5.14. EJES CRISTALOGRAFICOS

CristalograJia Recreativa
FIGURA. 41. Re{>fcscm,,,i6n ortogonal de 21 m, 4/ m y 6/ m.
21m
4/m
6/m
La tabla I, muestra las combinaciones dispuestas en secuencia, desde
la mas baja a la mas alta simetria rotacional. La tabla 2, muestra la
distribuci6n convencional de los sistemas y clases cristalinas.
Los 32 elementos y combinaciones de elementos posibles son
identicos a las 32 posibles clases cristalinas 6 clases cristalograficas.
Algunas de las 32 clases de cristales tienen caracteristicas de simetria
en comlln con otras, 10 que permite agruparlas en uno de los seis
sistemas cristalinos.
5.14. EJES CRISTALOGRAFICOS
Con el prop6sito de dar nombre a las caras de los cristales, se hace
necesaria la utilizaci6n de unos ejes de referencia 6 coordenadas
que sirven para ubicar en posici6n las respectivas formas extern as
del crista!' Estos son los llamados Ejes cristalograficos, que se deben
tomar paralelos a aristas reales del crista!'
En general se eligen tres, con excepci6n del sistema Hexagonal que
necesita cuatro, y en la mayoria de los cas os coinciden con los ejes
de simetria del crista!'
En general se nombran como: a, by Cj se interceptan en el interior
del cristal (son imaginarios), y cada uno tiene su extremo positivo
y su extrema negativo. Por convenci6n, los extremos positivos se
toman hacia el frente del observador, hacia su derecha y hacia
arriba. Las otras posiciones seran las negativas.
~
s.
I:)
~
TABLA 1. Los 32 elementos de simetTia y sus combinaciones posibles.
(Cornelius Klein y Cornelius Hurlbut Jr., Manual de Mineralogia . 1998. 34p ).
~
o
~
s::
c.-,
>.I:)
~
Simetria de rotacion creciente ­
Solo ejes de rotacion
Solo ejes de rotoinversion
•
.....,j
0'>
•
1
2
3
4
6
i=C
2=m
3
32
4
6=3/m
Combinaciones de ejes de rotacion
222
Una rotacion con plano perpendicular de simetria
2/m
Una rotacion con pIanos paralelos de simetria
2.mm
422
622
4/m
6/m
32
4mm
6mm
32/ m
,j2m
62m
4/m4/m4/m
6/m2/m2/m
I
23
432
4/m32/m
I
2/m3
43m
Rotoinversion con rotacion y plano de simetria
Tres ejes de rotacion y pIanos perpendiculares de
,
2/m2/m2/m
3/m (=
6)
I
I
simetria
Combinaciones de simetria adicional en diagramas
isometricos
I
Cristalografia Recreativa
TA13LA 2. Las 32 Clascs Cristalinas. (Cornelius Klein y orne/ius Huribul Jr.. Manual de Mincralogia . 1998. 4Ip). CJase de cristal
Sistema cristalino
Tric\inico
Monoclinico
Sistema cristalino
Clase de cristal
I
3
;
"3
:!
32
m
3m
21m
3 21m
222
Ortorr6mbico
Hexagonal
mm2
21m 21m 21m
6/01
622
4
4"
41m
422
-Imm
4211l
41m 21111 21m
Tetragonal
6
6
6mm
6m2
6/m 21m 21m
23
21 m 3
Isometrico
I
I
432
'13m
4/ m32/m
Los angulos formados entre los ejes se designan como: alfa, beta y
gamma. Alfa esta entre b y c, beta entre a y c y gamma entre a y b.
Cada uno de los sistemas cristalinos queda caracterizado por sus propios
valores angulares y parametricos, tal como se observa en la fig. 42.
De acuerdo al sistema, los ejes seran:
Sistema Cubico 6 Isometrico: Tres ejes mutuamente perpendiculares,
de longitudes iguales (par esto, se usa el mismo color) y se llaman
aI' a2 y aJ •
Sistema Tetragorud: Tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de ellos,
los horizon tales, son de iguallongitud (de igual color) y se llaman at y
a 2• EI eje vertical es mas corto <'> mas largo que los otros dos.
'WU']PlS!V snWJl>!S SO] ~p oun
SOJ!jrJ.llO]T'lS'.l.l
SJi3
,0]
vpm wP<J
JP SVJ'lS!J.31~I""VJ 'zv VIlnDH
Cris/alografia Recrea/iva
Sistema Hexagonal
Sistema Rombico
zanbs9A otJuaH tJIJI.JtJW
Cristalograjia Recrea/iva
Sistema R6mbico: Tres ejes mutuamente perpendiculares y todos son
de diferente longitud (de diferentes colmes).
Sistema Hexagonal: Se usan cuatm ejes, tres de ellos en el plano
horizontal y uno es vertical. Los ejes horizontales son ai' a z y a" y
se situan a 120 uno del otro. EI cuarto eje es vertical, es el eje C
y puede ser de mayor 6 menor longitud que los horizontales. Los
tres ejes ai' az y a J son coplanares, de iguallongitud (igual color) y
perpendiculares a C.
0
Sistema Monoclinico: Tres ejes desiguales (de diferente color), dos de
ellos forman un angulo oblicuo, siendo el tercero perpendicular al
Plano de los otros dos.
