Superficies ampliadas
Anuncio
IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS
pfernandezdiez.es
IX.1.- INTRODUCCIÓN
Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión
de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de
energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc.
Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen
como aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación
(longitud/espesor) es del orden de 5/1 ÷ 50/1, y espesores del orden de 0,5 ÷10 mm.
Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que
el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta.
Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su
disposición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la
base sea pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución
de temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la
relación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es
elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no
se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones.
Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, siendo el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con una separación del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o trianpfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-167
gular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en
serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor.
Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección hC a través de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada
en mover el fluido.
a) Aletas longitudinales
b) Aletas transversales
c) Tubos aplastados con aletas continuas
Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas
Esta situación conduce a un estudio de métodos y costes de fabricación, mantenimiento y rendimiento de los elementos de las aletas, cuyos valores óptimos pueden no coincidir con los óptimos térmicos, por lo que un análisis de estos últimos es importante desde el punto de vista de la fabricación
de modelos normalizados, así como de la elección del modelo más adecuado para el usuario.
IX.2.- TRANSFERENCIA TÉRMICA EN ALETAS LONGITUDINALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE
Los perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso más simple de superficies
ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en dirección
longitudinal, con hélices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El
conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fácil fabricación por extrusión, fundición, colada continua, etc. En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleación de la base. Las aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o
presión, no tienen resistencias térmicas de
contacto y son adecuadas para temperaturas
elevadas dado que la base no se altera por dilataciones térmicas diferenciales siempre que
no sufran efectos corrosivos o una excesiva deformación. En régimen estacionario, el calor
que se conduce a través de un sistema de aletas se elimina al exterior mediante un proceso
de convección, siendo la energía disipada, en la
unidad de tiempo, proporcional a su área suFig IX.2.- Aleta de sección transversal constante
perficial.
En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a
igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX.2 hemos representado una de sección transversal rectangular, de altura L, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que toma el núpfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-168
€
€
mero de Biot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y luego se elimina
por convección al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es TF, y el coeficiente de
transmisión de calor por convección es hC, siendo constantes ambos valores.
El balance de flujos térmicos en régimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen elemental situado en la posición x, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volumen en (x + Δx) más el calor transferido por convección en dicho tiempo, desde la superficie del volumen elemental, es decir:
Qx - ( Qx +
∂Q x
Δx ) - QC = 0
∂x
⇒
∂Qx
Δx + QC = 0
∂x
∂Q x
2
⎧
Q x = - k S ( ∂T )x ⇒
= - kS(∂ T
)x
siendo: ⎨
∂x
∂x
∂x 2
⎩ QC = hC dA ( Tx - TF ) = hC ( p Δx ) ( Tx - TF )
en las que p es el perímetro y S el área de la sección transversal.
La ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es:
-kS(
∂ 2T
) Δ x + hC p Δ x ( Tx - TF ) = 0
∂x 2 x
⇒
(
h p
∂ 2T
)x - C ( Tx - TF ) = 0
2
kS
∂x
Definimos una función Φ(ξ) de temperaturas, con ξ = x en la forma:
L
Φ (ξ ) =
Tx − TF
Tb − TF
⎧
⎪
por lo que: ⎨
⎪
⎩
;
Tx = TF + Φ ( ξ )(Tb − TF )
dT = (T - T ) dΦ ( ξ ) d ξ = ξ = x ; dξ = 1
b
F
dx
dx
L
dx
L
dξ
2
2
d 2T = Tb - TF d Φ ( ξ ) d ξ = Tb - TF d Φ ( ξ )
L
dx
dx 2
dξ 2
L2
dξ 2
=
Tb - TF dΦ ( ξ )
L
dξ
Sustituyendo en:
(
∂ 2T
h p
)x - C (Tx - TF ) = 0
∂x 2
kS
se obtiene:
d 2Φ ( ξ )
h p L2
- C
Φ (ξ ) = 0
2
dξ
kS
La distribución de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en función del número
de Biot; teniendo en cuenta que el perímetro p multiplicado por la longitud L de la aleta, es igual al
área total de la superficie lateral (A = p L), resulta:
p L2
S
= A L = L*
S
que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud característica L*
de la aleta; el número de Biot se define en la forma:
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-169
Bi =
hC p L2
h L*
= C
kS
k
La expresión de la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas en forma adimensional,
correspondiente a la aleta, en función del número de Biot, es:
d 2Φ - Bi Φ = 0
dξ 2
cuya solución general es
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Φ ( ξ ) = C1 e-
Bi ξ +
C2 e
Bi ξ
Los valores de las constantes de integración C1 y C2 se determinan una vez se especifiquen las
condiciones de contorno para los diferentes casos.
Condiciones de contorno.- La temperatura que se suele conocer inicialmente es la correspondiente a la base de la aleta (x = 0), (Tx=0 = Tb), que es la primera condición de contorno, por lo que:
Tb - TF
= 1 ; C1 + C2 = 1
Tb - TF
x = 0 ; ξ = 0 ; Φ( 0 ) =
común a los tipos de aletas de sección transversal constante.
El calor que entra a la aleta por conducción por la base (x = 0), es:
∂Φ ( ξ )
Q = - k S ( ∂T )x=0 = - k S ( Tb - TF ) (
)ξ =0 = k S (Tb - TF )
∂x
L
∂ξ
L
Bi ( C1 - C2 )
La segunda condición de contorno toma diversas formas, según sea:
a) ALETA MUY LARGA.- La temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior
del fluido que la rodea:
T -T
Tx→∞ = TF ; ξ = x = 1 ; Φ ( 1) = F F = 0 = C1 e L
Tb - TF
Bi +
C2 e
Bi
y como L es muy grande y Bi es proporcional en este caso a L2 resulta que Bi es también muy grande,
