Teoría de Telecomunicaciones I

CAPITULO III
Modulación Lineal de Onda
Continua
Señales pasabanda y sistemas
(Convenciones de señales analógicas)
(1)
La condición esencial impuesta a una señal x(t) generada por una
fuente de información es que debe tener un ancho de banda bien
definido W. Por conveniencia matemática todas las magnitudes de
cualquier señal mensaje serán normalizadas, por lo tanto, así
mismo se establece un límite para la potencia promedio del
mensaje.
El análisis de algunas señales arbitrarias puede tornarse complejo
y algunas veces imposible, luego, en estos casos se recurrirá al
caso específico de un tono de modulación
Teoría de Telecomunicaciones I
2
Señales pasabanda y sistemas
(Convenciones de señales analógicas)
(2)
El tono de modulación permite trabajar con un lado del espectro y
simplificar los cálculos de potencia, y a la vez permite inferir la
respuesta del sistema a cualquier frecuencia a partir de la
respuesta a la frecuencia
; para revelar posibles efectos no
lineales debe utilizarse señales multitonos como
con
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Señales pasabanda) (1)
Considérese una señal real de energía
con espectro
el
espectro presenta simetría hermitiana pero no necesariamente es
simétrico a la frecuencia
, entonces se define una señal
pasabanda como aquella en la cual
luego la señal en el dominio del tiempo luce como un sinusoide a
la frecuencia
y presenta cambios lentos de amplitud y fase
donde
del tiempo.
es la envolvente y
es la fase, ambas funciones
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Señales pasabanda) (2)
La envolvente se muestra en líneas punteadas y se define no
negativa
, cuando se presentan amplitudes negativas
son absorbidas por la fase adicionando
puede ser descrita como un vector en un plano complejo en
el cual
es la magnitud del vector y
el ángulo de fase,
luego la señal
puede representarse como la suma de
componentes en fase y cuadratura
,
donde
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Señales pasabanda) (3)
luego
con
en la descripción de envolvente – fase se tiene que
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Señales pasabanda) (4)
Expresiones que no son Fourier transformables, y una condición
que se debe cumplir es
luego,
consta de dos espectros que han sido trasladados y
en el caso de
desplazado en fase, luego se puede hablar de
un espectro equivalente pasabajo definido como
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Señales pasabanda) (5)
Luego en el dominio del tiempo
sin embargo,
representa una señal real pasabanda a pesar
de su representación compleja, y su relación con
es
resultado que muestra la transformación pasabajo a pasabanda
en el dominio del tiempo, lo cual en el dominio frecuencia se
representa como
Teoría de Telecomunicaciones I
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Señales pasabanda y sistemas
(Transmisión pasabanda)
Una señal pasabanda
entra a un sistema pasabanda con
función de transferencia
y produce una salida
donde
, sin embargo, usualmente es mas fácil
trabajar con el espectro pasabajo relacionado por
luego
y
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Ejemplo: Retardo de envolvente y
portadora (1)
Considere un sistema pasabanda con respuesta constante en
magnitud y desplazamiento no lineal en fase en su banda
pasante
luego
Teoría de Telecomunicaciones I
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Ejemplo: Retardo de envolvente y
portadora (2)
Asumiendo que las alinealidades de fase son relativamente
planas, se puede escribir la aproximación
donde
aproximación que proviene de la expansión en series de Taylor
de
, para la interpretación de los parámetros
y ,
cuando la señal de entrada tiene fase 0
si el espectro de la señal de entrada
con la banda pasante del sistema
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cae completamente
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Ejemplo: Retardo de envolvente y
portadora (3)
Luego
y la salida pasabanda será
por lo tanto se puede concluir que
es el retardo de portadora y
y , es el retardo de envolvente producido por el sistema, siempre
que
sea independiente de la frecuencia la envolvente no sufre
distorsión de retado, al retardo de la envolvente también se lo
denomina retardo de grupo.
Otra consideración importante es la relación existente entre la
frecuencia central de respuesta del sistema y su ancho de banda,
luego como regla se tiene el que el ancho de banda fraccional
por lo tanto
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro de AM)(1)
La característica principal de AM es que la envolvente de la
portadora modulada tiene la misma forma de la señal mensaje,
luego si Ac denota la amplitud de la portadora sin modular,
modulando el mensaje x(t) se tiene la envolvente modulada
donde la constante µ es denominada índice de modulación, por lo
tanto la señal de AM es
desde que no existan variaciones de fase en la señal
componentes en fase y cuadratura son
Teoría de Telecomunicaciones I
las
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro de AM)(2)
La envolvente reproduce claramente la forma del mensaje si
cuando estas condiciones se cumplen, el mensaje x(t) puede ser
extraído de la señal modulada
mediante un detector de
envolvente. Sobre modulación
produce cambios de
fase y distorsión de envolvente
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro de AM)(3)
En el dominio de la frecuencia se tiene
La presencia de las bandas superior e inferior dan el nombre de
AM de doble banda lateral al igual que establecen el ancho de
banda de transmisión
Otro elemento importante en la comparación de sistemas de
modulación es la potencia promedio transmitida
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro de AM)(4)
Calculando la potencia promedio de la señal modulada
cuyo segundo término promedia a cero bajo la condición
luego si
y
se tiene
el término
representa la potencia de la portadora sin modular,
y el término
representa la potencia por banda lateral, luego la
restricción de modulación
requiere que
y por
lo tanto
luego
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro DSB)(1)
La potencia desperdiciada en la portadora de AM puede ser
eliminada estableciendo
y suprimiendo al componente de
frecuencia de portadora no modulada, luego la señal modulada
resultante será
la cual es denominada modulación de doble banda lateral con
portadora suprimida (DSB o DSB-SC o DSSC), por lo tanto
la envolvente y fase de DSB son
luego la envolvente toma la forma de
mas allá de que x(t) y
la señal modulada invierten su fase cuando x(t) cruza cero.