Sistema Triclinico: Tres ejes desiguales (de diferente color), que se
cortan en angulos oblicuos.
5.14.1. Relaciones axiales
En todos los sistemas cristalinos, con excepci6n del Cubico, existen
Ejes cristalograficos con longitud diferente.
Si se pudiera aislar la Celda unidad y medir las dimensiones de
las aristas, estariamos en la posibilidad de hallar las relaciones
existentes entre las longitudes de cada arista.
Con los rayos x se pueden medir con exactitud las dimensiones de
la celda en unidades Amgstrom (A).
Se sabe por ejemplo que las dimensiones de la celda del azufre (S)
son: a = 10,47 A, b = 12,87 A, c = 24,49 A.
Haciendo el valor de b igual a la unidad, se puede conocer el
tamano de a y b relativo; resulta entonces la relaci6n siguiente:
a: b: c
=
0,8315: I: 1,903.
-81 ­
Martha Henao Vasquez
Mucho antes de la aplicaci6n de los ravos x para determinar las
dimensiones absolutas de la Celda unidad, se conocia esta relacion
entre la morfologia cristalina V la estructura interna, V se calcularon
relaciones axiales.
Midiendo los angulos interfaciales en el cristal V haciendo ciertos
calculos, es posible conocer relaciones axiales que expresen las
longitudes relativas de los Ejes cristalograficos.
Es bastante sorprendente la poca diferencia que existe entre las
relaciones axiales calculadas a partir de las dimensiones de la
celda unidad (actuales) V las relaciones deducidas por mediciones
morfologicas (antiguas). Para el azufre, en 1869 se reportaron:
a: b: c
=
0,8131: 1: 1,9034.
5.14.2. lntersecciones de las caras
Las caras del crista I se definen en posicion por su intersecci6n con
los Ejes cristalograficos.
Una cara puede cortar a un eje a una cierta medida, 0 ser paraleLa a el.
Es importante determinar a que distancia relativa corta la cara a los
diferentes ejes (fig. 43).
t
FIGURA 43 . Corte 6 paraldismo de una cam can los tres Ejes C riswlogrti!icos.
c
Vcr,ticnl-C
•
A~
8I
•
•
b
•
__ - - - - ___ - - - - - -. - A
/
/
/
A'
I
/
- - - - - - ...- - - - - - - . - A'
a
I
:8
82
•
.­
_-b
Crista/ograjia Recrealiva
EI plano AA es paralelo a los ejes b y c y corta al eje a a una cierta
medida, por tanto, las intersecciones para este plano son: 1 a, 00 b, 00 c.
El plano A'A' (es paralelo a AA), corta al eje a a una distancia doble
de medida. Sus intersecciones son: 2a, oob: 00 c
El plano BB es paralelo a los ejes aye y corta a b a una cierta
medida. Sus intersecciones son: OOa : Ib: 00c.
El plano AB corta a los ejes A y B a distancias iguales y es paralelo
a c. Sus intersecciones son: la : I b: 00c.
Un plano que corte a los tres ejes a igual medida, tendria de
panimetros la: 1b: le.
La figura 44, muestra el desarrollo de las caras cristalinas que son
paralelas a los pianos indicados en la figura 43 . Las intersecciones
indicadas en las caras son valores estrictamente relativos y no
indican longitudes reales de corte.
FIGURA 44. Caras de un cri,tal ), sus COrtes con los ejes a, by c.
(Klein y Hurlbut. 1988: 45 ).
Cuando las intersecciones se asignan a las caras de un cristal sin
conocimiento de las dimensiones de la Celda unitaria, una cara
que corte a los tres ejes recibe la asignaci6n: la, lb, Ie, y se llama
Cara unidad del crista\.
Martha Henao Vasquez
CuanJo en el cristal hay varias caras que corten a los tres ejes, se
elige la mas grande y aquella que se desarrolle con mayor frecuencia.
La figura 45, muestra un crista I Rombico, donde la cara sombreada
corta a los tres Ejes cristalograficos en sus extremos positivos, con
intersecciones la, lb, Ie.
FIG URA 45. ImeTsecciones de cara s call los tres fje.1 cri.l tillogrdjicos ,
en un cristlll Ortor6mbico. (Kle in y Hllrlbut, 1988: 45 ).
"
: lC
~
.~
~ .
• >r
•
,. --- -. _­
A
-- ~
~.
Y,--­ ",
b
La cara que esta encima de la anterior se puede prolongar hacia los
ejes y buscar su interseccion con ellos, lIegando a ser: 2a: 2b: 2/ 3 c,
respecto a la cara unidad.
Dividiendo por dos, como factor comun, lIegamos a 1 a, lb, 1/3e.
Debe entenderse que los para metros de una cara no tienen relaci6n
con su tamafio, pues una cara puede moverse paralelamente a si
misma, a cualquier distancia, sin que cam bien los valores relativos
de sus intersecciones con los ejes cristalograficos.
5.14.3. indices de Miller
Los indices de Miller de una eara consisten en una expresion de numeros
enteros que se deducen de los para metros obtenLdos por interseccion y
su posterior inversion. Si es preciso, se eliminan los fraccionarios.
- 84 -
CriSfa/ograjia Recreafiva
Los numeros que expresan los indices se refieren en su orden a los
ejes a, b y c (son cuatro en el sistema Hexagonal). Las letras que
indican los diferentes ejes se omiten, y para simplificar alln mas los
signos de relaci6n, tambien se omiten.
