Unidad 2 - ICYTAL - Universidad Austral de Chile

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
DE LOS ALIMENTOS (ICYTAL) /
ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234)
PROFESOR: Elton F. Morales Blancas
UNIDAD 2: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION
(ESTADO ESTACIONARIO)
GUIA DE PROBLEMAS
1. Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es
sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la
superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es
disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un
coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas
superficiales T1 y T2 para:
L = 2cm ; K = 20 W
T1
mº C
; q 0 = 10 5 W
m2
; T∞ = 50º C ; h = 500 W
m2 ºC
T2
q
T∞
Desde T2 a T ∞ se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la
fórmula:
q = h ⋅ A(T2 −T∞ )
q
= h(T2 −T ∞ )
A
Reemplazando:
10 5
W
W
(T2 − 50º C )
= 500 2
2
m
m ºC
200ºC = T2 – 50ºC
T2 = 250ºC
Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto
utilizamos la fórmula:
(T − T2 ) q = K (T1 − T2 )
q
=K 1
A
e
A
e
10 5
(T − T ) q = K (T1 − T2 )
q
= −K 2 1
A
e
A
e
W
W (T1 − 250 )
= 20
2
m º C 0,02m
m
100 ºC = T1 – 250
T1 = 350ºC
2. Un cilindro hueco con radio interior r = a y radio exterior r = b es
calentado en la superficie interior a una velocidad q0 (W/m²) y disipa calor
por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a una
temperatura T ∞ con un coeficiente de transferencia de calor h. La
conductividad térmica es constante.
Calcular las temperaturas T1 y T2 correspondientes a las superficies interior
y exterior, respectivamente, para a = 3cm; b = 5cm; h = 400 W/m²-°C;
T ∞ = 100 °C; K = 15 W/m-°C ; q0 = 105 W/m².
q = h × A × ( ∆T )
POR CONVECCIÓN (T2 Æ T ∞ )
Y como el área del cilindro es A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H despejamos q en función de la
longitud:
q
=
H
(T2 − T∞)
1
2 × π × rexterior × h
Solución
Como q está en función del área del cilindro se despeja de modo que quede
en función de la longitud del cilindro.
q
W
= 105 2
A
m
Área del cilindro = 2 × π × rint erno × H
q = 105
W
× 2 ×π × r × H
m2
q = 105
W
× 2 × π × 0.03m × H
m2
W
q
= 18849
H
m
Calculo de T2 : por convección entre la superficie del cilindro y el medio
q
=
H
18849
(T2 − T∞)
1
2 × π × rexterior × h
(T2 − 100º C )
1
W
=
m
2 × π × 0.05m × 400
W
m2 º C
T2 = 250ºC
POR CONDUCCIÓN (T1 Æ T2) :
q = −k × A ×
dT
dr
Calculo de T1 : por conducción entre la superficie interna y externa del
cilindro
De la misma manera dejamos q en función de la longitud del cilindro:
q 2 × π × k × (T1 − T2 )
=
r
H
Ln ( externo )
rint erno
18849
W
=
m
W
× (T1 − 250º C )
mº C
0.05m
Ln(
)
0.03m
2 × π × 15
T1 =352ºC
3. Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1,0 pie
de longitud, con diámetro interno de 0,25 pulg. y diámetro externo de 0,40
pulg., para extraer calor de un baño . La temperatura en la superficie interior
del tubo es de 40 °F y 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del
acero inoxidable 304 depende de la temperatura: K = 7,75 + 7,78 X 10 -3 T,
donde K está en BTU/hr-pie-°F y T en °F.
Calcúlese la extracción de calor en BTU/s y Watts.
