100bi_23dd55 - mi centro educativo

I.E.P.”REYNA DE LA PAZ”
PROF.: RUBEN DARIO DEL RIO ARIAS.
(1776 - 1831)
No fue fácil siendo mujer pretender estudiar matemáticas en la Europa a
fines del siglo XVIII; se pensaba que a las mujeres sólo les interesaba el
amor, la literatura y las reuniones sociales. Poseía mucho talento, a los
dieciocho años quiso entrar en I’Ecole Polytechnique, cuna de los más grandes
matemáticos franceses, Lagrange fue quien organizó los programas de
matemáticas y fue el primer profesor; no la admitieron por ser mujer; unos
amigos le pasaban los apuntes de las conferencias, en particular las de
Lagrange, que enseñaba análisis.
Al final del semestre Sophie presentó una memoria con el nombre de M. Le
Blanc; Lagrange quedó impresionado por la originalidad del trabajo y quiso
conocer al autor para felicitarlo personalmente. Quedó impresionado cuando vio que era una jovencita. Lagrange
reaccionó bien, la alentó y la presentó a otros matemáticos.
En 1801, comunicó a Gauss, unos resultados que le parecían interesantes sobre teoría de números. Gauss en ese año
en su Libro “Disquisitiones Arithmeticae” marca el comienzo de la era moderna.
Da mayor importancia para el álgebra que la demostración del Teorema fundamental por Gauss fue la
transformación que éste sufrió durante el siglo XIX, al rebasar el mero estudio de los polinomios y asumir el
estudio de la estructura de sistemas algebraicos, como grupos, anillos y campos. Un paso importante en este
dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el
descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos
sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del
matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibas y los espacios ordenados de “n” dimensiones del
matemático alemán Hermann Günter Grassmann.
I.E.P.”REYNA DE LA PAZ”
PROF.: RUBEN DARIO DEL RIO ARIAS.
NIVEL: SECUNDARIA
QUINTO AÑO
POLINOMIOS ESPECIALES
Los coeficientes han de
ser considerados con el
signo que los precede.
Para entender bien los polinomios especiales debemos tener presente lo siguiente:
IGUALDAD, EQUIVALENCIA O IDENTIDAD DE POLINOMIOS
Se dice que dos polinomios son idénticos () cuando ambos poseen siempre el mismo
valor numérico.
2
2
La igualdad: 5x – 3x + 1 = 5x – 3x + 1; es una identidad porque los VN de ambos
polinomios son iguales.
2
2
 5x – 3x + 1  5x – 3x + 1
CARACTERÍSTICAS DE LA IDENTIDAD

Tienen variables por lo cual se usa el símbolo ().

Tienen los mismos coeficientes.

Tienen el mismo grado.
POLINOMIOS ESPECIALES

P. Homogéneo.- Aquel en donde todos los términos tienen igual grado.
Ejm.:
En un polinomio
completo y de una sola
variable se cumplirá lo
siguiente:
# de términos = Grado + 1

6 4
9
5 5
10
x y – 5x y + 7x y – y




P. Ordenado.- Aquel en donde los exponentes de las variables se ubican en
un mismo sentido.
Ejm.:

14
2x
9
7
2
– 3x + x + x + 5

Ordenado en forma _________
P. Completo.- Aquel en donde se encuentran todos los exponentes de la
variable desde el mayor hasta el grado cero (llamado término independiente).
Ejm.:

2
5
4
P. Idénticamente Nulo.- Es aquel en donde el VN del polinomio es siempre
igual a cero.
Ejm.:
4
3
P(x) = x + 7 – x + 4x – x + 5x
Término Independiente
2
3
x + x – 3x + x – 8
Grado = 4
# de Términos = 5
Ejm.:
0x + 0  0
Para cualquier valor de “x” el VN es igual a cero.
 Si: ax2 + bx + c  0
Se cumplirá que: a = 0; b = 0; c = 0
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PROF.: RUBEN DARIO DEL RIO ARIAS.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
2 a+7
a b
b+4
P(x, y) = a x
– bx y + aby
Sabiendo que es homogéneo:
a) 35
d) 38
2.
b) 36
e) 39
3.
b) 56
e) N.A.
4.
5.
b+c
11.
b) 12
e) -3
7.
b) 10
e) 8
12.
8.
Determinar:
b) 11
e) 8
a) 0
d) -2
b) -6
e) -8
13.
2
c) 36
2
2
Si: a(x + 5) – b(x - 5)  3(x + 5) + 4(2a + b)x
b) 6
e) 15
c) 9
Hallar: (m + n – 2p) en:
4
b) 2
e) 7
c) 3
Si el polinomio:
2
2
3ax + 8bx + 3a + 2bx + 12ax + 6
Es idénticamente nulo, calcular: (2a - 3b)
a) -12
d) 12
14.
c) 9
b) -10
e) 13
c) -13
Determinar el valor de “a” para que los
polinomios:
4
3
P(x) = x + 2x – 16x – 16
2
2
2
2
2
Sean idénticos :
a) 2
d) 1
15.
la
2
Q(x) = x (x + x - a) + b(x + x) – a(x + 2)
c) 10
c) 4
c-b+16
+ 18x
b) 32
e) 92
a) 1
d) 4
c) -6
p1
a-b+15
8
d+4
; sabiendo que
q
igualdad se cumple para todo valor de “x”:
27 – 6x = p(x – 2) + q(x + 1)
E
+ 32x
(m – n – 2)x + (m + n – 5)x + (p - 1)  0
Calcular la suma de coeficientes del siguiente
polinomio completo y ordenado:
a
2
a-3
P(x) = ax + (a + 2)x – (a – 1)x + (a + 3)x
a) 12
d) 9
a-8
a) 3
d) 12
6.
Dado el polinomio:
n-1
n-2
q-3
p+1
P(x) = (n-1)x + (n-2)x
+ (2p+1)x + (q+1)x - 1
Es completo y ordenado, la suma de sus
coeficientes es:
a) 13
d) 12
Si el polinomio:
Calcular: “a + b”
Si: P(x) = x
+ 2x
+ 3x
+ 4x
Es completo y ordenado ascendentemente.
Calcular: abcd
a) -12
d) 6
c) 7
Es completo y ordenado en forma ascendente.
Calcular: “a + b + c”
c) 39
c+d
b) 6
e) 5
P(x) = 18x
c) 8
b) 30
e) 12
2
a) 18
d) 68
Hallar (m + n + p) si se sabe que el polinomio:
m-10
m-n+15
p-n+6
P(x) = x
+ 3x
+ 2x
Es completo y ordenado descendentemente.
a+b
10.
c) 16
b) 15
e) 7
a) 10
d) 58
2
a) 3
d) 8
Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio:
m+2 n
n+1 2
2p q
q-1 5
P(x, y) = 15x y – 6x y – 3x y + x y
Es homogéneo de grado 7.
a) 23
d) 18
Si: a(x + 4) + b(x - 3)  4x + 9
Calcular: a – b
c) 37
Hallar la suma de coeficientes del siguiente
polinomio homogéneo:
a b c
b a 8
4 6 3
P(x,y,z) = 2ax y z + 2bx y z + 7cx y z
a) 66
d) 46
9.
b) 4
e) 3
c) 6
En cuanto excede la suma de coeficientes al
grado del siguiente polinomio homogéneo:
b
b
a b
a
P(x, y)  ax a  by12x a
 x3y13  yb
a) 2
d) -10
b) -4
e) -12
c) -8
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PROF.: RUBEN DARIO DEL RIO ARIAS.
8.
TAREA DOMICILIARIA
1.
a) 1
d) -5
2
Hallar “a + b” sabiendo que:
a-2b a+b
b 2b-a
P(x,y) = x
y
– 15x y
Es un polinomio homogéneo.
a) 70
d) 200
2.
a) 44
d) 41
3.
4.
y
b-5
8 c+4
y + 6x y
b) 43
e) 40
10 9
+x y
2m-5 4n
y
a) 2
d) 7
b) 3
e) 12
Si el polinomio:
a+7
+ 3x
5.
2m-4n 3
2a-b+10
Si el polinomio:
4
m+n
a) 3
d) 5
7.
b) 2
e) N.A.
m-2n
n+4
a) 3
d) 16
b) 9
e) 12
12.
+x
b) 13
e) 18
Si el polinomio:
a) 2
d) 5
13.
c) 14
3
b) 3
e) 7
El polinomio:
2
2
c) 4
2
P(x, y) = mx y + nx y – 4x y + mxy – xy - nxy
Es idénticamente nulo. Hallar: 4mn
b) 3
e) N.A.
Hallar: (A + B + C) en:
c) 2
2
A(x + 1)(x - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)  6x + x - 3
a) 1
d) 4
c) 1
a-1
2
P(x) = (a + b - 2)x + (a + c - 3)x + (b + c - 5)
Se anula para cualquier valor de “x”.
Calcular: “a + b + c”
14.
Si el siguiente polinomio de 14 términos es
completo y ordenado:
P(x) = x
+ ………….. + x
Calcular: “a + n”
c) 6
Hallar el valor de (I + V + A + N)
Si los polinomios son idénticos:
a) 15
d) 4
2
2 4b+a-c
b) 3
e) 15
a) 12
d) 17
c) 18
3x – 2x
– 4x + 8x – x
Es completo y ordenado.
Hallar el valor de “m - n”
a+b-3
2
a-5
b) 8
e) N.A.
3a-9
6x + 15x + 24  I(x + A) + 3(x + V + N)
a + 2b – c + x
+ ax – x
Esta ordenado. Entonces la suma de sus
coeficientes será:
6.
11.
c+b-4
a+c
Si el polinomio:
c) 1
P(x) = 3x
+x
+ 6(x )
Es completo y ordenado crecientemente.
Calcular: “a + b + c”
c) -1
a+b
b) 5
e) 4
4 9
y +x y
b) 1
e) 7
a) 4
d) 19
10.
c) 5
Si el polinomio completo:
c) -4
Hallar (p - q) si se cumple que:
8x + 27  p(x + 4) + q(2x + 3)
a) 1
d) 10
P(x) = 2x
– 5x
+ 3x
Es completo y ordenado descendentemente,
hallar: (a + b + c)
a) 0
d) 2
b) 4
e) -1
a) 7
d) 3
c) 42
Hallar el valor de “m” si el polinomio:
P(x,y) = 2x
Es homogéneo:
9.
c) 160
Calcular “a + b + c” si el polinomio:
a+3 2
2
a-b 8
+ 2x
b) 100
e) 240
P(x, y) = x y + 5x
Es homogéneo:
2
Si: (3a + 2b)x + (5a - 6b)  3x – 7
Hallar: 8a - 4b
a-2
a-3
+x
c) -4
15.
b) 2
e) 6
c) 3
Hallar la suma de coeficientes de:
b
a
a b
P(x, y,z)  a3x a  b2 yb  abza
Si el polinomio es homogéneo.
a) 70
d) 73
b) 68
e) 74
c) 10