Volviendo a la fig. 45, las intersecciones de las dos caras planteadas
son: la, Ib, lc y 2 a, 2b, 2/ 3c respectivamente.
Al invertir los para metros queda: 1/1 1/1 1/1 y Vz Vz 3/ 2
respectivamente.
Con el objeto de eliminar fraccionarios en la segunda'expresi6n,
multiplicamos por dos, quedando entonces los indices de Miller de
(llI) para la cara unidad, y (113) para la otra cara.
Generalmente los numeros que expresan los indices de Miller s n
enteros pequenos. Cuando estos numeros son de dos digitos, se
utiliza la coma para separarios, por ejemplo: (1 , 12, 4), y se lee:
"uno, doce, cuatro"..
Si la cara corta a alguno de los ejes cristalograficos en forma negativa,
se coloca una raya encima del numero que corresponde a dicho
corte, por ejemplo: (1 11 ), y se lee: "uno, menos uno, uno"..
N6tese que los indices que estamos expresando corresponden a
caras del cristal, y por eso se colocan entre parentesis. Si vamos a
dar los indices de una Forma cristalina, la expresi6n contiene el
simbolo de Haves: {l T l}
Cuando no se conocen las intersecciones exactas, se usa el simbolo
general (hkl), sabiendo que en su orden representan los reciprocos
de sus intersecciones a 10 largo de los ejes a, by c.
La expresi6n (hk\) indica que una cara corta desigualmente a los
tres ejes.
85
Martha Henao Vasquez
Si una cara es paralela a uno de los ejes y corta a los otros dos, el
simbolo general se escribe (Old), (hOi) 6 (hkO), segun sea el caso
particu lar.
Si la cara es paralela ados ejes y corta s610 a uno, esa medida se
considera una distancia unidad, y los indices sedan: (100), (010),
(001), con sus equivalentes negativos: (100), (010) y (001).
Para el sistema Hexagonal el simbolo general es (hkll), en donde
las tres primeras letras se refieren a los ejes ai' a 2 y a" y la ultima,
al eje C.
Recordemos cual es la localizaci6n de los ejes en el sistema
Hexagonal (fig. 46), (tanto en la divisi6n Hexagonal, como en la
Romboedrica): tres ejes identicos, llamados ai' a 2 y a" coplanares y
perpendiculares al eje C, que es vertical. Si los miramos en planta,
seria asi:
FIGURA 46. Ejes cristalogrci[icos para eI sistema HexagonaL.
- 86 ­
Cristalografia Recreativa
Como se puede observar, el eje a J , en su extrema negativo, se
encuentra entre los ejes a I Y a 2, de extremos positivos. Por esta raz6n,
el indice que Ie corresponde al tercer eje, sera siempre negativo (T).
, Tambien, en esta notaci6n, h + k + i = 0 se cumple invariablemente,
por ejemplo:
En los indices:
1010, 1 + 0 + 1 = 0
1ILO, 1 + 1 + 2 = 0
1121, 1 + 1 + 2 = 0
5.15. FORMA CRISTALINA
El uso del termino " Forma" nos hace pensar en el aspecto externo
del cristal, 10 que queda expresado con la palabra " habito".
Cuando nos referimos a la Forma Cristalina, pensamos en un
conjunto de caras iguales (6 aproximadamente iguales, debido a la
frecuente deformaci6n de los cristales), relacionadas por elementos
de simetria.
En general estas caras, conservan las mismas propiedades fisicas
y quimicas, pues todas elias son el refiejo de igual orden at6mico
interno.
Externamente, las caras que componen una forma, pueden tener
diferentes tamanos, debido a la imperfecta formaci6n del crista!'
Para reconocerlas, normalmente nos ayudamos por la observaci6n
de estrias naturales, figuras de corrosi6n 6 crecimientos. A veces es
necesario someter el cristal a un ataque quimico, que revele estas
evidencias.
Martha Henao Vasquez
Aplicando el concepto dado anteriormente, veamos cuantas forma s
encontramos en un crista I Cubico;
Asi cristalizan con frecuencia, la Halita, Pirita y Galena (fig. 47).
FI GURA 47, Aruilisis del concepw de Fonna Cristalina en 1m Cuba,
Procedencia : Zipaquira,
Ga lena. Procedcncia: Santander de
Quilichao, Cal«:a.
Pirita,
Procedencia: Mu zo, Boyacd,
Cada una de las seis caras que componen el cristal tiene relacion
con las otras, mediante los elementos de simetria existentes, es
decir, por medio de los ejes (Cuaternarios, Ternarios, Binarios),
por los pianos de simetria 0 por el Centro de simetria.
Cada una de las caras es ademas, en su fo rma y aspecto, igual a las
demas. Llegamos entonces a la conclusion de que en este cristal,
solo hay una Forma cristalina.
· 88 -
Crisla/ograjia ReCreliliva
Para representarla con la notacLOn de Miller, debemos seguir
algunas convenciones ya establecidas. Estas son: en 10 posible,
elegir una expresi6n positiva, es decir, un simbolo en donde todas
las partes sean positivas; ademas, eI simbolo debe presentar sus
partes de forma creciente (ascendente en magnitud).
