Fuzzy mathematical programming applied to the material

Rev. Téc. Ing. Univ. Zu lia. Vol. 3 3, W 1,77 - 86, 2010
Fuzzy mathematical programming applied
to the material requirements planning (MRP)
Martín Darío Arango Serna, Con r ado Augusto Urán Serna
y Giovanni Pérez Ortega
Escuela de Ingeniería de la Organización, Facultad de Minas, Uniuers ídad Nacional de Colombia. Sede Medellín. mdarango unalmed.edu. co, casemau@unalmed.edu.co, gp erez@unalmed .edu.co Abstr aet
A rational a pproach toward decision-making sho uld take into a ccount human s ubj ctivity, rather
than e mploying oo1y objec tive prob ability measures. Thi attitu de towards lhc u ncertalnty of human be­
h avior led to lhe study o[ a rela tlv ly n ew decls ion analysis field: Fuzzy decision making, which incorpo­
rates im precision and ubjec tivity inlo the model form u la tlon and solution process and represents an at­
traclive tool to aid r search In ind u strial engineering wh en the dynamics of the decision environment limil
the s pecification of model obj c Uves. constraints a nd the precis e measurement of model para meters . Thls
amele gives an overvlew of the a pplications that have fuzzy logic in th in d u strial field and presenls a MRP
m del to whlc h apply sorne of these conce pts.
Key words: MRP, fuzzy logic, sch duling, fuzzy mathem a tical programming, decis ion analysis,
industrial Engineering.
Programación matemática difu sa aplicada
en la planeación de requerimientos de material (MRP)
Resumen
Un enfoque racional para la toma de deci iones debe tener en cuenta la s ubj tividad hum ana. e n lu ­
gar de emplear sólo medidas con d istrib ución de proba ilidad . Es la a ctitud h acia la incertidumb re del
comportamiento humano ha llevad o al estudio de u n rela tivame nte n uevo campo d e a nálisis de decis ión
como es. la toma de decisiones dlfusas , la cu al incorpora la subj etividad y la imprecisión en la fo rmu lación
de modelos y p rocesos de s olución y repre enta u n a a tractiva he rramienta de ayuda a la investigación en
ingeniería industrial cua n do la d inámica de las deci Iones están limitada s por imprecis iones en los m ode­
los formulados . El presen le articulo h ace un r s u men de las apli caciones que h a tenido la iógica difusa en
el campo Industrial y presenta u n modelo MRP al cual se a p lican algunos de estos onceptos.
Palabras clave: MRP, lógica d lfusa, análisis d decis iones, planeación de la prod ucción, ingen ieria
indus trial. programa ción matemá tica difusa.
1. Introducción
La ingeniería indu s trial ha s ufrido impor­
tantes cambios con el mejoramie nto de I s tecno­
logías de la información, las cuales h a n permiti­
do d imensionar la pla n ificación de la producción
a con te tos consid erados h as la h ace sólo 30
años como inmanejables ; así por ej emplo, el a ná­
lisis sobre la demanda de un produc to en parti­
cu la r estaba s ujeto en la m ayoria de los casos a
las conclusiones obtenidas del aná lisis de u na
selie de liem pos sin tener en considera ción otras
v riables como s on los tiempos de s u m in is tro ,
costos de operación, por lo qu los me todos de
Rev . T·c. Ing. Univ. Zulia. Vol. 33, No . 1. 2 010
78
Arango y col.
p la nifica ción n o eran lo suficientemente apropia­
dos p ra conta r con planes de producción ópti­
mos , esto es la s atisfacción e la demanda a l cos­
to m ás bajo. Tanto los n uevos d esarrollo en h ard ­
ware y softwar , han perm itido un redirecelona­
miento de la planificación, dado que con ellos se
h a logra d o integrar no s ólo variables lógicas si no
también a mbiguas o difusas.
Es a í, como su rgen metodologías que invo­
lucra n la incertidumb re en I programación ma­
temática para res olver proble mas de planifica­
ción. En las m etodologías planteadas por los con­
juntos difu sos los expe rtos e n el s is t ma analiza­
d o p u eden ser ¡nterro ados para proporcionar
indicaciones relativas a las variables involucra­
das; la información obtenida de esta m anera,
es tá repres en tada generalmente por frases lin­
güística que pueden s er usadas a decuadamente
a través de números difusos [11.
