Tema 1

Parte I
Iniciación a los Espacios
Normados
Capı́tulo 1
Espacios Normados
Conceptos básicos
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una
norma sobre E es una aplicación de E en R que satisface las tres propiedades
siguientes:
1. kxk = 0 si y sólo si x = 0
2. kλxk = |λ| kxk, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E
3. kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ E
Al número real kxk se le denomina norma del vector x y se dice que el par
(E, k · k) es un espacio normado.
Ejemplos 1.1 (1) Las únicas normas sobre R son el valor absoluto y sus
múltiplos positivos. En efecto, sea k k una norma cualquiera sobre R y sea
k = k1k. Entonces
kxk = kx·1k = |x|k1k = k|x|.
(2) En Rn las normas más utilizadas son
Ã
k(x1 , . . . , xn )kp =
n
X
!1/p
|xi |p
, p≥1
i=1
k(x1 , . . . , xn )k∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |}.
La comprobación, en las del tipo p, de la tercera propiedad de norma se basa
en la desigualdad de Hölder (Ver ejercicio 1A), aunque para el caso p = 2
3
4
Espacios Normados
1.1
cabe una demostración alternativa, basada en la desigualdad de CauchySchwartz. La k · k2 es la norma de la geometrı́a euclı́dea, ella forma parte
del importante grupo de normas que se derivan de un producto escalar y
que vamos a estudiar a continuación:
(3) Normas Euclı́deas (o Prehilbertianas).
Definición 1.2 Si E es un espacio vectorial real, un producto escalar sobre
E es una aplicación h , i : E ×E → R que cumple las siguientes condiciones:
1. hx, xi > 0, para x 6= 0.
2. hx, yi = hy, xi, para todos x, y ∈ E.
3. hλx, yi = λhx, yi.
4. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi.
A partir de un producto escalar se puede definir una norma sin más que
tomar kxk = hx, xi1/2 . Para demostrarlo necesitamos establecer antes la
desigualdad de Cauchy-Schwartz:
(1.1)
∀x, y ∈ E,
khx, yi| ≤ kxk kyk.
En efecto, sean x, y dos vectores no nulos de E. Entonces, según la condición
1 de la definición de producto escalar,
hx + λy, x + λyi ≥ 0,
∀λ
por lo que de la bilinealidad del mismo se deduce que
λ2 hy, yi + 2λhx, yi + hx, xi ≥ 0,
∀λ.
equivalentemente
(1.2)
λ2 kyk2 + 2λhx, yi + kxk ≥ 0,
∀λ.
Es bien conocido que un polinomio de segundo grado, ax2 + bx + c, tiene
signo constante si y sólo si su discriminante, b2 − 4ac, es menor o igual
que 0, Aplicado esto al polinomio (en λ) (1.2), resulta inmediatamente la
desigualdad buscada.
Comprobemos ya que kxk = hx, xi1/2 es una norma. Las dos primeras
condiciones de norma se obtiene directamente de la definición. Veamos pues
la tercera:
kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + 2 hx, yi
≤ kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk + kyk)2 .
1.2
Espacios Normados
5
En particular,
si consideramos en Rn el producto escalar habitual:
Pn
hx, yi = i=1 xi yi , la norma asociada es
n
X
kxk = hx, xi1/2 = (
x2i )1/2 = kxk2 .
i=1
Sea ahora E = C[0, 1], el espacio vectorial de las funciones continuas
sobre el intervalo compacto [0,1]. Sobre este espacio puede definirse muchas
normas de interés:
(4) Definiendo un producto escalar en E mediante la fórmula:
Z
1
hf, gi =
f (t)g(t)dt,
0
(La única condición de producto escalar que no es trivial de comprobar es
la primera, es decir que el producto escalar de una función no nula por
sı́ misma es estrictamente positivo (ejercicio)) se construye, siguiendo el
procedimiento descrito antes, una norma euclı́dea
µZ
1/2
kf k = hf, f i
1
=
¶1/2
2
f (t)dt
.
0
También son normas sobre E:
Z
(5)
kf k =
1
|f (t)| d t.
0
(6)
kf k = max{|f (t)| : t ∈ [0, 1]}.
