FUNCIONES ANALÍTICAS – Fa.M.A.F. – Año 2016 Práctico 3 1. Sea γ : [a, b] → C una curva C 1 a trozos y supongamos que f es una función continua sobre {γ}. Entonces R R (i) γ f = − −γ f , donde (−γ)(t) = γ(−t), t ∈ [−b, −a]. R R (ii) Si c ∈ C, entonces γ f (z)dz = γ+c f (z − c)dz, donde (γ + c)(t) = γ(t) + c. 2. Mostrar que γ : [0, 1] → C definida por γ(t) = t + i t sen( 1t ), para t 6= 0, y γ(0) = 0, no es un camino C 1 a trozos. Dar el bosquejo del camino. 3. Sean γ y σ los polı́gonos [1, i] y [1, 1 + i, i], respectivamente. Expresar γ y σ como caminos R R y calcular γ f y σ f , donde f (z) = |z|2 . ¿Se cumple aquı́ la independencia del camino? R 4. Sean n ∈ Z y γ : [0, 2π] → C dada por γ(t) = exp(i n t). Mostrar que γ z1 dz = 2πin. 5. Calcular R (i) γ z n dz, donde n ∈ Z y γ : [0, 2π] → C, γ(t) = eit . R (ii) σ dz , donde σ es el polı́gono [1 − i, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i]. z Notar que resultan iguales las integrales de la función 1 z sobre γ1 del ejercicio anterior (n = −1 en (i)) y sobre el polı́gono σ en (ii). R 1 6. Encontrar γ z − 2 dz donde (i) γ es la mitad superior del cı́rculo unidad desde 1 hasta −1. (ii) γ es la mitad inferior del cı́rculo unidad desde 1 hasta −1. R 7. Calcular γ (z 2 − 1)−1 dz cuando: (i) γ(t) = 1 + eit , 0 ≤ t ≤ 2π. (ii) γ(t) = 2eit , −π ≤ t ≤ π. 8. Sea γ una curva cerrada C 1 a trozos en un conjunto abierto G. Mostrar que para todo a 6∈ G R y para todo n ≥ 2, γ (z − a)−n dz = 0. 9. En cada uno de los siguientes casos dar la expansión de f en series de potencias alrededor de a y encontrar su radio de convergencia. (i) f (z) = log z, a = i; (ii) f (z) = √ z, a = 1. 10. Evaluar las siguientes integrales Z Z iz e dz it a) dz, γ(t) = e 0 ≤ t ≤ 2π. b) , γ(t) = a + reit 0 ≤ t ≤ 2π. 2 z z − a γ γ Z Z sin z log z 1 c) dz, γ(t) = eit 0 ≤ t ≤ 2π. d) dz, γ(t) = 1 + eit 0 ≤ t ≤ 2π. 3 n 2 γ z γ z (con n ≥ 0) 2 11. Evaluar las siguientes integrales: Z z e − e−z a) dz, γ(t) = eit . n z Zγ dz 1 b) γ(t) = + eit . 1 n, 2 γ (z − 2 ) Z dz , γ(t) = 2eit . + 1 Zγ sin z d) dz, γ(t) = eit . z γ c) z2 (0 ≤ t ≤ 2π y n ∈ N). Z z2 + 1 12. Calcular dz, donde γ(t) = reit , 0 ≤ t ≤ 2π, para 0 < r < 2 y 2 < r < ∞. 2 + 4) z(z γ 13. Sea f una función entera y supongamos que existen una constante M , un R > 0 y un entero n ≥ 1 tales que |f (z)| ≤ M |z|n para |z| > R. Mostrar que f es un polinomio de grado ≤ n. 14. Encontrar todas las funciones enteras f tales que f (x) = ex para todo x ∈ R. 15. Probar, usando Corolario IV.3.8 del libro de Conway, que: (i) ez+a = ez ea ; (ii) cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b). 16. Sean G una región, a ∈ G y f : G → C analı́tica tal que |f (a)| ≤ |f (z)|, para todo z ∈ G. Mostrar que f (a) = 0 o f es constante. 17. Sean G una región y f, g : G → C funciones analı́ticas tales que f (z)g(z) = 0, para todo z ∈ G. Probar que f ≡ 0 o g ≡ 0. 18. Sea U : C → R una función armónica tal que U (z) ≥ 0, para todo z ∈ C. Probar que U es constante. 19. Mostrar que si f y g son funciones analı́ticas sobre una región G tales que f g es analı́tica entonces o f es constante o g ≡ 0.