Problemas

Problemas
1. Dos rendijas estrechas distantes entre si 1,5 mm se iluminan con la luz amarilla
de una lámpara de sodio de 589 nm de longitud de onda. Las franjas de
interferencia se observan sobre una pantalla situada a 3 m de distancia. Hallar la
separación de las franjas sobre la pantalla. Repetir los cálculos si la distancia
entre rendijas es de 0,8 mm, λ=590 nm y la pantalla está a 0,5 m.
La interferencia constructiva se dará cuando se cumpla la ecuación
dsen θ = nλ
La distancia yn medida sobre la pantalla desde el punto central de la franja
brillante n-esima está relacionada con la distancia L según la ecuación
tgθ =
yn
L
y para ángulos pequeños donde tangente y seno son iguales obtenemos
yn = n
λL
d
Por tanto sustituyendo los datos del problema obtenemos como distancia entre
franjas
y= 1,18 mm
7-1
2. Discutir el diagrama de interferencia producido por dos fuentes no coherentes de
la misma frecuencia.
Sabemos que la amplitud en el proceso de interferencia de dos ondas de
amplitudes A 1 y A2 viene dada por
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(α 2 − α 1 )
siendo α 2 - α 1 la diferencia de fase entre las dos ondas que en este caso es igual
a la debida a la diferencia de camino óptico mas una diferencia de fase φ que
varía con el tiempo al azar.
Por tanto la diferencia de fase es
δ =
2π (r1 − r2 )
+φ
λ
y la amplitud
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(δ )
A no es constante en el tiempo dado que δ no es constante en el tiempo.
Hallando el valor medio de la amplitud encontramos que el valor medio del cos en
el tiempo es cero y
< A 2 >= A12 + A22
y como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud
I=I1 +I2
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3. Con el objetivo de determinar la longitud de onda de una fuente desconocida se
realiza un experimento de interferencia de Young con una separación entre
rendijas de 1 mm y la pantalla situada a 1 m. Sobre la pantalla se forman franjas
brillantes consecutivas que dista 0,546 mm. ¿Cuál es la longitud de onda?
7-3
4. Hallar la distribución angular de intensidad emitida por una batería lineal de 4
antenas separadas una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de
emisión.
Para cuatro antenas (N=4) separadas por d=λ/2 se obtiene un máximo principal
para
senθ=2n con n entero
y esto es solo posible para n=0 obteniéndose un máximo principal para
θ=0, π
Los ceros, mínimos de intensidad vienen dado por
senθ=n´/2
n´= ±1 y ±2
θ= ±π/6 y ±π/2
Entre máximo principal y máximo principal
máximos secundarios
hay 3 (N-1) mínimos y 2 (N-2)
La figura muestra la distribución angular de la intensidad emitida
7-4
5. Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de
refracción n = 1,3 como recubrimiento antirreflectante sobre la superficie de un
vidrio de índice de refracción n = 1,5. ¿Cuál deberá ser el espesor mínimo de la
película para que ésta no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda (en el aire)
que incide casi normalmente sobre el sistema?
7-5
6. Las placas solares se suelen recubrir con una delgada película transparente de
óxido de silicio (n = 1,45) para evitar la reflexión de la luz solar en su superficie.
Una placa solar de Si (n = 3,5) se cubre con una película de óxido con este fin.
Determínese, para radiación de longitud de onda λ = 550 nm, el espesor mínimo
de la película de óxido de manera que los rayos reflejados sufran interferencia
destructiva.
En la reflexión en la intercara aire-SiO la onda reflejada sufre un desfase de π, ya
que naire < nSiO . Pero también en la intercara SiO-Si la onda reflejada sufre un
desfase de π , de manera que no hace falta tener en cuenta los desfases
producidos en las reflexiones.
Si a es el espesor de la capa de SiO, para que los rayo 1 y 2 sufran interferencia
destructiva tiene que ocurrir que la diferencia de camino óptico sea un número
impar de medias longitudes de onda
2 an cos θ r =
1
( 2 N − 1) λ
2
Y considerando incidencia normal, el espesor mínimo lo tendremos para N = 1
a=
1
λ = 94,8nm
4n
7-6
7. Calcular el espesor de una película de jabón que al ser iluminada por luz natural
se ve roja por reflexión y verde por transmisión cuando se mira normal a la
superficie. Tomar como índice de refracción del agua jabonosa n=4/3, longitud de
onda del rojo λ=667 nm y longitud de onda del verde λ=500 nm.
