Ejercicio 1 a) 5/16 x = -1 PX(x) = PY(y) = 3/8 x = 0 5/16 x = 1 b

ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES
Práctico 3 – Solución.
Curso 2016
Ejercicio 1
a)
PX(x) = PY(y) =
5/16
x = -1
3/8
x=0
5/16
x=1
b) Si X y Y son independientes entonces se cumple que P x(x)*PY(y) = PXY(x,y). En
este caso no lo son, ya que por ejemplo, PX(0)*PY(0)= 9/64 ≠ PXY(0,0) = 0.
c) COV(X,Y) = E (XY)  E(X)E(Y)
Como la cuantía de X y de Y son iguales, entonces ambas tendrán la misma
esperanza. En este caso:
E(X) = E(Y) = (-1)*5/16+ 0*3/8 + 1*5/16 = 0
La esperanza conjunta es igual a: E(X,Y) = Σ x*y*p(x,y). Por tanto, construimos
una matriz auxiliar cuyos elementos son x*y*p(x,y) y luego sumamos todos sus
elementos:
Y
-1
0
1
-1
1/16
0
- 1/16
X
0
0
0
0
1
- 1/16
0
1/16
Σ=0
Entonces, COV(X,Y) = E (XY)  E(X)E(Y) = 0 - 0*0 = 0
Como la COV(X,Y) = 0, entonces decimos que ambas variables aleatorias están
incorrelacionadas (aunque no son independientes).
Ejercicio 2
a)
PX(x) =
PY(y) =
0.4
x=0
0.6
x=1
0.5
y=1
0.4
y=2
0.1
y=3
b) La cuantía condicional de Y/X=0: PY/X=0(y/X = 0) = PXY(x,y)/PX(x=0).
PY/x=0(y/X = 0) =
PY/x=1(y/X = 1) =
0.5
y=1
0.5
y=2
1/2
y=1
1/3
y=2
1/6
y=3
c) E(y/X = 0) = 1 * 0.5 + 2 * 0.5 = 1.5
E(y/X = 1) = 1 * (1/2) + 2 * (1/3) + 3 * (1/6) = 5/3.
d) COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
E(XY) = Σ X*Y*PXY = 0*1*0.2 + 0*2*0.2 + 0*3*0 + 1*1*0.3 + 1*2*0.2 + 1*3*0.1 = 1
E(X) = 0*(0.4) + 1*(0.6) = 0.6
E(Y) = 1*(0.5) + 2*(0.4) + 3*(0.1) = 1.6
COV(X,Y) = 1 - 0.6*1.6 = 0.04
COEFICIENTE DE CORRELACION
𝜌=
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
𝜎𝑋 ∗ 𝜎𝑌
V(X) = Σ (X - E(X))2P(X) = (0 - 0.6)2 * 0.4 + (1 - 0.6)2 * 0.6 = 0.24
𝜎𝑋 = √0.24 = 0.49
V(Y) = Σ (Y - E(Y))2P(Y) = (1 - 1.6)2 * 0.5 + (2 - 1.6)2 * 0.4 + (3 - 1.6)2 * 0.1 = 0.44
𝜎𝑋 = √0.44 = 0.66
𝜌=
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
0.04
=
= 0.1237
𝜎𝑋 ∗ 𝜎𝑌
0.49 ∗ 0.66
e) Para demostrar que no son independientes, alcanza con mostrar un caso en que
no se cumpla la siguiente igualdad: P(X)*P(Y) = P(X,Y).
Entonces, por ejemplo:
𝑃(𝑋 = 0) ∗ 𝑃(𝑌 = 2) = 0.4 ∗ 0.4 = 0.16 ≠ 0.2 = 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 2)
Ejercicio 3
a. X e Y son independientes; obtenemos la cuantía conjunta usando P XY (x, y) = PX
(x)PY (y).
PXY (x, y)
Y
2
3
4
1
0,2
0,15
0,15
X
2
0,08
0,06
0,06
3
0,12
0,09
0,09
Para obtener las cuantías de W y Z sumamos las cuantías conjuntas de (X,Y) para
todos los valores de (x, y) que nos dan W = w o Z = z, o sea PW (w) = ∑ PXY (x, y)
para todos los (x,y) tales que x + y = w, del mismo modo que PZ (z) = ∑PXY (x, y)
para todos los (x,y) tales que x  y = z.