siendo la distribución de temperaturas correspondiente:
0 + C2 e
Φ (ξ ) =
Bi
⎧ C = 0
= 0 ⇒ ⎨ 2
⎩ C1 = 1
Tξ - TF
Tb - TF
= e-
Bi ξ
;
Tξ = TF + ( Tb - TF ) e -
Bi ξ
El calor intercambiado por convección con el exterior se calcula teniendo en cuenta que es igual al
que entra por la base de la aleta (x = 0) por conducción:
Q= -kS(
∂T
) = k S ( Tb - TF )
∂x x=0
L
Bi (C1 - C2 ) =
C1 = 1
= k S (Tb - TF )
C2 = 0
L
Bi
b) ALETA CON SU EXTREMO LIBRE TÉRMICAMENTE AISLADO.- Este tipo de aletas no
disipa calor por el extremo libre (x = L) ó (ξ = 1), por lo que:
dT
dx
x=L =
0 ;
dT
dx
pfernandezdiez.es
x=L =
Tb - TF dΦ ( ξ )
L
dξ
ξ =1 =
0
⇒
dΦ( ξ )
dξ
ξ =1 =
0
Superficies ampliadas.IX.-170
Las constantes C1 y C2 se obtienen en la forma:
dΦ ) = 0
dξ ξ =1
- Bi C1 e -
⇒
Bi ⎫
C1 = C 2 e
e
−
e Bi ⎬ ⇒ C2 −
e
C1 + C 2 = 1
⎭
Bi +
Bi
Bi
Bi =
Bi C2 e
0
C1 = C2 e
e−
⇒
⎧
e − Bi
⎪ C2 =
Bi
e
+ e−
+ C2 = 1 ⇒ ⎨
e Bi
⎪ C1 =
⎩
2 Ch Bi
=
Bi
Bi
Bi
e − Bi
2 Ch Bi
por lo que la distribución de temperaturas es:
Φ (ξ ) =
Tξ - TF
Tb - TF
= e
Bi e - Bi ξ + e - Bi e Bi ξ
e
Bi
+ e-
+ e
Bi
Bi ( 1 - ξ )
+ ee Bi + e -
Bi ( 1 - ξ )
Bi
=
Ch{ Bi (1 - ξ )}
Ch
Bi
La temperatura TL en el extremo libre de la aleta, ξ = 1, es:
TL - TF
1
=
Tb - TF
Ch Bi
;
TL = TF +
Tb - TF
Ch
Bi
El calor disipado por la aleta por convección en la unidad de tiempo, se determina como en el caso
anterior, considerando que es el mismo que entra por conducción por la base de la aleta (x = 0), es decir:
Q = - k S ( ∂T )x=0 = k S ( Tb - TF )
∂x
L
Tb - TF
L
= kS
Bi (C1 - C2 ) =
Bi e
Bi -
e-
Bi
2 Ch Bi
= kS
Tb - TF
L
T-T
Bi Sh Bi = k S b F
L
Ch Bi
Bi Th Bi
c) ALETA CON CONVECCIÓN DESDE SU EXTREMO LIBRE.- La condición de contorno en
el extremo libre es:
- k dT )x=L = hC(T - TF )x=L = hC Φ(1)(Tb - TF )
dx
T -T
dT
-k
)
= - k b F dΦ )ξ =1
dx x=L
L
dξ
⎫
⎪
hC L
hC L
dΦ
⎬ ⇒ d ξ )ξ =1 = - k Φ ( 1) = - k ( C1 e ⎪⎭
Bi
+ C 2e
Bi
)
que igualada a:
dΦ ) = dξ ξ =1
Bi C1 e-
Bi +
Bi C2 e
Bi
permite obtener la segunda relación entre las constantes C1 y C2:
-
hC L
(C1 e k
Bi +
Bi
C2 e
) = - Bi C1 e -
h L
C1 e - Bi ( - Bi + C ) + C 2 e
k
Bi
+
Bi ( Bi + hC L ) = 0
k
y como C1 + C 2 = 1 resulta:
C1 =
hC L
) e Bi
k
h L
) + C (e
k
( Bi +
Bi ( e
Bi +
pfernandezdiez.es
e - Bi
Bi - e- Bi
)
Bi
Bi C2 e
= 1
2
hC L
)
k
C1 =
C2
h L
e - Bi ( Bi - C )
k
e
⇒
Bi (
Bi +
hC L
) e Bi
k
h L
Bi Ch Bi + C Sh Bi
k
( Bi +
Superficies ampliadas.IX.-171
( Bi -
C2 =
Bi ( e
Bi
+ e-
€
Bi -
e-
Bi
)
hC L - Bi
)e
k
h L
Bi Ch Bi + C Sh Bi
k
( Bi -
= 1
2
La distribución de temperaturas es:
T( ξ ) - TF
Φ(ξ ) =
= C1 eTb - TF
=
Bi ξ
+C2 e
Bi ξ
1 e
=
2
Bi (
hC L )e
k
Bi +
Bi ξ
+ e−
Bi } +
Bi }
=
Bi =
hC p L2
kS
Bi -
hC L
)e
k
hC L S Bi
=
k
pL
;
Bi ξ
=
=
Bi
Sh{ (1 - ξ )
pL
S Bi
Ch Bi +
Sh Bi
pL
Ch {(1 - ξ )
=
€
Bi (
hC L
Sh Bi
k
Bi Ch Bi +
hC L
Sh{ (1 - ξ )
k
h L
Bi Ch Bi + C Sh Bi
k
Bi Ch {(1 - ξ )
€
€
Bi
hC L - Bi
)e
k
h L
) + C (e
k
S
Bi } +
Bi }
El calor disipado en la unidad de tiempo es:
kS
Q=
(Tb - TF )
L
= k S ( Tb - TF )
L
=
kS
Bi (C1 - C2 ) =
(Tb €
- TF )
2L
hC L
Ch
k
h L
Bi + C Sh
k
Bi Sh
Bi
Bi +
Bi Ch
k S ( Tb - TF )
L
Bi
Th Bi +
1+
S Bi
pL
S Bi
Th Bi
pL
e
Bi
Bi
Bi
hC L
hC L
) - e − Bi ( Bi )
k
k
h L
Bi Ch Bi + C
Sh Bi
k
( Bi +
Th
= k S ( Tb - TF )
L
Bi
Bi
1+
Bi +
hC L
k Bi
=
hC L
k Bi
Th
=
Bi
hC p L2
h 2 a L2
2 hC L2
≅ C
=
= m 2 L2
kS
kae
ke
=
2 hC
Bi = m L ; m =
ke
Bi =
=
= k S ( Tb - TF ) m
Th(m L ) +
1+
hC
km
hC
Th(mL )
km
d) ALETA ENTRE DOS PAREDES A TEMPERATURAS DISTINTAS TB Y TL.- La condición
de contorno en el extremo TL es:
x = L ; T = TL ; ξ = x = 1
L
Φ (1 ) =
TL - TF
= C1 e Tb - TF
Bi +
C2 e
Bi =
C1 = 1 - C 2 = ( 1 - C2 ) e = e-
C2 =
Φ (1) - e-
Bi
2 Sh Bi
pfernandezdiez.es
;
C1 = 1 -
Φ (1) - e-
Bi
2 Sh €Bi
=
e
Bi
Bi
Bi +
+ C2 ( e
C2 e
Bi
- e-
Bi =
Bi
) = e-
Bi
+ 2 C2 Sh Bi
- Φ (1)
2 Sh Bi
Superficies ampliadas.IX.-172
en las que Tb, TL y TF son conocidas por lo que Φ(1) también lo es.
Distribución de temperaturas:
Φ (ξ ) =
e Bi - Φ ( 1) e
2 Sh Bi
=
e
Bi ξ
Bi ( 1 - ξ ) -
+
Φ (1 ) - e - Bi
e
2 Sh Bi
Φ ( 1) e -
Bi ξ
Bi ξ
+ Φ (1 ) e
2 Sh Bi
=
Bi ξ - e − Bi ( 1 - ξ )
=
Sh { Bi ( 1 - ξ )} + Φ (1 ) Sh ( Bi ξ )
Sh
Bi
El calor Q para cualquier valor de ξ es:
dΦ ( ξ )
Q = - k S dT = - k S ( Tb - TF )
= - k S ( Tb - TF )
dx
L
dξ
L
Bi
- Ch{ Bi (1 - ξ )} + Φ (1 ) Ch ( Bi ξ )
Sh Bi
El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a Tb, menos el calor saliente
por la pared a TL, es decir:
Q = Qξ=0 - Qξ =1 = - k S ( Tb - TF )
L
Bi
Φ ( 1) - Ch Bi - Φ (1 ) Ch Bi + 1
=
Sh Bi
( 1 - Ch Bi ) { Φ ( 1 ) + 1 }
= - k S ( Tb - TF ) Bi
L
Sh Bi
IX.3.- CAMPO DE APLICACIÓN DE LAS ALETAS RECTAS DE PERFIL UNIFORME
La condición
dQ
= 0 aplicada a la ecuación:
dL
Q = k S ( Tb - TF ) m
es:
Th( m L ) +
1+
hC
km
hC
Th( m L)
km
h
h
h
m
m
{1 + C Th ( m L )} - { Th ( m L ) + C } C
dQ
km
k m k m Ch 2 ( m L )
Ch 2 ( m L)
= k S ( Tb - TF ) m
=0
dL
h
{1 + C Th ( m L)} 2
km
1+
hC
h
h
h
Th ( m L ) = { Th ( m L ) + C } C ; 1 = ( C ) 2 = m =
km
km km
km
2 hC
ke
=
hC e
2k
que se cumple para cualquier valor de L, e indica las condiciones técnicas a tener en cuenta para colocar aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen.
Esta ecuación indica que si la resistencia térmica por unidad de superficie frontal de la aleta es
menor que la resistencia térmica correspondiente a la convección, hay que colocar aletas, mientras
que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante.
Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexión, que se corresponde
con una evacuación de calor del tubo sin aletas.
a) Cuando
hC e
> 1 , resulta que poner aletas produce un efecto aislante o refrigerante, por cuanto
2k
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-173
el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, que se interpreta como que las aletas absorben
calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una máquina frigorífica)
b) Cuando
hC e
= 1 , las aletas no producen ningún efecto, y es equivalente al tubo sin aletas
2k
hC e
< 1, la adición de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido ambien2k
te, (sistema de calefacción)
c) Cuando
En los procesos de calefacción, por razones de tipo económico, es mejor que la superficie primaria
h e
carezca de aletas, a menos que se cumpla que C << 1 .
2k
Por razones de espacio o de resistencia mecánica, se tiende a que las aletas no sean muy largas.
En aletas cortas, para que tenga interés la disipación de calor, se tiene que cumplir que:
hC e
≤ 1
2k
5
;
p
2 (a + e)
=
≅ 2
S
ae
e
;
hC S 1
≤
pk
5
ya que de no ser así, no merece la pena poner aletas.
Para que una aleta sea eficaz, debe tener un espesor e muy pequeño, y estar construida por un material de elevada conductividad térmica.