Por reflexión, el máximo de intensidad, que se da para λ=667 nm, debe cumplir
que
2 an cos θ r =
1
(2 N − 1)λ
2
Para incidencia normal cosθr= 1, n= 4/3 y despejando a para diferentes valores
de N
N=1 a= 125 nm
N=2 a= 375 nm
N=3 a= 625 nm
Por transmission se debe cumplir en la interferencia constructiva, que se da para
λ=500 nm
2 an cos θ r = Nλ
N=1 a= 187,5 nm
N=2 a= 375 nm
N=3 a=562,5 nm
Solo se cumplen las 2 condiciones, rojo por reflexión y verde por transmisión para
un espesor de película de jabón de
a= 375 nm
7-7
8. Obtenemos una película de aire en forma de cuña situando un pequeño trozo de
papel entre los bordes de dos piezas planas de vidrio. Se hace incidir luz de 500
nm normalmente a las superficies de vidrio y se observan las franjas de
interferencia por reflexión. Si el ángulo que forman las dos superficies es de
θ=3x10-4 rad, ¿cuántas franjas de interferencia se observan por unidad de
longitud?
El número de franjas de interferencia por centímetro se obtendrá contando el
número de franjas entre el punto de contacto de las dos láminas y una distancia x
y dividiéndolo por la distancia x
En el punto de contacto, y dado el cambio de fase π en el rayo reflejado en la
lámina inferior de vidrio, observamos una franja oscura. Cada vez que la
diferencia de camino óptico entre rayo reflejado en lámina superior y lámina
inferior sea un número entero m de longitudes de onda tendremos franja oscura.
Siendo t el espesor de la capa de aire tenemos por tanto
2t=mλ
Dado que el ángulo es pequeño, el espesor t está relacionado con el ángulo θ por
θ=t/x
Por tanto tendremos m franjas oscuras
m=2xθ/λ
y el número de franjas por cm será
m/x=2θ/λ=12 cm-1
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9. Una lente plano-convexa de 2 dioptrías y n=1,5 se sitúa sobre una lámina de
vidrio plana apoyándola sobre su cara convexa. El conjunto se ilumina por
encima de la cara plana con luz de 700 nm. Calcular el radio de la séptima
circunferencia que presenta máximo de interferencia considerando que se
observa por reflexión.
La potencia de una lente delgada viene dada por la ecuación
1 1
P = ( n − 1) − 
 r1 r2 
con P=2 y r2 =∞ obtenemos que el radio r1 de la lente es
r1= 0,25 m
El radio de los anillos de Newton donde se da interferencia constructiva por
reflexión viene dados por la ecuación
r 2 = ( 2 N − 1) R
λ
2
Para N=7 y despejando
r= 0,11 cm
7-9
10. Se hace pasar el haz de un láser de 700 nm de longitud de onda a través de una
rendija vertical de 0,2 mm de ancho que luego incide sobre una pantalla a 6 m de
distancia. Hallar la anchura del máximo de difracción central sobre la pantalla.
La distancia y medida sobre la pantalla, a una distancia L, desde el máximo
central al primer mínimo de difracción está relacionada con el ángulo θ por
tgθ=y/L
Por otro lado los mínimos de difracción cumple que
bsen θ = nλ
nλ
senθ =
b
Para ángulos pequeños el seno y la tangente coinciden y obtenemos que la
anchura del máximo central, igual a 2y, viene dado por
2y=2λL/b= 4,2 cm
7-10
11. Estimar la magnitud de los máximos sucesivos en el diagrama de difracción de
una rendija.
La intensidad en un proceso de difracción de Fraunhofer por rendija rectangular
viene dada por la ecuación
2
  πbsenθ  
 sen λ  
  = I ( senu ) 2
I = I0  
0
u
 πbsenθ 


λ


Los máximos sucesivos corresponden a los máximos de la fracción senu/u
d senu
(
)=0
du u
tgu=u
Ecuación trascendente que se puede resolver gráficamente representado y =tg u
e y=u y hallando los puntos de intersección de ambas curvas.
Sin embargo podemos hacer una estimación suponiendo que los máximos de
senu/u están cerca de los máximos de senu que son
u=(n+1/2)π
y los valores de senu/u en los máximos son 1/(n+1/2)π, con lo que las
correspondientes intensidades son
I=
I0
=0,045I0, 0,016I0 , 0,008I0 ,…..
( n + 1 / 2) 2 π 2
7-11
12. Una lente de 2 cm de diámetro tiene una distancia focal de 40 cm. Está iluminada
con un haz paralelo de luz monocromática de 590 nm. Hallar el radio del disco
central del patrón de difracción observado en un plano que pasa por el foco y el
poder de resolución de la lente.