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro DSB)(2)
Por lo tanto la recuperación del mensaje requiere conocimiento de
estos cambios de fase y no se puede conseguir con un detector
de envolvente, pero DSB hace que toda la potencia transmitida se
concentre en las bandas laterales, luego
Los transmisores en la práctica imponen un límite a la potencia
pico de envolvente
, luego examinando la relación
,
bajo condiciones de máxima modulación
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Señales y espectro DSB)(3)
Luego la relación
para AM se tiene que
con
para DSB y
,
Por lo tanto si
es fija y los demás parámetros de la
modulación son iguales, un transmisor DSB produce 4 veces la
potencia de la banda lateral que un transmisor de AM.
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Ejemplo
Considere un radio transmisor en el cual
y
y sea la señal mensaje un tono con
, entonces
si la modulación utilizada por el transmisor es DSB, la máxima
potencia de transmisión posible por banda lateral será la menor
entre
Si la modulación en AM con
luego
De acuerdo a que la distancia de transmisión es proporcional a
luego la longitud del camino de AM solo podrá ser un 25% de la
longitud del camino DSB con un transmisor con iguales
características de potencia
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Modulación de amplitud de doble banda
lateral (Modulación de tono y análisis
fasorial)
Sea la señal
luego la señal modulada
introducida a un modulador DSB
similar expansión produce la modulación de tono en AM
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Ejemplo
Sea el caso de modulación de tono de AM con
, el
diagrama
fasorial se construye sumando los fasores
correspondientes a las bandas laterales a la punta del fasor
horizontal de la portadora
suponiendo que es removida la banda lateral inferior, luego la
envolvente es
y la distorsión de amplitud está dada por
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Moduladores y Transmisores
(Modulador de Producto)
Se requiere implementar
En este
tipo de moduladores, la operación crucial es la multiplicación de
dos señales analógicas.
para realizar la multiplicación se utiliza
el circuito multiplicador de
transconductancia variable, pero se limita
a bajas potencias y frecuencias
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Moduladores y Transmisores (Modulador
de Ley Cuadrada y Balanceado)(1)
La multiplicación a altas frecuencias puede realizarse con un
modulador de ley cuadrada
si se asume que la curva de trasferencia del elemento no lineal se
aproxima a ley cuadrada se tiene que
por lo
tanto con
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Moduladores y Transmisores (Modulador
de Ley Cuadrada y Balanceado)(2)
En la ecuación anterior el último término es la señal deseada de
AM con
y
aplicando transformada y
graficando el espectro de salida se tiene
por lo tanto con un filtro pasabanda centrado en
y con
,
se conseguiría la señal modulada en AM y haciendo
se
obtendría DSB y por consiguiente el modulador ley cuadrado
perfecto
desafortunadamente, los dispositivos de ley
cuadrada perfectos son raros, luego se obtiene la señal DSB,
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Moduladores y Transmisores (Modulador
de Ley Cuadrada y Balanceado)(3)
a partir de dos moduladores de AM en configuración balanceada,
de tal forma que se cancela la frecuencia de portadora
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Señales y
espectro SSB)(1)
Para obtener SSB se filtra una de las bandas laterales de una
señal DSB conseguida de un modulador balanceado de AM
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Señales y
espectro SSB)(2)
Luego la señal resultante tiene
El comportamiento de SSB es fácilmente visualizado en el domino
de la frecuencia, pero no es tan evidente en el dominio del tiempo,
salvo para el caso de la modulación de un tono, luego si se
remueve una banda lateral se tiene
notese que la señal SSB se encuentra desplazada
de
y la
envolvente es proporcional a
obviamente detección de
envolvente no funciona para SSB.
