Ejercicios de funciones: 1º Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x) x 2 1 en los puntos (1, f (1)) y (2, f (2)). 2º Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) 1 x 1 en el punto de abscisa x = 2. 3º Determina el valor de a sabiendo que las rectas tangentes a la gráfica de f ( x) ax3 x 2 ax 1 en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 son paralelas. 4º Calcula la ecuación de la recta tangente en algún punto a la gráfica de la función f ( x) x 3 que sea paralela a la recta y = 3x + 1. 5º Dadas las funciones f ( x) x 2 1 y g ( x) 3x 3 x 2 calcula la derivada de las funciones f(x) + g(x), f(x)g(x), f(x)[g(x)]2, f ( x) y g ( x) f(x)g(x). 6º Calcula la derivada de los siguientes polinomios: a) f ( x) 4x 5 3x 3 2x 2 x 5 b) c) d) 7º f ( x) x 5 3x f ( x) 3 x 5 6 2 f ( x) x 2x 1x 3 5 2 Para las siguientes funciones, determina el rango de valores de la variable x para el que está bien definida la función inversa; calcula ésta, su dominio de definición y su derivada. a) f ( x) e x4 b) f ( x) ln 1 x 2 x4 f ( x) c) x2 8º 10 Calcula la derivada de las siguientes funciones: x e) f ( x) a) 5 3 x 8 f) 1 f ( x) b) g) x2 x2 5 f ( x) 2 c) h) x 4 4 2 i) x x f ( x) d) j) x2 f ( x) log3 ( x 2 5) f ( x) 73x 2 ln(x 1) 1 f ( x) ln 2 x 8 2 7 x2 x 1 f ( x) e f ( x) senx 2 f ( x) sen 2 x k) l) m) 9º f ( x) 6e x x x 1 x 1 f ( x) 2 f ( x) ( x 2) x1 1 5 n) f ( x) x (1 x 2 ) 7 o) f ( x) ln x 1 x 2 Para la función: x 2 1 si x2 f ( x) 2 x 1 si 2 x 4 5 si x4 a) b) 10º Dada la función: a) b) 11º Estudiar razonadamente su continuidad en . Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función cuando x = 2. 4 si x 0 f ( x) x 2 2 2 x si x 0 Estudie la continuidad de esta función en y analice su comportamiento en los posibles puntos de discontinuidad. Calcule la función derivada de f(x). Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: g x hx x sin x . 1 y x 12º Estudia el crecimiento y decrecimiento de una función cuya función derivada viene dada gráficamente por la recta que pasa por los puntos 1,0 y 0,1 . 13º Dada la función x 1 2x a 2 f x x 2 1 x 1 log x x 1 (Donde log x representa el logaritmo neperiano) a) Calcula el valor de a para que f sea continua en x = 1 b) Representa gráficamente la función anterior si a = 3 c) Justifica la existencia, o no, de derivada en los puntos x = 1 y x = 1 para la función obtenida en el apartado anterior. 14º Se considera la función y 5x 2 8x 3 3x 2 2 Determina: a) Su dominio de definición. b) Los puntos, o el punto, en los que la función se anula. c) Los intervalos en los que la función es creciente o decreciente, así como aquellos puntos en los que alcanza un máximo o un mínimo. d) 15º 16º 17º Ecuaciones de las asíntotas, si es que las hay. Dada la función f x 2 x 3 3x 2 12x 4 , se pide: a) Pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 2. b) Escribir los intervalos en donde la función f sea creciente y en donde sea decreciente. c) Determinar los valores de x en los que la función f alcanza un máximo relativo y un mínimo relativo, respectivamente. ¿Cuánto vale la función en esos puntos? 3 3 si x x 2 3 Dada la función f x 2 x 1 si x 0 2 2 x0 x 1 si Se pide: a) Estudiar la continuidad de f. b) Representación gráfica de f. c) Área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = 3. El beneficio y, en millones, de una sociedad en función de la inversión, x, en millones, viene dado por y x 2 2 x 7 . Obtén la derivada del beneficio, y, respecto a la inversión, x, cuando la inversión es de 2 millones y cuando la inversión es de 3 millones. Utiliza las derivadas obtenidas para calcular, aproximadamente, el beneficio cuando la inversión es de 2,01 millones y cuando la inversión es de 3,02 millones. 18º El consumo de combustible (en centenares de litros) de cierta aeronave durante un total de 5 horas de vuelo, viene dado por la función: 5t si 0 t 1 t 2 4t 2 si 1 t 2,5 C t 5,75 si 2,5 t 4 28,75 5,75t si 4 t 5 a) Representa dicha función. b) Interpreta la gráfica obtenida. 19º a) b) t2 , estudia: cortes con los ejes, crecimiento y 1 t2 decrecimiento, asíntotas. Si y f t , t 0 , nos da la relación entre los beneficios (en millones de pesetas) obtenidos por la venta de un producto y el tiempo t (en años) que este lleva en el mercado, ¿durante cuánto tiempo no se superó el medio millón de pesetas de beneficios? Dada la función f t 20º Considera la función f x ax 21º 1 Calcula y simplifica la derivada de la función f x ln 2 . x 22º Sea la función: f x 1 . Determina los valores del parámetro a para x los cuales la función es decreciente en el punto de abscisa x = 2. a) b) c) 23º 26º x2 si x 2 x 1 f x 2 3 x 2 x si x 2 x 2 Estudia si f es continua en el punto x = 2. Calcula la ecuación de la recta tangente a f en x = 3. Calcula sus asíntotas oblicuas. x 1 . Se pide: x2 8 Cortes de su gráfica con los ejes y dominio de definición. Asíntotas y regiones. Máximos y mínimos. Representación aproximada de la gráfica de la función. Se considera la función: f x a) b) c) d) 25º x2 Calcula sus asíntotas horizontales y verticales. Calcula sus máximos, mínimos y puntos de inflexión. Represéntala gráficamente (basándote en los resultados de los apartados anteriores y cualquier otro que puedas necesitar) Se considera la función: a) b) c) 24º x 12 Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 1 f x 4 2 x ln a) 1 x 3 2 b) g x sen 2x 1 c) Aplicando la definición de derivada, hx x 2 2 x en x = 2. calcula la derivada de Considera la función polinómica de tercer grado f x ax3 bx2 cx d , siendo a, b, c y d parámetros reales. Se pide: a) Determina los valores del parámetro para que f x tenga un máximo en el punto (0,4) y un mínimo en el punto (2,0). b) Para a = b = c = d = 1, razona si f x tiene puntos de inflexión y, en caso afirmativo, calcúlalos.