7. CASOS DE ESTUDIO Este capitulo aborda los tres casos

7. CASOS DE ESTUDIO
Este capitulo aborda los tres casos específicos de estudio que se consideran como
ciclos termodinámicos. Se trata de los ciclos de potencia, refrigeración y bomba de
calor. Como parte de este estudio se toman en consideración cuatro Casos de Estudio.
Dos de estos casos corresponden a ciclos de potencia, el Ciclo Ranking y el Ciclo
Bryton. Los otros dos casos corresponden a una Bomba de calor estándar y a un ciclo de
refrigeración común. Antes de desarrollar el análisis completo del ciclo se presentan las
consideraciones hechas así como una breve revisión del concepto de análisis energético,
el cual se aplicará de manera análoga en cada uno de los casos de estudio.
7.1 Consideraciones para el Análisis.
A fin de realizar un análisis sistemático y útil de los casos de estudio se tomaron
ciertas consideraciones, las cuales se ilustran en este apartado. Primero, definamos la
metodología que se seguirá para el desarrollo de cada caso. El primer paso es definir el
ciclo como tal, es decir, identificar los elementos involucrados y los estados entre los
cuales se mueve, esto se logrará ilustrando las trayectorias en diagramas
termodinámicos, siempre de forma aproximada, dado que los casos se manejaran desde
una perspectiva general.
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El segundo paso será caracterizar el ciclo, identificando los parámetros que se
deben considerar para la ejecución de los balances de energía, entropía y exergía. En
este paso aparecen las primeras consideraciones que deben mencionarse. El fluido de
trabajo para los ciclos de potencia es agua, la cual se tratará como gas ideal en aquellos
casos en que se maneje un gas. Para el caso del ciclo de refrigeración se utilizará
Propano como el refrigerante del ciclo, así como para la bomba de calor. En todos los
casos se asume un flujo másico unitario y constante, por lo cual no se considera en las
formulaciones de potencia o calor transferido, en otras palabras se encuentra implícito en
todos los cálculos, a menos que por alguna razón se indique lo contrario. A continuación
se plantearán los balances de energía, de entropía y de exergía para cada uno de los
casos, llevándolos a expresiones progresivas desde el punto de vista ideal hasta el caso
en que se consideran las irreversibilidades internas y externas y se plantea la mejor
forma disponible para cuantificarlos.
Finalmente se concentran las expresiones
resultantes y se documenta la forma en que estos se relacionan con los postulados de la
termodinámica de tiempos finitos.
7.2 Exergía
Es necesario en este punto dedicar un breve apartado para definir algunos de los
conceptos relacionados con la exergía, de forma somera y solo con la intención de
reforzar la relación directa que existe entre la minimización de la entropía generada y la
minimización de la exergía destruida.
Es fundamental aclarar que el concepto de
exergía es producto del análisis del comportamiento general de la energía y, por
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supuesto, de los postulados de la segunda ley de la termodinámica, los cuales redundan
en límites para el uso de la energía y en las oportunidades de aprovechamiento
existentes.
Partiendo del hecho conocido de que la energía se conserva en todo dispositivo o
sistema, y recurriendo a los postulados de la segunda ley de la termodinámica podemos
afirmar que existe oportunidad de producir trabajo siempre que dos sistemas con
distintos estados se pongan en contacto (Morán, 1996), dado que este es un subproducto
útil que resulta de permitir que los sistemas lleguen al equilibrio. Es posible entonces,
que uno de los sistemas involucrados sea un sistema ideal denominado ambiente, en
cuyo caso se aparece el término exergía el cual se refiere al máximo trabajo teórico que
puede extraerse de este proceso.
En otras palabras, cuando un sistema cerrado
intercambia energía con el ambiente, existe un potencial máximo de producción de
trabajo que, automáticamente, se convierte en un objetivo para todo proceso de
conversión energética para la obtención de trabajo.
A fin de completar esta definición resulta necesario describir al sistema
denominado ambiente. Este sistema se refiere a una porción del entorno en la cual las
propiedades intensivas de cada una de sus fases “son uniformes y no cambian
significativamente como resultado de cualquier proceso que se considere” (Moran,
1996).
Este ambiente se encuentra libre de toda irreversibilidad.
Se define
la
temperatura del ambiente como constante con el valor de T0 y a la presión del mismo
como uniforme de valor p0.
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Dadas las consideraciones anteriores la exergía queda definida por la ecuación 71:
Ex = ( E − U 0 ) + p0 (V − V0 ) − T0 ( S − S 0 )
(7-1)
donde:
Ex representa la exergía específica del sistema cerrado que se encuentra en
posibilidades de interactuar con el ambiente.
E es un término que representa las manifestaciones energéticas básicas del
sistema, la energía interna, la energía potencial y la energía cinética.
U0 es la energía interna del ambiente, cabe aclarar que la energía potencial y
cinética del ambiente se consideran como nulas.
p0 es la presión del ambiente.
V es el volumen del sistema cerrado.
V0 es el volumen del ambiente.
T0 es la temperatura del ambiente.
S es la entropía del sistema cerrado.
S0 es la entropía del ambiente.
Al analizar la expresión de la exergía resulta evidente que está conformada por
un conjunto de propiedades de la materia, y que los cambios que esta experimenta son
función de las variaciones en los parámetros que la componen. Por esta razón, es
posible extender la definición de propiedad de la materia hasta la exergía, puede usarse y
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manipularse en forma análoga al que se hace para volumen, entalpía o entropía.
Basados en este concepto, podemos realizar balances de exergía como una herramienta
para el análisis de ciclos termodinámicos.
7.3 Diferencias Finitas de Temperatura.
En el capítulo seis se indican las razones por las cuales es indispensable que en
un proceso real existan diferencias finitas de temperatura para la transferencia de calor,
lo cual se refleja en la necesidad de análisis de sistemas dentro de tiempos finitos. El
desarrollo matemático y teórico necesario para identificar el uso y la importancia de la
termodinámica de tiempos finitos se encuentra en el apartado dos del capítulo seis. No
obstante, en este apartado se añaden una visión simplificada del resultado del análisis
con diferencias de temperatura para justificar su uso.