T2
T1
r1
q
T∞
r2
1 pie = H
Datos :
H= 1 pie
r 1=
0,25 pu lg
0,0833 pie
= 0,125 pu lg⋅
= 0,0104 pie
2
1pu lg
T1=40ºF
r 2=
0,4 pu lg
0,0833
= 0,2 pu lg⋅
= 0,01666 pie
2
1pu lg
T2=80ºF
q= -K A
dT
dr
Acilindro = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H
Reemplazando:
q = −K ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ H ⋅
Integrando:
qdr = − K ⋅ A ⋅ dT
dT
dr
r2
T2
r1
T1
q ∫ dr = A ∫ K ⋅ dT
r2
T2
r1
T1
q ∫ dr = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H ∫ K ⋅ dT
Reemplazando:
r2
(
)
80
dr
q ∫ = 2 ⋅ π ⋅ H ∫ 7,75 + 7,78⋅10−3T dT
r
r1
40
q ln
2
2
⎡
⎛
40 ⎞⎟⎤
80
0,0167
= −2 ⋅ π ⋅ H ⋅ ⎢7,75(80 − 40 ) + ⎜⎜ (7,78 ⋅ 10 −3 ⋅
) ⎟⎥
) − (7,78 ⋅ 10 −3 ⋅
2
2
0,0104
⎢⎣
⎝
⎠⎥⎦
q ln
0,0167
⎛ BTU ⎞
= −2 ⋅ π ⋅ H (310 + 24,896 − 6,224 )⎜
⎟
0,0104
⎝ hr ⎠
q = −4360,41
BTU 1hr
⋅
hr 3600 s
q = −1,21 BTU
s
1watt
q = −1,21 BTU ⋅ 1055 J
⋅
s
BTU 1J
s
q = 1277,9 watt
4. Se desea construir un almacén refrigerado con una capa interna de 20
mm de madera de pino, una capa intermedia de corcho prensado y una
capa externa de 52 mm de concreto. La temperatura de la pared interior es 18°C y la de la superficie exterior, 30°C en el concreto. Las conductividades
promedio son, para el pino, 0,151; para el corcho 0,0433; y para el concreto
0,762 W/m-K. El área superficial total interna que se debe usar en los
cálculos es aproximadamente 50 m² (omitiendo las esquinas y los efectos
de los extremos). ¿Que espesor de corcho prensado se necesita para
mantener la pérdida de calor en 550 W?
a : madera de pino (20mm)
b: corcho (??)
c: concreto(52mm)
El calor se trasmite en serie por lo tanto el flujo de calor es el mismo
en cualquier punto del circuito eléctrico.
Solución:
Ecuación general:
q (Te − Ti )
=
A
Rtotal
Donde:
Te =Temperatura externa del almacén refrigerado
Ti
= Temperatura interna del almacén refrigerado
R total =Resistencia total del circuito
R total = Ra + Rb + Rc
Como las resistencias se encuentran en serie entonces la Ecuación
para calcular la resistencia es:
R=
e
k×A
Donde:
e : espesor de las capas
k : conductividad térmica del material
A: área total de la cámara
0.02m
ea
m2 K
=
= 0.13
Ra =
ka 0.151 w mº K
W
Rb =
Rc =
eb
x
=
kb 0.0433 w mº K
0.052m
ec
m2 K
=
= 0.068
kc 0.762 w mº K
W
Reemplazando en la ecuación general se despeja x que es el espesor
de la capa de corcho:
q (Te − Ti )
=
A
Rtotal
550W
30º C − (−18º C )
=
2
50m
⎛
m2 K
m2 K
x m2 K ⎞
⎜⎜ 0.13
⎟
+ 0.068
+
W
W
0.0433 W ⎟⎠
⎝
x = 0.18m Æ Por lo tanto el espesor del corcho debe ser 180mm
Nota: la relación entre de temperatura que existe entre los ºK y los ºC es de uno a uno por lo tanto, las unidades
de estas no influyen en el cálculo.
5. ¿Que cantidad de aislante de fibra de vidrio (K=0,02 BTU/hr-pie-°F) es
necesaria para garantizar que la temperatura exterior de un horno de cocina
no excederá de 120 °F? La temperatura máxima del horno que será
mantenida por el control termostático de tipo convencional es de 550 °F, la
temperatura del ambiente de la cocina puede variar de 60 a 90 °F y el
coeficiente promedio de transferencia de calor entre la superficie del horno y
la cocina es de 2,5 BTU/hr-pie²-°F.