Considerando que la lente actúa como una abertura circular de diámetro D= 2 cm
y aplicando el criterio de Rayleigh, el ángulo que subtiende el primer disco oscuro
es
θ ≈ senθ = 1,22
λ
λ
= 1,22 = 3,59 x10 −5 rad
2R
D
El radio del disco central del patrón de difracción en un plano que pasa por el
foco será
r= ftgθ≈ fθ= 1,43x10-3 cm
pudiendo afirmar que la imagen sobre el plano focal es prácticamente un punto
7-12
13. Dos rendijas de anchura b=0,015 mm están separadas por una distancia a=0,06
mm y se encuentran iluminadas por luz de longitud de onda λ=650 nm. ¿Cuántas
franjas brillantes se ven en el máximo central de difracción?
El primer mínimo de difracción se obtiene cuando
senθ = λ b
Para este ángulo θ tendremos el n-esimo máximo de interferencia
senθ = nλ a
y despejando n obtenemos
n=b/a=4
El primer mínimo de difracción coincide con la cuarta franja brillante. Por tanto
existen tres franjas brillantes visibles a cada lado del máximo central. Esto implica
que veremos 7 franjas brillantes en el máximo de difracción central.
7-13
14. ¿Qué separación angular mínima deben tener dos objetos puntuales si han de
ser resueltos justamente por el ojo?¿A qué distancia mutua deben estar si se
encuentran alejados ambos 100 m? Suponer que el diámetro de la pupila del ojo
es 5 mm y que la longitud de onda es de 600 nm
Sabemos que el poder de resolución de una abertura circular viene dado por
θ ≈ senθ = 1,22
λ
λ
= 1,22
2R
D
Para el caso considerado y despejando queda
θ= 1,46x10-4 radianes
La distancia y entre objetos será calculada a partir de
y=100tgθ= 1,46 cm
7-14
15. Una red de difracción de 20.000 líneas tiene una longitud de 5 cm. Hallar la
separación angular de todo el espectro visible, desde 390 nm (violeta) hasta 770
nm (rojo), para el primero y segundo orden.
7-15
16. Sobre una red de difracción de 12.000 rayas por cm incide luz de una lámpara de
sodio.¿A qué ángulos se verán las dos líneas amarillas de longitudes de onda de
589 nm y 589,59 nm en el primer orden?
Para el primer orden de difracción se cumple
senθ =
λ
a
con
a= 1/12000
Introduciendo la longitud de onda
θ(589 nm)=44,98º
θ(589,59 nm)=45,03º
7-16
17. Consideremos una red de difracción de 20.000 líneas y longitud 4 cm. ¿Es capaz
esta red de resolver las dos líneas amarillas del sodio dadas en el problema
anterior?
El poder de resolución R de una red de difracción es igual a
R=
λ
= nN
∆λ
Para el caso considerado el poder de resolución necesario es
R=
λ
589
=
= 998
∆λ 589,59 − 589
Es decir para resolver en el primer orden de difracción, n=1, son necesarias
alrededor de 1000 rendijas en el área iluminada por el haz.
Para la red de difracción considerada tenemos 5000 rendijas/cm
Por tanto para resolver estas dos líneas amarillas del sodio es necesario que el
diámetro del haz que incide sobre la red de difracción sea al menos de 2 mm
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18. Demostrar que el poder de resolución de una red de difracción de N rendijas
viene dado por la ecuación [7.49].
Vimos como la diferencia de fase entre la luz procedente de dos rendijas
adyacentes viene dada por
δ =
2π
dsenϑ
λ
Diferenciando esta ecuación analizamos como influye un pequeño cambio de
ángulo dθ en la fase
dδ =
2π
d cos ϑdϑ
λ
Para N rendijas la separación angular entre un máximo principal de interferencia
(dsenθ1 =nλ) y el primer mínimo de interferencia (dsenθ2=(n+1)λ/N) se
corresponde con un cambio de fase dδ igual a
∆r=dsenθ2 - dsenθ1 =λ/N
dδ=2π/N
Por tanto la separación angular entre un máximo principal y el mínimo adyacente
viene dada por
dϑ =
λ
Nd cos ϑ
El ángulo de máximo principal m-esimo cumple la ecuación
δ = 2πn
dsen θ = mλ
viendo como cambia este ángulo para pequeñas variaciones en la longitud de
onda dλ
d cos ϑdϑ = mdλ
mdλ
dϑ =
d cos ϑ
De acuerdo con el criterio de Rayleigh se resolverá el orden m-esimo para dos
longitudes de onda cercanas si la separación angular de las mismas es igual a la
separación angular del máximo y el mínimo de interferencia, es decir cuando
7-18
λ
mdλ
=
Nd cos ϑ d cos ϑ
y por tanto
R=
λ
= mN
∆λ
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