Campo eléctrico y superficies equipotenciales La trazadora analógica

Campo eléctrico y superficies equipotenciales
La trazadora analógica
2 de abril de 2008
1.
Objetivos
Determinar el campo de potencial electrostático entre dos electrodos metálicos.
2.
Material
Figura 1: Montaje de la práctica de la trazadora analógica.
1 fuente de tensión de 10 V y 100 mA.
1 multı́metro digital
1 mesa de metacrilato con taladros.
1 plancha de espuma flexible con taladros.
1
1 juego de piezas de cobre.
1 juego de tuercas y tornillos.
papel conductor.
cables y pinzas de conexión.
3.
Teorı́a
Cuando un objeto metálico se conecta a una fuente de potencial V , en su superficie se
acumula una densidad de carga eléctrica tal que el potencial eléctrico en todo el objeto, incluida
su superficie, es igual a V . Si dos objetos metálicos se conectan a potenciales V1 y V2 , el potencial
eléctrico V (r) en el espacio entre ellos variará entre el valor V1 cerca del objeto 1, y el V2 cerca del
objeto 2, cumpliendo la ecuación de Laplace ∇2 V (r) = 0. Aunque dicha ecuación se deduce para
el espacio vacı́o, sigue siendo aproximadamente válida si el espacio entre los objetos metálicos
contiene un material uniforme de resistividad mucho mayor que la del metal, tal como el papel
conductor usado en la práctica. Ese papel conductor nos permitirá medir el potencial V (r)
usando un simple voltı́metro (que en realidad mide una pequeña corriente entre sus bornes).
Más exactamente, podremos medir la diferencia entre el potencial V (r) y el potencial en uno de
los objetos, como por ejemplo V1 .
Al resolver la ecuación de Laplace, para obtener el potencial teórico, hay que tener en cuenta
que, puesto que realizamos las medidas sobre un plano, debemos usar la fórmula del laplaciano en
dos dimensiones. Si queremos hacer la analogı́a con una situación en tres dimensiones tendremos
que considerar que nuestros objetos son infinitos en la tercera dimensión, y, por lo tanto, lo que
estamos observando será la proyección de dichos objetos tridimensionales sobre un plano. Ası́, un
cı́rculo y un rectángulo representarán las secciones de un cilindro y de una placa perpendiculares
al papel, respectivamente. De esta forma, obtenemos las siguientes expresiones aproximadas para
el potencial eléctrico a lo largo de las lı́neas de trazos de la figura 2.
Entre dos cı́rculos metálicos de radios R1 y R2 conectados a potenciales V1 y V2 :
x − x1
V (x) = V0 + Q ln
x2 − x
(1)
siendo x1 y x2 (x1 < x2 ) las posiciones de los centros de los cı́rculos y
V0 =
Q =
V2 l1 + V1 l2
l1 + l2
V2 − V 1
l1 + l2
(2)
(3)
donde l1 = ln((x12 /R1 ) − 1), l2 = ln((x12 /R2 ) − 1), x12 = x2 − x1 . Dentro de un anillo vacı́o, el
potencial será constante.
Para un cı́rculo a potencial V1 , de radio R1 centrado en x1 , y una barra a potencial V0 , con
su borde izquierdo en x0 > x1 , podemos usar la misma ecuación (1), sustituyendo V2 = 2V0 − V1 ,
x2 = 2x0 − x1 y R2 = R1 .
Entre un cı́rculo interior de radio R1 , a potencial V1 , y un anillo concéntrico de radio interior
R2 a potencial V2 , el potencial viene dado por
V (r) =
V2 ln(r/R1 ) − V1 ln(r/R2 )
ln(R1 /R2 )
siendo r = |x − x1 | la distancia al centro del cı́rculo.
2
(4)
4.
Experimentos
Sujetar los electrodos metálicos (piezas de cobre) a la mesa de metacrilato, con el papel
conductor y la plancha flexible entre los electrodos y la mesa. Con ayuda del juego de tuercas y
tornillos, asegurar un buen contacto entre los electrodos y el papel conductor. Conectar las dos
pinzas de la fuente de tensión a la parte inferior de los tornillos que sujetan los dos electrodos.