2. Concepto de conjunto difuso
La teoría de conj u ntos difusos fue introdu­
cida por Lofti Zadeh. con el objetivo de proveer
una herramie n ta capaz de describir prob lemas
en d onde la imprecis ión s e derivada de la a usen­
cia de u n crit rio para distin guir claramente en­
tre diferentes ca tegorías, más que de la pr sencta
de va riables a leatorias [2J . Las pro piedades de los
conj u ntos difu sos se describen dentro de un tipo
de objelivos con un gra do de memb resía. o grado
de p rten encia continuo en el Intervalo [0 ,11 Y se
define ma temáticamente corno [3 1:
( 1)
Las a p licaciones de la lógica difusa se han
id o consolidando, lo cual h hecho que a c tual­
m ente s e entlend a que 1 teoría de lógica difusa y
la teoría de probabilidades es tán dlrigidas a dis­
tinta cla ses d e inceri idumbres [4J.
3. Aplicaciones de la lógica
difusa en la ingeniería industrial
Los modelos de lógica d ifu sa a plica dos a la
man ufac tura s e basan en la interacción del ej ­
cu to r y I anaUsla en la torna de decisiones con ­
ducentes a dar una solu ción satis factoria al pro­
blema [5]. A continuación se hace un resumen de
algunos de los tra bajos que us a n los m odelos di­
fusos para la solución de problemas en el ca mpo
industrial:
Petrovic [6] trató de identificar el nivel de
existencias y las cantida des a orde nar en u n a ca­
dena de s u min istro, con un análisi d e dos fu en­
tes de incertidumbre : la demanda el e los c lientes
y abastecim ie nto exter no de mat ria s primas;
este mod elo b usca la reducción d e costos en los
procesos de fab ricación y en gen ral en la cad e n a
de suministros. Otra aplica ción en la cadena de
suminislro es presentada por Arango et al. [7J
qu ienes aplican el conce pto difu so para d cidir
sobre la d stlna ción de recursos en estra tegias
de venta s o de compras c uyos resultados son d i­
fusos. Tsuj imura n 1992 [8J presenta un modelo
de programación ma temática fu zzy para la plan i­
ficación agregada con múltiples obj etivos . Lee eL
al. [ 1introd u cen la aplicación de la Teoría de los
Conjuntos Difu sos al proble ma del dimensiona­
do dellolc en un s istem a MRP de una única ela ­
pa. Mu la [10] proporciona un n u evo m od lo de
p rogra mación lineal , d en ominado MRPDe t, para
la Planificación de la Producción a medio plazo e n
un entorno de fab ricación MRP con restricciones
de capacidad. rn u ltl-producto, m ulti-nivel y m ul­
ti-período. Vas ant [51. usa una curva-s corno fun­
ción de perle nencia pa ra la sel cción de u n a mez­
cla de produc t s en una fabrica de chocolates en
do nde la informa ción con la que se cuenta es im­
prec is a o difusa.
Hop [11] a borda un modelo d e b alanceo de
línea con tiempo de procesam iento difuso; y for­
mula un método d e programació n lin eal bi na ria
dUüsa para su solu ción. Chang y Liao [12J pre ­
senta n u n nuevo e n foque med ian te la comb ina­
ción de ma pas a u to organ izativos y reglas di fu­
sas para la predicción del tiempo d e flujo en una
fáb rica de sem ico nd uc tores . Kah raman et al.
[131 propon a lgunos m odelos difusos basa d os
en va lores p resente d ifusos para m edir la flexib i­
lidad de fa b ricación. E tos m odelos son básica­
mente modelos de d ecisión de ingenie ría econ ó­
mica e n los que la incertidumbre de los flUJOS d e
efectivo y las tasas d e descuento se es peci fi can
como números dif u sos triangu lares . Hasu lke
[141 exam ina varios modelos de problema s de
decisión de mezcla d e prod uctos y prob le m as de
Rev. Téc. lng. Univ. Zu lia. Vol. 33, No, 1. 2010
Programación malemalica difu sa aplicada en la planeación de requerimie n tos de material (MRP)
pla n eaclón de la producción en condiciones de
incerUd mbre.
