Inducción electromagnética. Ecuaciones de Maxwell

Inducción
electromagnética.
Ecuaciones de Maxwell
Física II
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez/Ana Marco Ramírez
Curso 2011-2012
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Introducción (I)
Las partículas cargadas crean campos eléctricos y
también sufren fuerzas debidas a campos eléctricos
externos
Las corrientes eléctricas crean campos magnéticos
y también sufren fuerzas debidas a campos
magnéticos externos
Esto implica una “conexión” entre electricidad y magnetismo
Si las corrientes crean campos magnéticos ¿Crearán
los campos magnéticos corrientes?
Esto fue investigado por Faraday y Henry en 1830
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Introducción (II)
En 1830 Faraday y Henry descubrieron por separado
que un campo magnético variable en el tiempo
puede inducir una corriente en una espira:
Aparece una fuerza sobre las cargas eléctricas (campo
eléctrico) que las impulsa a “circular”
Se tratará de un campo eléctrico no conservativo (no
electrostático)
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Flujo magnético
Flujo de un campo magnético a través de una
superficie:
m  
S

 
ˆ
B  n dA   B  dA   Bn dA
S
S
Unidades: T.m2 = Wb (weber)
Es proporcional al número de líneas de campo
magnético que atraviesan la superficie
Para una bobina de N vueltas y un campo uniforme:

ˆ  NBA cos 
m  NB  nA
A
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Fem inducida: Ley de Faraday
Cuando cambia la corriente en
1 aparece una corriente
inducida en 2, como si
existiera una fuente de fem
1
2
Se dice que hay una fuerza electromotriz (fem) inducida
La corriente inducida aumenta con:
El área y número de vueltas del devanado 2
La velocidad de cambio del flujo magnético
Expresión matemática:
d
 m
dt
LEY DE FARADAY
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Situaciones donde aparece
una fem inducida (I)
Campo magnético variable en el tiempo:
La corriente que genera el campo magnético es variable
La espira que crea el campo magnético se mueve
El campo magnético viene
creado por un imán que
se mueve
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Situaciones donde aparece
una fem inducida (II)
Campo magnético externo constante con el tiempo:
Cambios de orientación y/ó forma en la espira en la que se
induce la corriente
Desplazamiento de una espira en un campo magnético no
uniforme
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Campo eléctrico creado por
un flujo magnético variable
Cuando se induce una fem (trabajo por unidad
de carga)  debe existir una fuerza sobre las
cargas que las haga “circular”
Las fuerzas magnéticas no realizan trabajo
Aparece una campo eléctrico cuya integral
en un camino cerrado es igual a la fem:
Recordemos que la integral en un camino
cerrado del campo electrostático es nula
Este campo inducido por la variación del
campo magnético es de otra naturaleza:
campo no conservativo


d m
d  
   Enc  dl  
   B  dA
dt
dt S
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Sentido de la corriente
inducida: Ley de Lenz
Permite determinar el sentido de la corriente
inducida sin necesidad de hacer cálculos:
Sea un campo magnético externo cuyo flujo es variable en
una superficie
En presencia de un medio conductor (espira, bobina,
superficie metálica, etc) aparecerá una corriente inducida que,
a su vez, genera un campo magnético
Tenemos entonces dos campos magnéticos: el externo y el
asociado a la corriente inducida
El sentido de la corriente inducida es tal que el campo
magnético asociado a ella se opone a la variación del
flujo magnético del campo magnético externo
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Ley de Lenz: ejemplos
I
I
I2
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Ejemplo de cálculo de
corriente inducida
Espira de resistencia R que sale con velocidad v de
una región con campo magnético uniforme
 
