ESTADISTICA Y BIOMETRIA Guía de Ejercitación 2 La ejercitación presentada en esta guía tiene como finalidad la revisión de conceptos en el marco de la Inferencia Estadística como lo son los intervalos de confianza, los contrastes de hipótesis referidos a parámetros de una o dos distribuciones, el error de tipo II y la potencia de una prueba de hipótesis, usando como soporte computacional el software estadístico InfoStat. Las salidas obtenidas desde el computador se discutirán en clase destacando cómo analizar los resultados y la importancia de los mismos en el contexto de las situaciones planteadas a continuación y de otras situaciones problemáticas similares, comunes en el ámbito de las ciencias agropecuarias. Recuerde llevar a la clase una copia de los resultados obtenidos. Para realizar los ejercicios lea atentamente los enunciados y consignas. Recuerde que el programa estadístico posee una versión electrónica del Manual de usuario en donde se explican y detallan todos los procedimientos estadísticos disponibles. Problema 1: Utilice los datos registrados en un experimento sobre ajo blanco para estimar los parámetros distribucionales de la variable perímetro (perim) de las cabezas de ajo. Para abrir el archivo se debe seguir la siguiente secuencia C:\Archivos de programas\ InfoStat\ Datos\ Ajoblanc.idb. Recuerde copiar los resultados y/o gráficos que obtenga en cada ejercicio, pegándolos en un documento Word. Guarde ese documento en un diskette. Ejercicio 1: Utilizando el menú Estadísticas> Inferencia basada en una muestra > Intervalos de confianza, obtenga: a) Un intervalo de confianza al 95% para el perímetro promedio de las cabezas de ajo. b) Un intervalo de confianza al 99% para el perímetro promedio de las cabezas de ajo. Ejercicio 2: Compare los intervalos anteriores y discuta acerca del efecto del cambio de la confianza (1-) sobre la amplitud de un intervalo de confianza. Ejercicio 3: Suponga que los datos del archivo Ajoblanc.idb corresponden a una población de la cual Ud. extrae una muestra conformada por los 200 primeros datos. En base a dicha muestra obtenga un intervalo de confianza al 95% para la media de la variable perímetro de las cabezas de ajo. Nota: Recuerde desactivar los casos a partir del caso 201. Ejercicio 4: Al igual que en el ejercicio 3 trabaje con una muestra pero ahora conformada por los primeros 500 datos. Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la media de la variable perímetro de las cabezas de ajo. Nota: Recuerde activar todos los casos y luego desactivar los casos a partir del caso 501. Ejercicio 5: Compare los intervalos logrados en los ejercicios 1-a, 3 y 4. Discuta sobre el efecto del tamaño muestral sobre la amplitud del intervalo. Ejercicio 6: Utilice el menú Aplicaciones > Didácticas > Intervalos de confianza para representar conceptos relacionados a la construcción de intervalos de confianza. Para ello, suponga que la distribución de la variable perímetro de las cabezas de ajo blanco es normal con media 17.2 y varianza 10.7. Cuando complete la información solicitada por el procedimiento aparecerá un gráfico con los intervalos construidos y la ventana de Herramientas gráficas mediante la cual se pueden introducir modificaciones al gráfico. En la solapa Series, de la ventana Herramientas 1 ESTADISTICA Y BIOMETRIA Guía de Ejercitación 2 gráficas, la opción Tamaño permite aumentar el tamaño del punto central de cada intervalo de confianza. Trabaje con diferentes tamaños de muestra (opción Tamaño muestral) y con distintos niveles de confianza (opción Confianza), para estudiar su influencia. Problema 2: En un experimento se observó, entre otras variables, el porcentaje de germinación (PG) en semillas del arbusto forrajero Atriplex cordobensis. Se trabajó con semillas clasificadas por tamaño (grandes, medianas y chicas) y color de episperma (claro, oscuro y rojizo). Los datos se encuentran en el archivo Atriplex.idb en la carpeta Datos de InfoStat. Para abrir el archivo se debe seguir la siguiente secuencia C:\Archivos de programas\ InfoStat\ Datos\ Atriplex.idb. Es de interés para el investigador saber si el PG promedio sería superior al 50% en cada uno de los tamaños de semilla. Para poder resolver la cuestión realice los siguientes ejercicios. Recuerde copiar los resultados y/o gráficos que obtenga en cada ejercicio, pegándolos un documento Word. Guarde ese documento en un diskette. Ejercicio 1: Teniendo en cuenta el interés del investigador y trabajando con una confianza del 95%, obtenga un intervalo de confianza unilateral izquierdo para el PG promedio de cada tamaño de semilla. Utilice el menú Estadísticas > Inferencia basada en una muestra > Intervalos de confianza. Nota: Recuerde declarar la variable Tamaño