1 → X2, ∀c > 0, ∃δ > 0 : d1(x, x0) δ =⇒ d2(f(x), f(x0) < c. ∀B2(f(x0

TEMA II: APLICACIONES ENTRE ESPACIOS TOPOLÓGICOS
FRANCISCO J. LÓPEZ
1. I NTRODUCCI ÓN
Las aplicaciones continuas son las transformaciones naturales entre espacios topológicos. Hablando
sin excesivo rigor, una aplicación entre dos espacios topológicos es continua si preserva la idea de
proximidad topológica, esto es, si lleva puntos próximos del primer espacio a puntos próximos
en el segundo evitando rupturas (o discontinuidades). El concepto de continuidad es fundamental en el desarrollo de la Topologı́a, y tiene repercusiones importantes en otros ámbitos como la
teorı́a de espacios métricos y el Análisis Matemático.
Las aplicaciones continuas biyectivas con inversa continua son fundamentales para la teorı́a.
Son conocidas con el nombre de homeomorfismos y materializan la idea de equivalencia topológica
entre espacios. Dos espacios homeomorfos son indistinguibles desde el punto de vista de la
topologı́a. A nivel intuitivo, dos objetos son homeomorfos si uno se obtiene del otro tras una
deformación no traumática, esto es, sin rupturas ni apertura de agujeros. De hecho, el objeto
fundamental de la topologı́a es la clasificación de espacios topológicos, o en otras palabras, el
establecer criterios para determinar si dos espacios son homeomorfos o no.
La motivación del concepto de aplicación continua es sencilla a partir de los conocimientos que
posee el alumno tanto provenientes de la teorı́a de espacios métricos como del Análisis.
Recordemos que dados dos espacios métricos ( X j , d j ), j = 1, 2, y una aplicación f : X1 → X2 ,
se dice que f es continua en x0 ∈ X1 si y sólo si
∀e > 0, ∃δ > 0 : d1 ( x, x0 ) < δ =⇒ d2 ( f ( x ), f ( x0 ) < e.
(1.1)
En otras palabras, si puntos próximos a x0 en ( X1 , d1 ) tienen imágenes próximas a f ( x0 ) en
( X2 , d2 ). El enunciado (1.1) es equivalente al siguiente:
(1.2)
∀ B2 ( f ( x0 ), e), ∃ B1 ( x0 , δ) : B1 ( x0 , δ) ⊆ f −1 ( B2 ( f ( x0 ), e)),
donde como es habitual Bj ( p, r ) representa bola abierta en ( X j , d j ) de centro p ∈ X y radio r > 0,
j = 1, 2. Como los entornos de un punto en un espacio métrico no son sino los subconjuntos
conteniendo una bola abierta centrada en ese punto, (1.2) admite una transcripción inmediata y
equivalente al lenguaje de entornos:
τ [d ]
τ [ d1 ]
∀U2 ∈ U f (x2 ) , ∃U1 ∈ U x0
0
: U1 ⊆ f −1 (U2 ),
o equivalentemente,
(1.3)
τ [d ]
τ [ d1 ]
∀U2 ∈ U f (x2 ) , f −1 (U2 ) ∈ U x0
0
.
La ventaja del enunciado de continuidad de f en x0 dado en la expresión (1.3) es que nos libera
de cualquier referencia a la distancia y permite su generalización a espacios topológicos.
2
F.J. LÓPEZ
2. A PLICACIONES CONTINUAS : D EFINICI ÓN Y PROPIEDADES B ÁSICAS
Definición 2.1 (Aplicación continua). Dados dos espacios topológicos ( X j , τj ), j = 1, 2, un punto
x0 ∈ X1 y una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), se dice que f es continua en x0 si y solo si
f −1 (U ) ∈ U x01 ∀U ∈ U fτ(2x ) .
τ
0
Igualmente, f se dice globalmente continua (o simplemente continua) si y solo si f es continua en x
para todo x ∈ X1 .
Esta definición admite las siguientes reformulaciones:
Proposición 2.2. Los siguientes enunciados son ciertos:
(I) f es continua en x0 ⇐⇒ f −1 (U ) ∈ U x01 ∀V ∈ β f ( x0 ) , donde β f ( x0 ) es una base de entornos de
f ( x0 ) en ( X2 , τ2 ).
