Velocidad crucero Un avión comercial, como el Boeing 747, puede

Velocidad crucero
Un avión comercial, como el Boeing 747, puede alcanzar una velocidad máxima de más de
800 km/h. Para lograr esta velocidad, primero el avión debe despegar, y alcanzar una altura
de crucero de unos 10.000m.
Para este problema asumiremos que el avión despega formando un ángulo de 15º con el eje
horizontal (es decir, la pista). La masa de un Boeing 747 es de aproximadamente
400.000kg. La velocidad horizontal que tiene el avión al final de la pista es de 250km/h.
a) Calcular la componente horizontal y vertical de la velocidad que tiene el avión cuando
alcanza los 10.000m de altura si mantuvo el ángulo de 15º desde el despegue.
b) El avión demora 20 minutos en alcanzar la altura para ir a velocidad crucero (800 km/h).
Calcule la componente horizontal de la aceleración para lograr esta velocidad.
c) Calcule la componente vertical de aceleración que deben realizar los motores para que
alcance el valor de la componente vertical de velocidad en 20 minutos.
d) Calcule la fuerza que deben realizar los motores para que el avión tenga la aceleración
total calculada en b) y c).
Respuesta
a) El problema empieza fácil. Tenemos que usar un poco de trigonometría. Mirando la
figura que tenemos como ayuda, podemos escribir que:
V x = 800 km h . cos(15º ) = 772,7 km h
V y = 800 km h .sen (15º ) = 207 km h
b) Este punto se resuelve fácilmente si escogemos la fórmula correcta (en general, esto
es siempre así en física). ¿Cómo la elegimos? Tenemos que pensar qué datos
tenemos. Si este punto nos dice la velocidad y el tiempo, podemos usar la siguiente
fórmula:
V = V0 + a.t
Como sólo nos tenemos que fijar en la velocidad horizontal, recordando que ya
despegaba con una velocidad horizontal inicial de 250km/h, queda:
772,7 km h = 250 km h + a x .20 min
Transformando las unidades, queda<.
772,7 km h = 250 km h + a x .0,3h
772,7 km h − 250 km h
= ax
0,3h
522,7 km h
= ax
0,3h
522,7 km h
= ax
0,3h
1742 km h 2 = a x
c) Podemos hacer la cuenta para la componente vertical de la aceleración de manera
similar al punto anterior, y quedaría:
207 km h = 0 km h + a y .0,3h
690 km h 2 = a y
¿Esto es todo? No, por algo la pregunta pone en cursiva que la aceleración es la de
los motores.
Lo que acabamos de calcular es la aceleración total en la dirección vertical. Pero la
aceleración total (generalmente llamada neta), es el resultado de todas las
aceleraciones presentes. Y si bien, por lo general simplificamos evitando considerar
la fricción del aire, no podemos olvidarnos de la aceleración de la gravedad. Los
motores tienen que tener la potencia suficiente para vencer la atracción gravitatoria,
como así también para moverlo verticalmente. La aceleración de los motores es
entonces:
atotal = a motores + (− 10 m s 2 )
690 km h 2 + 10 m s 2 = a motores
De nuevo, no podemos seguir a menos que transformemos las unidades:
1000m
m
690
+ 10 2 = a motores
2
s
(3600s )
0,053 m s 2 + 10 m s 2 = a motores
10,053 m s 2 = a motores
d) Bueno, ahora tenemos que unir las dos componentes de aceleración para calcular la
aceleración que experimenta el avión en magnitud (vectorialmente lo llamamos
módulo). Esto es lo que realmente uno siente. Si bien matemáticamente uno separa
los vectores en componentes horizontales y verticales, esto no quiere decir que esta
sea la realidad. Un cuando se mueve no siente flechas en direcciones múltiples sino
una fuerza total, una fuerza neta, que es la contribución de todos los efectos. Sin
embargo, sumar estos efectos no es tan simple como la suma común, sino que
debemos usar el teorema de Pitágoras para sumar componentes perpendiculares.
Para la aceleración, esto quedaría de la siguiente manera:
a = ax + ay
2
2
Para hacer la cuenta vamos a trabajar todo en metros y segundos, son las unidades
más comunes en las que se suele expresar la aceleración.
a =
(483,8 m s ) + (10,053 m s )
2 2
2 2
a = 483,9 m s 2
Ahora, para calcular la fuerza que neta que hace el avión, usamos nuevamente la
expresión F = m.a y el cálculo toma la forma:
F = 400.000kg × 483,9 m s 2
F = 193561749
kg.m
= 193561749 N
s2