Esta última norma se conoce como norma de la convergencia uniforme: Es
claro que una sucesión de funciones de este espacio {fp } converge en el
sentido de esta norma a la función f si y sólo si converge uniformemente i.e.,
si, para ε > 0, existe un ı́ndice ν tal que, si p ≥ ν, entonces |fp (x)−f (x)| < ε
para todo x.
(7) Otros espacios normados habituales del Análisis son los espacios lp , p ≥
1 y l∞ (ver ejercicio 1B). lp , es el espacio vectorial de las sucesiones de
K de potencia p-ésima sumable, es decir de las sucesiones (xn ) tales que
P
|xn |p < ∞, dotado de la norma
kxn kp =
³X
|xn |p
´1/p
.
6
Espacios Normados
1.2
l∞ , es el espacio vectorial de las sucesiones acotadas de números reales (o
complejos) con la norma del supremo, es decir:
k(x1 , x2 , ..., xn , ...)k = sup{|x1 |, |x2 |, ..., |xn |, ...}.
De la definición de norma se deducen las siguientes propiedades adicionales:
4. kxk ≥ 0, ∀x ∈ E.
5. kxk = k − xk, ∀x ∈ E.
6. kx − yk ≤ kxk + kyk.
¯
¯
¯
¯
¯
7. ¯kxk − kyk¯¯ ≤ kx − yk (kx + yk).
Las propiedades 5 y 6 son evidentes. La propiedad 4 se obtiene ası́:
0 = kx − xk ≤ kxk + k − xk = 2kxk ⇒ kxk ≥ 0.
Por último observemos que 7 equivale a que
−kx − yk ≤ kxk − kyk ≤ kx − yk,
desigualdades éstas que se prueban fácilmente a partir de la condición (3)
de norma.
1.3 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definida
por d(x, y) = kx − yk. Esta distancia posee dos propiedades especiales:
(i) d es invariante por traslaciones, es decir d(x, y) = d(x + a, y + a),
cualesquiera que sean los puntos x, y, a ∈ E.
(ii) d es absolutamente homogénea por homotecias, es decir d(λx, λy) =
|λ| d(x, y).
Ambas propiedades se comprueban de forma inmediata. Recı́procamente,
es fácil ver que toda distancia sobre un espacio vectorial E que tengan las
propiedades (i) y (ii) induce una norma sobre E (concretamente, kxk =
d(x, 0)).
La estructura de espacio normado
Puesto que en un espacio normado se superponen dos estructuras, una algebraica, la de espacio vectorial, y otra topológica, la inducida por la métrica,
todos los conceptos y propiedades asociadas a ellas admiten una formulación
en este nuevo marco. Redefinamos, por ejemplo, los conceptos:
1.5
Espacios Normados
• Bola abierta, B(a, r) = {x : kx−ak < r}. Análogamente bola cerrada,
B[a, r] y esfera, S[a, r].
• Sucesión convergente. {xn } → x si para cada ε > 0 existe un ı́ndice ν
tal que si n ≥ ν entonces kxn − xk < ε.
• Función continua en un punto. f : E → F es continua en el punto x0
si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si kx − x0 k < δ entonces
kf (x) − f (x0 )k < ε. Análoga definición para función uniformemente
continua.
• Función lipschitziana. La función f : E → F se dice lipschitziana si
existe una constante k > 0 tal que kf (x) − f (y)k ≤ kkx − yk.
• Isometrı́a. f es una isometrı́a si kf (x) − f (y)k = kx − yk.
Proposición 1.4 Toda propiedad topológica, uniforme o lipschitziana que
tenga una bola abierta (cerrada), la tienen todas las bolas abiertas (cerradas). En particular si la bola cerrada unidad, B[0, 1], es compacta entonces
toda bola cerrada es compacta.
Demostración. Consideremos la aplicación T : E → E definida por
T (x) = a + rx.
Esta aplicación es un homeomorfismo lipschitziano, ya que es lipschitziana:
kT (x) − T (y)k = ka + rx − (a + rx)k = rkx − yk,
e inversible:
−a 1
+ y.
r
r
resulta del mismo tipo que T , esta aplicación también es
T −1 (y) =
Y puesto que T −1
lipschitziana.
