Método de mallas

6.1 Método de mallas
Analizar un circuito consiste en hallar las intensidades, con su sentido de circulación, en cada una de las ramas.
Consideremos el circuito de la fig. 2.44. Para aplicar el método de
las mallas, se eligen, en primer lugar, líneas cerradas (lazos), o
mallas, asignándoles una corriente, que se denominará corriente
de malla.
ZA
EA
I1
ZE
ZC
ZB
A continuación se escriben las ecuaciones de la 2ª ley de
Kirchhoff para cada lazo o malla, tomando las intensidades de
corriente I 1 , I 2 e I 3 , como variables desconocidas y resolviendo
el sistema así formado.
I2
ZD
I3
EB
Fig. 2.44
Para hallar las corrientes en las ramas, aplicaremos la 1ª ley de Kirchhoff, resultando coincidentes la corriente en la rama con la
corriente de malla, en el caso de ramas exteriores, y la suma algebraica que resulte en el resto de las ramas.
Así, la corriente en Z A será I 1 , y la corriente en Z B , es I 1 − I 2 .
Obtengamos el sistema de ecuaciones del circuito de la fig. 2.44.
(
(I
(I
)
− I ) + Z (I
− I ) = −E
En la malla 1:
Z A ⋅ I1 + ZB I1 − I 2 = E A
En la malla 2:
ZC ⋅ I 2 + Z B
En la malla 3:
ZE ⋅I3 + ZD
2
3
1
D
2
2
)
− I3 = 0
B
que lo podemos ordenar de la siguiente manera:
(Z
A
)
+ Z B ⋅ I1
−Z B ⋅ I 2
−Z B ⋅ I 1
+ Z B + ZC + ZD ⋅ I 2
−Z D ⋅ I 3
−Z D ⋅ I 2
+ ZD +ZE ⋅I3
(
= EA
)
(
)
=0
= −E B
Este sistema podía haberse obtenido directamente, al razonar que I 1 , tendría que multiplicar, en la ecuación de la malla 1, a la suma de
las impedancias a lo largo de dicha malla. I 2 , a la impedancia compartida entre la malla 1 y la malla 2, siendo el signo de éste término
consecuencia de que el elemento Z B , está recorrido por corrientes de sentido contrario. Si Z B , hubiera estado recorrido por corrientes
en el mismo sentido el término sería positivo. Con este razonamiento, se obtendrá directamente el sistema de ecuaciones, y
generalizando sería: la ecuación de una malla cualquiera, se obtendrá efectuando una suma de términos, en el que uno sería el
producto de la corriente de malla por la suma de las impedancias a lo largo de la malla, y el resto de los términos, serían el producto de
las otras corrientes mallales, por las impedancias compartidas de la malla en cuestión con las otras mallas. Igualaremos esta suma de
términos, a la suma de tensiones debidas a fuentes en la malla.
Es fundamental para simplificar el cálculo, elegir convenientemente los lazos.
Imaginemos que en el circuito de la fig. 2.44 solo es necesario
conocer la corriente que pasa por Z D . Con el sistema anterior hay
que calcular I 2 e I 3 y posteriormente I Z = I 2 − I 3 . Sin embargo,
si elegimos como mallas las que se indican en la fig. 2.45.
ZA
D
EA
I1
ZE
ZC
ZB
I2
ZD
I3
EB
De esta forma, I Z = I 3 , y las ecuaciones serían:
D
(
)
Fig. 2.45
Z A + Z B ⋅ I1
−Z B ⋅ I 2
−Z B ⋅ I 1
+ Z B + ZC + ZE ⋅ I 2
+Z E ⋅ I 3
= −E B
+Z E ⋅ I 2
+ ZD +ZE ⋅I3
)
= −E B
(
)
= EA
(
Hay que observar que en el método de las mallas, el número de mallas elegidas, han de ser suficientes, no siendo válido, elegir un
número menor.
El número de mallas o ecuaciones necesarias para resolver un circuito es igual al número de ramas, R, menos el número de nudos, N,
menos 1.
R − ( N − 1)
La ecuación general que resulta para un sistema de “n” mallas, es:
Z 11 ⋅ I 1 + Z 12 ⋅ I 2 + Z 13 ⋅ I 3 +!!+ Z 1n ⋅ I n = E 1
Z 21 ⋅ I 1 + Z 22 ⋅ I 2 + Z 23 ⋅ I 3 +!!+ Z 2n ⋅ I n = E 2
"""""""""""""""""""
Z n1 ⋅ I 1 + Z n2 ⋅ I 2 + Z n3 ⋅ I 3 +!!+ Z nn ⋅ I n = E n
• En las que los términos Z hh , serán las sumas de las impedancias a lo largo de la malla "h", serán todos positivos y se llaman
impedancia propia de la malla.
• Los términos Z hk , serán la impedancia compartida entre la malla "h" y la malla "k", su signo dependerá del sentido de las
corrientes. Si está recorrido por corrientes del igual sentido será positivo, y en caso contrario, negativo. Estos términos, Z hk , se
denominan copedancias.
• El término E h será la suma de las f.e.m.s. a lo largo de la malla "h", será positivo cuando la corriente mallal salga por el punto
de mayor potencial y negativo en caso contrario.
Es muy cómodo resolver estos sistemas de ecuaciones en forma matricial y aplicando la regla de Cramer.
(Z ) ⋅ ( I ) = ( E )
La ecuación general puede escribirse:
 Z 11

 Z 21
"

 Z n1
Z 12 " Z 1n   I 1   E 1 
    
Z 22 " Z 2n   I 2   E 2 
=
⋅
" " "   "  " 
    
Z n2 " Z nn   I n   E n 
De donde, siendo ∆Z , el determinante de la matriz Z .
Z 11
Z 21
∆Z =
"
Z n1
E1
E2
"
Y obtenemos:
I1 =
En
Z 12 " Z 1n
Z 22 " Z 2n
" " "
Z n 2 " Z nn
Z 12 " Z 1n
Z 22 " Z 2n
" " "
Z n2 " Z nn
Z 11
Z 21
"
I2 =
∆Z
Z n1
E 1 " Z 1n
E 2 " Z 2n
" " "
E n " Z nn
∆Z
O bien desarrollando por los adjuntos de los términos E , tensiones:
∆11
∆
∆
+ E 2 ⋅ 21 +!!+ E n ⋅ n1
∆Z
∆Z
∆Z
∆
∆
∆
I 2 = E 1 ⋅ 12 + E 2 ⋅ 22 +!!+ E n ⋅ n 2
∆Z
∆Z
∆Z
""""""""""""""""
∆
∆
∆
I n = E 1 ⋅ 1n + E 2 ⋅ 2 n +!!+ E n ⋅ nn
∆Z
∆Z
∆Z
I 1 = E1 ⋅
Los adjuntos ∆ 11 , ∆ 21 , . . ., ∆ n1 , etc., se obtienen, como ya sabemos, eliminando los elementos de la fila y columna que nos indica los
subíndices.
Los coeficientes ∆ hk , tienen la dimensión de una admitancia y se denominan admitancias generalizadas.
∆Z
Circuito
pasivo
de "n"
mallas
E1
Fig. 2.46