m   B  dA  Bext Lx
S

I
dA hacia dentro del papel
d m
dx
  Bext L
 Bext Lv
dt
dt
B Lv
I  ext
  IR
R

dx 

; v   
dt 

El signo de la corriente se interpreta respecto al sentido positivo que
se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha al dA escogido
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Fem de movimiento
Es la fem que aparece cuando un conductor se
desplaza en el interior de un campo magnético
La fem de movimiento puede explicarse y calcularse
a partir de las fuerzas que el campo magnético ejerce
sobre las cargas en movimiento del conductor
Puede ser explicada sin necesidad de la Ley de Faraday
Para estos casos la Ley de Faraday simplemente proporciona
una visión alternativa (en términos de cambio de flujo)
Sin embargo, en situaciones donde el campo
magnético varía en el tiempo las corrientes
inducidas solamente pueden explicarse y calcularse
con la Ley de Faraday.
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Fem de movimiento: Ejemplo
Varilla conductora que se desplaza sobre raíles
conductores en un campo magnético externo
Solución usando la Ley de Faraday:
m  
S

I
I
 
B  dA  BS  Blx
d m
dx
  Bl
  Blv
dt
dt

Blv

R
R
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Fem de movimiento: Ejemplo
Varilla conductora que se desplaza sobre raíles
conductores en un campo magnético externo
Solución usando la fuerza magnética:
• La fuerza magnética provoca una separación de
cargas en la varilla (como en una batería).
• La fem es el trabajo por unidad de carga:

F  F
qvB
    dl  l 
l  Blv
q
q
q
• Si la varilla tuviera una resistencia r:
V    Ir
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Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Fuerza sobre corrientes
inducidas (I)
La corriente inducida se encuentra inmersa en el
propio campo magnético que la induce
Por lo tanto sobre la corriente inducida debe
aparecer una fuerza debida al campo magnético:
 

F  I  dl  B

Ejemplo: cuando acercamos un imán a una espira
aparece una fuerza repulsiva entre imán y espira
¿Cómo es la fuerza si el imán se está alejando?
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Fuerza sobre corrientes
inducidas (II)
¿Cuál es la fuerza sobre la varilla en el ejemplo
anterior?
Blv
I


R

Fext
  
B 2l 2 v
F
F  IlB 
F  Il  B
I
R
• Esta fuerza se opone a que aumente el flujo magnético en el circuito
• Para mantener la varilla con v constante debe aplicarse una fuerza igual y
de sentido contrario: Fext
• La potencia suministrada por el agente externo en ese caso es:
B 2l 2 v 2
 I 2R
P  Fext v 
R
Coincide con la
potencia que se disipa
en la resistencia por
efecto Joule
Resultado lógico
desde el punto de
vista de conservación
de la energía
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Fuerza sobre corrientes
inducidas (III)
Lámina conductora no ferromagnética
que oscila entre los polos de un
electroimán
Aparecen corrientes inducidas en la
lámina: corrientes de Foucault
La fuerza magnética sobre estas
corrientes frena las oscilaciones
Principio físico de los frenos magnéticos
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Corrientes de Foucault:
aplicaciones
Detectores de metales:
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Aplicaciones de la
Ley de Faraday
Existen muchos dispositivos muy comunes cuyo
funcionamiento se basa en la Ley de Faraday:
Generadores
Transformadores
Motores de inducción
Micrófonos
Escritura/lectura magnética
Banda magnética en tarjetas de crédito
Sismógrafos
Interruptores diferenciales (GFCI)
etc…
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Generadores (I)
Transforman energía mecánica (habitualmente
energía de rotación de una turbina) en energía
eléctrica, que puede ser transportada
Se utilizan en todo tipo de centrales generadoras:
hidroeléctricas, térmicas, nucleares…
Esquema simple:
una espira giratoria en un
campo magnético uniforme
En virtud de la Ley de Faraday
se induce una corriente
alterna en la espira
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Generadores (II)

