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XVI CONGRESO INTERNACIONAL
DE INGENIERÍA GRÁFICA
UTILIZACIÓN DE SISTEMAS INFORMÁTICOS EN LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OBJETOS DE CUATRO DIMENSIONES
SALIDO REGUERA, Manuel (1); DOMÍNGUEZ SOMONTE, Manuel (2); BERNAL GUERRERO, Claudio (3)
(1)
U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales
Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación
Correo electrónico: msalido@iies.es
(2)
U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales
Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación
Correo electrónico: mdominguez@ind.unes.es
(3)
U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales
Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación
Correo electrónico: cbernal@ind.unes.es
RESUMEN
Tradicionalmente los objetos tridimensionales se han representado en dos dimensiones, siguiendo las normas de la perspectiva para conseguir una representación que parezca lo más
aproximada posible a la realidad, o mediante diversas vistas correspondientes a la proyección
del objeto sobre diferentes planos, acompañadas de cotas, secciones, vistas de detalle, etc. que
permitan reproducir exactamente el objeto dibujado. El salto cuantitativo que supone en los
últimos programas informáticos prescindir del dibujo de las vistas planas del objeto, dibujar
directamente el objeto tridimensional y de ahí deducir automáticamente las vistas permite
predecir un salto proporcional en el tipo de objetos que puedan representarse gráficamente: si
una serie de vistas planas acotadas definen de forma unívoca a un objeto tridimensional, no hay
razones que impidan que un objeto de cuatro dimensiones no pueda ser reproducido
unívocamente mediante una serie de vistas bi- o tridimensionales. La pantalla del ordenador
permite utilizar el tiempo como cuarta variable, ligada mediante una relación o fórmula
sencilla con la cuarta variable espacial, lo que hace accesibles a un observador tridimensional
los objetos tetradimensionales. Las relaciónes que se establecen entre el universo euclídeo
tetradimensional y el universo espacio-temporal de Einstein abren una interesante línea de
investigación. Utilizaremos como ejemplo de objetos tetradimensionales los hipersólidos
geométricos regulares obtenidos por yuxtaposición tetradimensional de los poliedros regulares
tridimensionales. A finales del siglo XIX se estudiaron geométricamente los hiperpoliedros de
cuatro o más dimensiones por el matemático suizo Ludwig Schläfli, determinándose que son
seis los hiperpoliedros de cuatro dimensiones, y sólo tres los de cinco o más dimensiones.
Comenzando por los hiperpoliedros más sencillos determinaremos las vistas y secciones
necesarias para una adecuada representación.
Palabras clave: Cuatro dimensiones. Espacio-temporalidad.
ABSTRACT
Three-dimensional objects have traditionally been represented on two-dimensional medium by
applying the laws of perspective to achieve a resemblance to reality or by a number of projections on different planes, sections and details, together with dimensions, that allow a faithful
reproduction of the object. Modern computer design programs allow three-dimensional drawing of the object, and deduce from it the required two-dimensional views. This quantitative
jump increases the types of objects that can be reproduced graphically: four-dimensional objects can be represented by a number of two- or three-dimensional views, and the computer
screen allows time to be introduced as a fourth variable, that can be linked to the fourth dimensional variable by a simple formula, allowing the representation of four-dimensional objects to
three dimensional spectators. A promising line of investigation arises from the relationship
thus established between the four dimensional Euclidean space and the Einstenian space-time
universe. We will study as four dimensional objects the regular hyper-polyhedres that can be
constructed by folding in the fourth dimension a number of equal regular polyhedres. The
subject was first covered by the swiss mathematician Ludwig Schläfli at the end of the
nineteenth century, determiming that there are six regular four dimensional hiper-polyhedra, or
politopes, and only three on all other higher dimensions. Starting with the simplest ones, we
will determine the views and sections required for an adequate graphic representation.
Key words: Four dimensions. Time-space.
1. Introducción
Desde Descartes la Geometría Analítica trabaja en espacios n-dimensionales para
resolver problemas en los que intervienen n variables. Sin embargo hasta ahora la
representación gráfica quedaba limitada a tres dimensiones, adoptando determinadas
convenciones para la representación de sólidos tridimensionales en un medio bidimensional como es el papel.
Los programas de diseño asistido por ordenador permiten la construcción de prototipos virtuales de apariencia y textura similares a las del prototipo físico, que mediante las operaciones de rotación y zoom puede ser observado en todos sus detalles,
pueden ser desmontados en sus elementos componentes y someterse a ensayos físicos
de tensiones y deformaciones aplicando el método de cálculo por elementos finitos.
Aunque aún no desarrollada comercialmente, la representación holográfica tridimensional es perfectamente posible.