Expresando las seis caras del Cubo con sus indices de Miller,
tenemos:
Cara 1: (100)
Cara 2: (010)
Cara 3: (001)
cara 4: (100)
cara 5: (010)
cara 6:
(Oon
Vemos como toda expresi6n positiva tiene su equivalente negativo.
Por esto, podemos concluir la existencia del Centro de simetria.
Siguiendo las convenciones antes explicadas, se e1ige la expresi6n
(001) para representar la forma de este cristal.
Note como las expresiones negativas quedan todas descartadas.
Se llama Forma general, a aquella que tiene por indices (hkl), es
decir que corta diferentemente a los tres ejes cristalograficos.
En un crista I puede haber un nllmero variable de Formas, desde
una sola (como en eI caso del Cubo), hasta combinaciones de
cuatro, cinco y aun mas.
Una Forma compuesta s610 por dos caras que sean paralelas, tiene
que estar acompanada de otra u otras formas en eI cristal, porque
por si sola, no puede llenar el espacio tridimensional; estas son las
llamadas formas abiertas.
En las figuras 48 y 49 vemos algunos ejemplos de Formas abiertas.
AI extender las caras y mirar los interceptos de unas con otras,
vemos que no pueden cerrar 6 llenar el espacio.
Martha Henao Vasquez
Una Forma sera cerrada, si las prolongaciones de sus caras limitan
enteramente eI crista!.
EI Cubo es por ejemplo una Forma cerrada, pues sus seis caras se
encuentran y se cortan unas con otras.
Las figuras 50, 51 y 52, muestran algunos ejemplos de formas
cerradas. Notese como pueden existir solas a en combinacion con
otras cerradas a abiertas.
5.15.1. Nombres de las Formas
5.15.1.1. Pinacoide Forma abierta constituida por dos caras paralelas (fig.48). FIGURA 48. Forma Cristalina : Pinacoide. Corind6n (Rubi). Procedencia: Madagascar. 5.15.1.2. Prisma
Forma abierta que puede estar compuesta por tres, cuatro, seis,
ocho 6 doce caras, todas elias paralelas al mismo eje. EI numero de
caras depende del sistema al cual pertenece eI crista!'
- gO ­
Cristalograjia Recreativa
FIGURA 49. Forma Cris!alina: PrislThl. Turmalina, var. Charlo. ProccJc ncia: Ncudeck, Bohemia . 5.15.1.3. Bipiramide
Forma cerrada de seis, ocho, doce, dieciseis 6 veinticuatro caras,
segLIn sea el sistema.
Pueden considerarse como formadas por dos Piramides, unidas
por reflexi6n, la una so bre la otra a traves de un Plano de simetria
horizontal.
FIGURA 50. Forma CTistalina: Bipinimide.
Martha Henao Vasquez
5.15.1.4. Trapezoedro trigonal
Forma cerrada compuesta por seis caras, las tres superiores giradas
con respecto a las tres inferiores.
Esta Forma es el resultado de un eje Ternario, combinado con ejes
Binarios perpendiculares.
FIGURA 51. Forma Crista lillll : Trapezoedro trigonal..
5.15.1.5. Escalenoedro Hexagonal.
Forma cerrada compuesta de doce caras, tres pares de caras arriba y
tres pares abajo, en posicion alterna, relacionadas entre si por una
rotoinversion Ternaria. La forma geometrica de cada una es un
triangulo escaleno.
FIGURA 52. Forma Cristalina: Escalenoedro.
- 92 ­
Cristalografia ReCrealil'a
5.15.1.6. Romboedro
Seis caras que constituyen una Forma cerrada, tres de ellas en
la parte superior alternan con las otras tres en la parte inferior,
giradas entre St, 60 0 •
FIGURA 53. Forma Crisudina: Romboedro. akita, var. Espato d~ Islandia. Procedencia: Neu, Mexico, U.S.A. 5.15.1. 7. Cubo 6 Hexaedro
Forma cerrada compuesta por seis caras que se cortan a 900 una
de otra.
FIGURA 54. Fortna Cri.ltlliina: Ct.bo u Hexaedro. Halita. Proccdencia: Zipaqtlird, Ctlndinamarca. Martha Henao Vasquez
5.15.1.8. Octaedro
Forma cerrada compuesta por ocho caras, cada una con aspecto
geometrico de un triangu[o equilatero.
FIGURA 55. Farma Cristatina: Octacdro. Magneti ta . 5.15.1.9. Dodecaedro R6mbico
Forma cerrada compuesta por doce caras, cada una con aspecto de
rombo.
FIGURA 56. Farma Cristatina: Dodecaedro R6mbico. Granate. - 94 ­
Cristalograjia RecrealivQ
5.15.1.10. Trapezoedro
Forma cerrada compuesta por veinticuatro caras, caJa una de
aspecto geometrico trapezoidal.
FI URA 57, Forma Criswlina : Traptlzoedro, UCtLtilla, Norte de SaJltander, Granate, Proccdencia:
5.15.1.11. Tetraedro
Forma cerrada compuesta por cuatro caras, cad a una con forma
geometrica de un triangulo equilatero.
FIGURA 58, Forma Cristalina : Tetraedro,
Martha Henao Vasquez
5.15.1.12. Piritoedro
Forma cerrada compuesta por dace caras, cada una de aspecto
pentagonal.
FIGURA 59. Forma Crista/ina : Piritoedro. Pirita. Procedcncia: Muzo, Bayacd. Se acaban de enunciar los nombres de las formas que con mayor
frecuencia ocurren en los minerales mas corrientes.
