Figuras Imposibles

Figuras imposibles: una propuesta didáctica y algunas actividades para
la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría Elemental
FIGURAS IMPOSIBLES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Y ALGUNAS ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA
Y EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA ELEMENTAL
Vicente Meavilla Seguí (*)
INTRODUCCIÓN
En este artículo presentamos una propuesta didáctica en la que, mediante el uso de figuras
imposibles (= aquellas que se pueden dibujar en un papel pero que no pueden construirse en
el mundo tridimensional), se pretende que los alumnos de Educación Secundaria (12-16 años)
alcancen los objetivos siguientes:
[O1] Comprender el espacio tridimensional [3D] a través de sus representaciones bidimensionales [2D].
[O2] Profundizar en el conocimiento de las leyes que rigen algunas representaciones planas del espacio 3D.
[O3] Potenciar el uso de herramientas informáticas en la enseñanza y aprendizaje de la
geometría.
En esencia, la propuesta que presentamos puede esquematizarse en el diagrama adjunto:
1. Representación de objetos 3D en el plano
2. Construcción de objetos 3D a partir de sus representaciones
bidimensionales
Figuras posibles
Figuras imposibles
3. Análisis y clasificación de figuras 2D
4. Diseño de figuras imposibles con ordenador
(*) Profesor de Matemáticas del IES “Francés de Aranda” (Teruel). vmeavill@hotmail.com
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Vicente Meavilla Seguí
En la primera fase [Representación de objetos 3D en el plano], los alumnos dibujarán algunos
objetos tridimensiones construidos con cubos encajables [cubos multilink].
En la segunda etapa [Construcción de objetos 3D a partir de sus representaciones bidimensionales] los estudiantes montarán con cubos encajables los objetos tridimensionales representados en algunos dibujos. En este momento se descubrirán dibujos que se pueden construir
en el mundo 3D [figuras posibles] y dibujos que no pueden construirse en tres dimensiones
[figuras imposibles].
En la tercera fase [Análisis y clasificación de figuras 2D] se estudiarán algunos diseños bidimensionales y se clasificarán en posibles o imposibles.
Por último, en la cuarta etapa [Diseño de figuras imposibles con ordenador], los alumnos
deberán crear figuras imposibles utilizando algún programa de ordenador sencillo.
ALGUNAS ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
FASE 1. Representación de Objetos 3D en el plano
Material: Objetos tridimensionales construidos con cubos encajables(1).
Muro – escalera
Escalera
Hexágono
Objetivo: Comprender el espacio tridimensional [3D] a través de sus representaciones
bidimensionales [2D].
Metodología: Trabajo en pequeño grupo cooperativo (cuatro alumnos por grupo) y puesta
en común de los resultados obtenidos.
Actividad 1. Primeros Pasos
1. Haz dos dibujos desde distintos puntos de vista
“Hexágono”.
del “Muro–escalera”, “Escalera” y
2. Dibuja el alzado, la planta y una vista lateral del “Muro–escalera”, “Escalera”
y “Hexágono”.
3. Suprime un cubito del “Muro–escalera”, dos de la “Escalera” y tres del “Hexágono” y haz
un dibujo en perspectiva de cada uno de los objetos tridimensionales obtenidos.
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Figuras imposibles: una propuesta didáctica y algunas actividades para
la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría Elemental
FASE 2. Construcción de Objetos 3D a partir de sus Representaciones Bidimensionales
Material: Cubos encajables.
Objetivos: Comprender el espacio tridimensional [3D] a través de sus representaciones
bidimensionales [2D].
Clasificar las figuras bidimensionales en posibles e imposibles.
Metodología: Trabajo en pequeño grupo cooperativo (cuatro alumnos por grupo) y puesta
en común de los resultados obtenidos.
Actividad 2. Seguimos Caminando
1. Haz un dibujo en perspectiva de un objeto tridimensional que se pueda construir con cubos
encajables. Apoyándote en dicho boceto, constrúyelo.
2. Dibuja el alzado, la planta y una vista lateral del objeto 3D que acabas de construir.
3. Haz otro dibujo, desde un punto de vista distinto, del objeto tridimensional que has construido.
Actividad 3. ¿Posible o Imposible?