Ası́ pues T es un homeomorfismo lipschitziano que, además, lleva la bola
unidad en la bola con centro en a y radio r, ya que trivialmente B[a, r] =
a + rB[0, 1].
Se tiene pues que toda propiedad a lo sumo lipschitziana de la bola
unidad es también propiedad de cualquier otra bola, de lo que se deduce ya
lo que querı́amos.
1.5 A continuación vamos a reseñar algunas propiedades algebraicotopológicas de los espacios normados.
7
8
Espacios Normados
1.5
1. Ningún subespacio vectorial propio tiene puntos interiores.
2. Un espacio normado es localmente compacto si y sólo si la bola cerrada
unidad es compacta.
3. Ningún espacio normado puede ser compacto.
4. Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo (por
arcos).
5. La adherencia de la bola abierta es la bola cerrada del mismo centro
y radio.
6. Un conjunto abierto es conexo si y sólo si es conexo por arcos.
La primera de estas propiedades es geométricamente intuitiva (Visualizase
en el plano euclı́deo). Formalmente es ası́: En primer lugar observemos que si
L es un subespacio vectorial propio, 0 no es interior a L. En efecto, si x 6∈ L,
entonces en toda bola centrada en 0 existe algún vector λx proporcional a x.
Trasladar a cualquier otro punto la situación del 0 es un sencillo ejercicio.
(2) Prácticamente ha sido demostrada ya. Si la bola cerrada unidad es
compacta, entonces cualquier bola cerrada es compacta, luego cada punto admite un entorno compacto, es decir que E es localmente compacto.
Recı́procamente, si a admite un entorno V compacto, entonces también es
compacta cualquier bola cerrada con centro en a contenida en V, y por la
proposición 1.4, la bola cerrada unidad es compacta.
Que no puede existir un espacio normado compacto es obvio. Todo
espacio normado es un conjunto no acotado (si x 6= 0 se pueden encontrar
proporcionales a x de norma tan grande como se quiera).
La propiedad (5) se deja como ejercicio.
Las demás propiedades las comentamos más ampliamente a continuación.
Conexión en espacios normados
En un espacio normado tiene sentido considerar varias formas de conexión,
algunas de ellas de naturaleza puramente algebraica.
Definición 1.6 Se denomina segmento de extremos a, b, al conjunto
[a, b] = {a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]} = {(1 − t)a + tb : t ∈ [0, 1]}.
El conjunto A se dirá convexo si para cada par de puntos de A, el segmento
que los une está totalmente contenido en A.
1.9
Espacios Normados
Proposición 1.7 Toda bola es un conjunto convexo.
Demostración. Sean x, y dos puntos de la bola B(a, r) y sea z = (1−t)x+ty
un punto del segmento [x, y]. Entonces
kz − ak = k(1 − t)x + ty − ((1 − t)a + tak
≤ (1 − t)kx − ak + tky − ak < (1 − t)r + tr = r.
Proposición 1.8 Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente
conexo.
Demostración. Todo espacio normado es conexo por arcos, ya que para cada
par de puntos x, y de E el segmento [x, y] define un arco (aplicación continua
de un intervalo compacto de R en E) que une al punto x con el punto y.
Este arco es la aplicación continua ϕ : [0, 1] → E, definida por
ϕ(t) = a + t(b − a).
Para demostrar que E es localmente conexo, observemos en primer lugar
que por ser cada segmento un arco, se tiene trivialmente que cada conjunto
convexo es conexo por arcos. Luego, de la proposición anterior resulta que
para cada punto x de E, las bolas centradas en x constituyen una base de
entornos conexos de x.
El concepto de segmento admite una generalización natural
Definiciones 1.9 (i) Llamaremos Poligonal de vértices x0 , x1 , ..., xn al conjunto
n−1
∪ [xi , xi+1 ],
i=0
o indistintamente a la aplicación (claramente continua) ϕ : [0, n] → E definida por
ϕ(t) = xi + (t − i)(xi+1 − xi ), si t ∈ [i, i + 1].
(ii) Un conjunto A se dirá conexo por poligonales si cada par de puntos
x, y ∈ A se pueden conectar mediante una poligonal contenida en A y de
extremos x e y.
