Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas AD OR Examen Final MATE1207/08 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Instrucciones: Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes, cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos. Points 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 Total: 50 Score Chequee su sección en la tabla−→ Nombre: Firma: BO Código: Sección Profesor 01 José Ricardo Arteaga 06 Marco Boggi 11 Ramiro De la Vega 16 Bernardo Uribe 21 Mikhail Malakhaltsev RR Question 26 Mauricio Velasco HON Jean Carlos Cortissoz Mi sección Bogotá, Mayo 22, 2012 1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad” Código: Tema B Pág. 2 de 10 Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. BO RR AD OR 1. (10 points) Encontrar los puntos de la curva Γ dada por la ecuación x2 − 3y 2 − 6 = 0 que están más cerca del punto (0, 4). Ayuda: Usar el método de multiplicadores de Lagrange y optimizar la distancia al cuadrado. Problema 1 continúa en la página siguiente. . . Código: Tema B BO RR AD OR Prob. 1 cont.. . . Pág. 3 de 10 Código: Tema B Pág. 4 de 10 Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. 2. (10 points) Hallar AD OR Z (4y − 3x)dx + (x − 4y)dy, C 2 x y + = 1 orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj. 9 9 BO RR donde C es la curva 2 Problema 2 continúa en la página siguiente. . . Código: Tema B BO RR AD OR Prob. 2 cont.. . . Pág. 5 de 10 Código: Tema B Pág. 6 de 10 Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. AD OR 3. (10 points) Hallar el flujo hacia afuera del campo vectorial F~ = x + ex+y+z ~i + y − ex+y+z ~j + z + 3z 2 ~k BO RR a través la superficie dada por la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 25. Problema 3 continúa en la página siguiente. . . Código: Tema B BO RR AD OR Prob. 3 cont.. . . Pág. 7 de 10 Código: Tema B Pág. 8 de 10 Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. 4. (10 points) Hallar la integral AD OR ZZ ~ ∇ × F~ · dS, S BO RR donde F~ = −y~i + x~j + ~k y S es la superficie del hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1 con z ≥ 0. La orientación de S es hacia “afuera”. Problema 4 continúa en la página siguiente. . . Código: Tema B BO RR AD OR Prob. 4 cont.. . . Pág. 9 de 10 Código: Tema B Pág. 10 de 10 No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas. 5. Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso. AD OR (a) (2 points) Para f (x, y, z) = x + y + ez el vector gradiente ∇f (1, 1, 1) es perpendicular a la superficie f (x, y, z) = 4 en el punto (1, 1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . Z 1 Z y1/3 Z 1 Z x3 2 2 cos(x2 + y 2 ) dx dy. . . . . . . . . . . . cos(x + y ) dy dx = (b) (2 points) 0 0 0 0 (c) (2 points) El resultado de la evaluación de la integral: 2 Z 2π 0 Z 1 0 1 − r2 rdrdθ es igual al volumen de una esfera de radio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) (2 points) La curvatura de una curva cerrada plana es constante y igual a 4 si y solo si la curva es una circunferencia del radio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e) (2 points) En un punto de silla de una función f (x, y) todas las derivadas BO RR direccionales son iguales a cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .