La medida de g

La medida de g
Péndulo Simple
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del
punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la
vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria
circular, un arco de una circunferencia de
radio l. Estudiaremos su movimiento en la
dirección tangencial y en la dirección
normal.
Las fuerzas que actúan sobre la
partícula de masa m son dos
•
•
el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la
dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial.
•
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia
el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosθ
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ
podemos determinar la tensión T del hilo.
•
Principio de conservación de la energía
En la posición ?=?0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se
transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de
equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema ?=?0, la energía es
solamente potencial.
E=mg(l-l·cos?0)
En la posición ?, la energía del péndulo es
parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cos?-cos?0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cos?-2cos?0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición
angular ?. Su valor máximo se alcanza cuando ?=0, el péndulo pasa por
la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo,
cuando ?=?0 (la velocidad es nula).
•
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senθ
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración
angular α es at=α ·l. La ecuación del movimiento se escribe en
forma de ecuación diferencial
Medida de la aceleración de la gravedad
Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, senθ ≈ θ , el péndulo describe
oscilaciones armónicas cuya ecuación es
θ =θ0·sen(ω t+ϕ )
de frecuencia angular ω2=g/l, o de periodo
La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos
cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una
distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un
punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es
la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
Ejemplo:
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres
(5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es
Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración
•
Cinemática
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde
una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo
celeste.
•
Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de
longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de
la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja
g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos "experimentales" en un
sistema de ejes:
•
•
P2/(4π2) en el eje vertical y
La longitud del péndulo l en el eje
horizontal.
La pendiente de la recta es la inversa de la
aceleración de la gravedad g.
Otros métodos
Plano inclinado
Si suponemos que el plano inclinado de ángulo ? no presenta rozamiento µ=0
Las fuerzas sobre el cuerpo son:
•
•
El peso mg
La reacción del plano N
Como hay equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado
N=mgcos?
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento a lo largo del plano
ma= mgsen?,
a= gsen?,
Si el cuerpo parte del reposo en la posición A, las ecuaciones del movimiento son:
v= gsen? ·t
x= gsen? ·t2/2
Conocido el ángulo ? que forma el plano inclinado con la horizontal, el desplazamiento
x del móvil entre A y B y el tiempo t que emplea en desplazarse, despejamos la
aceleración de la gravedad g
La máquina de Atwood
La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la
aplicación de la segunda ley de Newton. Como vemos en
la figura, consta de dos cuerpos de masas m1 y m2 unidos
por una cuerda que pasa por una polea. En la versión más
simplificada, se supone que la cuerda es inextensible y
sin peso, y que la polea tiene masa despreciable y gira
sin rozamiento en el eje.
En esta figura, se representan las fuerzas que actúan
sobre cada una de las masas, y la aceleración a,
suponiendo que m1>m2. Si T es la tensión de la cuerda, la
segunda ley de Newton para cada uno de los dos cuerpos
se escribe
m1a=m1g-T
m2a=T-m2g
En este sistema dos ecuaciones, despejamos la
aceleración a
Consideremos m1 > m2 y que m1 cae desde una altura h hasta el suelo
Luego
a = 2 h / t2
2 h / t2 = (m1-m2)/(m1+m2) g
(2 h/g) (m1+m2)/(m1-m2) = t2
y graficando t2 en función de (m1+m2)/(m1-m2) podemos obtener g de la pendiente
La medida de G
G es una de las tres constantes fundamentales de la Física, y por ende, de la
Naturaleza (las otras dos son c, la velocidad de la luz en el vacío, y h, la
constante de Planck). Es la constante que aparece en la Ley de la Gravitación
formulada por Newton:
Su valor es extremadamente pequeño debido a que la fuerza de atracción
gravitatoria es muy pequeña. Cuanto mayor sea la precisión con la que
conocemos su valor mayor será la precisión con la que podremos calcular la
fuerza de atracción entre dos masas, o conociendo la fuerza y una de las
masas, poder calcular con gran precisión la otra masa. Aplicando esto último a
dos masas en la que una de ellas sea la masa de nuestro querido planeta
Tierra, podremos saber la masa de ésta (curioso, pero con cualquier objeto,
por ejemplo un trozo de tiza, podemos "pesar" la Tierra).
La balanza de Cavendish:
El primer científico que midió con precisión la constante G fue Henry
Cavendish hace 200 años con un tipo de balanza que actualmente se conoce
con su nombre (balanza de Cavendish).
Fig.1
Fig.2
Esta balanza consta, en esencia (ver fig1), de una varilla horizontal, ligera, en
cuyos extremos tiene dos pequeñas esferas iguales de masa m, de una
sustancia muy densa y poco alterable como el oro o el platino. Esta varilla se
suspende por su centro con un hilo muy fino, generalmente de cuarzo. Se
colocan enfrente de las masas m, a uno y otro lado de la varilla sendas esferas
grandes de plomo de masa M. Las fuerzas de atracción entre las masas m y M
originan un par de fuerzas que tiende a girar la varilla y a acercar las masas
entre sí. Este movimiento de la varilla retuerce el hilo del que pende la varilla y,
como consecuencia, aparece un par de fuerzas elásticas que se opone al par
de atracción; el giro cesa cuando ambos pares de fuerzas tienen el mismo
módulo. Así pues, en el equilibrio tendremos:
es decir,
en donde, L = longitud de la barra, F = la fuerza de atracción entre m y M, y ϕ =
el ángulo girado; la constante elástica, K, se puede determinar fácilmente.
Sustituyendo en la igualdad anterior F por su expresión dada por la ley de la
Gravitación, tenemos:
de donde podemos despejar G:
Para mayor comodidad y precisión, el ángulo (que es muy pequeño) se mide
proyectando sobre una escala graduada un rayo de luz que se refleja sobre un
espejo unido al hilo de suspensión y que sigue su giro (ver Fig.2).
Después de Cavendish, numerosos científicos han realizado el experimento
con balanzas cada vez más grandes y precisas obteniendo el valor de G =
aceptado como correcto en 1998, dándole un
margen de error del 0.15%.
La masa de la Tierra:
Conocida la constante G y el radio de la Tierra, R, por métodos geodésicos
podemos valernos de la Ley de la Gravitación de Newton para obtener la masa
de la Tierra:
Fgrav =Peso
al nivel del mar en el ecuador y R
Si sustituimos los valores, con g =
= 6380 km obtendremos una masa de la Tierra igual a 5,966 1024 kg.
Nueva medida de G:
A finales del mes de abril de 2000, un grupo de investigadores de la
Universidad del Estado de Washington ha presentado en la reunión de la
Sociedad
Americana
de
Física,
en
California,
un
valor
de
G
=
con un error del 0,0015%.
Para ello construyeron una versión muy modificada de la balanza de
Cavendish. El aparato mide sólo un metro de altura y está montado sobre una
plataforma giratoria que rota una vez cada 20 minutos aproximadamente entre
las masas atractoras, que son cuatro u ocho esferas de acero inoxidable
fabricadas con gran precisión y que a su vez rotan en sentido contrario y a
mucha mayor velocidad sobre otra plataforma giratoria. Lo que se pretende
con este sistema de plataformas giratorias es que el par de fuerzas originado
por la atracción gravitatoria se compensé con el par que produce el giro de la
plataforma interna de manera que el hilo no se retuerza y evitar, con ello, los
posibles errores debidos a los rozamientos internos del hilo y que son difíciles
de conocer. Lo que se mide, ahora, no es el ángulo girado sino la aceleración
angular de la plataforma interna. El valor obtenido necesita comprobarse con
nuevos experimentos antes de ser aceptado como correcto pero, de ser cierto,
la pequeña variación respecto al valor anterior supone que la masa de la
Tierra es (sustituyendo en la ecuación anterior) de 5,9649·10
kg, es decir,
1.100.000.000.000.000.000.000 kg menos que lo supuesto hasta ahora (esta
cantidad tan enorme, sin embargo, sólo representa el 0,018% de toda la masa
de la Tierra).
El valor de G tiene otras implicaciones; G, según la teoría de la Relatividad
General de Einstein, está relacionada con la curvatura del espacio, del
Universo, determinando si este es plano o curvo.
Hemos considerado que G es una constante, suponiendo que tiene el
mismo valor en cualquier parte del Universo y, a lo largo del tiempo, desde sus
primeros instantes pero, ¿es así?. Los científicos no lo saben
con certeza,
aunque todo apunta a que la respuesta es afirmativa.
¿Qué quiere decir que el universo es plano?
Como ya se ha dicho el concepto plano no significa lo mismo en física que en
la vida cotidiana, pero nuestro conocimiento del mundo que nos rodea puede
ayudarnos a intentar comprender lo que quieren decir los físicos. Todos
estamos de acuerdo en que una hoja de papel extendida sobre una mesa
constituye una superficie plana. Mientras que, si cogemos esa hoja y la
deformamos ligeramente da lugar a una superficie curva. La diferencia entre
plano y curvo es fácil de entender para un observador en tres dimensiones
(nosotros) cuando se refiere a una superficie de dos dimensiones (la hoja de
papel). Pero, esta diferencia, ¿estaría igual de clara para un observador que
viviera en ese mundo de dos dimensiones? La respuesta es no. La curvatura
de la superficie de dos dimensiones implica deformación en una dimensión
extra (la tercera dimensión).
Nosotros vivimos en un mundo en tres dimensiones y nuestra observación está
determinada por esas tres dimensiones. Decidir si nuestro mundo es plano o
es curvo, de la misma manera en que lo hemos hecho para la hoja de papel,
implicaría determinar si existe una deformación en una cuarta dimensión. Y,
para ello, necesitaríamos recurrir a un observador que viviera en un mundo de
cuatro dimensiones.
