transformaciones δ

TRANSFORMACIONES Δ – Υ, Υ – Δ PUENTES DE WHEASTONE Y UNIVERSAL
PROGRAMA DE TECNOLOGIA ELECTRICA - UTP
LABORATORIO DE CIRCUITOS - PRÁCTICA 3:
TRANSFORMACIONES Δ – Υ, Υ – Δ
PUENTES DE WHEASTONE Y UNIVERSAL
1 OBJETIVOS
•
Simplificar redes resistivas empleando las transformaciones delta-estrella y estrella-delta. Adquirir habilidad
en la lectura de voltajes y corrientes en las ramas de redes coplanares.
•
Manejar en forma adecuada los puentes de Wheatstone y Universal para la medición de elementos
puramente resistivos.
2 TEORÍA
2.1. Redes estrella (Υ ó T) y delta (Δ ó π).
La red de la Figura 1 se conoce como red en T ó Y ó Estrella, debido a su forma y a la manera de identificarla.
Se caracteriza porque sus brazos tienen un punto (nodo) común.
Figura 1. Red Estrella (Y ó T)
Por su parte, el circuito de la Figura 2 recibe el nombre de red en Pi (π) ó Delta (Δ) y presenta una trayectoria
cerrada cuando se recorren sus tres ramas.
Figura 2. Red delta (Δ ó π)
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En el análisis y en la síntesis de circuitos eléctricos, resulta muy útil transformar una estrella en una delta o una
delta en una estrella para simplificar los problemas. Las ecuaciones que permiten esas transformaciones se
fundamentan en el concepto de resistencias equivalentes serie y paralelo las cuales, a su vez, se basan en las
leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff (LVK y LCK, respectivamente).
2.2. Expresiones para transformaciones Δ – Υ, Υ – Δ
La Figura 3 muestra una Δ y una Y, vistas de manera simultánea desde los terminales abc. Se trata de encontrar
una resistencia igual, entre cada par de terminales, sin importar cuál es la configuración empleada en un
momento dado.
Figura 3. Esquema transformación Δ – Υ, Υ – Δ
2.2.1 Ecuaciones para transformar una delta en estrella equivalente
Ra =
( R1 × R3 )
( R1 + R2 + R3 )
( R1 × R2 )
Rb =
( R1 + R2 + R3 )
( R2 × R3 )
Rc =
( R1 + R2 + R3 )
(1)
Regla 1: La resistencia de cualquier rama de la red Y es igual al producto de los dos lados adyacentes (las
resistencias que toca) de la red Δ, dividido entre la suma de las tres resistencias en Δ.
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2.2.2 Ecuaciones para transformar una estrella en una delta equivalente.
R1 =
R2 =
R3 =
( Ra × Rb + Rb × Rc + Rc × Ra )
Rc
( Ra × Rb + Rb × Rc + Rc × Ra )
Ra
(2)
( Ra × Rb + Rb × Rc + Rc × Ra )
Rb
Regla 2: La resistencia de cualquier rama de la red Δ es igual a la suma de las resistencias de la red Y
multiplicadas de dos en dos y dividida entre la resistencia de la rama opuesta (la que no toca) de la red Y.
2.3 Puentes
Circuitos puentes se emplean ampliamente para la medición de valores de componentes tales como resistencias,
inductancias, capacitancias y otros parámetros derivados directamente de estos, entre otros la frecuencia, ángulo
de fase y la temperatura. Dado que el circuito puente sólo compara el valor de un componente desconocido con
el de otro conocido (un patrón), se puede lograr una exactitud alta en la medición.
2.3.1. Puente de “WHEATSTONE”
El puente de resistencias más conocido y más empleado es el Puente de Wheatstone. Se utiliza para medir
resistencias con valores por encima de 1 Ω. La mayoría de estos puentes tiene una exactitud del orden de 0.1%;
por lo tanto, las mediciones realizadas con base en el puente son, casi siempre, más confiables que las obtenidas
con un óhmetro o por el método del voltímetro-amperímetro.
