Departamento de Matemática Aplicada. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES I, Curso 08–09 Series de Fourier. Hoja 3 27 i) Encontrar los desarrollos de Fourier de las (extensiones 2π–periodicas de las) siguientes funciones en (−π, π): a) f (x) = x, si x ∈ (0, π), f par, b) f (x) = x, si x ∈ (0, π), f impar, c) f (x) = x, si x ∈ (−π, π), d) f (x) = x2 , si x ∈ (−π, π), e) f (x) = esx , si x ∈ (−π, π), f) f (x) = cos(x), si x ∈ (0, π), f par ó impar. ii) Analizar la convergencia puntual, uniforme y L2 (−π, π) de las series anteriores. iii) En cada caso, escribir la igualdad de Bessel. iv) Evaluar las series en los siguientes puntos: a) x = 0, b) x = π/2 v) Evaluando la serie de Fourier de (a) en x = 0, deducir que se tiene: 1 1 1 1 π2 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... 8 1 3 5 7 Deducir de esta última serie que π2 1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... 6 1 2 3 4 28 i) Probar que en la serie de Fourier de una función par no aparecen los senos y que en la serie de Fourier de una función impar tan sólo aparecen los senos. ii) Dada una función f definida en [0, π], calcular la serie de Fourier de la extensión par e impar de f . iii) Si por ejemplo la función f de ii) es C 1 (0, π) y de soporte compacto, las dos series de Fourier de ii) convergen uniformemente a f en [0, π]. ¿Contradice esto la unicidad de la serie de Fourier? Explicar. 29 Usando la identidad de Euler, e±inx = cos(nx) ± sen(nx), probar que la serie de Fourier de una función f se puede expresar como ∞ ! cn einx n=−∞ donde 1 cn = 2π 30 Probar que I2n = " π f (x)einx dx, −π n = 0, ±1, ±2, . . . π 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) u cos2n ( )du = 2π 2 2 · 4 · 6 · · · (2n) −π " Indicación: Para ello, probar mediante integración por partes que I2n = (2n − 1)I2n−2 − (2n − 1)I2n . 31 Probar que la serie de Fourier de la función f (x) = # (1 − s)x, (1 − x)s, x≤s s<x definida en 0 ≤ x ≤ 1 (donde s ∈ [0, 1] se considera un parámetro) viene dada por ∞ 2 ! sen(nπs) sen(nπx) 2 π n=1 n2 ¿Converge la serie a la función f ? ¿Es la convergencia uniforme? Escribir la fórmula de Parseval y particularizar para s = 1/4 y s = 1/2. 6 32 Consideremos an , bn , cn y dn los coeficientes de Fourier de las funciones f y g respectivamente. Escribir la identidad de Parseval para la función f + g y deducir que se tiene 2a0 c0 + ∞ ! (an cn + bn dn ) = n=1 1 π " π f (x)g(x)dx −π 33 Probar que la función f (x) = # 0, 1 | ln(|x|)|p , x≤0 x>0 no verifica la condición de Dini en x = 0 para todo 0 < p ≤ 1. 34 Probar que si f ∈ C ∞ (IR) y es 2π−periódica entonces, los coeficientes de Fourier de f verifican la siguiente propiedad de sumabilidad: ∞ ! (|an | + |bn |)nk = Ck < ∞, para todo k = 0, 1, 2, . . . n=1 Probar en particular que, para todo k = 0, 1, . . ., la serie de Fourier de las derivadas de orden k converge uniformente a f (k). 7