Consideremos ahora un ciclo de potencia real, en el cual existen cuatro niveles
fundamentales de temperatura, TC en la fuente de energía o reservorio de alta, TCC en la
zona del ciclo en la cual el fluido de trabajo recibe la energía calorífica, TFC en la zona
del ciclo en la cual el fluido de trabajo cede el calor residual y TF que es la temperatura
del reservorio frío hacia el cual el ciclo rechaza el calor sobrante. Las figuras 7-1 y 7-2,
que son reproducciones de las figuras 6-3 y 6-2 respectivamente ilustran el
funcionamiento de una máquina endorreversible.
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Como podemos observar en estas ilustraciones la existencia de cuatro niveles de
temperatura propicia un conjunto de gradientes o diferenciales de temperatura que
existen como intermedios, es decir, entre cada nivel de temperaturas existe un
subconjunto de niveles de temperaturas. Volviendo al postulado de la segunda ley
sabemos que siempre que existan dos sistemas con un diferencial de temperatura es
posible obtener trabajo útil a partir de ellos. De esta manera la tradicional máquina de
Carnot sufre una interesante transformación y se convierte en la máquina de Curzon –
Ahlborn – Novicov.
Figura 7-1: Diagrama Temperatura – Entropía para una máquina térmica endorreversible
del tipo Ciclo Rankine.
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Figura 7-2: Máquina Térmica Endorreversible.
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Esta nueva máquina es el fundamento para las máquinas endorreversibles, por lo
cual se describirán los puntos que la conforman y su aportación para el análisis de los
Casos de Estudio. La descripción de la máquina parte de la existencia de dos reservorios
a diferente temperatura.
Figura 7-3: Reservorios a diferente temperatura.
Ahora, con base en la segunda ley de la termodinámica, aprovechamos es la
oportunidad de obtener trabajo a partir de la diferencial de calor mediante la inclusión de
un ciclo de potencia.
Este será una caja negra, es decir, un elemento cuyo
funcionamiento intrínseco no se analizada dado que no resulta de interés en este punto,
tal como se muestra en figura 7-4.
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Figura 7-4: Esquema simple de la Máquina de Carnot
Ahora, reconozcamos la existencia del fluido de trabajo, el cual es indispensable
para la obtención de potencia instantánea en el ciclo, tal como se describió en el capítulo
seis.
La presencia de estos diferenciales da lugar a dos niveles de temperatura
adicionales que corresponden a TCC, que es la temperatura promedio del fluido de
trabajo en la zona del ciclo en que recibe energía del reservorio de alta temperatura; y a
TFC que es la temperatura del ciclo en la zona del ciclo en la cual se transfiere calor al
reservorio de baja temperatura. La figura 7-4 nos permite apreciar estos niveles de
temperatura y localizarlos con relación a los reservorios:
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Figura 7-5: Esquema de una máquina endorreversible con niveles de temperatura.
Ahora bien, a fin de conducir la máquina endorreversible en una máquina de
Curzon – Ahlborn – Novicov, es necesario identificar los diferenciales presentes en el
proceso. Tenemos por un lado TC – TCC y por el otro a TFC – TF. Claro esta que el
diferencial entre TCC y TFC representa la capacidad neta de conversión energética, por lo
cual no podemos considerar este como parte del análisis. Por lo tanto, hemos vuelto a
caer en las definiciones de la segunda ley, tenemos dos pseudo reservorios a diferentes
niveles de temperatura, por lo cual existe una oportunidad de obtener trabajo mecánico
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útil al insertar un ciclo de potencia. De esta manera podemos agregar un par más de
ciclos de potencia, denominaremos al ciclo que existirá entre TC y TCC como α y al que
existirá entre TF y TFC como β.
Figura 7-6: Esquema de una máquina CAN con niveles de temperatura.
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Observando la figura 7-6 resulta obvia la existencia de un nuevo conjunto de
niveles de temperatura, los cuales se pueden identificar en forma relativamente simple.
Esto se logra en la figura 7-7, en la cual también se identifican los flujos energéticos. En
la máquina de Carnot solo existen tres flujos energéticos, QC que es el calor cedido por
el reservorio de alta temperatura; QF que es el calor rechazado por el ciclo hacia el
reservorio de baja temperatura y por supuesto WC que es la potencia entregada por el
ciclo. En la máquina de CAN se observan cambios en cuanto al número de flujos de
energía involucrados.
Figura 7-7: Maquina CAN indicando los flujos de energía presentes.
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Variable
TC
Tc α
TCCα
TCC
TCF
TCFβ
Tipo de Parámetro
Participación en el proceso
Temperatura
Es la temperatura del reservorio de alta
temperatura, es el límite superior en cuanto a
niveles de temperatura del sistema
Temperatura
Es la temperatura del fluido de trabajo
supuesto al existir el ciclo de potencia α, en la
parte del ciclo en la cual recibe calor del
reservorio de alta temperatura.
Es la temperatura del fluido de trabajo
Temperatura
supuesto al existir el ciclo de potencia α, en la
parte del ciclo en la cual rechaza calor hacia
el ciclo de potencia.
Temperatura
Es la temperatura del fluido de trabajo en la
parte del ciclo que recibe calor del supuesto
ciclo de trabajo α.
Temperatura
Es la temperatura del fluido de trabajo en la
porción del ciclo en la cual rechaza calor
hacia el supuesto ciclo de potencia β.
Temperatura
Es la temperatura del fluido de trabajo del
supuesto ciclo de potencia β en la porción del
ciclo en la cual recibe calor del ciclo de
potencia.
TFβ
Temperatura
TF
Temperatura
QCα
Flujo de Calor
QCCα
Flujo de Calor
QCFβ
Flujo de Calor
QFβ
Wα
WC
Wβ
Es la temperatura del fluido de trabajo del
supuesto ciclo de potencia β en la porción del
ciclo en la cual rechaza calor hacia el
reservorio de baja temperatura.
Es la temperatura del reservorio de baja
temperatura, el límite inferior del proceso.
Es la cantidad de calor que el reservorio de
alta temperatura cede al supuesto ciclo de
potencia α.