Es claro que
convexo ⇒ conexo por poligonales ⇒ conexo por arcos ⇒ conexo.
9
10
Espacios Normados
1.10
Proposición 1.10 En un espacio normado E, un conjunto abierto U es
conexo si y sólo si es conexo por poligonales (a fortiori si y sólo si es conexo
por arcos).
Demostración. Sea U un abierto conexo y a un punto de U . Llamemos A
al conjunto de puntos de U que se pueden conectar con a mediante una
poligonal contenida en U . Vamos a demostrar que A es un conjunto a la vez
abierto y cerrado en el subespacio topológico U . Esto implicará, en virtud
de la conexión de U , que A coincide con U (A es no vacı́o ya que al menos
el punto a ∈ A).
A es abierto: Sea x ∈ A y sea B(x, r) una bola centrada en x y contenida
en U . Esta bola debe estar contenida ı́ntegramente en A, pues cada punto y
de la misma se conecta con el centro x mediante el segmento [y, x], y x con
a mediante una poligonal, luego también y se conecta con a mediante una
poligonal.
A es cerrado en U: Mediante un razonamiento análogo al anterior, se
prueba que U \ A es un conjunto abierto.
Ejercicios
1A Sean p, q números reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estas
condiciones p y q deben ser mayores que 1).
(a) Demostrar la desigualdad:
xy ≤
1 p 1 q
x + y ,
p
q
p
1
x, y ≥ 0.
1
q
Indicación. Escribir xy = e p ln x + q ln y
y tener en cuenta que la
función ex es convexa.
(b) (Desigualdad de Hölder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que
n
X
i=1
xi yi ≤
à n
X
i=1
!1/p Ã
|xi |
p
n
X
!1/q
|yi |
q
.
i=1
En otros términos, hx, yi ≤ kxkp kykq , x = (x1 , . . . , xn ); y = (y1 , . . . , yn ).
Indicación. Suponer en una primera etapa que kxkp = 1, kykq = 1 y
demostrar que entonces hx, yi ≤ 1.
Pn
1/p
(c) Demostrar que kxkp = ( i=1 |xi |p )
es una norma sobre Rn .
1B Sea p un número real mayor o igual queP1 y denotemos por lp al conjunto de
∞
sucesiones de números reales (xn ) tales que n=1 |xn |p < ∞. Definamos también
l∞ como el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales.
1F
Espacios Normados
11
(a) Probar que lp y l∞ son espacios vectoriales y que la expresiones
kxkp =
∞
¡X
|xn |p )1/p ;
kxk∞ = sup |xn |
n∈N
n=1
definen sendas normas sobre lp y l∞
(b) Demostrar que la adherencia en l∞ del conjunto de sucesiones que tienen
todos sus términos nulos, salvo un número finito de ellos, es c0 : el espacio
vectorial de sucesiones reales que convergen a 0.
(c) Probar que l∞ no es separable pero c0 sı́.
1C Demostrar que si k · k es una norma sobre Rn tal que
(*)
k(u1 , . . . , un )k ≤ 1
⇒
|ui | ≤ 1,
entonces |xi | ≤ kxk, para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Dar ejemplos de normas que
no satisfagan la condición (*) para ningún i.
1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R2 :
p
1. k(x, y)k = 4x2 + y 2 .
p
2. k(x, y)k = |x| + |y|.
p
3. k(x, y)k = |x| + | 3 x3 + y 3 |.
p
4. k(x, y)k = (x − y)2 + y 2 .
p
p
1E Demostrar que el conjunto {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < 1} no es convexo
(hacer un dibujo de este conjunto). Deducir de ello que
p ¢2
¡p
|x| + |y|
k(x, y)k =
no es una norma sobre R2 ¿qué condición falla?
1F Sean (Ei , i = 1, 2, . . . , n) una familia finita de espacios normados y empleemos
la notación común k · k para designar a las normas de Ei .
(a) Demostrar que
k(x1 , . . . , xn )k =
n
X
αi kxi k,
αi ≥ 0,
i=1
k(x1 , . . . , xn )k =
p
kx1 k2 + . . . + kxn k2
son normas sobre E = E1 × . . . × En .
