Puntos de máxima deflexión en placas empotradas

Puntos de máxima deflexión en placas
empotradas
J. Arango *, A. Salazar**
Resumen
Se presentarán nuevos resultados sobre la naturaleza de los puntos
crı́ticos de las soluciones de un modelo matemático clásico para la deflexión, bajo el efecto de una fuerza externa, de placas circulares empotradas.
Palabras claves: placas, ecuación biarmónica, principio del máximo
MSC2010: Primary: 35B38, Secondary: 74K20, 74K15
1.
Introducción
Bajo el efecto de una fuerza externa, la deflexión de placas empotradas se
suele modelar mediante la solución u del problema

∆2 u = f
en Ω

,
(1)
∂u
u=0=
en ∂Ω 
∂ν
en donde ∆2 es el operador biarmónico, Ω ⊂ R2 es la región que ocupa la placa,
ν es la dirección normal unitaria exterior en el borde ∂Ω de la placa y f es la
fuerza externa. Si bien, la existencia, unicidad y regularidad de la solución u
es un problema resuelto, quedan muchas preguntas pendientes en cuanto a las
caracterı́sticas cualitativas de u. Una de las dificultades para abordar el análisis
cualitativo de las soluciones de (1) es que no se tiene un equivalente del principio
del máximo para el operador biarmónico. Existen ejemplos explı́citos en elipses
en donde f ≥ 0, y no obstante, u cambia de signo. Lo que parece paradójico,
pues la placa elı́ptica tiene puntos con deflexión negativa bajo el influjo de una
fuerza externa positiva; en aparente contradicción con lo que intuitivamente
podrı́a esperarse.
No se sabe en que dominios Ω la solución u preserva el signo de la fuerza f .
Tampoco se tiene, ni siquiera para dominios convexos arbitrarios, un estimativo
del número de puntos crı́ticos de u ni sobre la naturaleza de los mismos. Debido
a la dificultad de los problemas será conveniente limitarse al caso en que la
región Ω es un disco B de radio unitario centrado en el origen.
* Grupo
EDPG, Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, Cali
de Doctorado en Matemáticas, Universidad del Valle, Cali
** Programa
1
2.
Resultados principales
En lo que sigue se supondrá que f ∈ C(Ω̄). Bajo este supuesto, el problema
(1) tiene una única solución u ∈ C 1 (Ω̄) ∩ C 4 (Ω). En consecuencia tiene sentido
hablar del signo, del gradiente y de la matriz Hessiana de una solución de (1).
Diremos que un punto crı́tico de u es un punto crı́tico de Morse (es un punto
crı́tico semi–Morse) si su matriz Hessiana evaluada en el punto crı́tico es no
singular (es no nula).
Los resultados principales de la investigación son los siguientes:
Teorema 1. Si f ≥ 0 y Ω = B, entonces todos los puntos crı́ticos interiores de
la solución u de (1) son semi–Morse.
Teorema 2. Si f ≥ 0 y Ω = B, entonces en todo compacto D ⊂⊂ B existe un
número finito de puntos crı́ticos de la solución u de (1).
3.
Conclusiones
En esta investigación se obtuvieron algunos resultados sobre la naturaleza
de los puntos crı́ticos de las soluciones de un problema elı́ptico de cuarto orden
que modela la deflexión de una placa circular. Pese a tratarse de una investigación preliminar, los resultados son prometedores y auguran un camino para
demostrar varias conjeturas sobre las deflexiones de placas. Habrá que explorar
otras técnicas que permitan generalizar los resultados a dominios diferentes al
disco.
Referencias
[1] F. Gazzola, H. Grunau and G. Sweers. Polyharmonic Boundary Value Problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations
in Bounded Domains. Springer, 1 edition, 2010.
[2] A. Salazar. Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada. Trabajo
de Investigación, Maestrı́a en Ciencias Matemáticas, Universidad del Valle,
Marzo de 2011, Cali,
[3] J. Arango and A. Gómez. Critical points of solutions to elliptic problems in
planar domains. Commun. Pure Appl. Anal., 10(1):327–338, 2011.
2