τ
(II) f es continua en x0 ⇐⇒ f −1 (O) ∈ U x01 ∀O ∈ τ2 con f ( x0 ) ∈ O.
τ
Dem: Demostremos (I). Supongamos que f es continua en x0 . Si tomamos V ∈ β f ( x0 ) ⊆ U fτ(2x ) ten0
emos que f ( V ) ∈ U x01 por definición de continuidad. Supongamos ahora que f −1 (U ) ∈ U x01 para
todo V ∈ β f ( x0 ) . Si consideramos U ∈ U fτ(2x ) , por definición de base de entornos existe V ∈ β f ( x0 )
τ
τ
0
tal que V ⊆ U, y por tanto f ( V ) ⊆ f −1 (U ). Como f −1 (V ) ∈ U x01 deducimos que f −1 (U ) ∈ U x01
por la propiedad (iii) de los sistemas de entornos, concluyendo la prueba.
τ
τ
Para probar (II), téngase en cuenta que {O ∈ τ2 : f ( x0 ) ∈ O} es una base de entornos de f ( x0 )
en ( X, τ2 ) y utilicese (I).
Veamos algunos ejemplos sencillos de aplicaciones (globalmente) continuas.
• Id : : ( X, τ ) → ( X, τ ), Id( x ) = x ∀ x ∈ X, es continua (aplicación identidad).
• f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), f ( x ) = c ∈ X2 ∀ x ∈ X1 (aplicación constante c) es continua.
• f : ( X, τd ) → (Y, τ ) es continua para cualesquiera conjunto X, espacio topológico (Y, τ ), y
aplicación f : X → Y.
• f : ( X, τ ) → (Y, τt ) es continua para cualesquiera espacio topológico ( X, τ ), conjunto Y, y
aplicación f : X → Y.
Teorema 2.3. Dados dos espacios topológicos ( X j , τj ), j = 1, 2 y una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ),
los siguientes enunciados son equivalentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f es continua.
f −1 (O) ∈ τ1 ∀O ∈ τ2 .
f −1 ( F ) ∈ F1 ∀ F ∈ F2 , donde F j es el conjunto de cerrados en ( X j , τj ), j = 1, 2.
f ( A ) ⊆ f ( A ) ∀ A ⊆ X1 .
f − 1 ( B ◦ ) ⊆ f − 1 ( B ) ◦ ∀ B ⊆ X2 .
Dem: (a)=⇒(b). Si O ∈ τ2 entonces O es entorno de todos sus puntos en ( X, τ2 ). En particular,
τ
O ∈ U fτ(2x) para todo x ∈ f −1 (O), de donde por continuidad f −1 (O) ∈ U x 1 para todo x ∈ f −1 (O).
Esto prueba que f −1 (O) es un entorno de todos sus puntos en ( X, τ1 ), y por tanto, es un abierto
de τ1 .
(b)=⇒(a). Sea x ∈ X1 un punto arbitrario, y sea O ∈ τ2 un abierto con x ∈ O. Por hipótesis,
f −1 (O) ∈ τ1 , y por tanto f −1 (O) es entorno de todos sus puntos en ( X1 , τ1 ). En particular,
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
3
f −1 (O) ∈ U x 1 . Esto prueba que f es continua en x (ver Proposición 2.2), y como x es arbitrario
globalmente continua.
τ
(b)=⇒(c). Tomemos F ∈ F2 y escribamos F = X2 − O donde O ∈ τ2 . Por hipótesis f −1 (O) ∈
τ1 , de donde f −1 ( F ) = f −1 ( X2 − O) = X1 − f −1 (O) ∈ F1 .
(c)=⇒(b). Tomemos O ∈ τ2 y escribamos O = X2 − F donde F ∈ F2 . Por hipótesis f −1 ( F ) ∈
F1 , de donde f −1 (O) = f −1 ( X2 − F ) = X1 − f −1 ( F ) ∈ τ1 .
