Seminario de problemas. Curso 2015-16. Hoja 6 31. Una oruga quiere deslizarse desdeEFTMJ[BSTF una esquina habitación cúbica (la esquina iz 6OB PSVHB RVJFSF EFTEFde VOBuna FTRVJOB EF VOB IBCJUBDJ³O quierda del suelo) opuesta (la esquina derecha del techo). Encontrar el camino más DºCJDB aMBlaFTRVJOB J[RVJFSEB EFM TVFMP B MB PQVFTUB MB FTRVJOB EFSFDIB corto para elEFM viaje por las paredes de la habitación. UFDIP &ODPOUSBS FM DBNJOP N¡T DPSUP QBSB FM WJBKF QPS MBT QBSFEFT EF MB IBCJUBDJ³O Solución. 4F UJFOFO EPT WBTPT EF WPMºNFOFT MJUSPT Z MJUSPT .FEJS VO MJUSP PCUFOFSMP FO VOP EF MPT WBTPT Suponiendo que el cubo es de papel, expandimos sus caras hasta dejarlo plano, trazamos la lı́nea recta que une los dos puntos, y volvemos a doblarlo. � � &O VOB GBNJMJB IBZ DJODP DBCF[BT Z DBUPSDF QJFSOBT $V¡OUBT QFSTPOBT Z DV¡OUPT QFSSPT GPSNBO MB GBNJMJB &O DBEB VOP EF MPT MBEPT AB BC Z CA EFM USJ¡OHVMP ABC TF DPOTUSVZF IBDJB GVFSB VO USJ¡OHVMP FRVJM¡UFSP 1SPCBS RVF TVT DFOUSPT ∗ GPSNBO VO USJ¡OHVMP FRVJM¡UFSP $V¡OUBT TJNFUS­BT UJFOF UFUSBFESP $V¡OUBT UJFOF VO DVCP B VO EPEFDBFESP -B TJNFUS­B FT : VO PDUBFESP : VO JDPTBFESP : ⇤ VOB USBOTGPSNBDJ³O RVF DPOTFSWB MBT EJTUBODJBT &OUSF MBT TJNFUS­BT ⇤ Si la longitud del lado es `, la IBZ longitud del camino es, por SFࢹFYJPOFT el teorema de DV¡OUBT SPUBDJPOFT Z FOUSF ©TUBT DV¡OUBT FOPitágoras, DBEB VOP EF MPT DJODP DBTPT QSPQVFTUPT pA C√ 2 (2`)2 + ⇤ ` = 5 `. formas %F DV¡OUBT GPSNBT EJGFSFOUFT TF QVFEFO MBTcubo DBSBT 32. ¿De cuántas diferentes se pueden colorear las 6DPMPSFBS caras un conVOseis colores DVCP DPO TFJT DPMPSFT (1, . . . , 6) <VOP QPS DBEB DBSB> EF NPEP RVF MBT (1, . . . , 6) [uno por cada cara] de modo que las formas sean distintas dos a dos (es decir, GPSNBT TFBO EJTUJOUBT EPT B EPT FT EFDJS OP TF QVFEF QBTBS EF VOB no se puede pasar de una forma a otra mediante una rotación)? GPSNB B PUSB NFEJBOUF VOB SPUBDJ³O � � � � � � � � � %F DV¡OUBT GPSNBT EJTUJOUBT TF QVFEFO QFSNVUBS n PCKFUPT )BZ TFJT QFSNVUBDJPOFT QPTJCMFT QBSB 1 n = 3 (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) $V¡OUBT IBZ QBSB n = 4 n = 5 n = 6 n = 10 Solución. Pintamos una cara de abajo un color. Para pintar la cara de arriba disponemos de cinco colores posibles. Para pintar las caras laterales disponemos de cuatro colores, pero se trata de permutaciones circulares (con la cara de arriba y abajo fija, podemos girar las cuatro caras laterales). Por tanto, habrá un total de 5 · 4!/4 = 5 · 3! = 30 formas distintas de colorear el cubo. 33. Se eligen 4 vértices de un paralelogramo entre los nodos de una cuadrı́cula. Si ningún nodo de la cuadrı́cula queda encerrado en el interior del paralelogramo, probar que el área del paralelogramo es igual a la de cada uno de los cuadros de la cuadrı́cula. a = 2, b = 2 $PO de MBTlaDPOEJDJPOFT EF MB QSFHVOUB TJestán a OPEPT FTU¡O FODFSSB 34. Con las condiciones pregunta anterior, si a nodos encerrados en el interior del EPT FO JOUFSJPS EFMen QBSBMFMPHSBNP Z b OPEPT FTU¡Odel FOparalelogramo. MB GSPOUFSB paralelogramo y bFMnodos están la frontera, calcular el área $BMDVMBS FM ¡SFB EFM QBSBMFMPHSBNP Solución conjunta. Ambos casos casos particulares del teorema de Pick, TJHVF que dice lo siguiente: son1BSB QBSBMFMFQ­QFEPT FO USFT EJNFOTJPOFT TJFOEP DJFSUB MB BࢸSNBDJ³O EF cuyos MB QSFHVOUB tienen coordenadas enteras. Si a es el número de Sea un polı́gono simple vértices puntos de coordenadas enteras en el interior del polı́gono, y b es el número de puntos de coordenadas en el borde, área del polı́gono es MB TVDFTJ³O enteras -PT OºNFSPT EFM entonces DPOFKP Pel EF 'JCPOBDDJ GPSNBO 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . FO MB RVF an+2 = an+1 + an QBSB DBEB b n = 1, 2, . . . an FT FM FO©TJNP U©SNJOP EF1.MB TVDFTJ³O &ODPOUSBS FM Área = a+ − N¡YJNP DPNºO EJWJTPS EF MPT OºNFSPT2a100 Z a99 &ODPOUSBS OºNFSP EF $BUBMBO EFdesapercibido GPSNBT EF EJWJEJS n (Pick era Lo probó Georg AlexanderFMPick en 1899, pero pasó hastaVO1969 ¡HPOP QPS nazi). MBT EJBHPOBMFT RVF OP TF judı́o y murió en DPOWFYP 1942 en FO un USJ¡OHVMPT campo de DPSU¡OEPMP concentración JOUFSTFRVFO 1PS FKFNQMP c(4) = 2 c(5) = 5 c(6) = 14 $V¡OUPT TF Ejemplo: QVFEFO FODPOUSBS QBSB c(10) 2 &O VO UPSOFP QBSUJDJQBO n FRVJQPT MPT RVF QJFSEFO BCBOEPOBO MB Puntos del interior = 5 Puntos de la frontera = 16 Área = 5 + 16 − 1 = 12 2 4 − 1 = 1. (Además, en el ejemplo del dibujo se ve que 2 podemos ((juntar trocitos)) para recomponer un cuadrado.) b En el problema 34, Área = a + − 1. 2 Esquema de la demostración del Teorema de Pick. En el problema 33, Área = 0 + Primero tenemos que poner un poco de notación. Llamamos P al polı́gono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Entonces, dado un punto A de coordenadas enteras, decimos que la contribución de A a P es si A está en el interior de P , 1, cP (A) = 1/2, si A está en la frontera de P , 0, si A está en el exterior de P . Con esta notación, el teorema de Pick afirma que X Área(P ) = cP (A) − 1 A donde el sumatorio se hace sobre todos los puntos A de coordenadas enteras (obviamente, de los puntos exteriores podemos prescindir pues no aportan nada a la suma). Ahora el teorema se demuestra en pasos: (a) Rectángulos Puntos del interior = (b − 1)(h − 1) h Puntos de la frontera = 2(b − 1) + 2(h − 1) + 4 = 2(b + h) Área = bh = (b − 1)(h − 1) + 21 · 2(b + h) − 1 b (b) Trapecios con tres lados paralelos a los ejes: 3 b2 C Área(T ) = T0 T h ¿ X D b1 b1 + b2 ·h 2 cT (A) = A b 1 + b2 ·h 2 ? T 0 es el trapecio simétrico de T , y llamamos R al rectángulo que forman. Es fácil ver que: • cT (A) + cT 0 (A) = cR (A) para cualquier punto A excepto para C y D. X X • cT (A) = cT 0 (A) (por simetrı́a). A A Entonces 1 + (b1 + b2 )h paso (a) = X A X =1+ X cT (A) + cT 0 (A) A6=C,D = −1 + cT (C) + cT (D) + cT 0 (C) + cT 0 (D) + = −1 + 2 cR (A) A6=C,D A6=C,D X X cR (A) = cR (C) + cR (D) + X A6=C,D cT (A). A Despejando, X A cT (A) − 1 = tal como buscábamos. (c) Triángulos: (d) Cuadriláteros: 4 b1 + b2 · h, 2 cT (A) + X A6=C,D cT 0 (A) (e) Polı́gonos de n lados: inducción sobre n. 35. Los números de Fibonacci forman la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . , en la que