Es la cantidad de calor que el supuesto ciclo
α rechaza hacia el ciclo de potencia.
Es la cantidad de calor que el ciclo de
potencia rechaza hacia el supuesto ciclo de
potencia β.
Flujo de Calor
Es la cantidad de calor que el supuesto ciclo
β rechaza hacia el reservorio de baja
temperatura.
Potencia
Es la potencia que se puede obtener del
supuesto ciclo de potencia α.
Potencia
Es la potencia que se puede obtener del ciclo
de potencia.
Potencia
Es la potencia que se puede obtener del
supuesto ciclo β.
Tabla 7-1: Terminología para la máquina de CAN.
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En la figura 7-7 aparece un conjunto nuevo de variables involucradas en el proceso, para
fines de claridad se añade aquí la tabla 7-1, la cual indica el significado de cada uno de
los parámetros utilizados para describir el proceso.
Es necesario detenernos un momento para revisar el desarrollo que hemos
alcanzado. Es claro que al adicionar nuevos niveles de temperatura hemos redefinido las
oportunidades de obtener potencia, al grado que de tener una sola salida de esta
manifestación energética hemos llegado a tres salidas de potencia en el esquema de la
máquina de CAN. Surge entonces otra inquietud, al observar la figura 7-7 resulta obvio
que nuevamente hemos generado gradientes de temperatura entre los diferentes
componentes del proceso.
Figura 7-8: Vista de las secciones de los ciclos supuestos α y β , para una máquina CAN, al
agregar otro conjunto de ciclos supuestos.
Análogamente a la aparición de los ciclos de potencia supuestos α y β, es
razonable suponer que puede agregarse otro conjunto de ciclos de potencia supuestos.
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En efecto, es posible realizar tal adición. Siguiendo un orden lógico es posible agregar
cuatro ciclos más a la máquina de CAN. Podemos agregar los ciclos γc y γf, los cuales
resultan adyacentes al ciclo supuesto a y podemos agregar los ciclos δc y δf que estarán
adyacentes al ciclo β. La figura 7-8 describe la forma en que se daría esta adición.
De esta manera, resulta claro que podemos seguir agregando ciclos de potencia
en forma infinita y que al hacerlo la cantidad de potencia que se puede obtener de la
conversión se incrementa. Para corroborar lo anterior se llevarán a cabo los balances de
energía correspondientes a cada etapa del ciclo. Comenzando con el ciclo descrito en la
figura 7-5, con ayuda de la terminología definida en la tabal 7-1. El balance de energía
queda de la siguiente manera:
QC = QF − WC
(7-2)
ahora, apliquemos este balance al ciclo descrito en la figura 7-7:
QC = QF − (WC + Wα + Wβ )
(7-3)
podemos entonces reformular el balance de energía en forma general para analizar la
cantidad recuperable de energía en manifestada como potencia:
QC = QF −
Wi
(7-4)
Con base en el resultado anterior podríamos suponer que la solución seria agregar un
número infinito de ciclos de potencia, en otras palabras que el valor de i tienda al
infinito. Por obvias razones, esta suposición es errónea, no sólo es imposible añadir
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ciclos infinitamente, sino que además este postulado echa por tierra la necesidad de la
existencia de las diferencias finitas de temperatura.
Ahora bien, ¿cual es la utilidad de identificar la posibilidad de incrustar estos
ciclos en el sistema ya existente? Pues bien, la utilidad radica en que se presenta como
una nueva forma, mucho más directa y tangible de evaluar las oportunidades pérdidas
para obtener potencia de dos reservorios a diferente temperatura, en términos idénticos a
los de la potencia que se puede recuperar. A fin de aclarar lo anterior es necesario
aplicar un análisis de segunda ley al proceso aquí descrito.
La expresión de la segunda ley para la máquina de CAN descrita en la figura 7-7
queda de la siguiente manera:
S GEN = ∆S C −
∂Q
T
(7-5)
en donde δQ/T es la sumatoria de los cocientes de los flujos de calor involucrados en la
máquina de CAN y las temperaturas de proceso a las cuales se presentan las
transferencias.
Para el caso de la máquina térmica representada en la figura 7-5 la ecuación desarrollada
sería:
S GEN = ∆S C −
QC QF
+
TC TF
(7-6)
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Reconociendo que para el caso del ciclo cerrado el cambio neto en la entropía es cero
queda claro que la expresión correcta para la entropía generada por la máquina térmica
representada en la figura 7-5 corresponde a la ecuación 7-7:
S GEN =
QF QC
−
TCF TCC
(7-7)
Podemos aplicar el mismo criterio a la máquina de CAN representada en la figura 7-7:
S GEN =
Q
QCCα QCFβ QFβ
Q
Q
− Cα + CCα + CFβ
+
+
TCCα
TCF
TFβ
TCα
TC
TCFβ
(7-8)
Claramente esta nueva expresión permite evaluar con mucho mayor detalle los puntos de
generación de entropía al anexar los ciclos supuestos. Al combinar este resultado con la
posible existencia de los trabajos obtenidos de los ciclos supuestos, podemos al mismo
tiempo analizar el trabajo máximo disponible y el comportamiento de la entropía
generada por los diferenciales de temperatura y la forma en que estos se reducen al
reducir tales gradientes.
7.4 Análisis del Ciclo Rankine
Las características básicas de este ciclo se discuten en el apartado cuatro del
capítulo cinco. Pasemos ahora al análisis del ciclo en términos de su topología. El ciclo
de Ranking se mueve en la zona del cambio de fase, por lo cual el fluido de trabajo
cambia de fase en dos ocasiones a lo largo de su trayectoria, el resultado de este hecho
es la existencia de una topología que incluye elementos para el manejo de gases, líquidos
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y mezcla líquido – vapor. Cuatro elementos componen la topología de este proceso. En
primer lugar tenemos un intercambiador de calor, generalmente una caldera, en el cual
se transfiere energía del combustible al fluido de trabajo, agua en el caso común, el cual
sufre un cambio de fase de líquido a vapor saturado y un sobrecalentamiento posterior.