Para analizar SSB para una señal mensaje arbitraria, se debe
considerar que el filtro del modulador es un sistema pasabanda al
cual
entra
una
señal
pasabanda
obteniendose una salida pasabanda
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Señales y
espectro SSB)(3)
Dado que
no posee componente en cuadratura (por el efecto
de supresión de la frecuencia de portadora de DSB) se tiene
y la función de transferencia del filtro para USSB será
y para LSSB
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Señales y
espectro SSB)(4)
y ambas pueden ser representadas como
luego
recordando que
tenemos
por lo tanto
y aplicando la transformación pasabanda
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Señales y
espectro SSB)(5)
Se puede observar que la señal modulada tiene la forma de la
suma de componentes en fase y cuadratura, luego
y la envolvente de SSB es
Ecuaciones en las cuales se vislumbra la complejidad de analizar
la potencia pico de envolvente de señales SSB, por lo cual se
debe inferir del estudio efectuado para un tono de modulación.
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Generación de
SSB)(1)
Los filtros ideales son físicamente irrealizables, luego un filtro de
banda lateral atenuará o permitirá el paso de algunas frecuencias
indeseadas, afortunadamente, muchas de las señales prácticas a
modular contienen “huecos” en su espectro alrededor de la
frecuencia cero, lo cual en la señal modulada se refleja como una
ausencia de componentes de frecuencia alrededor de la
frecuencia de portadora
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Generación de
SSB)(2)
Generalmente se establece como regla que el ancho de la región
de transición
no puede ser mucho menor que el 1% del valor
nominal de la frecuencia de corte del filtro y
está determinado
por el ancho del hueco espectral, por lo tanto
y se puede
presentar que la portadora deba ser de muy alta frecuencia para
transportar el mensaje, por ello se han planteado moduladores de
dos pasos
Otra método para la generación de SSB se basa en analizar la
señal modulada de la forma
Teoría de Telecomunicaciones I
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Modulación de amplitud con banda
lateral suprimida SSB (Generación de
SSB)(3)
Expresión que suguiere que una señal SSB se puede obtener a
partir de dos señales DSB con portadoras en cuadratura y que
modulan las señales
y
Un tercer método de generación de SSB se puede vislumbrar en
el siguiente ejemplo.
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Señales y Espectro VSB (1)
VSB se obtiene a partir de DSB filtrando una de las bandas
laterales y permitiendo pasar un vestigio de la otra, su clave es el
filtro de la banda lateral, el cual tipicamente presenta una función
de transferencia en la cual la forma de la respuesta no es lo mas
importante, pero se debe garantizar que posee simetria impar y
una respuesta igual a ½ a la frecuencia de portadora.
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Señales y Espectro VSB (2)
Donde
y
y el ancho de banda de transmisión es
Cuando
, lo cual usualmente es cierto, el espectro VSB
luce como SSB, igualmente en el dominio del tiempo, por lo tanto
se pude representar la señal VSB como
donde
con
Si
análoga si
Luego
VSB se aproxima a SSB y
es grande VSB se aproxima a DSB y
Teoría de Telecomunicaciones I
de manera
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Conversión de Frecuencia y Demodulación
(Conversión de Frecuencia)
La conversión de frecuencia inicia con la multiplicación por un
sinusoide, luego considerando una señal DSB
,
multiplicada por
se tiene
lo cual muestra el traslado del mensaje hacia dos nuevas
portadoras, y con el filtraje adecuado la señal es convertida hacia
arriba o hacia abajo (up-converted o down-converted), el sistema
mediante el cual se realiza esta operación es denominado
Mezclador
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Ejemplo
Un transponder satelital permite establecer la comunicación
bidireccional entre dos estaciones terrenas, frecuencias diferentes
son utilizadas en los dos enlaces (subida y bajada), típicamente
en la banda C 6Ghz y 4Ghz, en el transponder un conversor
traslada el espectro de la salida LNA del enlace de subida hacia la
entrada del HPA del enlace de bajada
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Detección Síncrona (1)
Todos los tipos de modulación lineal pueden ser detectados por
un demodulador de producto
en este caso se presume que el oscilador local está exactamente
sincronizado con la portadora tanto en frecuencia como en fase, lo
cual da el nombre de detección síncrona o coherente.
La señal de entrada es de la forma
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Detección Síncrona (2)
La entrada al filtro es el producto
siempre que
los términos de frecuencias dobles son
rechazados por el filtro pasabajos, obteniendo la señal de salida
donde
es la constante de detección, la componente DC
corresponde a la portadora trasladada si se encuentra presente
en la señal modulada, y puede ser suprimida a través de un
capacitor o un transformador a la salida del detector.
El problema crucial de este tipo de detección es sincronización,
para lo cual se inserta una pequeña cantidad de la frecuencia
portadora en la señal modulada, y recuperada como OL.
Teoría de Telecomunicaciones I
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Detección de Envolvente (1)
Para la detección de AM casi nunca se utiliza un detector
síncrono pues en complejo y el mensaje puede ser recuperado
de la envolvente de la señal modulada
donde el voltaje vout es la versión rectificada de media onda y
filtrada de la señal modulada, luego
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Detección de Envolvente (2)
Teoría de Telecomunicaciones I
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