Propagación de luz en medios turbios Jaime Gómez Rivas La propagación de la luz en medios turbios ha sido objeto de un intensivo estudio en los últimos años. Un medio turbio es aquel en el que se produce dispersión múltiple de luz. Existen interesantes similitudes entre el transporte de electrones en sólidos desordernados y de la luz en medios turbios, habiendo constituı́do un reto durante años la observación del análogo para la luz a la localización de Anderson en sistemas electrónicos. En este artı́culo se hace una introducción a los aspectos más relevantes del transporte de la luz en medios turbios y de la localización de Anderson. I. INTRODUCCIÓN. transporte de electrones en materiales no cristalinos o con grandes concentraciones de impurezas y de la luz en medios turbios, el estudio de la propagación de la luz en estos medios ha recobrado interés. En la segunda sección de este artı́culo se introduce brevemente la dispersión simple. Las siguientes secciones estan dedicadas a la dispersión múltiple y a la propagación de la luz en medios turbios. En la tercera sección se justifica el uso de la ecuación de difusión en la descripción de la propagación de la luz, despreciando por tanto la interferencia de ondas. En las secciones IV y V se plantean dos situaciones en las que la interferencia ha de ser incluı́da: la retrodispersión coherente y la localización de Anderson. La luz se propaga en lı́nea recta con intensidad constante hasta que encuentra un obstáculo. Cuando esto ocurre dos posibles situaciones pueden darse: la luz es absorbida (la intensidad deja de ser constante) o es dispersada (la dirección de propagación cambia). Cuando la luz encuentra más de un obstáculo en su propagación a través de un medio tenemos que en el medio se produce dispersión múltiple de luz. Si el medio pierde su transparencia debido a la dispersión múltiple decimos que el medio es turbio. Es mi intención introducir en este artı́culo algunos conceptos básicos de la dispersión múltiple de luz y de la propagación de la luz en medios turbios. He intentado mantener un nivel elemental para que la lectura sea amena. Especial interés ha sido puesto en los conceptos básicos de la retrodispersión coherente y de la localización de Anderson. La localización de Anderson para la luz ha sido observada tan solo recientemente, habriendo el campo a nuevos estudios. Dispersión múltiple de luz es un fenómeno que encontramos frecuentemente en nuestra vida cotidiana. La luz que nos llega del sol en un dı́a nublado sufre de dispersión múltiple cuando atraviesa las nubes. La leche, la nieve, la arena de una playa, el tejido humano son también medios turbios. En general, cuando en un objeto la dispersión es eficiente para todos los colores o longitudes de onda en el visible el objeto es blanco, mientras que si la absorción es eficiente para todos los colores el objeto es negro. Durante años los experimentos en medios turbios fueron eludidos. Las complicaciones introducidas por la dispersión múltiple aconsejaron a los investigadores estudiar sistemas más sencillos. No es de extrañar que los primeros pasos en el estudio de la dispersión múltiple de luz fueran dados por astrofı́sicos. Los astrofı́sicos no pueden permitirse variar las condiciones de sus ”experimentos”. Tienen que limitarse a observar la luz que llega a los telescopios. La luz producida en las estrellas es dispersada en el núcleo y en la atmósfera estelar. Para comprender las lineas de emisión y absorción de una atmósfera estelar es necesario incluir los efectos de la dispersión múltiple. También la luz que nos llega de estrellas o galaxias lejanas ha atravesado nubes de polvo interestelar donde se produce dispersión múltiple. Debido a las múltiples similitudes que hay entre el II. DISPERSIÓN SIMPLE. El estudio de la dispersión múltiple de luz exige un previo conocimiento de la dispersión simple. La dispersión por un solo obstáculo o dispersión simple