1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales.
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar
matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser
multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer
tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se
corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su
caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor
depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la
distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo
por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde
con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud
física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo
de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Definición. Un campo vectorial en ℜn es una función F : A ⊆ ℜ n → ℜ n que asigna a
cada
punto
X = ( x1 , x2 ,
F ( X ) = ( F1 ( X ) , F2 ( X ) ,
, xn )
de
su
dominio
A
un
vector
, Fn ( X ) ) .
Si F : A ⊆ ℜ2 → ℜ2 , entonces se denomina como campo vectorial en el plano, a esta
función F ( x, y ) definida para puntos en ℜ2 hacia el conjunto de vectores
bidimensionales, y se escribe
 F ( x, y ) 
F ( x, y ) =  1
 = F1 ( x, y ) i + F2 ( x, y ) j
 F2 ( x, y ) 
En donde, F1 ( x, y ) y F2 ( x, y ) son funciones escalares.
Si F : A ⊆ ℜ3 → ℜ3 , entonces se denomina como campo vectorial en el espacio, a esta
función F ( x, y, z ) definida para puntos en ℜ3 , hacia el conjunto de vectores
tridimensionales, denotándose de la siguiente manera
 F1 ( x, y, z ) 


F ( x, y, z ) =  F2 ( x, y, z )  = F1 ( x, y, z ) i + F2 ( x, y, z ) j + F3 ( x, y, z ) k
 F3 ( x, y, z ) 
En donde, F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) y F3 ( x, y, z ) son funciones escalares.
En la Figura 1 se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de
ℜn → ℜn
F
F(X)
X
A ⊆ ℜn
ℜn
Figura 1. Representación esquemática de un campo vectorial
definido por F : A ⊆ ℜn → ℜ n
Sin embargo, para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en ℜn , se
preferible dibujar el vector X ∈ A ⊆ R n como un punto sobre el espacio ℜn y a
F ( X ) ∈ R n como un vector sobre ese mismo espacio, como se presenta en la siguiente
figura.
F(X)
X
A ⊆ ℜn
Figura 2. Representación de un campo vectorial en ℜn ,
definido por F : A ⊆ ℜn → ℜ n
La representación de un campo vectorial bidimensional en el plano cartesiano, se realiza
representando un conjunto de vectores F ( x, y ) para varios puntos ( x, y ) del dominio,
representando el vector F ( x, y ) = ( F1 ( x, y ), F2 ( x, y ) ) de tal manera que el punto inicial
del vector esté localizado en ( x, y ) ; este procedimiento también puede ser aplicado para
la representación de un campo vectorial en el espacio.
EJEMPLO 1. Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera
que se muestra a continuación:
a) F : ℜ2 → ℜ2 / F ( x, y ) = ( − y, x )
b) G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = ( − y, x, z )
Solución.
a) Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función
F ( x, y ) , como por ejemplo F (1,1) = ( −1,1) , F ( −1,1) = ( −1, −1) , F ( −1, −1) = (1, −1) y
F (1, −1) = (1,1) . Luego tomamos, el primer vector resultante
teniendo como punto inicial al punto
(1,1) .
( −1,1)
y se grafica
Aplicando sucesivamente este
procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo
vectorial que se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Representación gráfica de un campo vectorial en el plano.
b) Para obtener la representación gráfica de este campo vectorial se evaluarán algunos
puntos
( x, y , z )
en
G ( −1,1,1) = ( −1, −1,1) ,
la
función
G ( x, y , z ) ,
G ( −1, −1,1) = (1, −1,1)
y
obteniéndose
G (1,1,1) = ( −1,1,1) ,
G (1, −1,1) = (1,1,1) . Luego para
representar el primer vector resultante ( −1,1,1) , se grafica, teniendo como punto inicial