como Partición. Ejercicio 2: Interprete cada uno de los intervalos obtenidos en el ejercicio anterior. Según estos resultados ¿bajo qué tamaño/s de semilla esperaría obtener un porcentaje de germinación promedio superior al 50%?. Ejercicio 3: En cada tamaño de semilla realice una prueba de hipótesis para saber si el PG promedio es superior a 50% . Para ello, utilice el menú Estadísticas > Inferencia basada en una muestra > Prueba T para un parámetro. Tenga en cuenta: Declarar la variable Tamaño como Partición Ingresar el valor del parámetro bajo la hipótesis nula, ya que por defecto valdrá 0 Que el valor p permite rechazar la H0 interpretándose de la siguiente manera: si p es mayor que el nivel de significación fijado para la prueba () no se rechaza la hipótesis nula; si p es menor o igual que se rechaza la hipótesis nula. Ejercicio 4: Discuta acerca de las relaciones entre la información que resulta de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis. Problema 3: En un laboratorio un investigador conduce un ensayo para estudiar características del hongo Phytophtora infestans. Los siguientes estadísticos corresponden a una muestra de 20 colonias del hongo, donde se midió la longitud de esporas (en micrones): x =40 y S=6. Se desea estimar por intervalo de confianza la longitud media de las esporas, de modo que la amplitud del intervalo represente un 10% de la media muestral. ¿Qué número de colonias se deberían tomar al construir el intervalo para μ con una confianza del 90%? Ejercicio 1: Para responder al interés del investigador, utilice el menú Estadísticas > Cálculo del tamaño muestral > Para estimar una media con una precisión deseada. 2 ESTADISTICA Y BIOMETRIA Guía de Ejercitación 2 Tenga en cuenta: En la ventana Tamaño muestral para..., se debe activar la solapa Estimar una media En el panel Criterio para la obtención del tamaño muestral se deberá activar la opción correspondiente al criterio que se desea usar, elegir el nivel de confianza para el intervalo e ingresar el valor de referencia para el criterio indicado. En Cota superior para la varianza, se debe ingresar el valor de varianza para la variable en estudio. Luego de ingresar los valores requeridos, se debe pulsar la tecla <Enter>. Completada la información en el campo Tamaño muestral requerido aparecerá el cálculo de “n”. Problema 4: Considere la siguiente situación: al probar si la media de una variable aleatoria en una población era 50 (H0: =50), dicha hipótesis fue aceptada cuando en realidad la verdadera media era 52. Suponga que se conoce que la variable aleatoria se distribuye normal con varianza 2=100 y que se trabajó con una muestra aleatoria de tamaño 25. Para calcular la probabilidad del Error de tipo II (no rechazar una hipótesis nula falsa) previamente se debe delimitar la región de no rechazo bajo la hipótesis nula (H0: =50) y luego calcular el área correspondiente a dicha zona bajo la distribución con =52 (que es la distribución correcta). Realice las dos actividades presentadas a continuación, que tienen como finalidad ejercitar al alumno en la obtención del error de tipo II: 1) Graficación de la distribución de X y delimitación de la región de rechazo La región de rechazo queda definida por los valores de X c, donde c es el punto crítico elegido de manera tal que P( X c| =50)=; esto es, la probabilidad de observar valores de medias muestrales mayores o iguales al punto crítico cuando la H0 es verdadera (es decir =50) es igual a . Tomando =0.05, el punto crítico (c) puede ser obtenido en InfoStat de la siguiente manera: En el menú Aplicaciones Didácticas Gráficos de funciones de densidad continuas, generar la distribución del estadístico X bajo la hipótesis nula. Esto es una normal con media=50 y varianza=4. Nota: si X se distribuye normal media=50 (como se postula en la H0) y varianza=100, por el Teorema Central del Límite sabemos que el estadístico X se distribuirá normal con media =50 y varianza 100/25=4. Para delimitar la región de rechazo en El evento está definido por valores... activar la opción Mayores o iguales que..., aparecerá automáticamente el punto crítico c, ya que InfoStat reporta por defecto el cuantil 0.95 de la distribución al activar dicha opción. Luego, para estos datos, c=53.28 es el punto crítico que delimita las regiones de rechazo y aceptación. Al aceptar se visualizará la distribución y el área sombreada correspondiente a la probabilidad del evento rechazar H0 verdadera. Así, en este ejemplo la región crítica corresponde a los puntos muestrales para los cuales X 53.28. Nota: si se desean obtener regiones críticas de otro tamaño (un distinto al 5%) se deberá primero utilizar el menú Probabilidades y cuantiles para los puntos críticos (cuantiles) que necesita ingresar en El evento está definido por valores.... 