Flujo magnético a través de la bobina:
m  NBA cos 

Si la bobina gira con velocidad
angular constante:
  t

Según la Ley de Faraday:


m  NBA cos t
d m
 NBAsent
dt
Se produce una fem
sinusoidal
Los generadores reales tienen
una construcción más compleja
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Transformadores (I)
Se usan para elevar o disminuir el voltaje (en alterna)
La corriente variable
en la bobina 1
(primario) induce
una corriente en la
bobina 2 (secundario)
El núcleo de hierro
magnifica el campo magnético de 1 y lo guía a 2
Prácticamente todo el campo que crea 1 atraviesa 2:
1  N1v
;
2  N 2  v
;(
v : Flujo por vuelta)
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Transformadores (II)
+
V2
-
1  N1v
2  N 2  v
Despreciando la resistencia de la bobina y de la fuente:
d
d
V1  1  N1 v
dt
dt
En el secundario (en abierto) tenemos:
d v
d 2
V
N


Dividiendo ambas ecuaciones:
2
2
dt
dt
N2
V2 
V1
N1
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Transformadores (III)
+
V2
-
V2 
N2
V1
N1
La relación entre voltajes solo depende de N2/N1
Si N2>N1: transformador elevador o de alta
Si N2<N1: transformador reductor o de baja
Si se conecta una carga: relación entre intensidades
(transformador ideal)
N
I 2  1 I1
P1  I1V1  P2  I 2V2
N2
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Transformadores (IV)
Funcionan solamente en AC (corriente alterna)
Fundamentales para transmitir energía eléctrica:
Importante transmitir en alta tensión para reducir pérdidas en
los cables conductores por efecto Joule: P=I2R
La posibilidad de usar transformadores para elevar o disminuir el voltaje
constituye la gran ventaja de AC frente a DC (corriente continua)
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Transformadores (V)
En el interior del núcleo ferromagnético, que es
conductor, aparecen corrientes de Foucault
Se produce un calentamiento del núcleo del transformador
Se traduce en pérdida de potencia transmitida
Para limitar este efecto se usan núcleos laminados
Núcleo de hierro
laminado
Devanados
primario y
secundario
(cubiertos)
Ejemplo: transformador del
cargador de un móvil
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Autoinducción (I)
Sea una bobina que transporta una
corriente variable
Existe un flujo magnético por el interior de
la bobina debido al campo magnético que
ella misma crea
Si I es variable tendremos flujo magnético
variable con el tiempo: según la Ley de
Faraday dará lugar a una fem autoinducida
Esta fem se sumará a la fem externa que crea la corriente variable I
Este fenómeno se denomina autoinducción y aparece en
cualquier circuito por el que circule una corriente variable
Puede definirse un parámetro que caracteriza la susceptibilidad
de un circuito o dispositivo a sufrir este fenómeno:
autoinducción del dispositivo
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Autoinducción (II)
Sea una bobina de N vueltas y longitud l que
transporta una corriente variable (n=N/l)
El flujo del campo magnético en su interior es:
B   0 nI
m  NBA   0 n 2 IAl
El flujo es proporcional a la corriente I
La constante de proporcionalidad se denomina
autoinducción:

L m
I



Depende de la forma geométrica de la bobina
Unidades: henrios (H)  1 H=1 Wb/A=1 T·m2/A
Se puede definir para cualquier circuito. Para la
2
bobina:
L   0 n Al
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Fem autoinducida en una
bobina
Una bobina con alta autoinducción se suele
denominar inductor
Cuando se coloca un inductor en un circuito
la autoinducción del circuito suele ser
despreciable frente a la del propio inductor
Según la Ley de Faraday la fem
autoinducida en la bobina es:
d
dI
   m  L
dt
dt
Entonces la caída de tensión entre sus extremos es:
V    Ir ; Donde: r = resistencia interna del inductor
(r=0 para un inductor ideal)
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Inductancia mutua
  