En gen ral . la teoría de conjuntos difusos
se h a a plicado ampliamente en la ingen iería in ­
d ustrial en campos como la pla n ea ción . el con Lrol
de la calidad, la ergonomía . muestr o de acepta­
ción . d islribuciones de planta , entre otros. Para
Kah rama n [1 5]. La idoneidad y contribución a la
sol ución de problemas industriales ha permitido
qu e el u so de los conju n tos cUfusos. sea compara ­
b le al u so de la inves iga ción de operaciones en la
mayoría de sus campos.
79
T abla 1 Problemas de programación lineal clásico y difuso Problema clásico
n
Maxz == LC jX j
J~i
n
¿aijx j ~
S.a
b¡
(i E N m )
(2)
j~l
Problema difuso
4. Programación matemática
n
difusa
Max z== ¿CjX j
j=¡
La aplicación de conjuntos difusos e n la
toma d e dec isiones y más es pecífica mente e n la
programación ma temática. en su m ayor parte,
consiste en transfo rmar las teorías clásicas en
modelos difusos equ ivalentes [1 6 1. Es así como,
e n muchas s itu aciones prácticas en un problema
de p rogramac ión li nea1 1ipico no es razonable exi­
gir que la func ió n obJetivo o las res tricciones se
especifiquen d fo r ma precis a; en tales ituacio­
nes, e conv ' niente utilizar algún tipo de progra­
mación Ii neal difusa. En la Tabla 1 s e mu es tra un
problema típico de progra mación lineal y su eq ui­
valente d ifuso.
TI
L A ijX J ~ B¡
S .a
ti
E Nm )
(3)
j~ l
n
Min z
= ¿ CjX j
j~ ¡
n
S .a
¿ayx j ~ B¡
(4)
j=1
xj
~
O
(j E N,,)
En el modelo difuso A y. B i , e j' son n ú meros
d ifusos. X i son vari bies difus as y las ope racio­
nes de suma y mu ltiplicación son operac iones
aritméllca difu sas. además el s ímbolo <:: deno
u na des igualdad d ifu s a. Es te modelo s upone que
ta nto la función obj etivo como las res tricciones
pueden In luir nú meros y vanables difusas .
4.1. Modelo de programación lineal
con números difusos aliado
derecho de la restricción.
Un c so parti u la r es considerar que liado
derech o d e las res tricciones son imprecisas, por
lo qu e B¡ pod ría ser definido como un valor perte­
neciente al Interva lo [b i. b i + Pi J.De acuerdo a esta
con side ración s e defi ne el siguiente mode lo de
program ación lineal difu s a . en el u al se desea
minim iza r la función objetivo :
Hipótesis 1
B¡ es un número difuso que tend ría la si­
guIen te for ma
si x ~ bi + pi
I
-
B (x)
(
x - bi
= -PI
-o-
JO
s i bi < x < bi + pi
X ~
(5)
bi
donde x E R . como se puede aprecia r en la Figu­
ra 1.
Para cada vecto r X = (X 1. X 2 .. .. ,x,,). prime­
ro se ca\cul el grado. Dr (xl. con el que X satisface
la restricción i (i E N m) con la fórmu la:
D¡(x)
= B¡ ¿"
aijx j
]= 1
Rev. Téc. lng. Univ. Zulia . Vol. 33. No. 1. 20 10
(6 )
Arango y col.
80
1
----------------------------------.~-----
z-
b¡+ p¡
z+
Figura l. Nú mero difuso b¡.
Figura 2 . Número d1fuso z.
donde D¡ (x) es un conjunto difu so en Rn' Y su in­
La sol ución m -s eficiente s e en c u n tra re­
solviendo el s iguiente modelo de programación li­
neal:
m
rsección,
n
Dí,
es un conjunto difuso factible.