En la fuente de tensión, establecer una diferencia de potencial V12 ≡ V2 − V1 ≃ 10 V. Uno de los
electrodos de la fuente se conecta a tierra y se toma como origen de potenciales, de modo que
V1 = 0 y V2 = V12 . Con el multı́metro digital en modo voltı́metro, medir el potencial V (r) al que
se encuentran diversos puntos r del papel. Los puntos r que se encuentran al mismo potencial
forman una lı́nea equipotencial, y las lı́neas perpendiculares a las lı́neas equipotenciales son las
lı́neas de corriente.
Figura 2: Configuraciones de electrodos para las cuales debe medirse el potencial V (r).
Para cada una de las cuatro distribuciones de los electrodos de la figura 2:
Obtener V (x), en puntos x separados 1 cm a lo largo de las lı́neas de trazos. Representar gráficamente los valores medidos junto a la función teórica Vteorica (x) dada por las
ecuaciones (1-4).
Buscar puntos r, separados ∼ 2 cm, en los cuales V (r) = 2 V, y dibujar la lı́nea equipotencial que los une. Repetir lo mismo para V (r) = 5 V y para V (r) = 8 V.
Dibujar aproximadamente varias lı́neas de campo eléctrico, que sean perpendiculares a las
lı́neas equipotenciales obtenidas previamente.
3
5.
Medidas
Diámetro d1 ± ∆d1 (cm) =
Diámetro d2 ± ∆d2 (cm) =
Centro x1 ± ∆x1 (cm) =
Centro x2 ± ∆x2 (cm) =
V2 − V1 ≡ V12 ± ∆V12 (V) =
x ± ∆x (cm) V (x) ± ∆V (x) (V)
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Vteorico (x) (V)
Cuadro 1: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la lı́nea punteada de la configuración
con dos discos pequeños. El cálculo mediante las ecuaciones (1-4) del potencial Vteorico puede
posponerse hasta la elaboración del informe final. Todos los demás valores y errores deben
completarse durante la toma de datos.
4
Diámetro d1 ± ∆d1 (cm) =
Centro x1 ± ∆x1 (cm) =
Borde izquierdo x0 ± ∆x0 (cm) =
V2 − V1 ≡ V12 ± ∆V12 (V) =
x ± ∆x (cm) V (x) ± ∆V (x) (V)
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Vteorico (x) (V)
Cuadro 2: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la lı́nea punteada de la configuración
con un disco y una barra.
Diámetro d1 ± ∆d1 (cm) =
Diámetro d2 ± ∆d2 (cm) =
Centro x1 ± ∆x1 (cm) =
Centro x2 ± ∆x2 (cm) =
V2 − V1 ≡ V12 ± ∆V12 (V) =
x ± ∆x (cm) V (x) ± ∆V (x) (V)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
15
17
19
21
23
25
27
Vteorico (x) (V)
Cuadro 3: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la lı́nea punteada de la configuración
con dos discos de distinto tamaño.
5
Diámetro d1 ± ∆d1 (cm) =
Diámetro interior d2 ± ∆d2 (cm) =
Centro x1 ± ∆x1 (cm) =
V2 − V1 ≡ V12 ± ∆V12 (V) =
x ± ∆x (cm) V (x) ± ∆V (x) (V) Vteorico (x) (V)
21
23
24
25
26
27
Cuadro 4: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la lı́nea punteada de la configuración
con un disco y un anillo concéntricos.
6
26 cm
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
x= 2
Figura 3: Plantilla para representar las lı́neas equipotenciales y las lı́neas de campo en la configuración con dos discos pequeños. Márquese claramente la posición de los puntos en los cuales se
7
ha medido cada potencial constante, y dibújense después las lı́neas equipotenciales que los unen.
Finalmente, trácense lı́neas de campo aproximadas, de modo que crucen perpendicularmente a
todas las lı́neas equipotenciales.
Figura 4: Plantilla para representar las lı́neas equipotenciales y las lı́neas de campo en la configuración con un disco y una barra.
8
26 cm
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
x= 2
Figura 5: Plantilla para representar las lı́neas equipotenciales y las lı́neas de campo en la configuración con dos discos de distinto tamaño.
9
26 cm
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
x= 2
Figura 6: Plantilla para representar las lı́neas equipotenciales y las lı́neas de campo en la configuración con un disco y un anillo concéntrico.
10
26 cm
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
x= 2