por mínimos
cuadrados utilizando la factorización QR.
Introducción
Error
Teorı́a
Ejemplo
Modelación
Ejemplos
Figura 10: Ejemplo 6: solución de mínimos cuadrados por
QR.
Mínimos Cuadrados
Álgebra Lineal - p. 34/34