j;[
Ahora , para determin a r e l conj unto difuso
de valores óptimos. se calculan los limi tes infe­
rior y uperior e n tre los c uales se encontraría n
dichos valores . Para hallar el limite infe rior d e los
va lores óptimos (z-) y el limite supe rior (z+) d 1
mismo conjunto. se solucionan siguientes pro­
blem as de programac ión lineal estándar:
Max A
n
S.a
A( Z
- z-)
+ Lc)x j ~ z+
j;j
(10)
11
Laijx j
-
)·Pi ~ b¡
ti
E Nm )
);1
n
Min z-
=¿
C jX j
J ;j
11
¿ayxj ~ b¡
S.a
(7)
); ¡
Xi ~ O
A es el nivel que como mínimo tienen que a l­
ca nzar todas las funciones de pe rt nencia. Lo an ­
terior s In terp reta rá como el nivel de a spiración
o de satisfacción de un d cidor [18]. El a nte rior
prob le ma es u n m odelo para encontrar x E R"
suje to a qu e la ecuación (11) alcance el mínimo
valor:
11
M in z+ =
¿
C)X j
)~¡
(11)
"
¿ ayx) ~ b¡ + Pi
S.a
(8)
Esta metodología es plantead a por Zadeh
)= 1
x)
~
[31 y es llamad método simétrico (las restriccio­
nes y metas son tratad a s simétricamente).
O
Hipótesis 2
El conjunto d ifu so de valores óptimos (U), el
cual es u n subconj unto dlfuso de R " ! 17], donde
e l grado de satis facción d 1 decis or (A) au menta
en la medida en qu e la respuesta ob tenida se
acerca a z- (Figura 2 ). La ecuación q ueda definida
por:
U(X)
=
(9)
4.2. Modelo de programación lineal
con coeficientes tecnológicos
difusos
Otro caso es s uponer que el m od elo de pro ­
gramación lineal tiene coeficien tes tec nológicos
dlfu::;os: es decir, la malriz de coeficientes Aü ten­
dría valo res de fi n idos en los intervalos [Cl.¡" ay +
dyI. por lo que un m odelo programación m alemá­
tica difusa de minimIZac ión te ndría la s iguiente
forma:
Rev. Téc. Ing. Univ. Zu lia. Vol. 33. No. 1, 20 10
Programación matemática difu sa aplicada en la planeación de reque rim ientos el m te ri I (MRP)
11
Minz = ¿cjX)
) =¡
n
¿ A UX) ?: b¡
S .a
(12)
)~ I
UE
Nn )
81
lineal difu sa e n los s istemas de produ cción. La
complejida d de u n sistema MRP se traduce en la
gran ca ntidad de información que es necesario
manipular pa ra ad ministrar apropiadamente los
procesos productivos. s nece ario conocer. por lo
tanto. con anticipación la siguiente información:
- T iempo de suministro.
-
Hipótesis 3
e
El conj u nto difu s o de la s i ¡-estricciones i •
1 c ual es un subconj u nto de R 11l • está definido
por:
La cantidad mínima de prod u cción o de
com pra.
- El actua l nive l de inventario .
- Los componentes necesarios -lista de ma­
te riales (BOM)- .
11
si ¿ayx ) ?: b¡
)=1
n
si ¿ a i¡x) < bi < ) =1 n
n
¿ dyx)
J=l
o
¿ (ajj +dy)x)
pl
si b¡ ?:
¿" (ay + dy)x )
./= 1
(13)
Hipótesis 4
La [un ción mem b recía para 1 conj u n to di­
fuso de valores óptimos fU). se d fi ne igual al ca so
anterior V< r ecu a ción (9) . Por lo tanto . la ecua­
ción (1 2) pu ede s er r escri ta com o sigu e:
Max
..1.
S.a
,1.( z+ -z-) + ¿ c )x) S z+
n
)~ ¡
(14)
n
¿ (ay
+ d ij
En el siguie nte ejemplo se il uslra un s iste­
m a MRP: Consid eremos un producto fina l
A8 172 . el c ual posee la lista de materiales mos­
trada en la Figura 3 y Tabla 2 .
Si suponemos una demanda pa ra el
AJ 8 172 en los próxim os ocho periodos de 20.30.
10, 20.30. 20. 30 Y 40. El res ultado del MRP es
da do a continua ción en la Tab la 3 .
El cual a su vez da origen al plan de requeri­
mie n tos de los com ponentes q ue lo conforma de
acuerdo a la lista de ma leriales. Una func ión ob­
j Uvo seria , enLon ces, rea lizar los pedidos consi­
de rando el Lamaño m ínimo a pedlr y el nive l de
stock pr om ed io que se genera en el horizo nte de
planeación. Es decir realizar e l lanzamiento de
pedidos ta n tard como sea pos ible pero si n so­
brepasar la fecha del requerim iento. Para encon­
trar \1 na s olución al mode lo plan teado d efinimos
las variables en la Tabla 4.