A continuación se presenta una expansión, mediante la cual se produce la potencia del
ciclo, este proceso deja al fluido de trabajo en condiciones de vapor saturado a una
presión baja. Acto seguido se utiliza un intercambiador de calor para llevar el vapor
saturado al otro extremo de la curva líquido – vapor, un estado de líquido saturado.
Finalmente se utiliza una bomba para incrementar la presión del fluido de trabajo hasta
que recupera las condiciones del estado del que partió el ciclo. La figura 7-9 ilustra la
topología mencionada, en forma de diagrama de proceso:
Figura 7-9: Topología para un ciclo Rankine Tradicional.
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Tal como se indica en la figura 7-9 existen cuatro estados específicos que son
atravesados por el fluido de trabajo durante el ciclo. Los cambios sufridos por la materia
en este proceso pueden expresarse con mayor claridad mediante un gráfico
termodinámico utilizando los ejes de temperatura y entropía. Recordemos que el análisis
a realizar considera los equipos como completamente reversibles al dejar
momentáneamente de lado las irreversibilidades internas de cada subproceso. La figura
7-10 presenta una aproximación de este gráfico a fin de identificar cada estado.
Figura 7-10: Aproximación del Diagrama TS para un ciclo Rankine.
A continuación necesitamos definir las propiedades del fluido de trabajo en cada
uno de los estados del ciclo. Sería posible realizar una caracterización exhaustiva para
cada estado, no obstante, solamente se identificaran los parámetros que resulten de
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utilidad para la ejecución de los balances de energía, entropía y exergía del ciclo. La
tabla 7-2 muestra estas propiedades. Una simplificación inmediata radica en considerar
que los cambios en la energía cinética y potencial del fluido de trabajo a lo largo del
ciclo son despreciables. El valor de cada una de las propiedades que se utilizará puede
calcularse de forma directa o indirecta para un ciclo real dado, como parte de este
análisis resulta impráctico definir escalares específicos para cada parámetro, no obstante,
de ser necesario se puede hacer sin mayores dificultades. Nos abstendremos de hacerlo
a fin de conservar un panorama global para el análisis de cualquier ciclo Rankine. Cabe
mencionar que el término de exergía esta dado por la ecuación 7-1.
Propiedad
Presión
Fase
Temperatura
Estado 1
Estado 2
Estado 3
Estado 4
P1
P2
P3
P4
Líquido subenfriado Vapor Sobrecalentado Interfase V - L Interfase L - V
T1
T2
T3
T4
Energía Interna
U1
U2
U3
U4
Entalpía
H1
H2
H3
H4
Entropía
S1
S2
S3
S4
Volumen
Exergía
V1
Ex1
V2
Ex2
V3
Ex3
V4
Ex4
Tabla 7-2: Caracterización de estados para el ciclo Ranking mostrado en la Figura 7-10.
Completada la caracterización del sistema, es necesario iniciar el análisis
termodinámico mediante la aplicación del balance de energía. Aplicando la primera ley
tenemos:
msis ∂ (U sis + Ep + Ek )
= me (U e + Pe Ve ) − ms (U s + PsVs ) +
∂t
Qj −
(7-9)
WFlecha
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En primer lugar podemos eliminar el término de acumulación considerando que el ciclo
funciona en estado estacionario. Asimismo podemos eliminar las entradas y las salidas
dado que el ciclo no intercambia materia con los alrededores, por lo cual la ecuación se
reduce a la siguiente expresión:
W2−3 − W4−1 = Q1− 2 − Q3−4
(7-10)
Este es el balance global del ciclo, el cual indica claramente las entradas y salidas de
energía en el sistema. Debido a las consideraciones realizadas hasta este punto se trata
del trabajo máximo que se puede obtener del ciclo operando entre los dos niveles de
temperatura, el cual esta representado por W2-3, el trabajo que se debe de proporcionar al
ciclo para restaurar el estado inicial del fluido de trabajo, el cual esta representado por
W4-1, la carga térmica disponible para el ciclo, la cual corresponde a QC y por supuesto
la cantidad de calor no aprovechable que se denomina QF.
Consideremos ahora el sistema como se representa en la figura 7-10.
En
principio el valor de QC es constante y corresponde a la suma de la entalpía de cambio
de fase del fluido de trabajo más la cantidad de calor necesaria para llevar el fluido del
estado 1 hasta la interfase líquido – vapor y desde la interfase vapor –líquido hasta el
estado 2. Este valor depende del combustible que se esta utilizando y de la eficiencia de
transferencia de la caldera, ninguno de estos parámetros se considerará para el análisis.
En estricta teoría lo mismo debería suceder en cuanto al calor que se rechazará hacia el
condensador, por lo cual el trabajo obtenible resulta una estricta función de la diferencia
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de temperaturas. Destaca el hecho de el aprovechamiento de cambios de fase permite
lograr zonas sin generación entrópica derivada de la transferencia de calor.