(c)=⇒(d). Tomemos cualquier A ⊆ X1 , consideremos f ( A) ∈ F2 y observemos que por
hipótesis f −1 ( f ( A)) ∈ F1 . Como A ⊆ f −1 ( f ( A)) ∈ F1 deducimos que A ⊆ f −1 ( f ( A))
(recordemos que el cierre de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene), y por tanto que
f ( A ) ⊆ f ( A ).
(d)=⇒(c). Consideremos F ∈ F2 y llamemos A = f −1 ( F ). Por hipótesis f ( A) ⊆ f ( A), esto es,
f ( f −1 ( F )) ⊆ f ( f −1 ( F )) ⊆ F. Esto demuestra que f −1 ( F ) ⊆ f −1 ( F ), y como la inclusión contraria
siempre es cierta, que f −1 ( F ) = f −1 ( F ). Como consecuencia f −1 ( F ) ∈ F1 .
(b)=⇒(e). Tomemos B ⊆ X2 un subconjunto arbitrario. Como B◦ ∈ τ2 , por hipótesis f −1 ( B◦ ) ∈
τ1 . De la inclusión f −1 ( B◦ ) ⊆−1 ( B) deducimos pues que f −1 ( B◦ ) ⊆ f −1 ( B)◦ (recordemos que el
interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en el conjunto).
(e)=⇒(b). Tomemos O ∈ τ2 . Como O◦ = O, de nuestras hipótesis f −1 (O) = f −1 (O◦ ) ⊆
y como la inclusión contraria siempre se da f −1 (O) = f −1 (O)◦ , esto es, f −1 (O) es
abierto.
f −1 (O)◦ ,
La siguiente proposición recoge algunas propiedades básicas de las funciones continuas.
Proposición 2.4. Los siguientes enunciados son ciertos:
(i) Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) y g : ( X2 , τ2 ) → ( X3 , τ3 ) son continuas entonces g ◦ f : ( X1 , τ1 ) →
( X3 , τ3 ) es continua.
(ii) Si ( X, τ ) es un espacio topológico y A ⊆ X entonces la aplicación inclusión i A : ( A, τA ) → ( X, τ ),
i A ( a) := a ∀ a ∈ A, es continua.
(iii) Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es continua y A ⊆ X1 entonces la aplicación restricción f | A : ( A, (τ1 ) A ) →
( X2 , τ2 ) f | A ( a) := f ( a) ∀ a ∈ A, es continua.
(iv) Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es continua y B ⊆ Im( f ) = f ( X1 ) entonces la aplicación restricción
en el codominio fb: ( X1 , τ1 ) → ( B, (τ2 ) B ) fb( x ) := f ( x ) ∀ x ∈ X1 , es continua.
(v) Sean ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos, y consideremos una familia de abiertos {Oλ , λ ∈
Λ} ⊆ τ1 satisfaciendo ∪λ∈Λ Oλ = X1 , y una familia de aplicaciones continuas { f λ : (Oλ , (τ1 )Oλ ) →
( X2 , τ2 ) : λ ∈ Λ} satisfaciendo f λ |Oλ ∩Oµ = f µ |Oλ ∩Oµ para todo λ, µ ∈ Λ.
Entonces la aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), f |Oλ := f λ ∀λ ∈ Λ, es continua.
(vi) Sean ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos, y consideremos una familia finita de cerrados
{ Fj , j = 1, . . . , n} ⊆ F1 satisfaciendo ∪nj=1 Fj = X1 , y una familia de aplicaciones continuas
{ f j : ( Fj , (τ1 ) Fj ) → ( X2 , τ2 ) : j = 1, . . . , n} satisfaciendo f j | Fj ∩ Fi = f i | Fj ∩ Fi para todo j, i ∈
{1, . . . , n}.
Enntonces la aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), f | Fj := f j ∀ j = 1, . . . , n, es continua.
Dem: Comprobemos (i). Tomemos un abierto O ∈ τ3 arbitrario. La continuidad de g nos da
g1 (O) ∈ τ2 (ver la Proposición 2.2-(b)), de donde usando que f es continua y la misma proposición
deducimos que f −1 ( g−1 (O)) ∈ τ1 . Pero ( g ◦ f )−1 (O) = f −1 ( g−1 (O)), por lo que concluimos la
continuidad de g ◦ f de nuevo por Proposición 2.2-(b) .