La func ión objetivo estaría fo r mulada de la
sigu iente manera:
- Ády )x)?: b¡ P
)=1
M in x =
x ) ',1.?: O
T
¿ ¿ (T -
t)x y
(15)
1 =11~ ¡
Es de a notar q ue las res tricciones que con­
tien e el prod ucto ÁX ). s on res tricciones no lloea­
les. lo q u e h ace que el problema s ea u n modelo no
lineal.
5. Modelo de plan de requerimiento de materiales con lógica difusa Se ha considerado el siguiente m odelo MRP
para ilustrar la aplicación de la programación
Dicha función bu sca solicllar el mayor n ú ­
mero de u nidades de l componen te i ta n tarde
como sea posible. con lo c ual se garantiza un ni­
vel Inv n tario bajo . te n iendo presente las si­
guientes restricciones:
-
La ca ntida d de materiales requeridos más
las eXisten ias e n inventa r lo. debe ser igual
o superior a la dema nda de l periodo corres­
pond iente y el tamañ o del pedido del com­
ponte i n el periodo t debe ser ero (O) o s u­
p rior a LS(i):
Rev. Téc. lng. Univ. Zu lia. Vol. 33. No. 1 2010
t
82
Ar ngo y col.
(16)
donde Oi.C es un indicador de produc iOn que
puede ser uno (1), si el componente í es ini­
ciado en I periodo to cero en caso contrario.
- Una siguiente rest ricció n es: 0u
- No negatividad:
X u 2=
E
(0,1).
O.
Al considerar la de manda determinista
cuando en la realidad es incierta, obtend remos
una s olución que deja de ser ó ptima si la demanda
es diferente al valor pronostica do, y lo más proba­
ble es que si sea. Esto pres nta una s itu ación
Figura 3 . Lista de materiales A8172.
Tabla 2
Infonnación de entra da MRP
NIIOO
W7342
A8172
LB8l l
R0098
Tiempo de suministro
2
3
4
2
Tamaño mínimo de lole
25
45
20
100
LB8Il (2), R0098 (1)
NIIOO (1), W7342 (1)
N/a
N/a
N/a
o
30
8
O
900
Componentes
Inven tario Inicial
Tabla 3 MRP Inicial. Referen cia A81 72 Referencia: A81 72
Día s
-2
-1
Deman da
20
Inventarios
2
3
4
5
6
7
8
30
10
20
30
20
30
40
15
20
15
20
15
25
25
5
Recepción de Pedidos
Lanzam iento de Pedidos
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
Tabla 4
Definición de variables
Variable
Deflnición
P
Número de componentes
T
Horizonte de planeación
R(iJ}
Número de componentes i necesartos para realizar componentes j
D (iJ}
Demanda ext rna pa ra el componente i en el periodo t
I(i.,O}
Inven tar io inicial del componente i
LS(i}
Tamaño de lote mínimo para el componente i
XCi, t}
Cantidad de pedido del componen te i solicitado en el periodo t
M
Un n ú m ro muy grande
Rev. Téc. In g. Univ. Zu iia . Vol. 33, No. 1,2010
Program ación matemática difusa apUcada en la plan ea ció n d e requ erimientos de material (M RP)
di fusa. dado q ue no se conoce y no se podria esti ­
m ar la d em and a con precisión . Una forma de fle­
xtbUiz r la estim ación de la dem and a. sin r eu­
nir a defmirla com o un valor único para cad" uno
de los period os de tiem po. es d efinir un intervalo
en e l cu al la probabilida d de que la demanda se
encu e ntre en és te sea muy a lta, Para definir di­
cho interva lo los ingen ieros pueden estimar (con
el a poyo de expertos o datos his tóricos) un valor
mínim o y m áximo para la d emanda en cad a u no
de los periodos. como s e muestra en la Tabla 5.
A con tin uación s aborda una de las m eto­
dologías de la lógica d ifus a para el tratami nlo de
la incertidumbre en la demanda y en los oefi ­
cientes tec nológicos del modelo de programación
matemática.