(b) Utilizar lo anterior para demostrar que
p
k(x, y, z)k = (2|x| + |y|)2 + z 2
es una norma sobre R3 .
12
Espacios Normados
1G
1G Sea (E, k · k) un espacio normado. Estudiar si la aplicación de E en sı́ mismo,
f (x) = xkxk, es continua, uniformemente continua o lipschitziana.
1H Encontrar una norma sobre R2 para la que la esfera unidad sea la elipse de
ecuación x2 + 4y 2 = 4.
1I
(a) Probar que en un espacio normado un conjunto A es acotado si y sólo si
existe una constante k tal que kxk ≤ k, para todo x de A.
(b) Demostrar que en C[0, 1] todo conjunto acotado mediante la norma k · k∞
R1
es también acotado mediante la norma kf k1 = 0 |f (t)|dt. ¿Es cierto el
recı́proco?
(c) Sea A = {Pn (t) = t+1/2 t2 +. . .+1/n tn : n ∈ N} ¿Es A un conjunto acotado
para estas normas?
1J Sea F un espacio vectorial cerrado del espacio normado E. Probar que al espacio vectorial cociente E/F se le dota de estructura de espacio normado definiendo
kx + F k = inf{kx + yk : y ∈ F } = d(x, F ).
1K Sea (E, k · k) un espacio normado y sea d(x, y) = kx − yk ¿Puede ser d la
distancia discreta?
1L
(a) Probar que
d(x, y) =
|x − y|
1 + |x − y|
es una distancia sobre R invariante por traslaciones, pero que no es absolutamente homogénea por homotecias.
(b) Probar que
p
d(x, y) = 3 |x3 − y 3 |
es una distancia sobre R absolutamente homogénea por homotecias, pero no
invariante por traslaciones.
(c) Si d es una distancia sobre el espacio vectorial E, que no es invariante por
traslaciones o absolutamente homogénea, ¿puede ser la aplicación x → d(x, 0)
una norma sobre E.
1M Probar que la bola abierta unidad de un espacio normado E es homeomorfa
a todo el espacio E.
Indicación. Probar que la aplicación
T (x) =
establece el homeomorfismo buscado.
x
1 + kxk
1T
Espacios Normados
13
1N Sea E un espacio normado y f una aplicación continua de E en R tal que
f (x) 6= 0 para todo punto x ∈ E. Probar que entonces, o bien f (x) > 0 para cada
x, o bien f (x) < 0 para cada x ¿Es válida esta conclusión si se sustituye en lo
anterior E por la esfera unidad?
1O
(a) Probar que un espacio normado es completo (se dice entonces que es de
Banach) si y sólo si su bola cerrada unidad es completa.
(b) Probar que un espacio normado es separable si y sólo si la bola unidad es
separable.
1P Sea {xn } con xn 6= 0 para todo n, una sucesión de Cauchy en un espacio
normado.
(a) Probar que la sucesión de números reales {kxn k} es convergente. Sea α su
lı́mite.
(b) Probar que si α > 0 entonces la sucesión { kxxnn k } es de Cauchy.
(c) Demostrar con un ejemplo que si α = 0, la sucesión { kxxnn k } no es necesariamente de Cauchy.
1Q Sea {xn } una sucesión convergente a 0 en un espacio normado. Probar que
también converge a 0 la sucesión:
yn =
x1 + x2 + . . . + xn
n
1R Sea E el espacio normado C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme y A = {f : f (0) = f (1) = 1; kf k = 1}.
(a) Calcular la adherencia y el interior de A.
(b) ¿Es A un conjunto conexo?
(c) ¿Es A compacto?
1S Sea E un espacio vectorial sobre R. Demostrar que una aplicación k·k : E → R
es una norma si y sólo si satisface las condiciones 1 y 2 de norma y la bola unidad
{x : kxk ≤ 1} es un conjunto convexo.
o
1T Sea A un conjunto convexo de un espacio normado tal que A6= ∅. Probar que
o
cl (A) = cl ( A).
o
o
Indicación. Probar que si a ∈ A, x ∈ A entonces el segmento [a, x) ⊂ A.