q
T1
T2
T ∞ =60 - 90 ºF
Nota: Se escoge la mayor temperatura para el medio, ya que esto nos
asegurará que sea cual sea la temperatura de este, el espesor de aislante
calculado garantizará una temperatura exterior no mayor a 120ºC
Datos:
T1= 550 ºF
T2= 120 ºF
T ∞ = 90ºF
h = 2,5 BTU
hr ⋅ pie 2 ⋅º F
Transferencia de calor por convección entre T2 y T ∞ :
q
= h(T2 −T ∞ )
A
q
BTU
(120 − 90 )º F
= 2,5
A
hr ⋅ pie 2 ⋅º F
q
BTU
= 75
A
hr ⋅ pie 2
Entre T1 y T2 se transmite calor por conducción:
(T 1 − T 2 )
q
= K
A
e
75
(550 − 120 )º F
BTU
BTU
= 0,02
2
hr ⋅ pie º F
e
hr ⋅ pie
e = 0,115 pie
6. Un gas a 450 °K fluye en el interior de una tubería de acero, número de
lista 40 (K = 45 W/m-K), de 2,5 pulg. de diámetro. La tubería está aislada
con 60 mm de un revestimiento que tiene un valor medio de K = 0,0623
W/m-K. El coeficiente convectivo de transferencia de calor del gas en el
interior de la tubería es 40 W/m²-K y el coeficiente convectivo en el interior
del revestimiento es 10. La temperatura del aire es 320 °K.
D nominal = 2 pulg.
D externo = 2,375 pulg.
D interno = 2,067 pulg.
Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en m de tubería.
450ºk
320ºk
q
rint = 2,067 pu lg⋅
0,0254 m 0,1085
=
= 0,0263 m
1pu lg
2
r ext = 2,375 pu lg⋅
0,0254 m 0,0603
=
= 0,0301m
1pu lg
2
r rev = 0,03 + 0,06 = 0,09m
q=
∆Ttotal
R total
Acilindro = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ H
1
=
h0 ⋅ A 40 W
mº K
W
Convección
⎛r ⎞
⎛ 0,03 ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
ln⎜
⎟
r1 ⎠
0,026 ⎠
mº K
⎝
⎝
=
= 5,0 × 10 − 4
=
W
K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H 45 W
⋅π ⋅ 2 ⋅H
m ⋅º K
Conducción
⎛r ⎞
⎛ 0,09 ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
ln⎜
⎟
r1 ⎠
0,03 ⎠
mº K
⎝
⎝
=
= 2,8
=
K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H 0,0623 W
W
⋅π ⋅ 2 ⋅H
m ⋅º K
Conducción
R gas =
R acero
R aislante
R aire =
1
m 2 ⋅º K
1
=
h0 ⋅ A 10 W
⋅ 0,0263m ⋅ 2 ⋅ π ⋅ H
1
m ⋅º K
q
=
H
2
⋅ 0,09m ⋅ π 2 ⋅ H
= 0,151
= 0,176
mº K
W
(450 − 320 )º K
(0,151 + 5,0
−4
+ 2,8 + 0,176
q = 41,53 W/m
) mWº K
Convección
7. En el interior de una tubería de acero (K = 45 W/m-K) de 2,0 pulg. de
diámetro, fluye agua a temperatura promedio de 70°F, mientras en el
exterior se condensa vapor de agua a 220 °F. El coeficiente convectivo del
agua en el interior de la tubería es h = 500 BTU/hr-pie²-°F y el coeficiente
del condensado de vapor en el exterior es h = 1600 W/m²-K.
Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en pies.
Datos:
Diámetro interno: 2.0pulg
radio interno: 0.083pie
Diámetro externo: 2.4pulg
radio externo.0.0996pie
h interno = 500 BTU/hr-pie²-°F
h externo = 1600 W/m²-K. =282BTU/hr-pie2-ºF
K = 45 W/m-K =26 BTU/hr-pie-ºF
Solución:
q
=
H
(T2 − T1 )
ln ri re
1
1
)
)+(
)+(
(
2 × π × re × he
2 ×π × k
2 × π × ri × hi
convección
conducción
convección
Donde:
re : radio externo del cilindro
ri : radio interno del cilindro
T2: temperatura del vapor de agua condensado
T1: temperatura del agua
Resistencia del agua por convección:
1
(
2 × π × 0.083 pie × 500
Btu
pie 2 º F
) = 3.83 × 10 −3
pie º F
Btu
Resistencia del acero por conducción:
0.0996 pie
)
pieº F
0.083 pie
) = 1,12 × 10 −3
(
Btu
Btu
2 × π × 26
hr − pieº F
Ln(
Resistencia del condensado de vapor (conducción):
1
2 × π × 0.0996 pie × 282
Btu
pie 2 º F
= 5.67 × 10 −3
pie º F
Btu
Al reemplazar todas las resistencias en la ecuación se obtiene la
perdida de calor por unidad de longitud:
q
=
H
3.83 × 10 −3
(220 − 70)º F
pieº F
pieº F
pieº F
+ 1,12 × 10 −3
+ 5.67 × 10 −3
Btu
Btu
Btu
q
BTU
= 14124.3
H
hr × pie
8. Calcular el flujo de calor a través de la pared mostrada en la fig.
Suponiendo que este es unidimensional.