IX.4.- PERFIL OPTIMO
Es interesante lograr un valor óptimo de Q para una superficie del perfil Ω dada, por unidad a de
dQ
= 0.
longitud de tubo; el espesor óptimo cumple que
de
Para el caso de una aleta con su extremo libre térmicamente aislado se tiene:
Q=kS
Tb - TF
L
2 hC
ke
Bi Th Bi = k S ( Tb - TF ) m Th ( m L ) = m =
= k S (Tb - TF )
2 hC
2 hC
Th (
L) =
ke
ke
S =ae ; a =1
S =e ; Ω=Le
=
= (Tb - TF ) 2 hC k e Th (
2 hC
Ω)
k e3
Para una aleta cuya masa esté fijada, Ω es constante, por lo que esta ecuación indica la variación
del flujo térmico en función del espesor e de la aleta.
Derivando Q respecto de e, e igualando a cero, resulta:
dQ
2 hC k
2 hC
= ( Tb - TF ) {
Th (
Ω) de
k e3
2 2 hC e k
Th (
2 hC
Ω) = 3 (
k e3
2 hC
Ω ) Sech 2 (
k e3
2 hC e k
Ch 2(
2 hC
Ω) 2
k e3
2 hC
Ω ) ; Th
k e3
Bi = 3
Ω
2 hC
k e3
6 hC
}=0
k e4
Bi Sech 2 Bi
Resolviendo se obtiene: Bióptimo = 2 ,0141945 , por lo que el espesor y longitud óptimas son:
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-174
2 hC
ke
2
Bi
2
m = 2 = Bi e2
L
Ω
m2 =
Lópt =
Ω =
e ópt
⎫
⎪
⎬ ⇒
⎪
⎭
2
2 hC
= Bi e2
ke
Ω
Ω
Ω 2 hC
0,997 3
k
; eópt =
= 1,007
3
3
2 hC Ω 2
= 0 ,997
k Biópt
3
hC Ω 2
k
Ωk
hC
En general se suelen conocer las constantes físicas y las condiciones de funcionamiento de la aleta,
como son, hC , k, Q, (Tb - TF), por lo que se puede obtener otra formulación para las dimensiones óptimas en función de éstos parámetros y de Biópt en la forma:
Q = ( Tb - TF )
eópt = (
2 hC e k Th Biópt
Q
Q
0,6321
1
)2
=
(
)2
2
Tb - TF
hC k Tb - TF
2 hC k Th Biópt
Igualando los valores de eópt se obtienen las ecuaciones que se utilizan para diseñar la aleta recta
de espesor constante, de mínimo material:
Q
0,6321
eópt =
(
)2 = 0,997
hC k Tb - TF
3
Ω 2 hC
k
⇒
0,5048
Q
⎧
3
⎪ Ω ópt = h 2 k ( T - T )
b
F
C
⎨
0,7979
Q
⎪ Lópt =
hC
Tb - TF
⎩
Las aletas no se deben emplear nunca en aquellos casos en los que el coeficiente de película hC sea
grande.
En aletas normales, e < 1,5 mm, construidas con materiales corrientes, como el acero o el aluminio, no se recomienda el empleo de superficies ampliadas si el medio exterior es, un líquido sometido a
convección forzada, o un vapor que condensa, ya que es fácil encontrar coeficientes hC > 5000 W/m2ºC,
h e
que proporcionan valores de C del orden de la unidad, por lo que el empleo de la aleta sería antie2k
conómico.
Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio térmico muy efectivo, entre la superficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de película del orh e
den de 50 a 120 W/m2ºC, que permiten valores de C lo bastante bajos como para que las aletas
2k
ejerzan su efecto y de ahí el que algunas de sus aplicaciones más interesantes lo sean por ejemplo en:
- Motores enfriados por aire
- Precalentadores de aire y economizadores de calderas
- Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire
- Radiadores de automóviles
- Intercambiadores de calefacción agua-aire, etc.
Para aletas con convección en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida LC
despreciando los efectos de convección en dicho extremo, mediante la expresión: LC = L + e , y se tra2
tan como aletas con su extremo libre aislado térmicamente.
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-175
IX.5.- CASOS ESPECIALES
Una de las características fundamentales del análisis de protuberancias de sección constante, consiste en que dado el pequeño espesor de las mismas se puede considerar la conducción como unidireccional y, por lo tanto, que la variación de la temperatura a través de su sección transversal permanece
prácticamente constante.
Esta suposición se puede aplicar a una serie de situaciones como:
- Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que
transversalmente a ellas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas varía la temperatura,
pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; esta situación no se corresponde físicamente con la de
la protuberancia, pero el proceso térmico que
acontece sí, ya que en la protuberancia existe
un gradiente de temperaturas a lo largo de
Fig IX.3.- Aleta de sección variable
ella, pero no transversalmente, por lo que esta
casuística se puede aplicar de alguna forma a
dicha situación.
- La instalación de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases calientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya
temperatura va a medir, existiendo un flujo térmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar
que le unen con la pared más fría, que está equilibrado por la convección desde los gases, por lo que la
variación de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prácticamente uniforme, existiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar (caliente) y el equipo de registro (frío) similar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del termopar.
- Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la
variación de la temperatura a través de ellas es pequeña comparada con la variación de temperaturas
en la región que separa la corriente caliente de la corriente fría.
- Los conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la
porción del circuito que los separa.
En estos ejemplos se observa que la situación no guarda parecido alguno con el caso geométrico de
la protuberancia y, sin embargo, la suposición de que la variación de la temperatura es mínima en la
sección transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuación diferencial similar a la deducida para la protuberancia.
IX.6.- ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE
Para aquellos tipos de aleta en los que su perfil no sea constante, podemos considerar un elemento diferencial de anchura dx, tal como se muestra en la Fig IX.3, sobre el que se definen los siguientes
calores:
El calor entrante por conducción en x, es: Q1 = − k S ∂T 〉 x
∂x
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-176
El calor saliente por conducción en (x + dx), es: Q2 = Q1 +
∂Q1
∂ 2 Q1 dx 2
∂Q1
dx +
+ ... = Q1 +
dx
2
∂x
2!
∂x
∂x
El calor disipado por convección en el elemento diferencial es: QC = hC dA ( Tx - TF )
El balance de flujos térmicos es:
Q1 = Q2 + QC = Q1 +
∂Q1
dx + QC ⇒
∂x
∂Q1
dx + QC = 0
∂x
Llamando Φ = Tx - TF a la diferencia entre las temperaturas de la aleta y del fluido en que está inmersa, se tiene:
∂
(- k S dΦ ) dx + hC Φ dA = 0
∂x
dx
;
2
- k dS d Φ dx - k S d Φ
dx + hC Φ dA = 0
dx dx
dx 2
en la que S es la sección transversal variable y dA la superficie lateral del elemento elegido de la aleta
expuesta a la convección.
Dividiéndola por (k S dx) se obtiene:
d 2Φ + 1 dS d Φ - hC ( 1 dA ) Φ = 0
S dx dx
k S dx
dx 2
que es de aplicación general a cualquier tipo de configuración de superficie ampliada en la que la conducción de calor sea monodimensional.
Para el caso particular de aleta recta de sección transversal constante, se tiene:
⎧ S = Cte ⇒ dS = 0
⎨ A = p x ⇒ dA = p dx ⇒
⎩
d 2Φ - p hC Φ = 0
kS
dx 2
ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE.- Este tipo de aletas, Fig IX.4, se utiliza principalmente en cambiadores de calor líquido-gas, y en cilindros de motores refrigerados por aire; para su
estudio se supondrá que el espesor de la aleta (e << re - rb) es mucho más pequeño que la diferencia
entre sus radios, por lo que la conducción de calor dentro de la aleta dependerá únicamente de la coordenada radial (r = x) tomando la ecuación diferencial la forma:
⎧⎪ S = 2 π r e ; dS = 2 π e
dr
d 2Φ + 1 dS d Φ - hC ( 1 dA ) Φ = 0 , en la que:
⎨
dA = 4 π r
S dr dr
k S dr
dr 2
2
2
⎪ A = 2 π ( r - rb ) ;
⎩
dr
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se obtiene:
d 2Φ + 1 dΦ - m 2 Φ = 0 , siendo: m =
r dr
dr 2
2 hC
ke
que es la ecuación diferencial de Bessel de orden cero.
Su solución es:
Φ = B I0 ( m r ) + C K 0 ( m r )
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-177
siendo I0 la función de Bessel modificada de primera especie y orden cero y K0 la función de Bessel
modificada de segunda especie y orden cero, cuyos valores vienen indicados en la Tabla IX.1; B y C
son las constantes de integración.