Existen otras Formas como son: Pedion, Domo, Esfenoide,
Tetraquishexaedro, Triaquisoctaedro, Dodecaedro Deltoidal,
Diploedro, Hexaquisoctaedro, etc, que pueden ser consultadas en
los tratados c1asicos de Cristalografia.
5.16. LAS 32 CLASES CRISTALINAS
Como ya se habia tratado, solo son posibles 32 formas de
combinar los diferentes elementos de simetria para que puedan ser
compatibles.
Estas combinaciones, dan lugar a las 32 Clases Cristalinas 0 Clases
Cristalograficas.
-96 ­
Cristalogrufia Recrea/iva
RecorJemos que la expresit'm (hkl) representa los indices de Miller
de la Forma general, que corta de manera diferente a los rres Ejes
cristalograficos.
EI nombre que recibe la Forma general, es el nombre que se dara
a la Clase, por ejemplo: (hkl) en la simetria: 2/ 01 2/ 01 2/01 es la
Forma Hamada Bipiramide rombica. EI nombre de la Clase sera
entonces Bipiramidal rombica.
En la simetria 4/ 01 j 2/ 01, (hk!) es la Forma general lIamada
Hexaquisoctaedro, par tanto, el nombre de la Clase sera
Hexaqu isoctaed rica.
La cantidad de especies minerales que cristalizan en cada uno de
los seis sistemas cristalinos es muy variable. Se ha encontrado la
siguiente distribuci6n.
En
En
En
En
En
En
el sistema Cubico 0 Isometrico
el sistema Hexagonal
el sistema Tetragonal
el sistema Ortorrombico
el sistema Monoclinico
el sistema Triclinico
26%
19%
12%
20%
21%
2%
Se ha encontrado tambien que la mayor cantidad de especies
minerales se encuentra en la Clase cristalina de mas alta simetria
de cada sistema.
Estas clases son: T en el Triclinico, 2/ 01 en el Monoclinico; 2/ 01
2/ 01 2/ 01 en el Rombico; 4/ m 2/ 01 2/01 en el Tetragonal; J 2/ 01
en el Hexagonal, divisi6n Romboedrica; 6/ 01 2/ 01 2/ 01 en el
Hexagonal, divisi6n Hexagonal y 4/01 j 2/ 01 en el Cubico.
Se agrega a esta lista, las clases 3 2 de la division Romboedrica
del sistema Hexagonal; 4 3 2 Y 2/ 01 J del sistema Cubico, por
Martha Henao V{isquez
representar especies minerales de marcada importancia, como son,
Cuarzo, Esfalerita y Pirita.
En total son entonces 10 Clases, de las 32 que existen, las que se
van a considerar, como mas importantes en este estudio.
La tabla 3, muestra la distribuci6!l convencional de los sistemas y
clases cristalinas.
TABLA 3. La.1 32 Clases de Cristales)' SIt simetria caract~ris[ica. (Cornelius Klein y CorneliKI Hurlbut Jr., Mantwl de Mineralogia. 1998. 72p). Notoci6n de
Hennan - J';fauguin
Sirnetria CarBcteristica
Clase del cristal
Sistema
1.1
TricHnico
S610 simctria monana
POI' 5U
2. m.2/ m
MOlloctiuiro
81)10 un cj(' de rolacioll
biu31;a Y/o lin plano de
simelria
EI cje binarin Sl' lorna como ejc b }"
el plano de. simctria (plano (/ - c)
cs vertical.
222. mm2
Ortorrolubico
Tl'CS
direcduncs
mutuam('nte
2/m 2/m 21m
perp{'ndicularcs alrededor de
los cuales hay simE.'tria
binatia (2 (j m)
4· 4· 4/m
422 · 4mm.
42m . 4/m 2/m 2/m
Tetragonal
Un cjt:' cuat(>rnario
6.6.6/m
Hexagonal
Un
[so nH~ t rico
Cuatro ejes ternarios
indinados respectu a los ej
eristalngrafico:s
cj~'
sl'nnrio
622.6mm
o2m. 6/ro 2/m 21m
3· 3· 32
3m. 32/m
23 · 2/m 3
432·43m
4/m 3 2/m
- 98 ­
baja simetria no hay
re.stricciollcs cristalognifieas.
Los simoulos se reficren a los
elementos de una simetria de
ord('n a.b.c; los cjl'S binari05
coindclen con los ejos
c.ristalograficos,
Los cjes cuatenla rios se rcfie rt.Il al
cje c;"el segundo simboJo (si 10
hay) 5 1:": rcficre a las direcciones
3:\'1ules (aJ Yu:.,) : c\ tl"rcer simhoJo
(si 10 hay) a las direccionel 4S"
con respecto a H, Y Q,.
EI primer numero ~ re-ficl"l' "I cje
c: oJ segundo y tercer s!mbolos (si
los hav) Sf:! refieren
respecti,,"amenlt< a los elementos
de simctria paralelos y
pe.rpcndiculares a los cjcs
eristalogf".lficos (lJ.~ y a:.,
EI primer nume.mse- refit."rc a los
tn's ejes cristalograficos 01 , a !! y u:/;
el segundo l1umcro);c re fi en.' a Ins
cuntro dirccciones diagonales de
simNria ternaria( entre lo~
\"(~rti ces d(' un cubo)j eI tefl'"t..':.r
numen) 0 simlKllo (.si 10 hay) sc
rel1cre n sds direcciones cntrx- las
aristns de un euhn
Cristalografia Recreativa
5.16.1. Formas en el Sistema Triclinico.
Ejes cristalograficos
Los tres ejes cristalograficos, son de diferente longitud y forman
angulos oblicuos entre si.