Datos:
T1 = 50ºC
T2 = 20ºC
Ka =200 W/mºC
Kb =50 W/mºC
Kc =40 W/mºC
Kd =90 W/mºC
Area transversal = 1m2
Area B = 0.5m2
Area C = 0.5m2
Solución:
Calculo del flujo de calor a través de la pared
Formula general:
q ∆T
=
A Req
Req = Ra + Rbc + Rd
Calculo de Resistencias en series (Ra y Rd):
Ra =
ea
0.01m
ºC
=
= 5.0 × 10 −5
2
K a ⋅ Aa 200W mº C × 1m
W
Rd =
ed
0.02m
ºC
=
= 2.22 × 10 −4
2
K d ⋅ Ad 90W mº C × 1m
W
Calculo de Resistencias en paralelo (Rb y Rc):
1
1
1
=
+
RBC Rb Rc
1
k × Ab kc × Ac
= b
+
Rbc
eb
ec
1
50 (W mº C ) × 0.5m 2 40 (W mº C ) × 0.5m 2
=
+
Rbc
0.03m
0.03m
1
1
=
Rbc 1499.9W º C
Rbc = 6.67 × 10 − 4
ºC
W
Req = 5.0 x10 −5 + 2.22 x10 − 4 + 6.67 x10 − 4 = 9.39 × 10 − 4
Reemplazo en la formula para el cálculo del flujo de calor:
q=
(50 − 20)º C
9.39 × 10 − 4 º C w
q = 31948.9 w
ºC
W
9. Una pared de un horno es construida de ladrillos que tienen dimensiones
comunes 9 x 4 1/2 x 3 pulgadas. Se dispone de dos clases de material: uno
que tiene una temperatura útil límite de 1900 °F y una conductividad térmica
de 1 BTU/hr-pie-°F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 1600°F
y una conductividad térmica de 0,5. Los ladrillos tienen el mismo costo y
pueden colocarse de cualquier forma, pero se desea construir la pared más
económica para un horno con una temperatura del lado caliente de 1900°F
y del lado frío de 400 °F. Si la cantidad máxima permisible de transferencia
de calor es 300 BTU/hr-pie² de área, determinar el arreglo más económico
para los ladrillos disponibles.
0,25pie
q
1900ºF
0,75pie
0,35pie
400ºF
1.- Tº útil límite = 1900ºF;
K= 1 BTU/ hr pie ºF
2.- Tº útil límite = 1600ºF;
K= 0,5 BTU/ hr pie ºF
Respuesta: si se tienen dos tipos de ladrillos de distinta conductividad
térmica, para economizar en ladrillos, lo ideal es utilizar aquellos que tengan
la menor conductividad térmica, pero en este caso, no es posible utilizar los
ladrillos de conductividad térmica 0,5 BTU/ hr pie ºF, en el interior del horno,
ya que solo resisten una temperatura de 1600ºF y la temperatura al interior
del horno es de 1900ºF, por esta razón utilizaremos en el interior del horno
los ladrillos de conductividad térmica=1 BTU/ hr pie ºF, y posteriormente
utilizaremos los otros.
q= 300 BTU/ hr pie2
q
A
=K⋅
T1 − T2
e
300
(1900 − T2 )º F
BTU
= 1BTU
⋅
2
º
hr
pie
F
⋅
⋅
0,75 pie
hr ⋅ pie
T2=1675 ºF
300
(1675 − T2 )º F
BTU
= 1BTU
⋅
2
hr ⋅ pie⋅º F
0,25 pie
hr ⋅ pie
T2 =1600 ºF
300
(1600 − 400 )º F
BTU
= 0,5 BTU
⋅
2
hr ⋅ pie⋅º F
e
hr ⋅ pie
e = 2 pie
Se necesitarán 2 corridas de ladrillos de K = 1 BTU/ hr pie ºF, y 4 corridas
de ladrillos de;
K= 0,5 BTU/ hr pie ºF
10. Para la pared compuesta representada en la figura adjunta, asumiendo
una transferencia de calor unidireccional y sabiendo que:
Area A = 1 pie²
Area B = Area E
Area C = AreaD=
AreaE
2
KA = 100 BTU/hr - pie - °F;
KB = 20 BTU/hr - pie - °F;
KC = 60 BTU/hr - pie - °F;
KD = 40 BTU/hr - pie - °F;
KE = 80 BTU/hr - pie - °F;
KF = 100 BTU/hr - pie - °F;
a) Encontrar el flujo de calor.