A continuación se muestran los resultados de los balances de energía por equipo
de proceso, con el propósito de representar los cambios de estado que se observan en la
figura 7-10
Q1− 2 = m(H 2 − H 1 )
(7-11)
W2−3 = m(H 3 − H 2 )
(7-12)
Q3− 4 = m(H 4 − H 3 )
(7-13)
W4−3 = m(H 1 − H 4 )
(7-14)
Es momento de aplicar el segundo principio de la termodinámica y analizar el
ciclo de trabajo con referencia a las transformaciones que experimente la entropía del
ciclo:
msis ∂ ( S sis )
= me ( S e ) − ms ( S s ) +
∂t
Qj
Tj
− S GEN
(7-15)
De la expresión anterior podemos eliminar la acumulación dado que se considera que el
sistema trabaja en estado estable. De nuevo la entrada y salida de entropía asociada con
la transferencia de materia se cancela debido a que se trata de un sistema cerrado, por lo
cual la expresión se reduce a:
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Qj
Tj
= S GEN
(7-16)
Lo cual indica que la generación entrópica se presenta en las zonas del sistema en las
cuales existe un intercambio de calor con un gradiente de temperatura. Es sencillo notar
en la figura 7-10 que los puntos en que se presenta este fenómeno corresponden a la
caldera. A lo largo de la trayectoria entre los estados 1 y 2 podemos observar dos puntos
en los cuales se realizan transferencias de calor no isotérmicas. Estos son los puntos en
los cuales se presenta la mayor degradación energética del proceso. La ecuación 7-16
nos indica que resultaría complicado determinar de forma directa la entropía generada a
lo largo del proceso, debido precisamente a los diferenciales de temperatura, por lo que
la forma de hacerlo es aplicando balances individuales para cada cambio de estado, los
cuales se muestran a continuación:
Q1− 2
+ m(S 2 − S1 ) = S GEN 1− 2
T1− 2
(7-17)
S GEN 2−3 = 0
(7-18)
Q3− 4
+ m(S 4 − S 3 ) = S GEN 4−3
T3− 4
S GEN 4−1 = 0
(7-19)
(7-20)
Las ecuaciones anteriores evidencian la necesidad de conocer los niveles de temperatura
intermedios del proceso para delinear el comportamiento de la entropía y la generación
24
de la misma dentro del ciclo. Desde el punto de vista algebraico se ha simplificado la
sumatoria mediante la adición de temperaturas promedio, las cuales están indicadas
como T1-2 y T3-4, las cuales corresponden, para las máquinas endorreversibles, con TCC y
TFC.
Para concluir el análisis termodinámico del proceso es necesario aplicar los
conceptos de exergía, descritos en el apartado dos de este capitulo. De acuerdo con
estos conceptos la exergía proviene de la comparación de un conjunto de propiedades
del sistema en cuestión al compararse con el ambiente. De esta manera, la exergía puede
evaluarse de la misma manera que si se tratara de una propiedad intrínseca de la materia.
De esta manera, el balance de exergía puede expresarse de la siguiente manera:
msis∂(Usis −T0Ssis)
= me (Ue + PeVe −T0Se ) − ms (Us + PsVs −T0Ss ) +
∂t
Q j − T0
Qj
+
Tj
Qj 1−
T0
Tj
− W PV − T0 S GEN
(7-21)
El ciclo en cuestión trabaja en estado estacionario y no intercambia materia con los
alrededores, por lo que la expresión 7-21 se reduce de la siguiente manera:
Q j − T0
Qj
Tj
+
Qj 1−
T0
Tj
− W PV = T 0 S GEN
(7-22)
La expresión anterior puede expandirse si consideramos que conocemos los puntos del
ciclo en los cuales se presentan las transferencias de energía, de esta manera, es posible
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escribir balances de exergía individuales para cada uno de los cambios de estado, tal
como se muestra a continuación:
Q1− 2 − T0
Q1− 2
T
+ Q1− 2 1 − 0 = T0 S GEN 1− 2
T1− 2
T1− 2
1−
Q 3 − 4 − T0
T0
Q2−3 = W 2−3
T2 − 3
Q3− 4
T
+ Q3− 4 1 − 0
T3− 4
T3− 2
1−
T0
Q 4 −1 = W 4 −1
T4 −1
(7-23)
(7-24)
= T0 S GEN 3− 4
(7-25)
(7-26)
Este conjunto de ecuaciones nos permite identificar oportunidades perdidas para
la generación de trabajo, debido a las irreversibilidades externas del sistema.
En
conjunto podemos analizar que las pérdidas se presentan en tres categorías, por un lado,
debido a la degradación energética causada por los gradientes en la transferencia de
calor, Los términos que contabilizan este fenómeno corresponden a los cambios del
estado 1 al 2 y del estado 3 al 4, tal como puede apreciarse en las ecuaciones 7-23 y 725, donde se identifican las fuentes de generación de entropía tales porciones del
sistema. La segunda categoría corresponde al cambio del estado 2 al 3 en el cual el cual
la capacidad máxima para obtener trabajo esta identificada por la energía disponible, la
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cual corresponde a la energía que se podría transferir entre los dos niveles de
temperatura hasta alcanzar el equilibrio, la cual corresponde con el factor de Carnot, tal
como lo refleja la ecuación 7-24. Por último, existe una fracción del trabajo requerido
por el fluido de trabajo para recuperar el estado 1 a partir del 4 que no puede convertirse
directamente en potencial calorífico, tal como se identifica en la ecuación 7-26.
Ahora bien, una vez identificados estos potenciales, para una máquina ideal de
Rankine, podemos analizar el efecto de considerar este sistema como una máquina
endorreversible, es decir, de considerar la existencia de un nivel superior de temperatura,
así como de uno inferior que están involucrados en el proceso. Este fenómeno se ilustra
en la figura 7-11.
Tal como se define en el capítulo seis la necesidad de transferir calor en
presencia de gradientes finitos de temperatura da lugar a la presencia de
irreversibilidades.
Aplicando los principios analizados en la sección tres de este
capítulo, podemos considerar la existencia de otros ciclos termodinámicos entre las
temperaturas del fluido de trabajo y de cada uno de los reservorios involucrados. De
esta manera es posible repetir el análisis anterior asumiendo que la supuesta máquina
fuera un ciclo de Rankine, con el mismo conjunto de consideraciones indicadas en el
desarrollo de las formulaciones.
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Figura 7-11: Diagrama TS de un ciclo Rankine, mostrando las temperaturas de los
reservorios entre los que opera.