Para orientar un cristal triclinico, 10 primero que hay que hacer es
definir "Ia zona" del crista I (maximo conjunto de caras y/ o aristas
paralelas entre s£), y paralelamente a ella se elige el eje c, vertical.
Enseguida se buscan los ejes a y b, haciendolos paralelos a aristas
del cristal y que sigan la tendencia general de orientaci6n: a, va de
atras hacia delante del observador, inclinado hacia los pies de este
y b, va de izquierda a derecha del observador. El eje b debe ser mas
largo que el eje a.
1: Clase Pinacoidal: T = C.
La simetria consiste en un Eje de inversi6n Monario, que equivale
al Centro de simetria.
FI URA 60. Formas en cristales Tyiclinicos. Calcantiw. Aytificial. - gg ­
Martha Henao Vasquez
Todas las Formas de esta Clase son Pinacoides y se componen de
dos caras semejantes y paralelas.
1. (100) Pinacoide frontal. Corta al eje ayes paralelo a los otros
dos.
2. (010) Pinacoide lateral. Corta al eje byes paralelo a los otros
dos.
3. (001) Pinacoide basal. Corta al eje eyes paralelo a los otros
dos.
4. (Ok\) Pinacoide de primer orden. Paralelo al eje a y corta a b
y a c en longitudes diferentes. Puede existir la forma negativa.
(Okl).
5. (hOI) Pinacoide de segundo orden. Paralelo al eje b. Corta a
a y c en medidas diferentes. Puede existir la forma negativa
(flO\).
6. (hkO) Pinacoide de tercer orden. Es paralelo al tercer eje (eje c)
y corta a a y b en longitudes diferentes. Puede existir la forma
negativa (llkO).
7. (hkl) Pinacoide de cuarto orden. Corta a los tres ejes a medidas
diferentes. Pueden existir las formas negativas: (hkl), (h1<1) 6
(hkT).
Minerales de importancia que cristalizan en esta clase son:
Calcantita, Microclina, feldespatos plagioclasas, Rodonita,
Turquesa y Wollastonita.
Algunos ejemplos de la eoleedon de estudio.
Modelo No. 146.
Pinacoide frontal {100}
Pinacoide lateral {OlO}
Pinacoide basal {00l}.
- 100 ­
Cristalografia Recreativa
Modelo No. 149. Pinacoide frontal {100} Pinacoide lateral {01O} Pinacoide basal fOOl} Pinacoide de primer orden {Ok!} Pinacoide de tercer orden {hkO} Pinacoide de cuarto orden {hk!} 5.16.2. Formas en el Sistema Monoclinico
Ejes cristalograficos
Los tres Ejes cristalograficos son de diferente longitud.
En cuanto a las relaciones angulares, 00 ;; 1 ;; 90°. En la mayo ria de
los cristales, el angulo que forman a(+) y c(+) es mayor de 900, pero
a veces puede ser de 900 como en la Estaurolita, razon por la cual el
cristal no parece Monoclinico, sino Rombico (seudo-Ortorrombico).
EI primer eje que se e1ige es b y debe coincidir con el Eje de simetria
Binaria. El eje a, va inclinado hacia los pies del observador y c, es
vertical, paralelo a la "zona" del crista!'
FIGURA 61. FormLls en cristales Monoclinicos.
Es muy probable que pueda haber dos 0 mas orientaciones
igualmente buenas, pero se prefiere, por convencion, c menor que a.
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Martha Henao Vasquez
EI habito cristalino ayuda a la orientacion del cristal. Si los cristales
son de habito prismatico, 6 sea de desarrollo alargado, esa direccion
se usa a menud o como eje c.
La exfoliaci6n es tambien un factor importante para orientar un
cristal monoclinico. Ella se toma usual mente como exfoliacion
basica, por ejemplo en la Ortoclasa . Si hay dos exfoliaciones, como
pasa en anfiboles y piroxenos, se les considera como exfoliaciones
verticales prismaticas.
2/ m: Clase Prismatica:
~, p,
c.
Para escoger el primer eje (b), hacemos uso de la informaci6n que
nos ofrece la notaci6n Hermann-Mauguin, pues bien nos dice que
el unico eje Binario es perpendicular al Plano de simetria.
Visualizar un plano en un cristal es mucho mas rapido y sencillo
que un eje, por esto, haHamos eI plano, y perpendicularmente a el
encontramos el eje, que sera b, orientado de izquierda a derecha
del observador.
Enseguida definimos cual es la "zona" del cristal, y paralelamente
a ella, se e1ige c (vertical). El tercer eje es a, inclinado hacia los pies
del observador y 10 hacemos paralelo a una arista real del crista!'
Solo existen en esta clase cristalina, Pinacoides y Prismas.
1. (100) Pinacoide frontal. Carta al eje ayes paralelo a b y a c.
2. (010) Pinacoide lateral. Corta al eje byes paralelo a a y a c.