El ordenador puede trabajar en espacios de más de tres dimensiones sin ninguna
dificultad; la limitación viene dada por los dispositivos de salida que, obviamente, han
de adaptarse a las limitaciones del observador tridimensional. La representación de
objetos tetradimensionales se hace posible recurriendo a un cambio de variable, del
tipo w = kt, que ligue la cuarta dimensión geométrica con el tiempo. De esta forma
representamos la intersección del objeto tetradimensional en movimiento ante un observador tridimensional estático.
Seleccionamos para el estudio los objetos tetradimensionales más sencillos: los
hipersólidos geométricos regulares construíbles plegando en la cuarta dimensión un
conjunto de poliedros regulares iguales. Estos objetos quedan completamente definidos mediante las coordenadas cartesianas de cuatro dimensiones de sus vértices y la
determinación de las aristas que enlazan dichos vértices. Además de determinar número de caras, longitudes, superficies y volúmenes, podemos calcular el número de poliedros componentes, y una nueva magnitud, el hipervolumen, de dimensión l4. El
estudio de estos objetos lo realizó el matemático suizo Ludwig Schläfli (1814-1895).
Las relaciones que así se establecen entre el universo euclídeo tetradimensional y
el universo espacio-temporal de Einstein abren una interesante línea de investigación
sobre cuál de ellos es el más adecuado para la explicación de las leyes físicas.
2.- Sistema de coordenadas rectangulares de cuatro dimensiones
En un sistema de coordenadas rectangulares de cuatro dimensiones x, y, z, w la
posición de un punto A queda unívocamente definida por sus cuatro coordenadas (xa,
ya, za, wa), y puede representarse gráficamente mediante dos proyecciones, sobre los
ejes XY (quedando definidas xa e ya) y sobre los ejes ZW (quedando definidas za y wa).
Si un punto queda definido mediante sus dos proyecciones, todos los puntos de un
objeto, (siempre que sean identificables) quedan definidos mediante esas dos proyecciones. En principio la representación gráfica de un objeto de cuatro dimensiones no
es más complicada que la de uno de tres dimensiones y únicamente las limitaciones de
nuestros sentidos e inteligencia, acostumbrados a operar en un espacio tridimensional,
nos lo hacen parecer así. Además de las proyecciones sobre los ejes XY y ZW proponemos el uso de una representación que denominaremos tetraisométrica, sobre los
cuatro ejes XYZW dispuestos según indica la figura 3. La posición de cada punto vendrá representada por el vector suma del producto de cada coordenada por el vector
unitario en la dirección del eje de coordenadas correspondiente.
.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Al resolver problemas matemáticos que incluyan ecuaciones de dos o tres variables, la representación gráfica de las mismas ayuda a comprender mejor las soluciones y a desarrollar intuiciones que permiten enfocar y resolver más fácilmente problemas similares. Esta ayuda no se consideraba posible cuando el número de variables
era superior a tres, y muchos problemas usuales implican la resolución de sistemas de
ecuaciones con cuatro variables. La representación gráfica de objetos de cuatro dimensiones podría resultar de interés práctico, además de su indudable interés teórico.
El ordenador no tiene las limitaciones de nuestros sentidos y opera en espacios
n-dimensionales con total normalidad. Los programas de representación gráfica permiten obtener en pantalla representaciones de objetos tridimensionales que pueden
girarse, desplazarse, ampliarse o reducirse a voluntad, y es posible generar automáticamente las vistas bidimensionales necesarias que sirvan como planos de construcción
de dicho objeto. Si adoptamos la convención de representar la cuarta dimensión mediante una gama de colores dispondríamos de una primera posibilidad de representar
superficies tetradimensionales adecuada para la representación gráfica de numerosos
problemas. Una sencilla modificación a los programas permitiría asimismo generarlas
proyecciones bidimensionales necesarias para la completa definición del objeto sobre
el papel.
Hiper-poliedros o politopos
Para ilustrar la representación gráfica de objetos de cuatro dimensiones vamos
a tomar como modelos los hiper-poliedros (o politopos) de cuatro dimensiones más
sencillos. Ante la imposibilidad de imaginar físicamente este tipo de objetos, la analogía del paso de dos a tres dimensiones, de polígonos a poliedros regulares, nos proporciona un camino para entender sus propiedades. Desde mediados del siglo XIX, gracias a los trabajos del matemático suizo Ludwig Schlafli, sabemos que hay seis hiperpoliedros regulares de cuatro dimensiones, y sólo tres en sistemas n-dimensionales,
siendo n superior a cuatro.
El hiper-poliedro regular más sencillo es el hiper-tetraedro, formado al añadir un nuevo vértice al tetraedro en la dirección del eje W y unirlo con los otros cuatro vértices
mediante aristas de la misma longitud que las originales, con lo que tenemos un cuerpo de cinco vértices, diez aristas y diez caras triangulares que puede representarse
gráficamente mediante sus proyecciones sobre los ejes XY y sobre los ZW, como se
indica en la figura. En cuatro dimensiones no tiene sentido (salvo que establezcamos
reglas convencionales al respecto) hablar de partes vistas u ocultas de las figuras. El
hiper-tetraedro puede desplegarse y está formado por cinco tetraedros.