Fig IX.4.- Aleta anular de espesor constante
De las condiciones de contorno se obtiene lo siguiente:
⎧ r = rb
a) Para: ⎨
⇒ Φ b = Tb - TF = B I0 ( m rb ) + C K 0 ( m rb )
⎩ T = Tb
b) Para r = re , la convección es nula, ya que se desprecia el calor evacuado por el extremo de la aleta; por lo tanto:
( dT )r =re = 0
dr
; ( dΦ )r=re = 0
dr
d { I ( m r )} = m I ( m r )
0
1
d
Φ
dr
(
)r =re =
= B m I1 ( m re ) - m C K1 ( m re ) = 0
d { K ( m r )} = - m K (m r )
dr
0
1
dr
Las constantes B y C se obtienen del sistema de ecuaciones:
Φ b = B I0 ( m rb ) + C K0 ( m rb ) ⎫
0 = B I1 ( m re ) - C K1 ( m re ) ⎬⎭
⇒
Φ b K1 ( m re )
⎧
⎪ B = K ( m r ) I ( m r ) + K (m r ) I ( m r )
1
e
0
b
0
b
1
e
⎨
Φ b I1 ( m re )
⎪ C = K ( m r ) I ( m r ) + K ( m r ) I ( m r )
⎩
1
e
0
b
0
b
1
e
Distribución de temperaturas en la aleta:
Φ = K1 ( m re ) I0 ( m r ) + I1 ( m re ) K 0 (m r )
Φb
K 1 ( m re ) I0 ( m rb ) + K0 ( m rb ) I1 ( m re )
El calor disipado por la aleta es el que atraviesa la base de la misma por conducción:
K1(m re ) I1(m rb) - I1(m re ) K1(m rb)
Q = - k Sb dΦ 〉 r=rb = Sb = 2 π e rb = - 2 π e rb k m Φ b
dr
K 1(m re) I0(m rb) + I1(m re ) K 0(m rb )
Estas ecuaciones para la distribución de temperaturas y del flujo de calor se pueden escribir de
modo más general en forma adimensional; al considerar el problema de tipo monodimensional, las expresiones adimensionales de la temperatura y del flujo térmico, se pueden obtener en función de parámetros adimensionales, que se definen en la forma:
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-178
Tabla IX.1.- Valores de las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda especie, órdenes cero y uno
x
I0 ( x )
I1 ( x)
2 K (x)
π 0
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
4,2
4,4
4,6
4,8
1
1,0025
1,0100
1,0404
1,0920
1,1665
1,2661
1,3937
1,5534
1,7500
1,9896
2,2796
2,6291
3,0493
3,5533
4,1573
4,8808
5,7472
6,7848
8,0277
9,5169
11,3019
13,4425
16,0104
19,0926
22,7937
0
0,0501
0,1005
0,2040
0,3137
0,4329
0,5652
0,7147
0,8861
1,0848
1,3172
1,5906
1,9141
2,2981
2,7554
3,3011
3,9534
4,7343
5,6701
6,7028
8,1404
9,7595
11,706
14,046
16,8626
20,2528
∞
1,5451
1,11580
0,70953
0,49498
0,35991
0,26803
0,20270
0,15512
0,11966
0,092903
0,072507
0,056830
0,044702
0,035268
0,027896
0,022116
0,017568
0,013979
0,011141
0,008891
0,007105
0,005684
0,004551
0,003648
0,002927
2 K (x)
π 1
∞
6,273
3,0405
1,3906
0,82941
0,54862
0,38318
0,27667
0,20425
0,15319
0,11626
0,089041
0,068689
0,053301
0,041561
0,032539
0,025564
0,020144
0,015915
0,012602
0,009999
0,007947
0,006327
0,005044
0,004027
0,003218
x
I0 ( x)
I1 ( x)
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
6,2
6,4
6,6
6,8
7
7,2
7,4
7,6
7,8
8
8,2
8,4
8,6
8,8
9
9,2
9,4
9,6
9,8
10
27,2399
32,5336
39,0088
46,7376
56,0381
67,2344
80,7179
96,9616
116,537
140,136
168,593
202,921
244,341
294,332
354,685
427,564
515,593
621,944
750,461
905,797
1093,59
1320,66
1595,28
1927,48
2329,39
2815,72
24,3356
29,2543
35,1821
42,3283
50,9462
61,3419
73,8859
89,0261
107,305
129,378
156,039
188,250
227,175
274,222
331,099
399,873
483,048
583,657
705,377
852,663
1030,91
1246,68
1507,88
1824,14
2207,13
2670,99
2 K (x)
π 0
0,002350
0,001888
0,001518
0,001221
0,000983
0,000792
0,0006382
0,0005146
0,0004151
0,0003350
0,0002704
0,0002184
0,0001764
0,0001426
0,0001153
0,00009325
0,00007543
0,00006104
0,00004941
0,00004000
0,00003239
0,00002624
0,00002126
0,00001722
0,00001396
0,00001131
2 K (x)
π 1
0,002575
0,002062
0,001653
0,001326
0,001064
0,0008556
0,0006879
0,0005534
0,0004455
0,0003588
0,0002891
0,0003231
0,0001880
0,0001517
0,0001424
0,00009891
0,00007991
0,00006458
0,00005220
0,00004221
0,00003415
0,00002763
0,00002236
0,00001810
0,00001465
0,00001187
β es un parámetro adimensional del coeficiente de película
α es un parámetro adimensional del tamaño de la aleta
η es un parámetro adimensional de la coordenada (posición)
que se pueden aplicar a otras configuraciones de aletas.
⎧
2 hC re2
⎪ β an = m re =
ke
Para la aleta anular de perfil de sección constante se definen: ⎨
r ; α = rb
⎪ η an =
an
re
re
⎩
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la distribución de temperaturas, resulta:
Φ = T - TF = K1 ( β an ) I 0 ( β anη an ) + I1 ( β an ) K 0 ( β anη an )
Φb
Tb - TF
K 1 ( β an ) I0 ( β anα an ) + I1 ( β an ) K 0 ( β anα an )
que permite determinar la temperatura en cualquier punto conocida la temperatura en la base, realizándose los cálculos con ayuda de la Tabla de funciones de Bessel modificadas de 1ª y 2ª especie.
Método gráfico.- Para cálculos rápidos que proporcionan una precisión suficiente, la distribución
de temperaturas se puede obtener con ayuda de una gráfica que llamaremos G1(η β), Fig IX.5, de forma que:
⎧ Φ = Φ e
Para: r = re ⇒ ⎨
⎩ η an = 1
⇒
Φe
K 1 ( β an ) I0 ( β an ) + I1 ( β an ) K 0 ( β an )
=
Φb
K 1 ( β an ) I0 ( β anα an ) + I1 ( β an ) K 0 ( β anα an )
y como:
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-179
K 1 ( βan ) I0 ( βan )
Φ e Φ e Φb K 1 ( βan ) I0 ( βan α an )
=
=
K 1 ( βan ) I0 ( βan ηan )
Φ Φb Φ
K 1 ( βan ) I0 ( βan α an )
€
€
+
+
+
+
I1 ( βan ) K 0 ( βan )
K 1 ( βan ) I0 ( βan ) + I1 ( βan ) K 0 ( βan )
I1 ( βan ) K 0 ( βan α an )
=
I1 ( βan ) K 0 ( βan ηan ) K 1 ( βan ) I0 ( βan ηan ) + I1 ( βan ) K 0 ( βan ηan )
I1 ( βan ) K 0 ( βan α an )
⎧α por ηan
resulta que estas dos ecuaciones son idénticas, en las que se sustituyen ⎨ an
⎩Φ b por Φ
Fig IX.5.- La función G1 para la distribución de la temperatura en aleta anular de espesor uniforme
Fig IX.6.- La función G2 para el flujo calorífico en aleta anular de espesor uniforme
Si se define una función:
G1 ( βanγ ) =
K 1 ( βan ) I0 ( βan ) + I1 ( βan ) K 0 ( βan )
K 1 ( βan ) I0 ( βan α an ) + I1 ( βan ) K 0 ( βan α an )
las dos ecuaciones anteriores son:
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-180
Φe
Φe
= G1 ( β an α an ) y
= G1 ( β anη an ) , para ( α < η < 1 )
Φb
Φ
⎧ G ( β α ) para hallar la temperatura en el radio extremo re
es decir, G1 ( η β ) se transforma en: ⎨ 1 an an
⎩ G1 ( βanηan ) para hallar la temperatura en cualquier radio r
Conocido Φe el valor de Φ se calcula para cualquier radio comprendido entre rb y re , a partir de:
€
Φe
= G1 ( β anη an ), para ( α < η < 1)
Φ
El flujo calorífico se puede calcular también mediante otra gráfica que se denomina G2(αan βan), la
cual se obtiene a partir de:
Q = - 2 π k e ( m rb ) Φ b
K1 (m re ) I1 ( m rb ) - I1 (m re ) K 1 ( m rb )
⎧ Se multiplica y divide por ⎫
= ⎨
⎬ =
2 ) β
K 1 ( m re ) I0 ( m rb ) + I1 ( m re ) K 0 ( m rb ) ⎩
(1 - α an
⎭
an
= 2 π k e ( α an β an ) Φ b
2
1 - α an
K 1 ( α an β an ) I1 ( β an ) - I 1 ( α an β an ) K 1 ( β an )
2
K
1 - α an
1 ( β an ) I0 ( α an β an ) + I1 ( β an ) K 0 ( α an β an )
Q
2 α an
K 1 ( α an β an ) I 1 ( β an ) - I1 ( α an β an ) K 1 ( β an )
=
= G 2 ( α an β an )
2
2
2
π k e (1 - α an ) β an Φ b
β an (1 - α an ) K 1 ( β an ) I0 ( α an β an ) + I1 ( β an ) K 0 ( α an β an )
2 ) β 2 Φ G (α
Q = π k e ( 1 - α an
an
b
2
an β an )
en la que la función G2(αan βan) se ha definido en la forma:
G 2 ( α an β an ) =
2 α an
K1 ( α an β an ) I1 ( β an ) - I1 ( α an β an ) K 1 ( β an )
2
β an ( 1 - α an ) K 1 ( β an ) I0 ( α an β an ) + I1 ( β an ) K0 ( α an β an )
y viene representada en la Fig IX.6.
ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRAPECIAL.- Para proceder al estudio de la aleta longitudinal de perfil triangular y trapecial resulta conveniente situar el origen de coordenadas en el
punto de intersección de las caras de la aleta, para el caso triangular, o de su prolongación, para el
trapecial, Fig IX.7, por cuanto se simplifica el cálculo de las constantes de integración.
Partiendo del hecho de que la aleta sea lo suficientemente delgada como para suponer un espesor
(e << L - xe), existirá flujo monodimensional.
Fig IX.7.- Aleta recta de perfil triangular y trapecial
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-181
2
h
+ 1 dS d Φ - C ( 1 dA ) Φ = 0
La ecuación diferencial a resolver es: d Φ
S dx dx
k S dx
dx 2
Para la aleta longitudinal de anchura unidad, en la que se pueden despreciar las pérdidas laterales, el área de las secciones lateral A, y transversal S, varía con x en la forma:
S= bx ;
L
dS = b
dx
L
A = 2 cd = 2
2
ad + ac
2
=
ad = x - xe
ac = ad = x - xe
b/2
L
L
x - xe 2
( x - xe )2 + ( b
) =
2
L
=2
= 2 ( x - xe )
siendo f =
2
1 + b 2 = 2 ( x - x e ) f = 2 ad
4L
2
1 + b 2 una constante que depende de las características de la aleta.
4L
⎧ A = 2 ( x - xe )
Si: L >> b ⇒ f = 1, se satisface la condición monodimensional: ⎨ dA
⎩ dx = 2
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial general se obtiene:
d 2Φ + ( L b ) d Φ - hC ( L 2 f ) Φ = 0
b x L dx
k bx
dx 2
d 2Φ + 1 dΦ - n 2 Φ = 0 , con: n =
x dx
x
dx 2
2 f hC L
=m
kb
L
siendo la solución de esta ecuación diferencial: Φ = B I0 ( 2 n x ) + C K 0 ( 2 n x )
ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR.- Para calcular las constantes de integración de la aleta triangular B y C, partiremos de las condiciones en los extremos; de acuerdo con la
Fig IX.7, se tiene:
a) Para: x = xe = 0, C = 0, por cuanto la función de Bessel modificada K0 tiende a infinito cuando el
argumento tiende a cero; por lo tanto:
Φ = B I0 ( 2 n x )
b) Para: x = L, T = Tb que se supone constante, luego, Φ = Φb, y por lo tanto, el valor de B es:
Φ b = B I0 ( 2 n L )
⇒
B=
Φb
I0 ( 2 n L )
La distribución de temperaturas es: Φ =
Φb
I (2 n x )
I0 ( 2 n x ) ⇒ Φ = 0
Φb
I0 ( 2 n L )
I0 ( 2 n L )
El calor disipado al exterior por la aleta longitudinal de anchura unidad será igual al que penetra
por conducción por su base, por lo que:
Q = - k ( S dΦ )x=L = - k b Φ b
dx
pfernandezdiez.es
2 n I (2 n L )
1
k b Φ b n I1( 2 n L )
2 L
=I0 ( 2 n L )
L
I0 ( 2 n L )
Superficies ampliadas.IX.-182
Método gráfico.- Las ecuaciones de Φ y de Q se pueden expresar en forma adimensional, haciendo:
βt = 2 n L =
8 f hC L2
kb
;
ηt =
x
L
I (β η )
La distribución de temperaturas es: Φ = 0 t t = G 3 ( β t ηt )
Φb
I0 ( β t )
El flujo de calor es: Q = - Φ b k b
β t I1 ( β t )
β
= - Φb k b t G4 ( β t )
2 L I0 (β t )
2L
en las que se han definido las nuevas funciones, G3(βt ηt) y G4(βt), Fig IX.8 y 9, en la forma:
G 3 ( βt η t ) =
I0 ( β t ηt )
I0 ( β t )
; G4 ( β t ) =
I1 ( β t )
I0 ( β t )
Para cálculos rápidos se utilizan las gráficas de G3(βt ηt) y G4(βt), Fig IX.8 y 9
Fig IX.8.- La función G3 para la distribución de la temperatura en la aleta recta de perfil triangular
Fig IX.9.- La función G4 para el flujo calorífico en la aleta recta de perfil triangular
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-183
IX.7.- PERFIL OPTIMO DE LA ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR
dQ
El perfil óptimo de la aleta triangular longitudinal de sección Ω = b L se obtiene haciendo
=0
2
db
con Q en la forma:
Q=-
k b Φ b n I1 ( 2 n L )
L
I0 ( 2 n L )
= n=
2 hC L
kb
= - Φ b 2 hC k b
2 hC
I1 ( 4 Ω
)
kb
= - Φ b 2 hC k b
2 hC
)
I0 ( 4 Ω
kb
I1 ( 2 L
I0 ( 2 L
2 hC
)
k b3
2 hC
)
k b3
Derivándola respecto de b se obtiene la condición de máximo:
4
3
I1 ( 4 Ω
I0 ( 4 Ω
2 hC
)
k b3 = Ω
2 hC
)
k b3
2 hC
{1 - (
k b3
I1 ( 4 Ω
I0 ( 4 Ω
2 hC
)
k b3 ) 2 }
2 hC
)
k b3
⇒
4Ω
2 hC
= 2 ,6168
k b3
⎧
Ω 2 hC
⎪ Base: bópt = 1,6718 3
k
de la que se deducen: ⎨
, condiciones óptimas función de la secΩk
2Ω
⎪ Longitud: Lópt = 1,196 3 h = b
C
ópt
⎩
ción Ω del perfil.
Teniendo en cuenta la carga térmica:
Q = - Φ b 2 hC k bópt
Ω ópt =
I1 ( 2,6168 )
= - 0 ,7754 Φ b 2 hC k bópt
I 0 ( 2 ,6168 )
⇒ bópt =
Q
0 ,8273
(
)2
k hC
Tb - TF
Q
Q
0 ,3483
0 ,8420
(
)3 ; Lópt =
(
)
2
Tb - TF
hC
Tb - TF
k hC
Igualando los valores de bópt o de Lópt, se obtiene la relación entre el perfil óptimo Ω (de mínimo
material) y la carga térmica Q:
Ω ópt =
Q
0 ,3486
(
)3
2
T
k hC
b - TF
IX.8.- RENDIMIENTO DE LA ALETA
Se define el rendimiento de una aleta µ, como la relación entre la cantidad de calor transferida
realmente por la aleta Qa y el calor transferido a través de una aleta ideal Qi:
η=
Qreal
Qideal
La aleta ideal transfiere la máxima cantidad de calor respecto a una aleta cualquiera del mismo
tamaño e igual temperatura en la base. La aleta ideal tiene una conductividad térmica infinita y, por
consiguiente, toda ella es isotérmica, por lo que estará a la temperatura de la base Tb.