es de por si un complicado problema no resoluble en muchas ocasiones. El incidente campo electromagnético o luz, polariza al obstáculo. Esta polarización genera un nuevo campo electromagnético en, y alrededor del obstáculo que influencia su polarización etc, etc. El resultante campo electromagnético o la luz dispersada por el obstáculo es por lo tanto el resultado de un complejo proceso de recursión. Sin embargo para obstáculos que son mucho mayores o mucho menores que la longitud de onda de la luz, λ, el resultado es relativamente sencillo. Podemos dividir el problema de la dispersión simple en tres diferentes regı́menes: Si la luz encuentra en su propagación un obstáculo de dimensiones mucho mayores que λ estamos en lo que se conoce como el lı́mite de la óptica geométrica. Si el obstáculo es mucho menor que λ nos encontramos en el lı́mite de Rayleigh y en el caso intermedio tenemos el régimen de dispersión de Mie. En el lı́mite de la óptica geométrica la dispersión es descrita por las leyes de Snell para la reflexión y la refracción y los coeficientes de Fresnel para las amplitudes de la onda dispersada. Si un haz de luz incide sobre un obstáculo, la cantidad de luz removida del haz debido a la dispersión viene dada por la cantidad de luz del haz que incide sobre un área igual a la sección eficaz de dispersión del obstáculo, 1 σ. En el lı́mite de la óptica geométrica la sección eficaz de dispersión es igual a 2S, donde S es la sección geométrica del obstáculo o su área proyectada en el plano perpendicular a la dirección de propagación del haz incidente. A primera vista parece erróneo que en un objeto de grandes dimensiones con respecto a λ, σ no sea igual a S. El origen de esta discrepancia está en los bordes de la sección geométrica donde la aproximación de la óptica geométrica no es válida. Ası́ pues, tenemos que además de la luz interceptada por S hay una contribución extra a la dispersión proveniente de los bordes de S. El factor de eficiencia de dispersión, Q, es definido como el cociente entre la sección eficaz de dispersión y la sección geométrica del obstáculo, Q = σ/S. En el lı́mite de Rayleigh tan sólo el dipolo inducido por la luz incidente sobre el obstáculo (o en este caso mas bien la partı́cula) contribuye a la dispersión. En este lı́mite la sección eficaz de dispersión es proporcional a 1/λ4 . Esta intensa dependencia de σ con la longitud de onda es la responsable del color del cielo en una puesta de sol: σ es mayor para longitudes de onda cortas. Es decir, la dispersión es más eficiente para el azul que para el rojo. Si miramos en la dirección del sol, el cielo aparece rojizo porque la luz que nos llega no ha sido dispersada en su propagación a través de la atmósfera terrestre. En otras direcciones vemos la luz dispersada, siendo la dispersión más eficiente para el azul, el cielo adquiere su aspecto azulado. En el régimen de dispersión de Mie el problema de la dispersión simple es bastante más complicado. Tan sólo existe solución exacta para obstáculos con geometrı́a esférica. Fué Mie quien, en 1908, presentó la solución al problema de la dispersión por dichos obstáculos que desde entonces son conocidos como dispersores de Mie. Un dispersor de Mie puede ser descrito como un conjunto de elementos de volumen, dV , de dimensiones mucho menores que λ. La dispersión es por tanto el resultado de un conjunto de dispersores de Rayleigh actuando de forma simultánea. Debio a consideraciones puramente geométricas, interferencia de ondas dispersadas en distintos dV han de tenerse en cuenta. En la figura 1 aparece representado el factor de eficiencia de dispersión de una esfera con ı́ndice de refracción, n, igual a 2.7 ∗ en función de 2πa/λ, donde a es el radio de la esfera. La solución de Mie es una complicada suma de funciones de Bessel y potenciales de Hertz. Este complicado comportamiento puede apreciarse en el gran número de resonancias que presenta Q. 8 6 