5.2. MRP con incertidumbre
en los coeficientes tecnológicos
Olro caso de incertid um bre y que es in he­
rente a los m ode los MRP, como los presentados
en esle artículo, es considerar que el fac tor R( t. j).
no está comple tamen te definido para al unos
componentes dado los desper d ic ios que p u den
ser generados en e l p roceso produ ctivo; s in em­
ba rgo. s í es posibl defin ir u n intervalo de valores
[R(íJ1, R(iJ)+d{iJ)J entre los c uales puede est r. De
esta manera el m odelo MRP pr s en tad o al inicio
de este capílulo s s imilar a l p roble ma planteado,
por lo que p u dc reescrib irse la ec uación (17) de
la igu lente manera:
Max A
P
i :::;.l t --1
t -LT(i )
El m odelo como se ha planteado hast a aho­
ra , es un m odelo determinístico que puede ser
solucion ado por m uc hos de los paqu tes de opti­
mización q ue actu lm ente s e comercializan , S in
e m bargo el m odelo se p u de volver u n poco más
complejo a l conside rar q ue la demanda (D (i,t)) es
l ID valo r impr clso q ue pued e estar en tr e un va­
lor mínimo (D (U)) y m áxtmo (D (i,t)+ p U,t)) .
Al ten ers e en cu enta la anterior considera­
ción el m odelo MRP inielal tom a la forma d e un
m od elo de programación iineal difu s a similar al
m os trado en la ecuación (4 ) , por lo qu se p u ed e
reescribir d la s iguiente manera.
Max Á
P
S. a
T
A.( z+ -z-)+ ¿ ¿ (T-t)x y s z+
i; l t= l
¿
p
t
l - LT(i)
Xu.
+ fU ,O) - ¿(D(i, r) + ¿ (RU, j)x jr
r =l
r= l
T
)~z" -z-)+ ¿¿ (T- t)xu sz+
S.a
5.1. MRP con incertidumbre
en la demanda
83
-
Ápy)) :::: O
J :; l
J. sO
x ::::0
(17)
¿
r
t
x;r + [(i,O) -
r....: ¡
¿ (DU, r) + L (R(i. J) - Ad(i , j) )x jr ) :::: O
l'
=d
) =1
As i
x :::: 0
(l8)
Pa ra la s olución de este modelo s e con side ­
ra q u e el proc so para p roducir el producto
AJ8 172 necesita entr 2 y 2 .2 unid d es d el co m­
ponen te L88 1 1, del cu al se puede gene rar un
desperdicio de O a 0 .2 u n idades.
5.3. Análisis de resultados
En la Tabla 6 se mues tran los resu ltados de
las variables x y' ob tenidos al aplicar la program a ­
ción m a te m áUca de m anera clás ica y con incerti ­
dumb re en la demanda y en los coeficien tes tec­
nológicos. Las d m ás varia bles Xii que no están en
la tabla Ue n n el valor de cero. El resultado ob te ­
nido en la función obj e tivo s in consld ra r incerti­
dumbre p rese n te en I m ode lo e z =8 349 , Par el
s eg undo caso se con sidero la in certid u m b re en la
demanda obten ien do que los valores de z+ y z- son
Tabla 5 Demanda para AB172 Periodo
2
3
4
5
6
7
8
Dema nda Mín ima
20
30
10
20
30
20
30
40 Dem a nda Máxima
24
35
13
22
34
24
35
45 Rev. T ' c . ¡ng. Univ. Zu lia. Vol. 33, No. 1, 20 10
84
Arango y col.
Tabla 6 Resultados M RP Prod ucto i Método
pedido n el clásico
periodo )
Incertidumbre Coeficientes Produc to i Mé todo
en la
tecnológicos pedido en el clásico
periodo)
demanda
d ifu sos
Incertid u mbre Coefi cientes
en la
tecnológicos
difusos
demand a
X I \. !)
25
2 5,00
25
X 3 \.5)
20
20,00
20
XlQ
35.
4 1,0 0
35
X 3. 4
32
38 ,00
32
Xn
35.
38.00
35
X 3. 2
35
3 8 .00
35
X l4
25.
25.0 0
25
X30
25.
25.00
25
X lS
25.
29,50
25
X31
25.
29,50
25
X¡G
40 .
42 ,50
40
X 32
40.