3. (001) Pinacoide basal. Corta al eje c y es paralelo a a y a b.
4. (hOl) Pinacoide de segundo orden. Corta a a y a c a medidas
diferentes yes paralelo al eje b. Tambien puede existir la forma
negativa. (hOl).
5. (Ok!) Prisma de primer orden. Corta a los ejes by c a medidas
diferentes y es paralelo al eje a.
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Cristalografia Recreafiva
6. (hkO) Prisma de tercer orden. Corta a los ejes a y b a distancias
7. diferenres y es paralelo al eje c.
(hkl) Prisma de cuarto orden. Corta diferentemente a los tres
Ejes cristalograficos. Estos Prismas se componen de cuatro
caras.
Algunos de los minerales mas corrientes e imporrantes de esra clase son: Azurita, Caolinira, grupo anfibol (clino), grupo piroxeno (clino), Clorita, Epidota, Heulandita, Malaquita, grupo mica, Oropimenre, Ortosa, Rejalgar, Talco, Esfena y Yeso. Algunos ejemplos de la colecci6n de estudio Modelo No. 126 Pinacoide frontal {lOO} Pinacoide lateral {OW} Pinacoide basal fOOl} Modelo No. 130. Pinacoide lateral {OW} Prisma de primer orden {Ok I} Prisma de tercer orden {hkO} Modelo No. 136. Pinacoide
Pinacoide
Prisma de
Prisma de
lateral {OW} basal fOOl} tercer orden {hkO} cuarto orden {hkl} Modelo No. 140. Pinaco ide
Pinacoide
Prisma de
Prisma de
lateral {OW} basal fOOl} segundo orden {hOl} tercer orden {hkO}. -103­
Martha Henao Vlisquez
5.16.3. Formas en el Sistema Ortorr6mbico (R6mbico).
Ejes cristalograficos
Los tres Ejes cristalograficos son de diferente longitud y todos son
perpendiculares entre Sl.
Para orientar un crista I Ortorr6mbico, (fig. 62) se sigue una
convenci6n regida por el habito del crista I.
FIGURA 62. Formas de crisw/c.I Orwrrombicos.
Si eI desarrollo es tabular, eI eje c es el mas corto, tal que, c menor
que a, menor que b. Si eI desarrollo es bipiramidal, c es eI eje mas
largo, tal que c mayor que a, mayor que b.
21m 21m 21m: Clase Bipiramidal R6mbica: 3Az' 3p, c.
Los tres Ejes cristalograficos son de simetria Binaria y cada uno
tiene un Plano de simetria perpendicular.
1. 2. 3. 4. (100) Pinacoide frontal. Corta al eje ayes paralelo a b y a c.
(010) Pinacoide lateral. Corta al eje byes paralelo a a ya c.
(001) Pinacoide basal. Corta al eje c y es paralelo a a y a b.
(Okl). Prisma de primer orden. Forma compuesta de cuatro
caras que corta a los ejes b y c a distancias diferentes y es
paralelo al eje a.
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Cristalografia Recreativa
5. (hal) Prisma de segundo orden. Corta en diferentes medidas a
a y c y es paralelo al eje h.
6. (hkO) Prisma de tercer orden. Corta a los ejes a y b a distancias
diferentes y es paralelo al eje c.
7. (hkl) Bipiramide rombica. Consta de ocho caras triangulares,
cortando a los tres ejes en medidas desiguales.
Algunos de los mas comunes e importantes minerales de esta
clase son: Andalucita, Antofilita, Aragonito, Azufre, Baritina,
Cordierita, Enstatita, Estibina, Goethita, Marcasita, Olivino,
Sillimanita, Topacio.
Algunos ejemplos de la colecci6n de estudio Modelo No. 107. Bipiramide rombica {hkl} Modelo No. 110.
Pinacoide frontal {lOa}
Pinacoide lateral {OW}
Pinacoide basal fOOl}
Modelo No. 113.
Prisma de segundo orden {hal}
Prisma de segundo orden {hal}
Prisma de tercer orden {hkO}.
Modelo No. 116.
Pinacoide
Prisma de
Prisma de
Prisma de
basal {am} primer orden {Okl} segundo orden (hOI} tercer orden {hkO} Modelo No. 122.
Prism a de primer orden {Okl}
Pisma de segundo orden {hOI}
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Martha Henao Vasquez
Pisma de tercer orden {hkO}
Bipinimide r6mbica {hkl}.
5.16.4. Formas en el Sistema Tetragonal
Ejes cristalograficos
Los tres Ejes cristalograficos son mutua mente perpendiculares,
dos de ellos, los horizon tales son iguales en longitud, y par tanto,
intercambiables. EI eje c es vertical, y es de diferente tamano (puede
ser mas largo 6 mas corto que los horizontales).
4/m 2/m 21m: Clase Bipiramidal Ditetragonal: A4' 4A z' 5p, c.
EI eje c, vertical, es de simetria Cuaternaria. Existen cuatro ejes
horizon tales de simetria Binaria, dos de los cuales seran los ejes a y b.
La escogencia de los dos ejes Binarios horizontales se hace teniendo
en cuenta que la forma dominante del cristal, es decir, la mas
desarrollada, sea de primer orden, asi las otras que han crecido en
menor tamal'io, quedan de segundo orden.
FIGURA 63. Formas en c,-i.Hales Tecml!onalcs.