La operación del puente se basa en el diagrama fundamental ilustrado en la Figura 4. El puente tiene cuatro
ramas resistivas junto con una fuente de tensión (f.e.m.) y un detector de cero, normalmente un galvanómetro u
otro medidor sensible a la corriente eléctrica. La corriente que atraviesa el galvanómetro depende de la
diferencia de tensión entre los puntos c y d. El puente se dice que está balanceado cuando la diferencia de
potencial a través del galvanómetro es 0 V, de tal forma que no hay corriente a través de él. Esta condición se da
cuando el voltaje entre los puntos c y a es igual a la diferencia de potencial entre d y a; ó refiriéndose a los otros
terminales de la batería, cuando el voltaje entre c y b es igual a la tensión entre d y b.
Cuando el puente está balanceado, se tiene que:
I1 × R1 = I 2 × R2
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(3)
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Figura 4. Puente de Wheatstone
Si la corriente por el galvanómetro es cero, se cumplen las siguientes condiciones:
I1 = I3 =
E
( R1 + R3 )
(4)
E
I1 = I 4 =
( R2 + R4 )
Combinando las expresiones contenidas en (3) y (4), se llega fácilmente a:
( R1
R1
=
+ R3 )
R2
+ R4 )
(R2
( 5)
R1
R2
=
( R1 + R3 ) ( R2 + R4 )
(5)
R1 × R4 = R2 × R3
(6)
Se obtiene, finalmente:
La ecuación (6) se conoce como la expresión de balance para el puente de Wheatstone. Si se tienen los valores
de tres de las resistencias, la cuarta se puede determinar a partir de esta expresión de balance. Si R4 es la
resistencia desconocida, su valor se puede expresar en función de las resistencias restantes:
R4 = R3 ×
R2
R1
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(7)
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La resistencia R3 se llama la resistencia del brazo patrón del puente y las resistencias R2 y R1 son las resistencias
o ramas de relación.
Errores del Puente:
•
•
•
•
Discrepancias entre los valores verdaderos y los establecidos en las tres ramas conocidas del circuito del
puente. Este error se puede estimar a partir de la tolerancia de las resistencias.
Cambios en las tolerancias de las resistencias conocidas, debidos a los procesos de calentamiento.
Voltajes térmicos en el puente o en el galvanómetro, causados por materiales diferentes en contacto y con
ligeras diferencias de temperatura.
Error en el punto de balance por falta de sensibilidad en el galvanómetro.
2.3.2. Puente “UNIVERSAL DE IMPEDANCIA”
Uno de los más útiles y versátiles puentes de laboratorio es el puente universal de impedancia. Varias
combinaciones de puentes se montan en un solo instrumento capaz de medir resistencias en DC y AC ,
inductancias y capacitancias.
El Puente Universal consta de cuatro circuitos básicos de puente junto con los interruptores convenientes,
detectores de DC y AC y patrones de impedancia. El circuito del puente de Wheatstone se usa para la medición
de resistencias; la capacitancia se mide en términos de un condensador estándar y resistencias de precisión en las
cuatro ramas con medios para determinar las pérdidas en el conductor desconocido y, para la medición de las
inductancias, se emplea un puente adicional. La Figura 5 muestra el Puente Universal descrito.
Figura 5. Puente de Universal de Impedancia
Para medir resistencias en corriente directa (DC), el puente universal debe emplearse de la siguiente manera: Los
terminales L, C y 0.1 μF se cortocircuitan y, por otra parte, se conecta un galvanómetro o un Microamperímetro
entre los terminales “DET”. A los puntos “GEN” se les conecta una batería cuya F.e.m. deberá estar entre 1.5 y
15 V, tensión que se aplicará gradualmente al puente en la medida en la cual se esté más cerca de la posición de
equilibrio del detector; esto con el fin de evitar daños en él. La gradualidad mencionada se obtiene mediante el
empleo de las resistencias limitadoras indicadas en la Figura 5
El rango del puente está entre 0.001 Ω y 10 MΩ: La resistencia desconocida Rx se conecta entre los terminales
“R”; para los valores de Rx inferiores a 10 Ω, la relación entre las resistencias P y Q deberá corresponder,
preferiblemente, a P igual a 1 Ω ó 10 Ω y Q igual a 1000 Ω. Para la medición de resistencias altas, se
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recomienda un mayor valor de la relación P/Q, reduciendo si es necesario a Q y empleando valores mayores para
la f.e.m. de la batería.