σ/S 4 2 0 0 2 4 2πa/λ 6 8 10 FIG. 1. Factor de eficiencia de dispersión de una esfera con ı́ndice de refracción n = 2.7 y de radio a en función de 2πa/λ, donde λ es la longitud de onda de la luz incidente en la esfera. III. DISPERSIÓN MÚLTIPLE Y DIFUSIÓN DE LUZ. Un concepto fundamental en la descripción de la dispersión múltiple de luz es el recorrido libre medio, l. El recorrido libre medio es la longitud caracterı́stica que describe el proceso de dispersión y es definido como la distancia promedio que recorre la luz entre dos dispersiones consecutivas. En un medio turbio, el recorrido libre medio puede ser expresado, en primera aproximación, en términos de la sección efficaz de dispersión: l 1 ρσ (1) donde ρ es la densidad de obstáculos o dispersores en el medio. Cuando la luz se propaga en semejante medio lo hace siguiendo trayectorias aleatorias, se dice que la luz realiza un ”random walk” con pasos de longitud l si la dispersión es isótropa. Que la dispersión sea isótropa significa que la luz pierde la información sobre su dirección de procedencia tras cada dispersión. Si iluminamos con una onda plana (por ejemplo con un laser) una muestra que contiene pequeñas partı́culas (por ejemplo de TiO2 ), la luz se propaga siguiendo diferentes trayectorias, tal y como se muestra en la figura 2. ∗ El ı́ndice de refracción en el visible de TiO2 es 2.7. TiO2 es un material dieléctrico que debido a su elevado indice de refracción ha sido intensivamente utilizado en experimentos de dispersión múltiple de luz. 2 puede ser descrito, con bastante precisión, por medio de la ecuación de difusión con el coeficiente de difusión: D= 1 vl , 3 (3) donde v es la velocidad de propagación de la luz en el medio y l habı́a sido definido como el recorrido libre medio. El uso de la ecuación de difusión simplifica enormente la descripción del transporte en medios turbios. Podemos decir que la luz se propaga como las bolas en un ”pinball”. La intensidad transmitida a través de un medio turbio de grosor L y en el que sus otras dos dimensiones son mucho mayores que L, que es iluminado por una onda plana en una de sus caras, puede ser obtenida solucionando la ecuación de difusión para esta geometrı́a especı́fica. Esta intensidad viene dada por: L FIG. 2. Algunas de las posibles trayectorias que sigue la luz cuando se propaga en un medio turbio. I I0 l , L (4) donde I0 es la intensidad de la onda incidente. Por lo tanto en un dia nublado cuanto mayor es el grosor de las nubes o cuanto más densas son estas (menor es l) menos intensa es la luz que nos llega. A I A II I B II FIG. 3. Dos de las posibles trayectorias que puede tomar la luz en su propagación en un medio turbio desde A a B. Cuando estudiamos la propagación de una onda entre dos puntos (figura 3), todas las posibles trayectorias han de tenerse en cuenta. Por simplicar, en la figura 3 tan solo se muestran dos de esas trayectorias. Llamando aI y aII a las amplitudes complejas de la onda a lo largo de las trayectorias I y II respectivamente, la probabilidad, P , que tiene la onda de llegar a B desde A (o la intesidad de la onda en B habiendo sido emitida desde A) viene dada por el cuadrado de la suma de las amplitudes: P = (aI + aII )2 = a2I + a2II + 2aI aII FIG. 4. Trayectoria cerrada (de A a A) que puede seguir la luz en un medio turbio. Esta trayectoria puede ser recorrida en sentidos opuestos. IV. RETRODISPERSIÓN COHERENTE En la sección anterior se dijo que el término de interferencia de la luz propagando entre dos puntos de un medio turbio es cero si consideramos todas las posibles trayectorias entre dichos puntos. Sin embargo esto no es completamente correcto. Existe un tipo de interferencia que siempre sobrevive al desorden. Esta interferencia ocurre en la dirección de retrodispersión. Las ondas que viajan a lo largo de una trayectoria en sentidos opuestos estan siempre en fase y por lo tanto interfieren constructivamente. Para entender