1
Probemos (ii). En efecto, si O ∈ τ entonces i−
A (O ) = O ∩ A ∈ τA por definición de topologı́a
inducida. Por la Proposición 2.2-(b) la aplicación i A es continua.
4
F.J. LÓPEZ
Para probar (iii) tengamos en cuenta (i), (ii) y el hecho de que f | A = f ◦ i A .
Para demostrar (iv) consideremos O ∩ B ∈ (τ2 ) B , donde O ∈ τ2 . Como Im( f ) ⊆ B, inferimos
que fb−1 (O ∩ B) = f −1 (O), de donde fb−1 (O ∩ B) ∈ τ1 sin más que usar la continuidad de f . Esto
prueba que fb es continua.
Comprobemos (v). Primero obsérvese que f está bien definida. Si O ∈ τ2 un abierto arbitrario,
podemos poner f −1 (O) = ∪λ∈Λ ( f |Oλ )−1 (O) = ∪λ∈Λ f λ−1 (O). Como f λ−1 (O) es un abierto de
(Oλ , (τ1 )Oλ ) y (τ1 )Oλ ⊆ τ1 por ser Oλ ∈ τ1 , inferimos que f λ−1 (O) ∈ τ1 , y esto para todo λ ∈ Λ.
Por tanto, f −1 (O) = ∪λ∈Λ f λ−1 (O) ∈ τ1 y f es continua.
Para acabar probemos (vi). Al igual que en el caso anterior f está bien definida. Si F ∈ F2 es
un cerrado arbitrario en ( X2 , τ2 ), tenemos que f −1 ( F ) = ∪nj=1 ( f | Fj )−1 ( F ) = ∪nj=1 f j−1 ( F ). Como
f j−1 ( F ) es un cerrado en ( Fj , (τ1 ) Fj ) y Fj ∈ F1 , deducimos que f j−1 ( F ) ∈ F1 para todo j = 1, . . . , n.
Por tanto f −1 ( F ) = ∪nj=1 f j−1 ( F ) ∈ F1 , de donde f es continua por la Proposición 2.2-(c).
3. C ARACTERIZACI ÓN DE LA CONTINUIDAD POR SUCESIONES
Es conocido que la continuidad admite una caracterización natural por sucesiones en el contexto de topologı́as metrizables. Vamos a extender este resultado a su contexto topológico natural,
esto es, el de espacios que satisfagan el I Axioma de Numerabilidad.
Teorema 3.1. Sea f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) una aplicación, y asumamos que ( X1 , τ1 ) es I-AN. Entonces,
f es continua en x ∈ X1 ⇐⇒ ∀ { xn }n∈N ⊆ X1 , { xn }n∈N → x, { f ( xn )}n∈N → f ( x ).
Dem: =⇒) (Para la prueba de esta implicación la hipótesis I-AN es prescindible) Supongamos
que f es continua en x y tomemos { xn }n∈N ⊆ X1 convergiendo a x ∈ X1 . Consideremos
{ f ( xn )}n∈N ⊆ X2 y un entorno U ∈ U fτ(2x) . Por la continuidad de f en x tenemos que f −1 (U ) ∈
U xτ1 , de donde por ser { xn }n∈N → x inferemos la existencia de N ∈ N tal que xn ∈ f −1 (U ) para
todo n ≥ N. En particular f ( xn ) ∈ U para todo n ≥ N, lo que prueba que { f ( xn )}n∈N → f ( x ).
⇐=) Para probar esta implicación, consideremos una base de entornos numerable de x en
( X1 , τ1 ), llamémosla β0x = {Un : n ∈ N}, con la propiedad de que Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ N.
La existencia de tal base de entornos en ambiente I-AN se demostró en el tema anterior.