3. PREINFORME REDES Δ – Υ
3.1. En el circuito de la Figura 6 calcular mediante el método de mallas las corrientes y los voltajes de cada una
de las ramas.
Reemplazar, luego, la conexión Y compuesta por Rx, Ry, Rz por la delta equivalente. Hallar, de nuevo, las
corrientes en las fuentes de voltaje y los voltajes y corrientes de las resistencias de 6.8 y 12 kΩ.
Figura 6. Circuito transformación 1
6.8κΩ
-2.5V
+
2.7κΩ
3.3κΩ
Rx
Ry
5.6κΩ
12κΩ
+
Rz
8V
3.2. En el circuito de la Figura 7, hallar los voltajes y las corrientes para cada una de las ramas; puede emplearse
el método de mallas, o divisores de voltaje o de corriente, etc.
Obtener, a continuación, empleando transformaciones serie, paralelo, mixtas y delta-estrella, una resistencia
equivalente vista desde la fuente independiente de voltaje, calculando la corriente que circula a través de ésta.
Figura 7. Circuito transformación 2
6.8κΩ
18κΩ
5.6κΩ
1κΩ
2.8κΩ
3.3κΩ
12κΩ
+
33κΩ
3V
3.3. Comprobar mediante simulaciones los valores hallados en los numerales anteriores, utilizar los simuladores
Circuit Maker, PSpice o ATPDraw
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4 PROCEDIMIENTO
4.1. Redes Δ – Υ
4.1.1. Armar el circuito de la Figura 6 y verificar los valores obtenidos de voltajes y corrientes en todas las
ramas. Remplazar la estrella por la delta equivalente y repetir las lecturas en los elementos no modificados que
se señalaron en el preinforme.
Nota: Utilizar el menor número posible de resistencias (síntesis), al obtener el valor de cada uno de los brazos
del circuito π calculado.
4.1.2. Armar el circuito de la figura 7 y registrar los voltajes y corrientes previamente calculados. Conectar a la
fuente independiente de voltaje sólo la resistencia equivalente hallada en el preinforme (asociando resistencias
del Laboratorio) y registrar el valor de la corriente total.
4.2. Puentes
Mediante el empleo adecuado de los puentes descritos, medir el valor de resistencias de valores y rangos
diferentes.
Solicitar en el almacén el puente Universal de Impedancia referencia UB1.
5. INFORME
5.1 Definir y establecer claramente las diferentes partes de la práctica (Objetivos, procedimiento, resultados,
análisis, conclusiones, materiales y equipos utilizados) según las normas de presentación de trabajos escritos,
ICONTEC NORMA TÉCNICA COLOMBIANA NTC 1486.
5.2. Para cada medición realizada en la práctica, se deben anotar los resultados en una tabla y hallar el porcentaje
de error entre los valores teóricos y los experimentales.
Valor Teórico
Valor Simulado
Error =
Valor Experimental
Error (%)
ValorTeorico − ValorExperimental
× 100%
ValorTeorico
5.3. Deducir las expresiones para las transformaciones Δ – Υ, Υ – Δ.
6. MATERIAL UTILIZADO
Seleccionar las resistencias, voltímetros y amperímetros a emplear en la práctica, siempre procurando trabajar en
las escalas adecuadas y previendo daños de los elementos resistivos (Pmáxima). Tener en cuenta, además, los
elementos a conectar para obtener las resistencias equivalentes.
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