ésto mejor podemos considerar la probabilidad que tiene una onda de regresar al punto de partida tras propagar a lo largo de una trayectoria en un medio turbio. (2) a2I y a2II constituyen los términos incoherentes mientras que 2aI aII es el término de interferencia de las ondas que han propagado siguiendo trayectorias distintas. Al considerar todas las posibles trayectorias, los términos de interferencia tendrán distintas magnitudes y signos. Por lo tanto se cancelarán entre ellos y en promedio podemos describir la propagación de la luz sin considerar la interferencia. Este resultado tiene importantes consecuencias, ya que al obviar la interferencia, el transporte de luz 3 senta la trayectoria de una onda que es dispersada tan sólo tres veces. La diferencia de fase entre los dos caminos representados en la figura 5 viene expresada por: ∆φ = r α 4π 2π r[sin α − sin(α − θ)] = r cos(α − θ/2) sin(θ/2) . λ λ (5) Claramente, en la dirección de retrodispersión (θ = 0) ∆φ = 0 y la interferencia es constructiva. Al incrementar θ la interferencia en una trayectoria oscilará entre interferencia constructiva y destructiva, tal y como aparece ilustrado en la figura 6. En la figura 6 la intensidad debida a tres posibles trayectorias se representa en función de θ. En la dirección de retrodispersión todas las trayectorias contribuyen constructivamente a la interferencia. Este fenómeno se denomina retrodispersión coherente y al incremento de la intensidad en torno a θ = 0 se le denomina cono de retrodispersión y aperece representado en la figura 7. El cono de retrodispersión fue por vez primera observado en 1985. Tal y como se ilustra en la figura 8, en este experimento la luz de un laser era enviada a traves de un beamsplitter e incidı́a en un muestra compuesta por pequeñas partı́culas que actuaban de dispersores. La luz dispersada por la muestra en la dirección de retrodispersión era reflejada por el beam splitter e incidı́a en el detector. El detector era movido alrededor de la posición de retrodispersión registrando el cambio en la intensidad. θ θ FIG. 5. Trayectorias recorridas en sentidos opuestos por la luz en un medio turbio. En la dirección de retrodispersión (θ = 0) la longitud de ambas trayectorias es la misma, siendo la diferencia de fase 0. I 0 Intensidad Cono de Retrodispersion θ FIG. 6. Intensidad en función del ángulo que forma la dirección del haz incidente con la dirección de observación para tres trayectoria en un medio turbio. La intensidad oscila en función de la diferencia de fase de las ondas propagando en sentidos opuestos. Luz difusa reflejada 0 θ FIG. 7. Intensidad de la luz dispersada por un medio turbio en función del ángulo que forma la dirección del haz incidente con la dirección de observación. Para ángulos en torno a 0 la intensidad es superior al fondo de luz difusa (cono de retrodispersión). Tal y como aparece ilustrado en la figura 4, dicha trayectoria puede ser recorrida en sentidos opuestos, siendo la longitud de ambos caminos igual y por tanto la diferencia de fase, ∆φ, igual a 0. Por consiguiente, si iluminamos con una onda plana un medio turbio y observamos la intensidad de la luz difusa reflejada tenemos que ésta presenta un máximo en la dirección de retrodispersión. Si la dirección de observación no es exactamente igual a la dirección en la que incide la onda se genera una diferencia de fase entre las ondas que propagan en sentidos opuestos. La diferencia de fase se incrementa con el ángulo que forman ambas direcciones. Esto aparece ilustrado en la figura 5 donde por simplificar se repre- Tras este primer experimento hubo un creciente interés en el campo de la dispersión múltiple de luz. La retrodispersión coherente fué identificada como la precursora de la localización de Anderson de la luz (sección 5) y fue denominada localización debil. Importante información del medio turbio puede ser extraı́da del analisis de la forma del cono de retrodispersión, como puede ser l y la absorción del medio. 