1. Utilizando cubos multilink construye (si es posible) los objetos representados en cada una
de las figuras anteriores.
DEFINICIÓN: Las figuras que se pueden construir con los cubos multilink se llaman “figuras posibles”. Aquellas que no se pueden construir con los cubos multilink se llaman
“figuras imposibles”.
2. ¿Cuáles de la figuras anteriores son posibles? ¿Cuáles son imposibles?
Actividad 4. ¿Imposible o Posible?
1. Utilizando cubos multilink, intenta construir las estructuras representadas en las figuras
anteriores. ¿Cuáles de dichas figuras son imposibles? Justifica tu respuesta.
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FASE 3. Análisis y Clasificación de figuras 2D
Objetivos: Comprender el espacio tridimensional [3D] a través de sus representaciones
bidimensionales [2D].
Clasificar las figuras bidimensionales en posibles e imposibles.
Profundizar en el conocimiento de las leyes que rigen algunas representaciones planas del
espacio 3D.
Metodología: Trabajo en pequeño grupo cooperativo (cuatro alumnos por grupo) y puesta
en común de los resultados obtenidos.
Actividad 5. Analiza y Clasifica
1. Sin utilizar cubos multilink clasifica las figuras siguientes en posibles e imposibles. Justifica
tu respuesta.
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
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la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría Elemental
Actividad 6. Una tabla, dos tablas, tres tablas,...
1. Las personas A, B y C de la figura están sobre una
estructra formada por tres vigas conectadas entre sí.
¿Sería posible construir en el mundo real tridimensional alguna estructura de este tipo?
Razona tu respuesta.
2. Las personas A y B del boceto adjunto están sobre un andamio formado por tablas conectadas entre sí. A y B sostienen una cuerda vertical que atraviesa uno de los tablones.
¿Se puede montar en el mundo real tridimensional un andamio como el de la figura?
Razona tu respuesta.
3. En el bosquejo siguiente hay cuatro tablones colocados de modo que cada uno de ellos está
en contacto con otros dos.
¿Es posible disponer cuatro tablones de esta forma?
Razona tu respuesta.
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FASE 4. Diseño de Figuras Imposibles con Ordenador
Material: Ordenadores. Programas “Impossible Constructor” e “Impossible Puzzle”.
Objetivos: Comprender el espacio tridimensional [3D] a través de sus representaciones
bidimensionales [2D].
Clasificar las figuras bidimensionales en posibles e imposibles.
Profundizar en el conocimiento de las leyes que rigen algunas representaciones planas del
espacio 3D.
Potenciar el uso de herramientas informáticas en la enseñanza y aprendizaje de la geometría.
Metodología: Trabajo en grupo cooperativo (dos alumnos por ordenador) y puesta en
común de los resultados obtenidos.
Actividad 7. Crea tus Figuras Imposibles
1. Diseña cinco figuras posibles y cinco imposibles, utilizando el “Impossible Constructor”.
Explica por qué son posibles o imposibles.
2. Con el “Impossible Puzzle” construye cuatro figuras imposibles y cuatro posibles. Fundamenta
por qué son imposibles o posibles.
A MODO DE CONCLUSIÓN
En las líneas precedentes hemos propuesto una posible vía de actuación en la enseñanza de
la geometría elemental, apoyada en la utilización de unos seres extraños (¿monstruos matemáticos?): las figuras imposibles.
Ni que decir tiene que sólo presentamos un proyecto incipiente que todavía necesita muchas
horas de reflexión, aplicación y reelaboración.
Desde aquí, animamos e invitamos a nuestros colegas a que, en una línea de innovación pedagógica (tan necesaria en nuestras aulas), introduzcan este material en sus programaciones y lo
hagan llegar a sus alumnos. Suerte.
NOTAS
(1) En el texto ofrecemos reproducciones de dichos objetos creadas con el programa “Impossible Constructor” (versión 1.20) de
Vlad Alexeev (“Impossible world” [http://imp-world.naroud.ru/]).
(2) Dichos programas se pueden bajar del site “Impossible world”.
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.