Por lo tanto, podemos identificar las expresiones correspondientes a la entropía
generada en el proceso con la ayuda de los conceptos de la termodinámica de tiempos
finitos. Para el gradiente de temperatura entre el reservorio de alta temperatura y el
fluido de trabajo que opera entre los estado 1 y 2 podemos considerar la existencia de un
ciclo de Rankine supuesto, denominado α, que cumple con las condiciones mostradas en
la figura 7-7. Los cuatro estados de este ciclo se pueden esquematizar de forma análoga
a la figura 7-11, con lo cual obtenemos el siguiente conjunto de expresiones:
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Q C α − T0
QCα
T
+ QCα 1 − 0
TC α
TCα
1−
QCC α − T0
= T0 S GENC α
T0
Q C α = Wα
TCC α
QCC α
T
+ Q CC α 1 − 0
TCC α
TCC α
1−
(7-27)
(7-28)
= T0 S GENCC α
T0
QCC α = Wα '
TCα
(7-29)
(7-30)
Análogamente se obtienen los siguientes resultados para la diferencia que existe entre el
reservorio de baja temperatura y el paso del fluido de trabajo del estado 3 al 4:
QCF β − T0
QCF β
T
+ QCF β 1 − 0
TCF β
TCF β
1−
Q F β − T0
T0
Q CF β = W β
TFβ
Q Fβ
T
+ Q Fβ 1 − 0
T Fβ
TFβ
1−
= T0 S GENCF β
= T0 S GENF β
T0
Q Fβ = W β '
TCF β
(7-31)
(7-32)
(7-33)
(7-34)
29
De esta manera, hemos desarrollado ecuaciones que permiten analizar el
conjunto completo de las transferencias de energía que se presentan en el sistema, con
base exclusivamente en las temperaturas y en el reconocimiento de las diferencias finitas
involucradas en la transformación de energía térmica en potencia utilizable mediante un
ciclo de Rankine, solo queda evaluar, en términos de las nuevas expresiones, el valor de
la Función Ecológica para este proceso.
E = W2−3 + W4−1 + Wα + Wα ' + Wβ + Wβ ' − T0 ( S GEN 1−2 + SGEN 3−4
+ S GENCα + S GENCCα + SGENCα + SGENCFβ + S GENFβ )
(7-35)
Finalmente, tenemos la expresión 7-35, en la cual tenemos información
suficiente para considerar todos los niveles de temperatura involucrados en una máquina
endorreversible tipo CAN, operada físicamente como una cascada de ciclos Rankine.
Claramente, la inclusión progresiva de ciclos aumenta las oportunidades de obtener
potencia, al tiempo que identifica los puntos de generación entrópica.
En otras palabras, esta nueva ecuación , apoyada por todas las ecuaciones
utilizadas desde la 7-23 hasta la 7-34, nos permite encontrar oportunidades de minimizar
la entropía generada con base en la manipulación de las temperaturas involucrada, lo
cual se refleja en la minimización de la exergía destruida durante el proceso.
7.5 Análisis del Ciclo Bryton
30
Los pormenores de este ciclo se encuentran descritos en la sección cinco del
capítulo cinco. El proceso tiene lugar en fase homogénea gaseosa en todo momento.
Inicialmente se comprimen los gases hasta la presión de operación requerida, a la cual se
proporciona calor al gas mediante el uso de un combustible que alcanza altas
temperaturas al ser quemado. A continuación el gas atraviesa una turbina en la cual se
produce trabajo con la expansión. Al salir de la turbina los gases son enfriados y
enviados de nuevo hacia el proceso de compresión. La figura 7-12 muestra la topología
clásica del ciclo Bryton:
Figura 7-12: Topología de un ciclo Bryton cerrado.
A fin de ilustrar las transformaciones que se presentan en el fluido de trabajo a lo
largo del proceso es necesario observar la trayectoria del mismo en un diagrama
termodinámico pertinente:
31
Figura 7-13: Diagrama TS para un ciclo Bryton.
Los cuatro estados del fluido de trabajo mostrados en la figura 7-13 se deben
caracterizar de forma individual para identificar los cambios en el comportamiento.
Dado que se trata de un análisis general para este caso de estudio debemos indicar que la
caracterización tiene propósitos de delimitación conceptual, no de identificación
específica del valor numérico de las propiedades. La tabla 7-3 sintetiza las propiedades
involucradas en el análisis termodinámico del sistema. Las trayectorias mostradas en la
figura 7-13 difieren considerablemente de aquellas mostradas para una máquina de
Carnot, por lo que indudablemente mostrara un mayor grado de irreversibilidades
externas que tal máquina. De igual forma la energía se degrada considerablemente más
32
en este tipo de proceso que en el ciclo Rankine estudiado en el apartado anterior ya que
no presenta transferencias de calor isotérmicas.
Propiedad
Presión
Fase
Temperatura
Estado 1
Estado 2
Estado 3
Estado 4
P1
P2
P3
P4
Gas Homogéneo Gas Homogéneo Gas Homogéneo Gas Homogéneo
T2
T3
T4
T1
Energía Interna
U1
U2
U3
U4
Entalpía
H1
H2
H3
H4
Entropía
S1
S2
S3
S4
Volumen
Exergía
V1
Ex1
V2
Ex2
V3
Ex3
V4
Ex4
Tabla 7-3: Caracterización de estados para el ciclo Bryton mostrado en la Figura 7-13.
Procedamos a aplicar el balance de energía.
Con base en la ecuación 7-9
podemos obtener la expresión del ciclo Rankine desde un punto de vista global.
W2−3 − W4−1 = Q1− 2 − Q3−4
(7-36)
Partiendo de la ecuación anterior podemos definir las expresiones propias de cada uno
de los cambios de estado en la trayectoria del ciclo:
Q1− 2 = m(H 2 − H 1 )
(7-37)
W2−3 = m(H 3 − H 2 )
(7-38)
Q3− 4 = m(H 4 − H 3 )
(7-39)
W4−3 = m(H 1 − H 4 )
(7-40)
33
Siguiendo la misma línea y partiendo de la ecuación 7-15 podemos realizar el balance de
entropía global del ciclo y específico para cada uno de los cambios de estado:
Qj
Tj
= S GEN
(7-41)
Q1− 2
+ m(S 2 − S1 ) = S GEN 1− 2
T1− 2
(7-42)
S GEN 2−3 = 0
(7-43)
Q3− 4
+ m(S 4 − S 3 ) = S GEN 4−3
T3− 4
S GEN 4−1 = 0
(7-44)
(7-45)
El conjunto de ecuaciones que empieza con la 7-36 y culmina con la 7-45 es
exactamente igual a aquel acotado por las ecuaciones 7-10 y 7-20, siendo la única
diferencia las características propias de cada estado.
