(Th)I - (Tc)F = (ΔT)I

Solución problema 3.168
El proceso es el reflejado en la figura 1(a) del problema 3.84.
a) Con el fin de facilitar el uso de las fórmulas del citado problema se introduce el parámetro P:
P'
* (T)F & (T)I *
* Variación de temperatura de un fluído *
* ∆T *
'
'
diferencia inicial de temp. entre los dos fluidos
(∆T)I
(Th)I & (Tc)I
(1)
con lo que la fórmula (simétrica para el fluido caliente y el frío) que debemos estudiar se transforma en
P '
1 & exp (N ) ( R & 1)
1 & R exp ( N ) ( R & 1)
(2)
que cuando R es igual a la unidad es indeterminada. En cualquier caso se ha de verificar el balance de energía que,.
con la hipótesis de que las pérdidas son nulas y usando propiedades medias, es:
q ' C0 h (Th)I & (Th)F ' C0 c (Tc)F & (Tc)I
(3)
que al ser
Rh '
Ch
C0
(Tc)F
'
(Tc)I
(4)
(T ) & (T )
nos indica que si R = 1, la diferencia de temperaturas entre los dos fluidos, Th - Tc, se mantiene constante a lo largo
de todo el dispositivo y en consecuencia:
(Th)I − (Tc)F = (∆T)I
con lo que
q ' U A [ ( T h )I & ( T c )F % ( T c )I & ( T c )I ] '
U A [ ( ∆ T )I & ( ∆ T )c ]
y como
q ' C0 c ( Tc )F & ( Tc )I ' C0 c ( ∆ T )c
si igualamos las dos expresiones de q y agrupamos los coeficientes de (∆T)c,
( ∆ T )c ( C0 c % U A ) ' U A ( ∆ T )I
llegamos a:
( ∆ T )c
( T )I
' P '
UA
U A % C0 c
'
N
1 % N
(5)
o
N '
P
1 & P
fórmulas simétricas para el fluido caliente y el frío, que resuelven la indeterminación.
(6)
b1) De los parámetros introducidos en el problema 3.84 , la longitud L aparece en N, pues A = πDL, de modo que,
en las fórmulas allí propuestas, éste será el parámetro a determinar y para ello necesitamos R, es decir los calores
específicos, y las temperaturas.
De la fórmula correspondiente a la configuración contracorriente (simétrica para el fluido caliente y el frío)
podemos espejar N, obteniendo:
ln
N ' &
1& P
1 & (P)(R)
R & 1
(7)
Para hallar los valores numéricos, tenemos fijadas tres temperaturas y la cuarta viene determinada por el balance
de energía (3):
q ' C0 h (Th)I & (Th)F ' C0 c (Tc)F & (Tc)I
Esta relación nos permite calcular la temperatura de salida del n-hexano, la corriente fría, aunque debemos hacerlo
por aproximaciones sucesivas, pues desconocemos el valor exacto del calor específico medio del mismo. La
potencia transferida por el dispositivo será:
q ' (0,51)(2.143,5)(340,15 & 338,80) ' 1.475,8 ' C0 c (Tc)F & 283,15 , W
con lo que respondemos a una pregunta y donde 2.143,5 es el calor específico de la anilina a (340,15 + 338,80)/2
= 339,4 K.
Así, suponemos inicialmente el calor específico del n-hexano igual al correspondiente a la temperatura inicial,
283,15, cc = 2.219 J/kg K, valor que sustituido en (4) nos da (Tc)F = 284,5, con lo que tenemos una temperatura
media de 283,83 K y un calor específico de 2.221,5. Con este valor volvemos a calcular la temperatura final del nhexano, etc. De esta modo llegamos finalmente a una temperatura de salida del n-hexano de 284,506 K y un calor
específico medio del fluido frío de 2.221,5 J/kg K.
Con estos valores podemos hallar el parámetro P correspondiente a la anilina:
67 & 65,65
' 0,0236842
67 & 10
Ph '
(8)
y como Rh = 2.143,5/2.221,5 = 1,004272, ya disponemos de los valores para aplicar la fórmula (7). Sustituyendo
estos valores en la misma:
ln
Nh ' &
1 & Ph
1 & (Ph)(Rh)
Rh & 1
ln
' &
1 & 0,0236842
1 & (0,0236842)(1,004272)
' & 0,024260
1,004272 & 1
Dado el valor del coeficiente global de transferencia indicado en el enunciado tendremos, por definición, el área
de transferencia térmica:
Ai ' Nh
C0 h
Ui
' 0,024260
(0,51)(2.143,5)
' 0,051259 m 2
517,39
La frontera térmica entre los dos fluidos es la tubería de acero al carbono de DN 1 in, Schedule 40, que discurre
por el interior de la de 2 in. De la aplicación CONDUCTOS obtenemos la superficie lateral interior por m de tubería
Ai = 0,083708 m2/m, con lo que la longitud de tubo requerida será de
L'
0,051259
' 0,6124 m
0,083708
Como en esta caso R es muy cercano a 1, podemos aplicar aproximadamente la fórmula (6). Así
Nh '
Ph
1 & Ph
'
0,0236842
' 0,24259
1 & 0,023842
de acuerdo con el valor de P según (8). Este valor de Nh coincide casi exactamente con el hallado antes, con lo que
se confirma la solución.
b2) En este caso la incógnita está en P, al tratarse de una temperatura, por lo que la fórmula (simétrica para el fluido
caliente y el frío) que resuelve la cuestión es:
P '
1 & exp (N ) ( R & 1)
1 & R exp ( N ) ( R & 1)
(9)
pero no disponemos de los valores correctos de la capacidades caloríficas al no conocer las temperaturas medias,
por ello deberemos iterar de nuevo.
Aplicaremos la fórmula (9) a la anilina (fluido caliente) tomando como primeros valores de los calores específicos
los correspondientes a las temperaturas iniciales, 340,15 K, ch = 2.144,7 J/kg K para la anilina y 283,15 K, ch =
2.219,0 J/kg K para el n-hexano. Así obtenemos Rh = 1,0059661, Nh = 0,0241534 y, con la fórmula, Ph = 0,23723.
Asimismo, Pc = Ph Rh = 0,238645 y los dos valores de P nos dan (Th)F = 338,81 K y (Tc)F = 284,50 K, con lo que
obtenemos unos primeros valores de las temperaturas medias, (Th)m = 339,48 K y (Tc)m = 283,83 K, para calcular
los nuevos calores específicos, etc. Por último, llegamos a unas temperaturas finales de (Th)F = 338,80 K y (Tc)F =
284,506 K, y una potencia de 1.476 W.
Utilizando la fórmula (5) tenemos un valor inicial:
Ph '
Nh
1 % Nh
'
0,0241534
' 0,023584
1 % 0,0241534
muy parecido al hallado con la fórmula general, etc.