Pueden estar en el cristal combinaciones de Prismas, Bipiramides
6 incluso, Prismas can Bipiramides.
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CriSfa/ograjia Recrealiva
1. (110). Prisma tetragonal de primer orden. Forma compuesta
2. 3. 4. 5. 6. 7. de cuatro caras que corta en iguales medidas a los ejes a y b y
es pa ralela a c.
(lOO) Prisma tetragonal de segundo orden. Corta al eje ayes
paralela a by a c.
(hkO) Prisma ditetragonal. Ocho caras verticales rectangulares,
cada una de elIas corta a los ejes a y b desigualmente. EI prefijo
di, duplica el numero de caras.
(hhI) Bipiramide tetragonal de primer orden. Se compone de
ocho caras trianaulares isosceles, cada una de las cuales corta a
igual medida a los ejes a y b, y en longitud diferente, corta a c.
(Okl) Bipiramide tetragonal de segundo orden. Ocho caras
triangulares isosceles, cada una de las cuales carta en medidas
desiguales a b y a c, yes paralela at eje a.
(hkl) Bipiramide ditetragonal. 16 caras de triangulos escalenos,
cad a una de las cuales corta los tres ejes diferentemente.
(00l) Pinacoide basal. Dos caras paralelas, perpendiculares al
eje Cuaternario, cortan a c, mas no a a y a b.
Algunos minerales representantes de esta clase son: Rutilo,
Casiterita, Circon.
Algunos Ejemplos de la colecci6n de estudio
Modelo No. 88.
Bipinimide tetragonal de primer orden {hhl}
Modelo No. 91.
Prisma tetragonal de primer orden {ltO}
Pinacoide basal fOOl}
Modelo No. 95.
Prisma tetragonal de primer orden {llO}
Prisma tetragonal de segundo orden {lOO}
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Martha Henao Vasquez
Bipiramicle tetragonal de primer orden {hhl.} Bipiramide tetragonal de segundo orden {Okl} Pinacoide basal fOOl} Modelo No. 96. Prisma tetragonal de segundo orden {lOO} Prisma ditetragonal {hkl} Bipiramide tetragonal de primer orden {hILl} 5.16.5. Formas en el Sistema Hexagonal-Division Hexagonal.
Ejes cristalograficos:
Recordemos que en este sistema se requieren cuatro ejes. Tres
de ellos ubicados en el plano horizontal, son: a" az y a 1 ,de igual
longitud y separados a 1200 entre sus extremos positivos. El cuarto
eje, c, es vertical.
La figura 64, muestra la orientacion de dichos ejes.
FIGURA 64. Ejes cristalogra[icos Hexagonal.es .
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Cristalograjia Recreativa
6/m 21m 21m: Clase Bipiramidal DiHexagonal: A6 , 6A 2 , 7p, C.
El eje vertical es un eje de simetria Senario. Hay seis ejes
horizontales de simetria Binaria, de los cuales s610 se necesitan tres
para coincidir con ai' a z y a r
La escogencia de los tres ejes Binarios horizontales se hace teniendo
en cuenta que la Forma dominante del cristal, es decir, la mas
desarrollada, sea de primer orden, asi, las otras que han crecido en
menor tamai10, quedan de segundo orden.
Pueden estar en el cristal combinaciones de Prismas, Bipiramides,
6 incluso, Prismas con Bipiramides.
FIGURA 65.
riswlcs Hexagonales, division Hexagonal.
Prisma y flipiramide.
Pinacoide y Prisma.
Berilo
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Martha Henao Vasquez
1. (1010) Prisma Hexagonal de primer orden. Seis caras
2. 3. 4. 5. 6. 7. verticales, cada una de las cuales corta por igual a dos de los
ejes cristilograficos horizontales, y es paralela al tercero.
(1120) Prisma Hexagonal de segundo orden. Seis caras
verticales, cada una de las cuales corta por igual a dos de los
ejes horizontales, y aI eje horizontal intermedio entre estos
dos, a la mitad de dicha distancia.
(hkiO) Prisma DiHexagonal. Se compone de doce caras
verticales, cad a una de las cuales corta a los tres ejes horizontales
a longitudes distintas.
(hOIl!) Bipiramide Hexagonal de primer orden. Consta de 12
caras triangulares isosceles, cada una de las cuales corta por
igual a dos de los ejes cristalognificos horizon tales, es para lela
al tercer eje y corta en distinta medida al eje vertical.
(hh211!) Bipinimide Hexagonal de segundo orden. Se
compone de doce caras triangulares isosceles, cada una de las
cuales corta por igual a dos de los ejes horizontales, y al tercero
o intermedio, 10 corta a la mitad de esa distancia, cortando
tambien el eje vertical en distinta medida.
(hkll) Bipiramide diHexagonal. 24 caras triangulares escalenas
que cortan a distancias distintas a los tres ejes horizon tales y
tambien corta al eje c, pero a distinta medida.
(0001) Pinacoide basal. Dos caras paralelas a los ejes a" a 2 y a)
y solo cortan a C.
Son ejemplos de minerales de esta clase: Berilo, Molibdenita,
Pirrotina.
Algunos ejemplos de la coleccion de estudio.
Modelo No. 54.
Bipiramide Hexagonal de primer orden {IOTO}
,
Modelo No. 57.
Bipiramide diHexagonal {hkll}.
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