PW (w) =
0.20 w = 3
0.15 z = 3
0.23 w = 4
0.21 z = 2
0.33 w = 5
PZ (z) =
0.35 z = -1
0.15 w = 6
0.17 z = 0
0.09 w = 7
0.12 z = 1
0
0
en otro caso
en otro caso
b. E(X) = 1*0.5 + 2*0.2 + 3*0.3 = 0.5 + 0.4 + 0.9 = 1.8
E(Y) = 2*0.4 + 3*0.3 + 4*0.3 = 0.8 + 0.9 + 1.2 = 2.9
E(W) = E(X) + E(Y) = 4.7
E(Z) = E(X)  E(Y) = -1.1
c. Tenemos que WZ = (X+Y)*(XY) = X2 + XY  XY  Y2 = X2  Y2 de donde surge
que E(WZ) = E(X2  Y2) = E(X2)  E(Y2).
Usando COV(W,Z) = E (WZ)  μW μZ tenemos COV (W,Z) = E(X2)  E(Y2)  μW μZ.
Calculamos E(X2) y E(Y2) con la definición de valor esperado de una función de una
variable aleatoria, obteniendo:
E(X2) = 12*0.5 + 22*0.2 + 32*0.3 = 1*0.5 + 4*0.2 + 9*0.3 = 0.5 + 0.8 + 2.7 = 4
E(Y2) = 22*0.4 + 32*0.3 + 42*0.3 = 4*0.4 + 9*0.3 + 16*0.3 = 1.6 + 2.7 + 4.8 = 9.1
De este modo obtenemos que COV(W,Z) = 4 - 9.1  4.7*(-1.1) = 0.07.
d. Dado que tenemos la cuantía conjunta de (X,Y) y que W = X + Y y Z = X - Y,
podemos crearnos una matriz auxiliar que nos brinde información de que valores
toma la conjunta de WZ para cada combinación posible de la conjunta de XY:
Y
2
3
4
1
(w=3; z=-1)
(w=4; z=-2)
(w=5; z=-3)
X
2
(w=4; z=0)
(w=5; z=-1)
(w=6; z=-2)
3
(w=5; z=1)
(w=6; z=0)
(w=7; z=-1)
Ahora que se tienen los valores que toma la conjunta de (W,Z) en cada celda
de la conjunta de (X,Y), podemos armar la conjunta de (W,Z) asignando las
probabilidades correspondientes que surgen de la conjunta de (X,Y):
3
0
0
0,2
0
0
-3
-2
-1
0
1
Z
W
5
0,15
0
0,06
0
0,12
4
0
0,15
0
0,08
0
6
0
0,06
0
0,09
0
7
0
0
0,09
0
0
Si dos variables aleatorias son independientes, entonces su covarianza es cero.
Por lo tanto, en este caso W y Z no son independientes. Es importante notar que lo
opuesto no es cierto.
Otra forma: para que dos variables aleatorias sean independientes debe cumplirse
que la cuantía conjunta sea igual al producto de las marginales, o sea: PWZ(w, z) =
PW(w) * PZ(z). Alcanza con que no se cumple en una celda de la distribución
conjunta para que no sean independientes. Entonces, por ejemplo en este caso:
P(w=3, z=-3) = 0 ≠ 0.03 = 0.20*0.15 = P(w=3)*P(z=-3)
Ejercicio 4
La distribución de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por:
X: \
Y:
1
3
9
2
1/8
1/24
1/12
4
1/4
1/4
0
6
1/8
1/24
1/12
a.
1/2
PY(y) =
1/3
1/6
y=1
y=3
y=9
E(Y) = 1 3/6 + 32/6 + 91/6 = 3
V(Y) = E(Y2)  [E(Y)] 2 = 13/6 + 92/6 +811/6  9 = 17  9 = 8
b. Hallar la distribución condicional de Y/X=2, así como E(Y/X=2).
Distribución condicional de Y/X=2: PY/X2(y/X = 2) = PXY(x,y)/PX(2)
PY/X2(y/X = 2) =
3/6
y=1
1/6
y=3
2/6
y=9
E(Y/X = 2) = 13/6 + 31/6 + 92/6 = 4
c. Hallar E(Y/X=4) y E(Y/X=6). Graficar e interpretar la “curva de regresión de Y dada
X”.
PY/X2(y/X = 4) = 1/2
y=1
1/2
y=3
E(Y/X = 4) = 11/2 + 31/2 = 2
PY/X2(y/X = 6) =
3/6
y=1
1/6
y=3
2/6
y=9
EY/X = 6) = 13/6 + 31/6 + 92/6 = 4
d. X e Y no son independientes. Se observa que P XY(x,y) no es igual a PX(x)  PY(y)
para todo (x, y). También puede observarse que E(Y/X) no es igual a E(Y).