La transferencia de calor, por unidad de tiempo, desde una aleta ideal es:
Qi = hC A a ( Tb - TF )
siendo (Aa = p L) la superficie lateral de la aleta expuesta al fluido a temperatura TF.
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-184
Por lo tanto, la transferencia de calor por unidad de tiempo, procedente de la aleta real, en función
del rendimiento, es:
Qreal = Q = η hC Aa (Tb - TF )
Si se tiene en cuenta la sección At, perteneciente al tubo, el calor Q total disipado por la aleta y el
tubo es:
Q = Qt + Qa = hC ( At + η Aa ) ( Tb - TF )
Casos particulares:
a) ALETA LONGITUDINAL DE SECCIÓN UNIFORME, DE SUPERFICIE CONSTANTE Y
EXTREMO LIBRE AISLADO
η=
Bi k S ( Tb - TF ) Th Bi
Th Bi
L
=
hC p L ( Tb - TF )
Bi
;
Bi =
hC p L2
kS
;
p = 2 (a + e) ≅ 2 a
que viene representada en la Fig IX.10.
Fig IX.10.- Eficiencia de las aletas de sección uniforme y de sección triangular
b) ALETA LONGITUDINAL DE PERFIL TRIANGULAR
k b Φ b n I1 ( 2 n L )
η=
L
I0 ( 2 n L )
n
=
2 hC L Φ b
2 hC L
kb
I1 ( 2 n L )
L I0 ( 2 n L )
= n=
2 f hC L
=m
kb
L =
βt = 2 n L
G4 ( 2 n L )
2 G4 ( β t )
=
=
I1 ( β ) =
=
βt
G
(
β
)
=
n L I0( 2 n L )
n L
4
I0 ( β )
1
pfernandezdiez.es
I1 ( 2 n L )
Superficies ampliadas.IX.-185
€
Fig IX.11.- Eficiencia de aletas de perfil rectangular, triangular y parabólico
Fig IX.12.- Eficiencia de aletas anulares de perfil rectangular
c) ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE
η=
π
2
(1 - α an
)
2
Φb βan
ke
G 2 ( α an βan )
=
hC Φb A
A = 2 π (re2 - rb2 )
r
α an = b ; rb = re α an
re
2
βan
=
pfernandezdiez.es
=
2 hC re2
2
; 2 hC re2 = k e βan
ke
Superficies ampliadas.IX.-186
=
2 G (α β
π (1 - α 2an ) k e Φ b β an
2
an an )
= G 2 ( α an β an )
2
2
hC Φ b 2 π re ( 1 - α an )
Cuando las aletas son muy largas, L >> b, la eficiencia de la aleta se puede poner en función del
2 hC
parámetro L
= L m
kb
Las Fig IX.11 y 12, muestran la variación de la eficiencia de la aleta en función de dicho parámetro para algunas secciones transversales típicas; así, en la Fig IX.11 se representa la eficiencia de aletas longitudinales en las que el espesor de la aleta varía con la distancia x medida desde la base de la
aleta; en la Fig IX.12 se representa la eficiencia de aletas anulares en forma de disco de espesor e =
Cte. Al aumentar el número de aletas en una superficie se aumenta el área de transferencia térmica,
pero también aumenta la resistencia térmica de la superficie en donde se fijan las aletas, por lo que se
pueden presentar situaciones en las que al aumentar el número de aletas no se incremente la transferencia de calor.
EFICACIA DE ALETAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
mL
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
pfernandezdiez.es
Perfil
rectangular
1
0,996
0,986
0,971
0,949
0,924
0,895
0,853
0,83
0,795
0,761
0,727
0,694
0,662
0,632
0,603
0,576
0,55
0,526
0,503
0,482
0,462
0,443
0,426
0,409
0,394
0,38
0,367
0,354
0,342
0,331
0,321
0,311
0,302
0,293
0,285
Perfil
triangular
1
0,995
0,98
0,957
0,927
0,892
0,854
0,814
0,774
0,735
0,697
0,661
0,629
0,596
0,567
0,54
0,514
0,491
0,47
0,45
0,431
0,414
0,398
0,384
0,37
0,357
0,345
0,334
0,323
0,313
0,304
0,295
0,286
0,279
0,271
0,264
Perfil
cóncavo
1
0,99
0,962
0,923
0,877
0,929
0,78
0,735
0,692
0,653
0,618
0,585
0,555
0,528
0,503
0,48
0,459
0,44
0,422
0,405
0,39
0,376
0,352
0,35
0,338
0,327
0,317
0,308
0,299
0,29
0,282
0,274
0,257
0,26
0,254
0,247
Perfil parabólico
convexo
1
0,975
0,968
0,965
0,935
0,903
0,877
0,84
0,802
0,769
0,731
0,695
0,666
0,63
0,6
0,572
0,545
0,52
0,497
0,476
0,456
0,437
0,424
0,404
0,389
0,375
0,361
0,349
0,338
0,327
0,317
0,307
0,298
0,289
0,281
0,274
Superficies ampliadas.IX.-187
€
β0,1
/α
EFICACIA DE ALETAS ANULARES DE PERFIL RECTANGULAR
α = 0,2 0,992
α =10,4
α =1 0,6
α =10,8
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0,992
0,971
0,938
0,896
0,847
0,794
0,74
0,684
0,537
0,589
0,544
0,503
0,466
0,432
0,402
0,374
0,349
0,326
0,306
0,287
0,27
0,255
0,241
0,228
0,217
0,206
0,196
0,187
0,179
0,172
0,154
0,159
0,152
0,145
0,141
0,994
0,979
0,954
0,922
0,884
0,842
0,798
0,754
0,709
0,565
0,625
0,587
0,551
0,517
0,486
0,458
0,431
0,407
0,385
0,365
0,346
0,329
0,314
0,299
0,286
0,273
0,262
0,251
0,241
0,232
0,224
0,215
0,208
0,201
0,195
0,995
0,983
0,962
0,936
0,904
0,868
0,829
0,79
0,75
0,711
0,673
0,536
0,602
0,569
0,539
0,51
0,484
0,46
0,437
0,415
0,397
0,379
0,362
0,347
0,333
0,319
0,307
0,295
0,285
0,275
0,255
0,256
0,248
0,24
0,233
0,995
0,985
0,967
0,944
0,915
0,883
0,849
0,913
0,776
0,74
0,711
0,569
0,535
0,605
0,575
0,547
0,522
0,498
0,475
0,454
0,434
0,416
0,399
0,383
0,356
0,354
0,34
0,329
0,318
0,306
0,296
0,288
0,279
0,271
0,263
d) MÉTODO DE SCHMIDT
El método se basa en la transferencia de calor a la configuración de tubos desnudos o lisos, tratándose el tubo como una aleta de altura cero
La correlación de Schmidt para la conductancia, en el caso de tubos con aletas helicoidales, rectangulares, circulares o cuadradas, es de la forma:
hC = hcF Z { 1 - (1 - η aleta ) (
en la que:
Saleta
Stubo+aletas
)}
⎧ hcF es el coeficiente de transferencia térmica para tubo desnudo en flujo cruzado
⎪ Saleta es el área de la superficie de la aleta, incluyendo ambos lados y periferia
⎪
⎨ Stubo+aletas es el área de la superficie del tubo expuesta entre aletas, más la de las aletas
⎪
L aleta
) 0,63
⎪ Factor geométrico Z = 1 - 0,18 ( L
⎩
espaciado entre aletas
La eficiencia de las aletas se muestra en la Fig XI.13, como función de un parámetro X de valor:
- Aletas helicoidales: X = Laleta
pfernandezdiez.es
2 Z hcF
kF Lespaciado
Superficies ampliadas.IX.-188
€
- Aletas rectangulares, cuadradas o circulares X = r Y
2 Z hcF
, en la que el parámetro Y se
kF Lespaciado
define en la Fig.XI.14.