Figura 4
Figura 5
Figura 6
El siguiente hiper-poliedro es el hiper-cubo, de 16 vértices, 32 aristas y 24 caras cuadradas, derivado del cubo, definiendo para cada vértice, en el caso del cubo unitario,
un nuevo vértice con las mismas coordenadas, excepto con w = 1 en lugar de w = 0.
El hiper-cubo puede desplegarse en ocho cubos
Figura 7
Figura 8
Figura 9
El tercer hiper-poliedro que estudiaremos es el hiper-octaedro, de 8 vértices, 24 aristas, 32 caras triangulares y desplegable en 16 tetraedros.
Figura 10
Figura 11
Figura 12
El cuarto hiper-poliedro tiene 24 vértices, 96 aristas, 96 caras triangulares y puede
desplegarse en 24 octaedros.
Figura 13
Figura 14
Figura 15
El quinto hiper-poliedro tiene 120 vértices, 720 aristas, 1200 caras triangulares y puede desplegarse en 600 tetraedros.
Figura 16
El sexto y último hiper-poliedro tiene 600 vértices, 1.200 aristas, 720 caras pentagonales y puede desplegarse en 120 dodecaedros.
Figura 17
3.- Distancia entre dos puntos
Definimos como distancia SAB entre dos puntos A y B la integral:
SAB =
∫
A
B
ds
(1)
a lo largo de la línea geodésica que une a A con B. Por definición, en valor absoluto:
SAB = ± SBA
(2)
En un espacio euclideo tetradimensional la distancia entre dos puntos A (xa, ya, za, wa)
y B (xb, yb, zb, wc) viene dada por la longitud de la recta que los une, según la expresión:
S2AB = (xa-xb)2 + (ya-yb)2 + (za-zb)2 + (wa-wb)2
(3)
En un espacio de Riemann positivo-definido con la métrica
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2
(4)
se aplicaría la ecuación (1) integrando sobre la línea geodésica que une A con B. Si
consideramos constante la velocidad de la luz c, ds2 = c2dt2 , con lo que (4) se convierte en:
c2dt2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2
(5)
dw2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2
(6)
En su teoría de la relatividad restringida Einstein concibió un universo tetradimensional con dimensiones (x, y, z, t) en el que las dimensiones geométricas (x, y, z) y el
tiempo t cumplían la métrica (no positivo-definida) del espacio de Minkowsky:
dσ2 = c2dt2 – dx2 – dy2 – dz2
(7)
en la que c representa la velocidad de la luz, considerada constante. La distancia entre
dos puntos A (xa, ya, za, ta) y B (xb, yb, zb, tb) se calcularía mediante la integral (1) aplicando la métrica (7). En particular, si tomamos A como origen y estudiamos la trayectoria de todos los rayos de luz que pasan por A (no necesariamente rectos) se cumplirá
para todos ellos
dx2 + dy2 + dz2 = c2dt2 , y ds2 = 0 para toda trayectoria de un rayo de luz
(8)
Integrando (8) obtenemos que para toda trayectoria de la luz S = 0, es decir que, como
sabíamos, las trayectorias de los rayos de luz forman geodésicas nulas. El sentido
geométrico de estas relaciones es que la intersección de la superficie SA = 0 con el
universo (x, y, z, t) define dos universos tridimensionales, el universo visible desde A
y el universo desde el que A es visible, para los que la distancia de todo punto al A es
nula según la métrica de Minkowsky.
La semejanza entre las ecuaciones (6) y (7) sugiere que (7) sería la ecuación que deduciría un observador tridimensional inmerso en un universo tetradimensional, y dσ2 =
dw2 representaría la distancia (medida en la cuarta dimensión geométrica) al universo
observable.
4.- Bibliografía
Blanchoff, Thomas F., Beyond the Third Dimension, Scientific American Library,
Nueva York, 1996.
Hughston, L.P. y Tod, K.P., An Introduction to General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
Ludvigsen, Malcom, General Relativity; A Geometric Approach, Cambridge University press, Cambridge, 1999.
Rucker, Rudolf v.B., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension, Dover Publications, Nueva York, 1977
Schläfli, Ludwig, Theorie der Vielfachen Kontinuität, Georg & Co., Basilea, 1901..
Schouten, J.A., Tensor Analysis for Physicists, Dover Publications, nueva York, 1989.
Taibo, Ángel, Geometría Descriptiva y sus Aplicaciones, Tipografía Blass, Madrid,
1943.