trisección de un ángulo con la trisectriz de hipías

TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO CON
LA TRISECTRIZ DE HIPÍAS
Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez1
Benjamin R. Sarmiento Lugo2
Universidad Pedagógica Nacional
yulyarr@gmail.co
Universidad Pedagógica Nacional
bsarmiento@pedagogica.edu.co
RESUMEN
En este artículo se presentan la construcción de la curva mecánica conocida como la
trisectriz de Hipías, usada desde la antigüedad para darle solución al problema de la
trisección de un ángulo, uno de los problemas clásicos de la geometría griega; además
se describe en forma abreviada cómo usarla para tal fin. Para lograr la curva mediante
los pasos que aquí se presentan se sugiere usar el software de geometría dinámica
Cabri II Plus. Se aclara que con esta curva no se resuelve el problema con su
planteamiento original, pero se presenta una solución mezclando el ingenio de los
antiguos con la potencialidad de los programas de geometría dinámica.
INTRODUCCIÓN
Cuando se hace una revisión bibliográfica de artículos, documentos electrónicos y libros de
texto con el fin de encontrar detalles sobre las construcciones geométricas de curvas
mecánicas y mecanismos físicos usados para resolver los tres problemas clásicos de la
geometría griega, no se encuentran suficientes fuentes sobre el tema, a excepción de algunos
sitios en la red Internet que abordan esta temática de manera incompleta. Lo anterior ha
motivado la realización de un trabajo sobre curvas y mecanismos inventados a lo largo de la
historia para resolver estos problemas. Aquí se presentará una de ellas, la trisectriz de Hipías,
inventada para resolver el problema de la trisección del ángulo.
El problema de la trisección del ángulo, consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres
partes iguales usando únicamente la regla y el compás. Hay varias razones por las cuales este
problema difiere de los otros problemas clásicos griegos: primero, no hay una historia real
que relate la manera cómo el problema llegó a ser estudiado por primera vez; segundo, es un
problema de otro carácter, ya que no es posible cuadrar un círculo ni duplicar un cubo, pero
sí es posible trisecar ciertos ángulos. La primera curva creada para resolver este problema, se
atribuye a Hipias de Elis y aparece en el siglo V a.C. Esta curva apareció antes de las cónicas
y permitía no solo dividir un ángulo en tres partes sino en cualquier número de partes. En la
antigüedad el problema también es resuelto por Arquímedes de Siracusa con su espiral
uniforme, por Nicomedes con su Concoide y por Pappus con su Hipérbola. En los últimos
cuatro siglos aparecen otros mecanismos y curvas para resolver el problema, tales como la
cicloide de Ceva, el caracol y el trisector de Pascal, la trisectriz de Maclaurin, la trisectriz de
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Licenciada en Matemáticas – Universidad Pedagógica Nacional
Magíster en Educación Matemática – Universidad Pedagógica Nacional
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Catalán, la trisectriz de Delanges, la trisectriz de Longchamps y la espiral de Durero, entre
otros.
En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente
teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones
(además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio
irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2”. Con este resultado Wantzel pone
fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante
regla y compás, demostrando así que los tres problemas son irresolubles con las condiciones
impuestas en sus inicios.
1. TRISECTRIZ DE HIPÍAS
Aparece en el siglo V a.C., es la primera curva, distinta de las rectas y circunferencias, surge
incluso antes que las cónicas. Aunque su nombre es Cuadratriz, para trisecciones debe
llamarse Trisectriz. Con esta curva se puede dividir un ángulo en un número cualquiera de
partes iguales. Sus ecuaciones son las siguientes:
⎛ πx ⎞
Ecuación cartesiana. y = x Cot ⎜ ⎟
⎝ 2a ⎠
Ecuación polar: ρ =
2aθ
π Senθ
⎧
⎛ πt ⎞
⎪ x = (1 - t ) tan ⎜ ⎟
Ecuaciones paramétricas: ⎨
⎝2⎠
⎪y = 1 - t
⎩
con t ∈ [ 0,1]
2. CONSTRUCCIÓN DE LA CUADRATRIZ DE HIPÍAS
1. Construir el cuadrado de vértices O, A, B y C.
2. Sea QO el arco de circunferencia centrado en O con extremos A y C.
3. Sea D un punto sobre le arco QO.
4. Trazar el arco AD.
5. Trazar la semirrecta OD.
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6. Sea E un punto sobre el segmento OC tal que
m ( OE )
m ( OC )
=
p
m(AD)
. Esto significa que la
p)
m(Q
O
p ) con
medida m(OE) aumenta con velocidad constante conforme aumenta la media m( AD
p)
velocidad constante. Por ejemplo cuando m(OE) es la mitad de m(OC) entonces m( AD
p ).
es la mitad de m( Q
O
7. Trazar la recta h perpendicular al segmento OC y que pase por E.
8. Sea P la intersección de la recta h con la semirrecta OD.
9. El lugar geométrico generado por P cuando se mueve D sobre le arco QO es la Trisectriz
de Hipías.
3. USO DE LA TRISECTRIZ DE HIPÍAS PARA TRISECAR UN ÁNGULO.
Para trisecar el ángulo AOD o AOP, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Sea Q la intersección de la recta h con el segmento AB.
2. Dividir el segmento AQ en tres partes iguales usando el teorema de Tales, consiguiendo
los puntos T y S.
3. Trazar las rectas m y n, perpendiculares al segmento AB y que pasan por los puntos S y T
respectivamente.
4. Sean U y W las intersecciones de las rectas m y n con la trisectriz.
5. Trazar las semirrectas OW y OU.
6. La medida del ángulo AOW es un tercio de la medida del ángulo AOP.
Figura 2
Figura 1
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Álvarez, J. (2006), Curvas en la historia. España. Nivola Libros Ediciones.
Boyer, Carl. Historia de las matemáticas, Madrid editorial,1996
Fuller, G. y Tarwater, D. Geometria Analítica. Eddison Wesley. Iberoamericana.
Wilmington, 1995.
Hitt, F. y Filloy, E. Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica. México, 1997.
Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid,
Editorial Alianza. Tomos I , II y III.
Lehmann, Charles. Geometría Analítica. Editorial Limusa. Máxico, 1994.
De Andres, Luis C. De las trisectrices, la cicloide y otras curvas.
En http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/03-04/PG03-04-lcandres.pdf
Escribano, J. y Pérez, M. Problemas clásicos de geometría desde un punto de vista actual.
En http://webpages.ull.es/users/revmat/geometria/inicio/musuario.pdf
http://www.mathcurve.com/
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
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