Solución
Calculo de áreas:
pie
= 0.332 pie
pu lg
pie
Espesor de F y C = 2 pu lg× 0.083
= 0.1666 pie
pu lg
Espesor de A
= 4 pu lg× 0.083
= 8 pu lg× 0.083
Espesor de D
pie
= 0.664 pie
pu lg
Espesor de B y E = 1.0 pu lg× 0.0833
pie
= 0.833 pie
pu lg
Según la figura:
Area A = AreaB + AreaC+ AreaE
AreaE
+Area E
2
1pie2 = Area E+
Area E = 0.4 pie2
Por lo tanto:
Area C =
AreaE
2
Area C=
0.4 pie 2
2
Area C= 0.2pie2
Area B =Area E
Area D= Area C
Cálculo de Resistencias en series:
Rc + Rd =
ec
ed
+
kc × Ac kd × Ad
Rc + Rd =
0.1666 pie
0.6664 pie
+
Btu
Btu
60
× 0.2 pie 2 40
× 0.2 pie 2
hrpie º F
hrpie º F
Rc + Rd = 0.0138
Btu
Btu
+ 0.0833
hr º F
hr º F
Rc + Rd = 0.0971
Btu
hr º F
Cálculo de Resistencias en paralelo:
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
Rb RC + RD RE eb kb × Ab 0.0971 Btu
eE k E × AE
hr º F
1
1
1
+
+ =
Rb RC + RD RE
1
1
1
+
+
Btu
Btu
Btu
0.833pie 20
× 0.4pie 0.0971
0.833pie 80
×0.4pie
hrpieº F
hrº F
hrpieº F
Ra =
0.332m
ea
hr º F
=
= 3.332 × 10 − 3
2
ka × Aa 100W mº C × 1m
Btu
RF =
0.1666m
eF
hr º F
=
= 1.666 × 10 − 3
2
k F × AF 100W m º C × 1m
Btu
R∞ =
1
=
hi × A 10
R∞ 2 =
1
Btu
× 2.2 pie 2
2
hrpie º F
1
=
h2 × A 15
1
Btu
× 2.2 pie 2
2
hrpie º F
= 0.045
hr º F
Btu
= 0.033
hr º F
Btu
La sumatoria de todas las resistencias es:
Rtotal = 0.1
BTU
hr º F
El flujo de calor de la pared compuesta se calcula a partir de la
ecuación:
q=
∆T
(110 − 50)º F
=
Btu
Rtotal
0.1
hr º F
q = 600
BTU
hr
b) Encontrar la temperatura en la interfase de las paredes C y D.
Nota:
En la figura se observa que las paredes C y D que se encuentran en serie
están en paralelo con las paredes B y D, por lo tanto para poder calcular la
temperatura entre ambas paredes es necesario primero calcular las
temperaturas en las superficies de la figura. Siguiendo los siguientes pasos:
Cálculo de Ts1: (en la superficie por el lado A)
q = h × A × (T∞1 − TS 1 )
Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:
600
Btu
Btu
= 10
× 2 .2 pie 2 × (110 º F − TS 1 )
2
hr
hrpie º F
Despejando TS1
TS 1 = 82.73º F
Calculo de TS2 (en la superficie por el lado F)
q = h × A × (TS 2 − T∞ 2 )
Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:
600
Btu
Btu
= 10
× 2 .2 pie 2 × (TS 2 − 50 º F )
2
hr
hrpie º F
Despejando TS2
TS 2 = 68.18º F
Con las temperaturas de las superficies se calcula ∆T
∆T = TS 1 − TS 2
∆T = (82.73 − 68.18)º F = 14.55º F
El calor que pasa sobre las paredes es:
q = qB + qCD + qE
q=
∆T
∆T
∆T
+
+
eB k B × AB RCD eE k E × AE
qCD =
Btu
∆T
14.55º F
=
= 149.85
Btu
RCD 0.0971
hr
hr º F
Con el cálculo de qCD se puede obtener la temperatura en la interfase
de las paredes C y D.
qCD =
(TS 1 − T ) (T − TS 2 )
=
RE
RD
149.85
Btu 82.73º F − T
=
Btu
hr
0.0138
hr º F
T = 80.66º F