No obstante, es necesario
mencionar algunas diferencias significativas con respecto al ciclo de Rankine. La mayor
de ella se encuentra en las simplificaciones realizadas en las ecuaciones 7-42 y 7-44, en
los cuales se ha utilizado un valor promedio para resumir todo el conjunto de gradientes
que existe en realidad, el cual se ilustra en la figura 7-14. En sentido estricto este
parámetro no permite evaluar con claridad las propiedades deseadas, sin embargo es
posible considerar como aceptable esta simplificación en aras de determinar las
34
características del sistema. Asimismo, facilita el manejo de la información sin restarle
importancia a las temperaturas involucradas, dado que en general reconoce su efecto.
Figura 7-14: Representación de los gradientes de transferencia de calor entre el ciclo y los
reservorios.
Análogamente se obtienen los siguientes resultados al aplicar el balance de exergía, de
acuerdo con la ecuación 7-21:
Q j − T0
Qj
Tj
Q1− 2 − T0
+
Qj 1−
T0
Tj
− W PV = T 0 S GEN
Q1− 2
T
+ Q1− 2 1 − 0 = T0 S GEN 1− 2
T1− 2
T1− 2
(7-46)
(7-47)
35
1−
Q 3 − 4 − T0
T0
Q2−3 = W 2−3
T2 − 3
Q3− 4
T
+ Q3− 4 1 − 0
T3− 4
T3− 2
1−
(7-48)
= T0 S GEN 3− 4
T0
Q 4 −1 = W 4 −1
T4 −1
(7-49)
(7-50)
Reconsiderando este conjunto de resultados tenemos el siguiente análisis para el
caso en el que tomamos en cuenta los reservorios mostrados en la figura 7-15.
Q C α − T0
QCα
T
+ QCα 1 − 0
TC α
TCα
1−
QCC α − T0
T0
Q C α = Wα
TCC α
Q CC α
T
+ QCC α 1 − 0
TCC α
TCC α
1−
= T0 S GENC α
T0
QCC α = Wα '
TC α
= T0 S GENCC α
(7-51)
(7-52)
(7-53)
(7-54)
36
Q CF β − T0
Q CF β
+ Q CF β 1 −
TCF β
1−
Q F β − T0
Q Fβ
TFβ
Q C α − T0
T0
TFβ
= T0 S GENF β
T0
Q Fβ = W β '
TCF β
QCα
T
+ QCα 1 − 0
TC α
TCα
1−
QCC α − T0
T0
QCC α = Wα '
TC α
(7-55)
(7-56)
(7-57)
(7-58)
= T0 S GENC α
T0
Q C α = Wα
TCC α
Q CC α
T
+ QCC α 1 − 0
TCC α
TCC α
1−
= T0 S GENCF β
T0
Q CF β = W β
TFβ
+ Q Fβ 1 −
1−
T0
TCF β
= T0 S GENCC α
(7-59)
(7-60)
(7-61)
(7-62)
37
Q CF β − T0
Q CF β
+ Q CF β 1 −
TCF β
1−
Q F β − T0
Q Fβ
TFβ
= T0 S GENCF β
T0
Q CF β = W β
TFβ
+ Q Fβ 1 −
1−
T0
TCF β
T0
TFβ
= T0 S GENF β
T0
Q Fβ = W β '
TCF β
(7-63)
(7-64)
(7-65)
(7-66)
Por lo cual la función ecológica para este ciclo se escribe como sigue:
E = W2−3 + W4−1 + Wα + Wα ' + Wβ + Wβ ' − T0 ( S GEN 1−2 + SGEN 3−4
+ S GENCα + S GENCCα + SGENCα + SGENCFβ + S GENFβ )
(7-67)
Como era de esperarse el resultado es idéntico, pero es necesario indicar que la
diferencia radica en la entropía generada. Los términos que se refieren a la degradación
de la energía sin duda son mejores que los utilizados tradicionalmente al acotar mejor el
proceso con los diferentes niveles de temperatura. No obstante el resultado global
continúa dependiendo de la endorreversibilidad del ciclo, la cual nunca deja de ser una
idealización.
38
Figura 7-15: Diagrama TS para un ciclo Bryton ilustrando los reservorios entre los cuales
opera.
7.6 Análisis de un Ciclo de Refrigeración
Los ciclos de refrigeración se describen de forma general en el apartado seis del
capítulo cinco. El proceso inicia con un fluido de trabajo el cual es comprimido hasta
alcanzar un nivel superior de temperatura dado. Posteriormente el fluido se enfría al
ceder energía calorífica a un reservorio de “alta temperatura”, generalmente el ambiente,
por lo cual se condensa. Puede resultar confuso que un fluido ceda energía hacia un
reservorio de alta temperatura, de hecho podría sonar como una violación a los
postulados de la segunda ley de la termodinámica. El hecho es que el reservorio de alta
temperatura recibe la energía debido a que el fluido de trabajo se encuentra a una
temperatura superior, no obstante, el ciclo opera entre dos reservorios y envía el calor
hacia el reservorio que posee la temperatura mayor de entre los dos.
39
El fluido
condensado experimenta entonces una expansión, durante la cual arriba a la zona de las
dos fases, este tipo de cambio de presión no permite una obtención significativa de
potencia.
Por último el fluido de trabajo se evapora, con lo cual retira calor del
reservorio de baja temperatura y completa la función refrigerante.
La topología
característica de este tipo de ciclo se muestra en la figura 7-16.
Es necesario comprender un par de hechos antes de completar el análisis del ciclo
de refrigeración. En primer lugar, a diferencia del ciclo de potencia, que constituye el
corazón de la termodinámica clásica, este tipo de procesos no intenta convertir energía
térmica en potencia, sino transferir calor mediante la aplicación de potencia.
Esta
diferencia cambia por completo el enfoque, dado que el efecto de las irreversibilidades y
los gradientes en este caso debe interpretarse de forma diferente. Para esta aplicación el
interés no radica en cuantificar cuanta energía calorífica no puede aprovecharse para
producir potencia, sino en cuantificar cuanta potencia adicional se requiere para lograr el
efecto equivalente mediante la transferencia forzada de energía. La figura 7-17 permite
ilustrar el comportamiento del ciclo en una aproximación a un diagrama termodinámico
de Temperatura contra entropía. En segundo lugar, es imposible evaluar este sistema
con una eficiencia tal como se ha definido hasta este punto, por esta razón es necesario
determinar un nuevo parámetro para evaluar el desempeño del ciclo.