La conductancia global se puede poner, considerando el parámetro Clim p (factor de limpieza) en
€
la forma:
1 =
1
1
+ Requiv +
UA
Climp Ae hc ext
Ai hc int
€
€
Fig XI.13.- Eficiencia de aletas en función del parámetro X
Fig XI.14.- Coeficiente Y función de la relación R/r para diversos tipos de aletas
IX.9.- ALETAS LONGITUDINALES DE PERFIL PARABÓLICO
Perfil parabólico cóncavo
Ecuación del perfil: z = b ( x ) 2
2 L
Superficie del perfil: Ω = b L
3
Calor evacuado al exterior: Q =
T - TF
Distribución de temperaturas: Φ =
= ( x )a ;
Φb
Tb - TF
L
2
η=
1 + 1 + 4 m 2 L2
pfernandezdiez.es
4 hc Φ b L
1 + 1 + 4 m 2 L2
2 2
a = -1 + 1 + 4 m L
2
;
m=
2 hc
kb
Superficies ampliadas.IX.-189
Condición para el perfil óptimo: m L =
2 hc
L=
kb
2 ⇒ bópt = 2 ,08
3
Ω 2 hc
k
; Lópt = 3 Ω = 1,4423
bópt
3
Ωk
hc
..............................................................................................................................................................................
Perfil parabólico convexo
Ecuación del perfil: z = b
2
x
L
Superficie del perfil: Ω = 2 b L
3
Calor evacuado al exterior: Q =
T - TF
Distribución de temperaturas: Φ =
=4 x
Φb
Tb - TF
L
Eficacia: η =
3
4
3
I( −1/3 ) ( 4 m L x )
3
I(-1/3 ) ( 4 m L )
3
;
m=
2 hc
kb
I( 2/3) ( 4 m L )
3
m L I(-1/3 ) ( 4 m L )
3
2 hc 3 Ω
= 1,705
k 2 b 2/3
Condiciones para el perfil óptimo: 4 m L = 4
3
3
bópt : 1,4013
I( 2/3 ) ( 4 m L ) 2 hc Φ b
3
m L I(-1/3 ) ( 4 m L )
3
hc Ω 2
k
; Lópt = 3 Ω = 1,07
2 bópt
3
Ωk
hc
..............................................................................................................................................................................
IX.10.- PROTUBERANCIAS
Protuberancia parabólica cóncava
Perfil: z =
d x 2
( )
2 L
Superficie lateral: A = ∫ 2π z dx = 2 π
d L x 2
πdL
∫ ( ) dx = 3
2 0 L
2
Sección transversal: S = π z 2 = π d ( x )4
4
L
L
d 2 x 4
π d2 L
2
Volumen: V = ∫ π z €
dx = ∫ π ( ) ( ) dx =
0
2
L
20
2Φ
hc 4 L 2
4 hc L2
d
1
d
Φ
Ecuación diferencial:
+
=
Φ = n 2=
= ( n )2Φ
2
2
x dx
k x d
kd
x
dx
€
€
Distribución de temperaturas: Φ = Φ b ( x )a , con: a = - 3 +
L
Calor evacuado:
Eficiencia: η =
€
L
∫0
hc dA Φ =
L
∫0
hc 2 π
9 + 8 m2 L2
2
2 hc
= n
kd
L 2
L3 +a
2 π hc d L
=
3 +a
3 + 9 + 8 (mL ) 2
; m=
d x 2 +a
d
( )
Φ b dx = π hc Φ b
2 +a
2 L
L
2
2 2
1+ 1 + 8 m L
9
Calor evacuado: Q = η A hc Φ b = η A hc (Tb - TF )
Condición para el perfil óptimo:
dQ
=0 ⇒
dL
2 mL = 2 ; m L=
2 ; Lópt =
2 =
m
kd
hc
..............................................................................................................................................................................
Protuberancia parabólica convexa
Perfil: z = d
2
x
L
Superficie lateral: A =
∫
2π z dx = 2 π
2
Sección transversal: S = π z 2 = π d x
4 L
d
2
L
∫0
x
2π d L
dx =
L
3
€
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-190
d 2 x
π d2 L
)
dx =
2
L
8
2
4
h
c
L Φ = n 2 = 4 hc L
Ecuación diferencial: d Φ
+ 1 dΦ =
x dx
kd
x
kd
dx 2
Volumen: V = ∫ π z 2 dx = ∫
L
0
π(
€
Distribución de temperaturas: Φ = Φ b
Calor evacuado: Q = ∫
hc dA Φ = ∫
I0 { 4 2 m 4 L x3 }
3
I0 ( 4 2 m L )
3
L
0
d
hc 2π
2
x
Φb
L
I0 {
4
3
I0 (
I1 ( 4 2 m L )
3
2 2 m L I0 ( 4 2 m L )
3
Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc
Eficiencia: µ =
€
L
0
2
= n Φ
x
2m
4
3
4
L x3 }
dx =
3 π d hcΦ b
2 m L)
2 2mL
4
3
4
I0 (
3
I1 {
2 m L}
2 m L)
3
Condición para el perfil óptimo:
dQ
=0 ⇒
dL
4 2 m L = 1,05 ; m L = 0 ,5568 ⇒ L = 0 ,5568 = 0,393 k d
ópt
3
m
hc
..............................................................................................................................................................................
Protuberancia paralelepípedo de sección cuadrada
Volumen: V = b 2 L ; p = 2 a ; S = a e
Superficie de evacuación de calor : A = 4 b L + b 2 ≅ 4 b L
2 hC
Th ( 2 m L ) Th Bi
Eficiencia: η =
=
; m=
kb
2 mL
Bi
Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc
;
h p L2
Bi = C
kS
Condición para el perfil óptimo: b L3/2 = 1,4192 ⇒ Biópt = 2,01419 ; Lópt = 0,75 ( k V ) 2/5 = 0 ,75 ( k b L ) 2/5
hc
hc
..............................................................................................................................................................................
Protuberancia cilíndrica
2
2
Volumen: V = π d L ; p = π d ; S = π d
4
4
2
Superficie de evacuación de calor : A = π d L + π d ≅ π d L
4
2 hc
h p L2
Th ( 2 m L ) Th Bi
Eficiencia: η =
=
; m=
; Bi = c
kb
kS
2 mL
Bi
Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc
Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,925 ; L ópt = 0 ,42 (
k V 2/5
) = 0 ,328 k d
hc
hc
..............................................................................................................................................................................
Protuberancia pirámide cuadrangular
2
Superficie de evacuación de calor : A = 2 b x
L
2
S = ( x )2 ⇒ S = b2 ( x )2
Volumen: V = b L ;
3
L
L
b2
2
4
L
h
2 hc
c
Ecuación diferencial: d Φ
+ 2 dΦ =
Φ = m2 =
x dx
kbx
kb
dx 2
Distribución de temperaturas: Φ = Φ b
Calor evacuado: Q = ∫
Eficiencia: η =
€
L
0
hc dA Φ = ∫
L
0
= 2 m2 L Φ
L I1 ( 2 m L x )
x I1 ( 2 m L )
hc
4 bx
Φb
L
2I2 ( 2 m L )
m L I1 ( 2 m L )
L I1 ( 2 m L x )
4 hcb Φ b I 2 ( 2 m L )
dx =
x
I1 ( 2 m L )
m
I1 ( 2 m L )
Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc
Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,45 ; Lópt = 0,48 (
k V 2/5
) = 0 ,318 k b
hc
hc
..............................................................................................................................................................................
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-191
Protuberancia cónica
2
Superficie de evacuación de calor : A = 2 π r x = r = d x = π d x
2L
L
2
2
Volumen: V = π d L ; S = π d ( x ) 2
12
4
L
2Φ
8 L hc
2 hc
2
d
2
d
Φ
Ecuación diferencial:
+
=
Φ = m2 =
= 4m L Φ
2
x
dx
k
d
x
k
d
x
dx
I1 ( 2 2 m L x )
L
Distribución de temperaturas: Φ = Φ b
x
I1 ( 2 2 m L )
Calor evacuado: Q = ∫
Eficiencia: η =
€
L
0
hc dA Φ = ∫
L
0
hc
2πdx
Φb
L
L I1 ( 2 2 m L x )
π hc d Φ b I 2 ( 2 2 m L )
dx =
x
I1 ( 2 2 m L )
m 2
I1 ( 2 2 m L )
2 I2 ( 2 2 m L )
2 m L I1 ( 2 2 m L )
Calor evacuado al exterior: Q = (Tb - TF ) η A hc
Condición para el perfil óptimo: m L = 0 ,3535 ; Lópt = 0,43 (
k V 2/5
) = 0,25 k d
hc
hc
..............................................................................................................................................................................