al punto (1,1,1) . Sucesivamente se dibujan los demás vectores resultantes para obtener
la representación gráfica del campo vectorial que se muestra en la Figura 4.
Figura 4. Representación gráfica de un campo vectorial en el espacio tridimensional.
Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos
vectoriales
puede
recurrirse
a
calculadores
gráfica
o
sistemas
algebraicos
computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran en las Figuras
5(a) y 5(b).
(a)
(b)
Figura 5. Representación gráfica de campos vectoriales, utilizando sistemas algebraicos
computarizados. (a) Campo Bidimensional y (b) Campo Tridimensional
Como ejemplos físicos de campos vectoriales, tenemos los flujos de fluidos, entre los
que se pueden nombrar: campos de velocidad de corrientes oceánicas, campos de
velocidad del viento durante un tornado, campos de velocidad del viento en cada punto
de un automóvil y alrededor de éste (para mejorar la aerodinámica de los carros de la
F1); también podemos mencionar el flujo de un campo eléctrico como un campo
vectorial.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1.
Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera que se muestra a
continuación:
1) F : ℜ2 → ℜ2 / F ( x, y ) = ( y, 2 )
2) F : ℜ2 → ℜ2 / F ( x, y ) = ( x 2 , − y )
3) F : ℜ2 → ℜ2 / F ( x, y ) = ( xy, 2 x )
4) G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = ( − y, x,5 )
5) G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = (1, x, − z )
6) G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = ( z , x 2 , y )
1.1.1. Campo vectorial gradiente.
Definición. Si f es una función escalar de ℜn → ℜ , entonces el gradiente de esta
función es un campo vectorial, que se denota por ∇f y está definido por
(
∇f = f x1 ( x1 , x2 ,
, xn ) , f x2 ( x1 , x2 ,
, xn ) ,… , f xn ( x1 , x2 ,
, xn )
)
y se le llama campo vectorial gradiente en ℜn .
EJEMPLO 2. Determine el campo vectorial gradiente de la función f ( x, y ) = ( x − y ) .
2
Solución. El gradiente, o el campo vectorial gradiente de la función f, viene dado por
 ∂f ∂f 
∇ f ( x, y ) =  ,  = ( 2 ( x − y ) , −2 ( x − y ) )
 ∂x ∂y 
Al representar este campo vectorial en ℜ2 , utilizando un sistema algebraico
computarizado se obtiene la representación gráfica mostrada en la Figura 6.
Figura 6. Campo vectorial gradiente del Ejemplo 2.
EJEMPLO 3. Determine el campo vectorial gradiente de la función g ( x, y ) = xy − 2 x .
Solución. El campo vectorial gradiente de la función g, está dado por
 ∂g ∂g 
∇g ( x, y ) =  ,  = ( y − 2, x )
 ∂x ∂y 
Donde al realizar la gráfica de este campo se obtiene la siguiente representación en el
plano cartesiano mostrada en la Figura 7.
Figura 7. Campo vectorial gradiente del Ejemplo 3.
EJEMPLO
4.
Determine
el
campo
vectorial
gradiente
de
la
función
h ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .
Solución. En este ejemplo tenemos una función definida de ℜ3 → ℜ , el gradiente, o el
campo vectorial gradiente de la función h, es un campo en el espacio tridimensional y
está dado por
 ∂h ∂h ∂h  
x
y
z
∇ h ( x, y , z ) =  , ,  = 
,
,
2
2
2
2
2
2
2

x +y +z
x + y2 + z2
 ∂x ∂y ∂z   x + y + z




Al dibujar los vectores correspondientes a este campo vectorial gradiente tridimensional
se obtiene la siguiente representación gráfica mostrada en la Figura 8.
Figura 8. Campo vectorial gradiente del Ejemplo 4.
Como se observa el campo vectorial gradiente ∇h es la representación del vector
unitario de posición de un punto ( x, y, z ) .
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1.1.
Determine el campo vectorial gradiente de las funciones escalares que se presentan a
continuación:
1) f ( x, y, z ) = 2 x 2 − 3 xy + y 2 − 4 xz + 6 z 2
2) g ( x, y, z ) =
y
z
+ 2
2
x +z
y + x2
2
3) h ( x, y, z ) = e − z x 2 + y 2 + z 2
4) m ( x, y, z ) = Log ( y 2 + z 2 ) + ye x