an+2 = an+1 + an para cada n = 1, 2, . . . (an es el n-ésimo término de la sucesión). Encontrar el máximo común divisor de los números a100 y a99 . Solución. Supongamos que tenemos una división de enteros (los suponemos no negativos, salvo el resto que puede ser 0) D =d·c+r Si r = 0, d divide a D, luego mcd(D, d) = d. En otro caso, ¿cómo calcular mcd(D, d)? (a) Si un número n divide a D y a d, entonces D = nD1 y d = nd1 , con lo cual nD1 = nd1 c + r, es decir r = n(D1 − d1 c), y por tanto n divide a d (ya lo sabı́amos) y a r. (b) Si un número n divide a d y a r, entonces d = nd1 y r = nr1 , con lo cual D = nd1 c+nr1 , es decir D = n(d1 c − r1 ), y por tanto n divide a d (ya lo sabı́amos) y a D. Las dos cosas (a) y (b) ocurren para cualquier divisor n, y por tanto el mayor divisor será el mismo. Es decir, mcd(D, d) = mcd(d, r). Lo que ocurre al hacer esto es que, sin más que hacer una división, hemos cambiado D por r, ¡un número mucho más pequeño!, luego es más fácil calcular el mcd. Si hacemos esto reiteradamente (es decir, si empleamos el mismo truco para calcular mcd(d, r), etc.), esto es lo que se denomina algoritmo de Euclides para calcular en máximo común divisor (si los números de partida D y d no son muy sencillos, es mucho más rápido que el clásico ((descomponer D y d en factores y tomar los factores comunes con el menor exponente))). En el caso de los números de Fibonacchi, tenemos an+2 = an+1 · 1 + an luego mcd(an+2 , an+1 ) = mcd(an+1 , an ). Reiterando, mcd(an+2 , an+1 ) = mcd(an+1 , an ) = mcd(an , an−1 ) = · · · = mcd(a4 , a3 ) = mcd(a3 , a2 ) = mcd(2, 1) = 1. De hecho, ¡con los números de Fibonacci es como más lento discurre el algoritmo de Euclides para la calcular el mcd! 36. Encontrar el número (de Catalan) de formas de dividir un n-ágono convexo en triángulos cortándolo por las diagonales que no se intersequen. Por ejemplo, c(4) = 2, c(5) = 5, c(6) = 14. ¿Cuántas formas se pueden encontrar para c(10)? 5 ¡HPOP DPOWFYP FO USJ¡OHVMPT DPSU¡OEPMP QPS MBT EJBHPOBMFT RVF OP TF JOUFSTFRVFO 1PS FKFNQMP c(4) = 2 c(5) = 5 c(6) = 14 $V¡OUPT TF QVFEFO FODPOUSBS QBSB c(10) Solución. &O VO UPSOFP QBSUJDJQBO n FRVJQPT MPT RVF QJFSEFO BCBOEPOBO MB DPNQFUJDJ³O Z FM HBOBEPS TF EFDJEF USBT n − 1 FODVFOUSPT &M DVBESP Es un problema muy conocido; fue propuesto por Euler a Goldbach en 1751. EFM UPSOFP TF QVFEF FTDSJCJS EF GPSNB TJNC³MJDB DPNP QPS FKFNQMP Para un polı́gono de 6 lados, las 14 posibilidades son estas: Cn = Cn−1 C0 + Cn−2 C1 + · · · + C1 Cn−2 + C0 Cn−1 (5) Beginning in the next section, we will be able to use these recursive formulas to show that the counts of other configurations (triangulations of polygons, rooted binary trees, rooted tress, et cetera) satisfy the same formulas and thus must generate the same sequence of numbers. But simply by using the formulas above and a bit of arithmetic, it is easy to obtain the first few Catalan numbers: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, . n genérico, vamos a ver cómo podemos Para ver cuántas configuraciones hay para. .un razonar en un polı́gono