¿Cómo podemos resolver entonces el problema? No es tan difícil, en nuestro
auxilio acude algo tan antiguo como la geometría de Euclides (Grecia, hacia el
300 a de C.). Uno de los postulados de la geometría de Euclides establece
que, en un plano, dos rectas paralelas no llegan nunca a cortarse. Esto se
cumplirá si la superficie es plana, pero no si es curva. Los habitantes de un
mundo de dos dimensiones sólo tendrían que trazar rectas paralelas para
determinar si ese mundo es plano o curvo.
Veamos un ejemplo. ¿Qué ocurre con la superficie de la Tierra? Si nos fijamos
exclusivamente en su superficie lo podemos considerar un mundo en dos
dimensiones y podríamos andar y andar sobre su superficie sin llegar a
determinar si es curva o plana. Se podría poner la pega de que los barcos en
la lejanía parecen desaparecer, pero estaríamos haciendo trampas y
recurriendo a la tercera dimensión para resolver el problema. Sólo nos queda
recurrir a la geometría de Euclides. Si trazamos dos paralelas sobre la
superficie terrestre, tarde o temprano acabarán por cortarse en un punto. Es,
por ejemplo, el caso de los meridianos. Son líneas paralelas que por efecto de
la curvatura de la Tierra se cortan en los polos.
Volviendo al problema de la curvatura de nuestro Universo de tres
dimensiones, puesto que no podemos escaparnos a una cuarta dimensión
para observarlo desde fuera, sólo nos queda hacer experimentos para ver si
cumple los postulados de la geometría euclídea. Podemos trazar paralelas y
ver si llegan a cortarse, pero dado nuestro pequeño tamaño comparado con el
del universo esto resulta muy complicado. Podemos enviar rayos de luz
paralelos y observar si llegan a cortarse, pero esto también es complicado
porque los rayos se desvían por los efectos gravitatorios de planetas estrellas,
etc, lo que obligaría a descontar esos efectos locales. Sólo nos queda idear
experimentos cada vez más ingeniosos que nos ayuden a determinar cuáles
son las propiedades del Universo. Uno de ellos es el que han realizado los
científicos del Proyecto Boomerang.
El descubrimiento de la Ley de la
Gravitación Universal
Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento
realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal: todos los
objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que separa sus centros. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos
físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física
terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación
lograba de un solo golpe:
•
•
•
Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario.
Resolver el intrincado problema del origen de las mareas
Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el
movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso.
La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípeta para el caso de órbitas
circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el
movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme:
1. Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo P es proporcional al cubo
del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio
radio r, P2=kr3.
2. La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria
circular, la fuerza que hay que aplicar al cuerpo es igual al producto de su masa
por la aceleración normal, F=mv2/r.
3. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la
longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2π r/v.
Combinando estas expresiones, obtenemos
Vemos que la fuerza F que actúa sobre el
planeta en movimiento circular uniforme es
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r desde el centro de fuerzas al centro
del planeta.
Newton comparó la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de la
gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípeta de la Luna es ac=v2/r=4π 2r/P2,
con r=3.84·108 m y P=28 días=2.36·106 s, se obtiene ac=2.72·10-3 m/s2. Por
consiguiente,
Como el radio de la Tierra es 6.37·106 m, y el radio de la órbita de la Luna es
3.84·108 m, tenemos que
Por tanto,
Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de
las distancias medidas desde el centro de la Tierra.
LAS LEYES DE KEPLER SOBRE LAS ÓRBITAS PLANETARIAS
Usando la teoría de la gravedad de Newton se puede estudiar el
movimiento de los planetas en órbitas en torno al Sol:
1) Los planetas se mueven en
órbitas de forma elíptica, con el
Sol en uno de los focos de la
elipse
2) El radio de la órbita barre
áreas iguales en tiempos
iguales
3) El período (o tiempo en
completar una vuelta) de un
planeta depende de la distancia
al Sol
Movimiento de los planetas
Cuando el momento angular L de un cuerpo que gira atraído por una fuerza
gravitatoria no es nulo, la trayectoria es una cónica.
Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(θ)
se expresa el momento angular y la energía en
coordenadas polares y se integra la ecuación
diferencial resultante.
El parámetro ε, denominado
excentricidad, define el tipo de trayectoria
Descripción geométrica
Descripción física
Elipse
ε<1
E<0
Parábola
ε=1
E=0
Hipérbola
ε>1
E>0
Clase de cónica
Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya
excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una
fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las
distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una
energía total negativa (E<0).
Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición
más cercana al foco r1 se obtiene cuando θ=0 y la posición más alejada r2 se
obtiene cuando θ=π. Es decir,
Los semiejes a y b de la elipse valen
El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular L, y solamente
depende de la energía total E. El semieje menor b depende del momento angular L y de
la energía E
Periodo
Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.
En la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el
intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma
triangular.
El ángulo del vértice de dicho
triángulo es dθ y la base del
triángulo es un arco de longitud
rdθ. El área del triángulo es (base
por altura dividido por dos)
Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas
polares
La primera integral es el área total de la elipse πab, que es igual a la suma de
las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro
es el periodo P del planeta, por tanto
Poniendo el semieje b en función del semieje a, llegamos a la fórmula que
relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse
a, denominada tercera ley de Kepler.