40
Figura 7-16: Ciclo de Refrigeración tradicional.
Figura 7-17: Diagrama TS para un ciclo de refrigeración tradicional.
41
El parámetro utilizado para evaluar el desempeño de los ciclos de refrigeración y
de las bombas de calor se denomina coeficiente de operación, y se define de la siguiente
manera (Sonntag, 1998):
COP =
QF
WC
(7-67)
A fin de evaluar el ciclo y definir el comportamiento del fluido de trabajo
debemos comenzar por caracterizar los cuatro estados involucrados en el proceso. La
tabla 7-4 corresponde a tal caracterización.
Propiedad
Presión
Fase
Temperatura
Estado 1
Estado 2
Estado 3
P1
P2
P3
Interfase Vap-Liq Vapor Sobrecalentado Interfase Liq-Vap
T1
T2
T3
Estado 4
P4
Dos Fases
T4
Energía Interna
U1
U2
U3
U4
Entalpía
H1
H2
H3
H4
Entropía
S1
S2
S3
S4
Volumen
Exergía
V1
Ex1
V2
Ex2
V3
Ex3
V4
Ex4
Tabla 7-4: Caracterización de estados para el ciclo de refrigeración mostrado en la figura
7-17.
El resultado del balance de energía partiendo de la ecuación 7-9 se muestra en el
siguiente conjunto de ecuaciones, primero para el ciclo en general y después para cada
uno de los cambios de estado:
W1− 2 = Q2 − 3 + Q4 −1
(7-68)
42
W1− 2 = m (H 2 − H 1 )
(7-69)
Q2−3 = m(H 3 − H 2 )
(7-70)
0 = m (H 4 − H 3 )
(7-71)
Q4−3 = m(H 1 − H 4 )
(7-72)
Esta información refleja la incapacidad de obtener trabajo por medio de la configuración
dada, debido a que la expansión conduce a la zona de las dos fases. Un proceso de este
tipo no puede aprovecharse para obtener potencia dado que el equipo necesario no esta
justificado por el beneficio obtenible.
Ahora podemos aplicar la segunda ley de la termodinámica para conocer el
comportamiento de la entropía desde el punto de vista general del ciclo y particular para
cada uno de los cambios de estado partiendo de la ecuación 7-15.
Qj
Tj
= S GEN
S GEN 1−2 = 0
(7-73)
(7-74)
Q2−3
+ m(S 3 − S 2 ) = SGEN 2−3
T2−3
(7-75)
S GEN 3 − 4 = 0
(7-76)
43
Q4−1
+ m(S1 − S 4 ) = SGEN 4−1
T4−1
(7-75)
De este modo, queda claro que la mayor fuente de irreversibilidades radica en las
transferencias de calor que se llevan a cabo con gradientes de temperatura. Al igual que
en un ciclo Rankine, una porción de la irreversibilidad asociada a estas se ve minimizada
por la presencia de los cambios de fase. Consecuentemente, se obtienen los siguientes
resultados para el balance de exergía del sistema, el cual se ejecuta en forma global y
específica para cada estado partiendo de la ecuación 7-21.
Q j − T0
Qj
Tj
+
Qj 1−
1−
Q2−3 − T0
T0
Tj
− W PV = T 0 S GEN
T0
Q1−2 = W1−2
T1−2
Q2−3
T
+ Q2−3 1 − 0 = T0 SGEN2−3
T2−3
T2−3
0 = W3−4
Q4−1 − T0
T
Q4−1
+ Q4−1 1 − 0 = T0 SGEN4−1
T4−1
T4−1
(7-76)
(7-77)
(7-78)
(7-79)
(7-80)
44
Al completar el análisis queda claro que para este tipo de ciclo termodinámico
resulta inadecuado intentar analizar este sistema como una máquina CAN, dada la
discontinuidad existente en los niveles de temperatura, y por supuesto el hecho de que
no se busca generación de potencia, por lo cual la función ecológica tampoco tiene
sentido.
7.7 Análisis de una Bomba de Calor.
La Bomba de Calor es el último de los ciclos termodinámicos que se analizará
como caso de estudio.
En este tipo de sistemas se tiene una máquina térmica
funcionando en sentido contrario a aquel que se ha analizado hasta ese punto. Al igual
que el ciclo de refrigeración, su principio básico consiste en retirar calor de un reservorio
de baja temperatura y arrastrarlo hasta un reservorio de alta temperatura mediante la
aplicación de trabajo.
La mejor forma de analizar una Bomba de calor es considerarla como si estuviese
ligada a un ciclo de potencia. En este caso se analizará como si fuera la contraparte del
ciclo de Rankine revisado en la sección tres de este capítulo. Por lo tanto, no se indicará
la topología, ni el diagrama temperatura contra entropía, dado que estos pueden
observarse en las figuras 7-9 y 7-10 respectivamente, considerando que la turbina del
ciclo Rankine moverá a la bomba del ciclo de la Bomba de calor y que la Bomba del
ciclo Rankine recibirá su energía de la turbina de la Bomba de calor. Análogamente se
pueden conocer las propiedades de cada punto del ciclo mediante la tabla 7-1,
invirtiendo la secuencia para cada uno de los estados.
45
Dado que los balances de energía, entropía y exergía son idénticos, no es
necesario repetirlos aquí, basta con referirse al conjunto de ecuaciones que empieza con
la número 7-9 y culmina con la número 7-26. De este modo, queda claro que las
oportunidades pérdidas para producir potencia en el ciclo Rankine se reflejan en los
requerimientos de potencia externa de la Bomba de calor.
En otras palabras, la
eficiencia del ciclo de potencias es el determinante para el coeficiente de operación de la
Bomba de calor.
De esta manera queda completado el conjunto de los casos de estudio de esta
tesis, quedando pendiente la utilización del conjunto de ecuaciones aquí desarrollado en
una situación práctica, lo cual se realizará en el caso de estudio práctico que constituye
el capítulo final de esta tesis.