4 donde k = 2π/λ es el vector de ondas, la onda se encuentra localizada. El criterio de Ioffe-Regel viene a decir que si la onda dispersada no puede realizar un oscilación completa antes de volver a ser dispersada se encuentra localizada. Para entender mejor las diferencias entre la localización de Anderson para electrones y para la luz conviene comparar la ecuación de Schrödinger y la ecuación de ondas electromagnéticas. En un sólido desordenado, la ecuación de Schrödinger para un electrón de masa efectiva m∗ , donde m∗ es el equivalente cuántico a la masa del electrón propagando en el sólido, viene expresada por: Detector Beam Splitter Laser Muestra FIG. 8. Representación esquemática del experimento usado para medir el cono de retrodispersión de un medio turbio. h̄2 2 ∇ ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) . 2m∗ V (x) es el potencial que varı́a espacialmente de forma aleatoria. Es por tanto el término que considera el desorden en el sólido. Electrones con energı́as, E, suficientemente negativas quedarán atrapados en regiones donde el potencial es profundo tal y como se representa en la figura 9. En este caso, la probabilidad de que el electrón pueda propagar vendrá determinada por la probabilidad que tiene de cruzar las barreras de potencial por efecto tunel. Esta probabilidad decrece exponencialmente con la distancia, por lo que a bajas temperaturas los electrones están espacialmente localizados y la conductividad se desvanece. − V. LOCALIZACIÓN DE ANDERSON. kl ≤ 1 , Potencial En 1958 P.W. Anderson propuso que el desorden en ciertos sólidos cristalinos era el responsable de la transición de conductor a aislante que experimentaban dichos sólidos a bajas temperaturas. Pero no fue hasta mediados de los años 80 cuando éste fenómeno fué asociado con la interferencia de ondas y por lo tanto fue predicho que también tenı́a que existir el análogo a la localización de Anderson para la luz. A finales de 1997 fue publicado (ver referencias) el primer artı́culo en el que se presentan medidas de la localización de Anderson para la luz. Más adelante veremos los motivos por los que ha transcurrido tanto tiempo desde que la localización de Anderson fue observada para electrones hasta que ha sido realizada para la luz. Pero primero veamos en que consiste la localización de Anderson. Localización puede ser facilmente entendida en términos de la retrodispersión coherente. Supongamos un medio turbio en el que la densidad de obstáculos es pequeña. El área ocupada por la sección eficaz de dispersión de los obstáculos es mucho menor que el área no ocupada por ésta. En este caso la probabilidad de que la luz retorne al punto de partida o realize un trayectoria cerrada como la de la figura 4, aunque como vimos es superior a la probabilidad de que no retorne, es muy pequeña. Si incrementamos la densidad de obstáculos, o equivalemete reducimos el recorrido libre medio (ecuación 1), la probabilidad de retorno se verá incrementada. Eventualmente podremos crear un medio en el que la esta probabilidad domine y la luz se encuentre realizando trayectorias cerradas sin poder propagar mas allá de distancias superiores a la denominada distancia de coherencia, ξ. La luz estará por tanto localizada espacialmente en un volumen igual a ξ 3 . Localización puede ser interpretada como la ausencia de difusión de la luz en presencia de desorden: D → 0 si la onda se encuentra localizada. ?Cuanto hay que reducir l para inducir localización de Anderson?. La respuesta es dada por el criterio de localización de Ioffe-Regel que dice que si Posicion Potential de dispersion electron foton Posicion FIG. 9. Parte superior: electrón en un sólido desordenado. Parte inferior: fotón en un medio turbio En el caso de una onda electromagnética monocromática de frecuencia ω propagando en un medio turbio y en ausencia de absorción, la ecuación de ondas para el campo eléctrico, E, puede ser escrita de forma muy similar a la ecuación de Schrödinger: ω2 ω2 (x)E = 0 2 E 2 c c donde c es la velocidad de la luz, 0 es la constante dieléctrica efectiva del medio o la constante dieléctrica del −∇2 E + ∇(∇ · E) − (6) 5 VII. AGRADECIMIENTOS medio considerándolo homogéneo y (x) es la variación espacial de la constante dieléctrica debida a la presencia de dispersores (la constante dielectrica no es igual en un dispersor que en medio que le rodea). El análogo a V (x) en la ecuación de ondas es (x)ω 2 /c2 . Es importante resaltar dos aspectos cuando se comparan la ecuación de Schrödinger y la ecuación de ondas. El primero es que el término ω 2 /c2 , que es el análogo al valor propio de la energı́a de los electrones, es siempre positivo. Esto implica que no es posible tener estados ligados para la luz como aparece ilustrado en la figura 9. El otro importante aspecto es que el término asociado con el desorden, (x)ω 2 /c2 , depende de la frecuencia (o equivalentemente de λ). Este aspecto fue introducido en la sección II donde se vio la dependencia de la sección eficaz de dispersión de un obstáculo con la longitud de onda. Por lo tanto, contrariamente a en sistemas electrónicos donde una reducción de la energı́a de los electrones produce un incremento de la localización, en el caso de la luz la reducción de la energı́a (o aumento de la longitud de onda) da lugar a una reducción de la sección eficaz de dispersión y por lo tanto a un incremento de l (recuerdese el lı́mite de Rayleigh). El valor kl se alejará del deseado criterio de Ioffe-Regel. Ahora esta claro porque es tan dificil crear un medio donde tenga lugar la localización de Anderson para la luz. Si en un medio se puede dar la localización de Anderson para la luz, ésta tendrá lugar tan sólo para determinadas λ. En concreto, localización podrá establecerse en el regimen de dispersión de Mie, es decir para λ en las que la sección efficaz de dispersión es máxima. La ecuación 4 representa la intesidad de la luz transmitida que ha propagado difusivamente en el medio turbio. Si la luz se encuentra localizada no puede propagarse, por lo que la intensidad transmitida decrece exponencialmente con la distancia. Un medio en el que tenga lugar la localización de Anderson se comportará por lo tanto como un reflector perfecto. Me gustarı́a agradecer al profesor F. Ritort el haberme animado a escribir este artı́culo y a la Comisión Europea por financiar mis estudios de doctorado con la beca No ERBFMBICT971921. VIII. BIBLIOGRAFÍA Born M. y Wolf E., Principles of optics, Cambridge University Press. Genack A.Z., Optical Transmission in disorded media, Phys. Rev. Lett., 58, 2043 (1987). Van Albada M.P., van der Mark M.B. y Lagendijk A., Experiments on weak localization of ligth and their interpretation en Scattering and localization of classical waves in random media, Editor Sheng P., World Scientific (1990). John S., Localization of Light, Physics Today, Mayo 1991. Wiersma D.S., Bartolini P., Lagendijk A. y Righini R., Localization of light in a disordered medium, Nature, Diciembre 1997. VI. CONCLUSIONES En este artı́culo se han presentado algunos conceptos de la propagación de luz en medios turbios. Esta propagación puede ser, en general, bastante bien descrita por medio de la ecuación de difusión. La ecuación de difusión desprecia la interferencia de ondas que propagan a lo largo de trayectorias distintas. Sin embargo en la dirección de retrodispersión la interferencia no es en promedio nula dando lugar al cono de retrodispersión. Cuando el desorden es incrementado, reduciendose el recorrido libre medio de la luz, puede inducirse la localización de Anderson. El que la luz este localizada significa que se encuentra recorriendo trayectorias cerradas interfiriendo constructivamente las ondas que recorren dichas trayectorias en sentidos opuestos. Localización implica la ausencia de difusión de luz. 6