4 2 ,50
40
X 21 · 4 )
45
45,00
45
X4 . 5
45
45 ,00
45
X 21 · 3 )
45
56,99
51
X 4 -4
45
56,99
51
X 21 · l )
70
76,00
73,5
X 4.2
70
76. 0 0
73 ,5
X 21
50 .
50.00
52. 5
~o
50.
50 ,00
52,5
X 22
50.
58,99
52 .5
X a!
50 .
58,99
52, 5
Xl ~
80.
85,00
84
X 42
80.
85 ,00
84
9937 Y 8349 respec tlvament y la función obj eti­
vo es z = 91 4 3, lo cual puede considerars e como
u na s olu ción Intenned ia qu e equ ilibra los crite­
rios pesimistas y optimistas del decisor. da do que
su n vel de ajuste a la mejor s olución z- es el e
A= 0 .4996, cifra q ue p uede ser considerada como
nivel de satisfacción del decls or.
Para I solución del prob lema con coefi­
cientes tecnológ icos d ifus os, s importante con­
sld x ar que las fu ncion es (1 2 ) y (1 3) invierte n
su s resultados , d ado que el factor a yX¡ es negati­
vo en (l 8 ). Por lo ta n to los valores lím ites en tre
los que estará el conj unto de solu cion es fa .ti­
bies, s e ob tienen reem p lazando a a y por a y + d u
para h lla r z-. por con s lgu i nte z+ se calc ula de ­
j ando el coeficiente a y invariable, d onde z-=
8349 y z+ = 8986.
La función obje tivo es entonces z = 8667. 5 ,
la cual representa u n nivel de 'a t isfacclón d e
A = 0 .5, el cual se puede explicar cons iderando
que el valor de z hallado es u na solución interme­
dia entre lo mej or que puede ocu rrir ( sto es si
a y = 2) Y el caso m enos fa vorable (que d lu gar
c u ando ay = 2 + 0 .2).
6. Conclusiones
En este artícu lo se ha mostra do la a plica ­
ción que posee la lógica d ifusa en el cam po de la
produ clón , más específicamente en los s istemas
MRP. La solución obtenida permitió valorar el re­
sulta do con res pecto al máximo beneficio que se
tendría si se es tuviera e n un campo determinista.
E n ecesariO aclarar entonces que el decisor ten­
drá confianza en que la implem en tación de la s o­
lución expresad a , p uede estar de conformida d
con s us deseos . toda vez que el índice de satis fac­
ción es consld er bleme n Le adecu ado (aproxima­
damente u n 40% de s atisfaCCión) . Hay q ue anotar
qu
n la medida q ue la información con la que
r uenta el decisor sea más precisa, entonces la s a ­
tisfacción sera mayor.
Aunque inicialmente. la función obj etivo
era la planeación óptima de pedid os q u e perm i­
tiera un nive l b aja de in ventarlos, el modelo pue­
de ser amplia o e involu cr r cos tos o lim itacio­
nes de ca pacidad . fonnulando además m odelos
MRP II a los cuale sea posib le aplicarles las téc­
nicas aq uí analizadas,
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulla. Vol. 33, No . 1, 20 10
Programación m atemátic clifus a a plicada en la planeación d requerimientos de material lMRP)
Una de las m ayores fortalezas que posee la
lóg ica difusa a plicada a las técn icas de toma d e
de isiones. es que se puede involucrar tanto la
información correspondiente a d a tos h istóricos
com o opiniones subj tivas o inlu itivas de perso­
nas xpertas en e l campo de a ná lisis. Lo que per­
mite un tra tamiento matemático de la impreci­
sión que poseen a lgu nos pa rám etros. V le d ecir
que la té ' nlca n o s uprime dic ha imprecisión O in­
certidumbre. sino qu e estab lece un m ' lodo para
su m a nej o. es decir. en vez de ignorar la Incerti­
d umb r que e inherente a l modelo genera solu­
ciones qu la involucran .
Agradecimientos
Los au tores exp resan sus agradecimientos
a la DI ME -Univ rs ida d Nacional de Colombia-.
por la fi n anciación del proyecto: "Des a rrollo de
m odelos d e programación mate mática fuzzy pa ra
la planificación de la prod u ción e n con textos de
incertidumb re. Un ca so aplica do a la industria
automotriz" qu da orig n a es te articulo.
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