de 8 lados (esto serı́a un paso de inducción, ¡pero para hacer es más Polygon sencillo concretar algo!). Ası́ pues, partamos de un octógono, reiterando 2.1dibujos Counting Triangulations que los mismos argumentos se aplicarı́an a cualquier polı́gono convexo. It isEn notelhard to see that the polygoneltriangulations discussed in section 1.4los cantriángulos be countedque in much octógono, consideremos lado superior, y dibujemos todos se the forman same way as the balanced parentheses. See Figure 6. usando ese lado. Son estos 6: A derecha e izquierda de ese triángulo hay sendos polı́gonos (((vacı́os)) en el primer y Figure 6: Octagon Triangulations último dibujo). In the figure we consider thepolı́gono octagon, de but7itlados should clear that the sameaargument applies En el primer caso, hay un a be la izquierda y nada la derecha; eso to anyse convex Consider the horizontal lineelatsegundo the top of theunpolygon. puedepolygon. descomponer de c(7) formas. En hay polı́gonoAfter de 6triangulation, lados a la it willizquierda be part ofyexactly one triangle, and in this case, there are exactly six possible triangles of which uno de 3 a la derecha; la triangulación del octógono se puede completar de it can be a part. In each case, once that triangle is selected, there is a polygon (possibly empty) on the right and the left of the original triangle that must 6 itself be triangulated. What we would like to show is that a convex polygon with n > 3 sides can be triangulated in C ways. Thus the octagon should have C = C triangulations. c(6) · c(3) formas. En el tercero, un polı́gono de 5 lados a la izquierda y uno de 4 a la derecha; la triangulación se completa de c(5) · c(4) formas. Etcétera. Ası́ pues, el número de descomposiciones del octógono es c(8) = c(7) + c(6) · c(3) + c(5) · c(4) + c(4) · c(5) + c(3) · c(6) + c(7). Si denotamos c(2) = 1, esto ese puede escribir ası́: c(8) = c(7) · c(2) + c(6) · c(3) + c(5) · c(4) + c(4) · c(5) + c(3) · c(6) + c(2) · c(7). En general, c(n + 1) = n X k=2 c(n + 2 − k)c(k), que sirve una fórmula recurrente de ir obteniendo todos los c(n). Con esto, partiendo de c(2) = 1 (por convención) y c(3) = 1, vamos obteniendo c(4) = 2, c(5) = 5, c(6) = 14, c(7) = 42, c(8) = 132, c(9) = 429, c(10) = 1430, c(11) = 4862, c(12) = 16796. A menudo se utiliza Cn para denotar c(n + 2) (ası́ C1 se refiere al polı́gono de 3 lados, el primero que tiene sentido, Cn al polı́gono de n + 2 lados, y C0 = c(2) = 1 por convención). Con esta notación, para el polı́gono de 8 lados tenemos C6 = C5 · C0 + C4 · C1 + C3 · C2 + C2 · C3 + C1 · C4 + C0 · C5 y, en general, Cn+1 = n X Cn Cn−k , C0 = C1 = 1. (∗) k=0 Esa es la relación de recurrencia de los denominados números de Catalan. Hay muchos problemas combinatorios que generan esa sucesión de números. También cumplen 2n 1 , (∗∗) Cn = n+1 n que es como se escriben normalmente con una ((fórmula cerrada)) (no es muy sencillo transformar (∗) en (∗∗)). En la The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, los números de Catalan está en https://oeis.org/A000108 7