B  B1  B2
m 2  m12  m 22
m 22  L2 I 2
El flujo magnético que atraviesa un circuito depende
de la corriente propia y de la de los circuitos próximos
El flujo a través de 2 debido al campo magnético de 1
puede escribirse:
m12  M 12 I1
M12: inductancia mutua de los dos circuitos
Se cumple: M12=M21  suele escribirse M
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Ejemplo: recarga de cepillos
de dientes eléctricos
Los cepillos de dientes eléctricos tienen
una batería interna que es preciso
recargar
Como es inevitable que el cepillo y la base
entren en contacto con el agua deben estar
sellados: no puede usarse el sistema
tradicional con contactos metálicos
Se aprovecha entonces la inducción
mutua entre dos bobinas que no se tocan
El cepillo y la base pueden verse como los dos
devanados de un transformador
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Índice
Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Energía magnética
almacenada en un inductor (I)
Un inductor almacena energía magnética como un
condensador almacena energía eléctrica
Puede obtenerse una expresión a partir
del análisis un circuito sencillo:
0  IR  L
dI
0
dt
0 I  I 2 R  LI
Potencia suministrada
por la batería
dI
0
dt
Variación de la energía
magnética almacenada
en el inductor:
Potencia disipada en la
resistencia
dU m
dI
 LI
dt
dt
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Energía magnética
almacenada en un inductor (II)
Partimos de la variación de energía magnética almacenada en el
inductor:
dU m
dI
 LI
dt
dt
1
Si integramos:
U m  LI 2  C
2
dU m  LIdI
La constante C se anula si escogemos Um=0 para I=0:
Um 
1 2
LI
2
ENERGÍA ALMACENADA
EN UN INDUCTOR
Puede considerarse una energía almacenada en el campo
magnético que crea la corriente que circula por la bobina
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Introducción
Flujo magnético
Fem inducida: Ley de Faraday
Campo eléctrico creado por un campo magnético variable
Ley de Lenz
Fem de movimiento
Fuerza sobre corrientes inducidas
Generadores y transformadores
Inductancia: autoinducción e inductancia mutua
Energía magnética
Ecuaciones de Maxwell
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Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell, que ya han ido apareciendo, son:
Ley de Gauss
⋅
4
Ley de Gauss para el magnetismo
⋅
0
Ley de Faraday
⋅
(forma de la ley sin incluir movimiento)
⋅
Ley de Ampère generalizada
⋅
donde a la ley de Ampère que vimos en el tema anterior (válida para
corriente estacionaria) se le añade el término de la corriente de
desplazamiento de Maxwell, para que incluya todas las situaciones.
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Ecuación de ondas para las
ondas electromagnéticas
En el tema de Movimiento Ondulatorio, vimos que las ondas en una
cuerda obedecían la llamada ecuación de onda:
 2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )
 2
x 2
v
t 2
Las ecuaciones de Maxwell implican que tanto como obedecen a
ecuaciones de onda semejantes. En el vacío, se cumple:


2
 E ( x, t ) 1  E ( x, t )
 2
x 2
c
t 2
2
con


2
 B ( x, t ) 1  B ( x, t )
 2
2
x
c
t 2
2
, velocidad de la luz en el vacío,
2.99792458 ⋅ 10 m/s
, y ambos
al eje (dirección
de propagación, la
misma de
)
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Resumen
La Ley de Faraday establece que un campo magnético variable en el tiempo
provoca la aparición de un campo eléctrico no conservativo
En presencia de un medio conductor este campo eléctrico da lugar a corrientes inducidas
La fem inducida es proporcional al ritmo de cambio del flujo del campo magnético
La Ley de Faraday puede usarse también para calcular corrientes inducidas
en conductores que se desplazan en el seno de campos magnéticos estáticos:
fem de movimiento
La Ley de Lenz permite predecir el sentido de las corrientes inducidas sin
realizar cálculos
Sobre las corrientes inducidas aparecen fuerzas debidas al propio campo
magnético que las crea
Estas fuerzas se oponen al cambio de flujo magnético
La autoinducción de un dispositivo o un circuito es proporcional a la fem
autoinducida que aparece cuando lo atraviesa una corriente variable
La inductancia mutua entre dos circuitos permite cuantificar la fem inducida en
uno de ellos cuando el otro es atravesado por una corriente variable
Un inductor o bobina almacena energía magnética
Las leyes de electricidad y magnetismo se resumen mediante las ecuaciones
de Maxwell, que implican que y en el vacío obedecen una ecuación de
onda
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