3 ESTADISTICA Y BIOMETRIA Guía de Ejercitación 2 2) Cálculo del Error de tipo II Considerar ahora el problema de calcular , asumiendo H0: =50 y H1: >50, n=25, varianza 100 y =0.05 para una prueba unilateral. Recordar que =P( X región de aceptación de H0| H1 verdadera), esto es la probabilidad asociada al evento “el estadístico pertenece a la región de aceptación dado que la hipótesis alternativa es verdadera”. Luego, en este ejemplo, =P( X 53.28|=52). Para obtener el valor de en InfoStat se podrían seguir los siguientes pasos: Sobre la gráfica anterior generar la distribución del estadístico X bajo la hipótesis alternativa. Es decir graficar una densidad normal con parámetros media=52 y varianza=4. Para lograr esto se deberá Clonar la serie gráfica existente y cambiar el parámetro media ingresando 52, tarea realizada desde la ventana Herramientas gráficas. En Evento activar la opción <= y en el campo escribir 53.28. La porción sombreada de esta distribución corresponde a . Se puede leer debajo del título del gráfico, el valor de la probabilidad de error de tipo II como p(evento)=0.7405. Ejercicio 1: Se cree que la ganancia de peso promedio bajo una dieta experimental es de 140 gramos. Si se prueba la siguiente hipótesis: H0: =140 y H1: ≠140, usando una muestra de 36 individuos y sabiendo que la desviación estándar es de 15 gramos, ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando en realidad el aumento de peso promedio es de 143 gramos?. Utilice un =0.05. Realice el cálculo de error de tipo II para las siguientes hipótesis H0: =140 y H1: >140. Utilice un =0.05. Compare los resultados obtenidos. Problema 5: prueba T para observaciones independientes En un estudio para analizar la evolución de tubérculos almacenados, se deseaba comparar dos épocas de cosecha: Abril y Agosto, las que determinan diferentes periodos de almacenamiento. La variable en estudio fue la pérdida de peso por deshidratación (en gr). El archivo Epoca.idb contiene las observaciones del estudio. Utilice el menú Estadísticas Inferencia basada en dos muestras Prueba T para realizar el contraste de las siguientes hipótesis: H0: Abril = Agosto versus H1: Abril ≠ Agosto Nota: Al invocar esta prueba, en el selector de variables de la ventana Prueba T para muestras independientes se deberá especificar la variable respuesta en la subventana Variables, (en este caso el peso) y la variable que será usada para identificar ambas muestras en la subventana Criterio de Clasificación (época). La ventana Prueba T para muestras independientes que se visualiza al Aceptar permite especificar el tipo de Prueba (bilateral, unilateral izquierda o unilateral derecha). En cuanto a la información que se desea visualizar como resultado, el campo Inter conf. permite solicitar la construcción de un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales con coeficiente de confianza indicado por el usuario; los campos T, gl y p, cuando son activados, permiten la visualización del estadístico de la prueba, los grados de libertad de la distribución del mismo y el valor p de la prueba de hipótesis realizada. En este menú se puede realizar la prueba de homogeneidad de varianzas (H0: 12 = 22 versus H1: 12 22 ) cuyo valor p se informará en la salida como p(Var.Hom.). InfoStat seleccionará el estadístico T para varianzas heterogéneas o para varianzas homogéneas según el resultado de la prueba. Se podrá especificar el nivel de significación a usar en la prueba de homogeneidad de varianzas. 4 ESTADISTICA Y BIOMETRIA Guía de Ejercitación 2 Interprete los resultados obtenidos. Nota: recuerde que el valor p permite rechazar la H0 interpretándose de la siguiente manera: si p es mayor que el nivel de significación fijado para la prueba () no se rechaza la hipótesis nula; si p es menor o igual que se rechaza la hipótesis nula. Problema 6: prueba T para observaciones apareadas Para estudiar el efecto de la polinización sobre el peso promedio de las semillas obtenidas, se efectuó un experimento sobre 10 plantas. La mitad de cada planta fue polinizada y la otra mitad no. Se pesaron las semillas de cada mitad por separado, registrándose de cada planta un par de observaciones. El archivo Poliniza.idb contiene los valores registrados en el estudio, en la forma en que debieran ser ingresados en InfoStat. Utilice el menú Estadísticas Inferencia basada en dos muestras Prueba T apareada para realizar el contraste de las siguientes hipótesis: H0: Polinizadas = NoPolinizadas versus H1: Polinizadas ≠ NoPolinizadas Nota: en el selector de variable de InfoStat se deberá elegir como variables aquellas que identifican las dos columnas del archivo. Interprete los resultados obtenidos. 5