EFICACIA DE PROTUBERANCIAS SOBRE SUPERFICIES
mL
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
Paralelepipédica,
cilíndrica
0,996
0,986
0,971
0,949
0,924
0,995
0,863
0,83
0,795
0,761
0,727
0,694
0,662
0,632
0,603
0,576
0,55
0,526
0,503
0,492
0,462
0,443
0,426
0,409
0,394
0,38
0,367
0,354
0,342
0,331
0,321
0,311
0,302
0,293
0,285
Parabólica
cóncava
0,995
0,991
0,98
0,966
0,949
0,93
0,909
0,887
0,955
0,842
0,819
0,796
0,774
0,753
0,732
0,711
0,692
0,573
0,655
0,639
0,621
0,605
0,59
0,575
0,561
0,548
0,535
0,523
0,511
0,5
0,499
0,479
0,459
0,459
0,449
Cónica
0,997
0,985
0,971
0,95
0,925
0,898
0,868
0,837
0,805
0,775
0,745
0,716
0,698
0,661
0,635
0,612
0,59
0,569
0,548
0,529
0,512
0,495
0,479
0,464
0,45
0,437
0,424
0,412
0,401
0,39
0,38
0,371
0,361
0,353
0,344
Parabólica
convexa
0,996
0,997
0,968
0,931
0,908
0,957
0,822
0,793
0,756
0,718
0,684
0,65
0,619
0,589
9,552
0,537
0,514
0,492
0,471
0,452
0,435
0,418
0,403
0,389
0,375
0,363
0,351
0,34
0,33
0,32
0,311
0,303
0,294
0,286
0,279
Desarrollo del método para protuberancia cónica
2
h
Ecuación diferencial d Φ
+ 1 dS dΦ - r ( 1 dA ) Φ = 0 , siendo: Φ = T - Texterior
dx 2
S dx dx
k S dx
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-192
S es la superficie en la base a la distancia x:
S = x2
π R2
L2
⎧ dS = 2 π R 2 x
2
⎪
π
R
L2
⇒ S = π r2 =
x 2 ⇒ ⎨ dx
2
L
⎪⎩ r = radio superficie S = R x
L
A es la superficie lateral de altura x: A = 2 π r
2
x 2+ ( r ) 2 = π R x
2
L
x 2 + ( R x )2
2L
y en el supuesto de conducción térmica en la dirección x:
2
A ≅πr x= π R x x = π R x
L
L
⇒ dA = 2 π R x
L
2
2 L hr 1
+ 2 dΦ - (
) Φ= 0
Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial se obtiene: d Φ
dx 2
x dx
kR
x
Haciendo: N =
2 L hr
h
= 2 m2 L ó m 2= r , resulta:
kR
kR
d 2Φ + 2 dΦ - N Φ = 0
dx 2
x dx
x
⎧x 2
⎪
⇒ ⎨
⎪x 2
⎩
d 2Φ + 2 x dΦ - N x Φ = 0
ó
dx
dx 2
2
d Φ + 2 x dΦ - 2 m 2 L x Φ = 0
dx
dx 2
Solución general:
Φ = 1 {C1 I1 ( 2 N
x
x ) + C 2 K 1( 2 N
x )} = T - Text
⎧⎪ C 2= 0
⎧⎪ Para: x = L ; Φ = Φ base ó T = Tbase
Condiciones de contorno: ⎨
⇒
⎨ C = T
L
dΦ
⎪⎩ Para: x = 0 ; dx = 0
base
⎪⎩ 1
I1(2 N L )
I (2 N x )
Distribución de temperaturas: T = Tbase L 1
x I1 ( 2 N L )
Calor evacuado:
Q = π hr d ∫
L
0
x
L
L I1 ( 2 N x )
L I2 ( 2 N L )
Tbase dx = π hr d
Tbase =
x I1 ( 2 N L )
N I1 ( 2 N L )
{ sustituyendo N }
=
π hr d
2
I2 ( 2 2
L)
m I1 ( 2 2 m L )
Tbase
El valor de hr es el coeficiente de radiación; estos valores son:
€
Si las temperaturas medias Tˆ pF y Text = Tvacío no difieren demasiado entre sí, se puede poner:
ˆ
4
ˆ + T ) ( Tˆ - T ) = T = TpF + Text
4 ) = σ A ε (T 2 + T 2 ) ( T
q = σ A ε 1 ( TˆpF
- Text
1
pF
ext
pF
ext
pF
ext
m
2
= σ A ε 1 4 Tm3 ( Tˆ pF - Text ) = A1 hr ( Tˆ pF - Text )
⎧ε 1 la emisividad de la superficie
siendo: ⎨
⎩hr = 4 σ ε 1Tm3
El problema está en hallar TpF = Tmedia pared
Caso general:
La conductividad térmica unitaria de la radiación hr se define mediante la expresión:
hr =
1
Rr A
=
4 -T 4
s F pared-vacío ( Tˆ pF
vacío )
2
2
= s F pared-vacío ( Tˆ pF
+ Tvacío
) ( Tˆ pF + Tvacío )
ˆ
T -T
pF
vacío
En este caso, el factor de Forma F valdría la unidad
Nota: el calor eliminado al exterior puede ser en cualquier forma; en este caso es radiación, pudiéndose
utilizar la formulación general de aletas y protuberancias cambiando hc por hr.
pfernandezdiez.es
Superficies ampliadas.IX.-193
IX.11.- COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR PARA EL CASO PARTICULAR DE ALETAS REFRIGERADAS POR AIRE
En la ecuación básica Q = U A ΔT común a cualquier tipo de intercambiador de calor, el valor de Q
normalmente se conoce, mientras que la superficie de intercambio térmico A es desconocida.
El coeficiente global de transmisión de calor U es función de:
- La resistencia térmica de la capa límite del fluido que circula por el interior de los tubos
- La conductividad térmica del material del tubo y aletas
- La resistencia térmica de la capa límite en la parte del tubo más las aletas en contacto con el aire
La primera de estas resistencias se determina mediante las ecuaciones clásicas conocidas, dependiendo de la naturaleza del flujo, mientras que la contribución de la suciedad depende del tipo de fluido que se esté experimentando.
El coeficiente de película a través de las aletas se puede determinar mediante la fórmula de Joung
de la forma:
Nu = 0 ,134
Re 0 ,681 Pr 0 ,33 ( FH )0 ,20 (
FT
)0 ,1134 ,
en la que:
⎧ ( FH ) = Espaciado entre aletas
⎪
Longitud de la aleta
⎨
⎪ ( FT ) = Espaciado entre aletas
Espesor de la aleta
⎩
El coeficiente de transmisión de calor hC así obtenido se modifica mediante un elemento corrector,
en el que están comprendidos el rendimiento de la aleta η, la superficie exterior del tubo Ατ, la de la
aleta Aa y la total A.
h (η A a + At )
El valor medio: hˆC = C
A
El área total disponible, puede ser del orden de 20 a 30 veces la del tubo.
Si llamamos T1 y T2 las temperaturas de entrada y salida del fluido que circula por el interior de
la tubería, y TF1 y TF2 las temperaturas inicial y final del aire, de las que sólo se conoce TF1 , la temperatura TF2 se calcula, con U expresado en W/m2ºC, en la forma:
TF2 = TF1 +
Q
Q
T + T2
= TF1 +
, o por: TF2 = TF1 + 0,0009 U ( 1
- TF1) (Brown)
Gaire c p ( aire )
G F c pF )
2
Tabla IX.2.- Coeficientes de transferencia de calor típicos para el aire de refrigeración
LÍQUIDOS
U (W/m 2 ºC )
VAPORES
Temp. media
Temp. media
Temp. media
55-90
74-125
170-230
Temp. media
Temp. media
Temp. media
Temp. media
Gasóleo
Queroseno
Nafta
Hidrocarburos ligeros
Agua
140-200
285-345
315-370
340-400
255-315
315-340
330-400
400-450
685-800
Vapor (x = 1)
Vapor (x = 0,9)
Vapor (x = 0,6)
Hidrocarburos ligeros
Hidrocarburos medios
Amoníaco
€
pfernandezdiez.es
GASES
Vapor
Hidrocarburos
Aire
Amoníaco
Hidrógeno
U (W/m 2 ºC )
810
600
415
425
270
600
Presión
0,7 atm 7 atm
70
155
100
270
50
155
70
185
145
385
35 atm
325
410
270
300
555
Superficies ampliadas.IX.-194