Razonemos por reducción al absurdo, y supongamos que f no es continua en x. Por tanto, ha
τ
de existir un entorno U ∈ U fτ(2x) tal que f −1 (U ) ∈
/ U x 1 . En particular, Un * f −1 (U ) para todo n (de
otra forma f −1 (U ) serı́a entorno de x), y podemos encontrar xn ∈ Un − f −1 (U ) para cada número
τ
natural n. La sucesión { xn }n∈N ası́ construida converge a x en ( X1 , τ1 ). En efecto, si V ∈ U x 1 es
0
un entorno de x cualquiera, al ser β x base de entornos de x en ( X1 , τ1 ) podemos encontrar N ∈ N
tal que UN ⊆ V. En particular Un ⊆ UN ⊆ V para todo n ≥ N, y por tanto { xn }n∈N → x en
( X1 , τ1 ). Sin embargo, { f ( xn )}n∈N no converge a f ( x ) ya que f ( xn ) ∈
/ U para todo n ∈ N. Esta
contradicción prueba que f ha de ser continua en x.
Como corolario trivial de este resultado, las transformaciones afines f : Rn → Rm , f ( x ) :=
A · x + b, donde A ∈ Mm×n (R) es una matriz con coeficientes reales de orden m × n y b ∈ Rm
(utilizamos notación columna), son funciones continuas. En efecto, para la prueba úsese la anterior caracterización de la continuidad por sucesiones.
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
5
4. A LGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS
Las funciones continuas tienen una gran importancia no sólo para la Topologı́a, sino también
para el Análisis y Geometrı́a. Recordemos que una función no es sino una aplicación con codominio el conjunto de los números reales, o más generalmente, el espacio euclidiano Rn , n ≥ 1. Las
funciones admiten un álgebra elemental, es decir, puede ser sumadas, multiplicadas, divididas,...
y es natural preguntarse el comportamiento de la continuidad respecto de estas operaciones algebraicas elementales.
Comenzaremos con el siguiente
Lema 4.1. Las siguientes funciones son continuas:
•
•
•
•
•
Suma: + : (R2 , τu ) → (R, τu ), +( x, y) := x + y.
Multiplicación: · : (R2 , τu ) → (R, τu ), ·( x, y) := x · y.
Inverso: −1 : (R − {0}, τu ) → (R, τu ), −1 ( x ) := x −1 = 1/x.
División: / : (R × R − {0}, τu ) → (R, τu ), ( x, y) := x/y.
Proyección: p j : (Rn , τu ) → (R, τu ) ; p j ( x1 , . . . , xn ) = x j , j = 1, . . . , n.
Dem: La prueba de este resultado es trivial utilizando el Teorema 3.1. No obstante, ofrecemos una
prueba directa a partir del concepto original de continuidad en espacios métricos.
Fijemos un punto ( x, y) ∈ R2 y probemos que + es continua en ( x, y) para cualquier ( x, y) ∈
Para ello tomemos e > 0 y observemos que k x 0 + y0 − ( x + y)k2 < e para todo ( x 0 , y0 ) ∈
B2 (( x, y), e/2).
R2 .
De igual manera, para probar que · es continua en ( x, y) ∈ R2 basta con tomar e > 0 arbitario, elegir δ > 0 tal que δ(| x | + |y| + δ) < e, y observar que k x 0 · y0 − x · yk2 < e para todo
( x 0 , y0 ) ∈ B2 (( x, y), δ).
Para probar que −1 es continua en x para cualquier x ∈ R − {0}, tomemos e > 0 arbitrario,
δ
< e, y observemos que |1/x − 1/x 0 | < e cuando | x − x 0 | < δ.
elijamos δ > 0 tal que | x(δ−|
x |)|
La función / es la composición de las funciones continuas (R − {0}) × R → R2 , ( x, y) 7→
(1/x, y) (la continuidad de esta función se deja como ejercicio), y · : R2 → R.
Finalmente, probemos que p j es continua, j ∈ {1, . . . , n}. Para ello fijemos x = ( x1 , . . . , xn ) ∈
y e > 0 arbitrarios, y observemos que | x j − x j | < e para todo ( x10 , . . . , xn0 ) ∈ B2 ( x, e).
Rn
Teorema 4.2. Consideremos un espacio topológico ( X, τ ) y funciones continuas f ,g : ( X, τ ) → (R, τu ).
Entonces las siguientes funciones son continuas:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
( f , g) : X → (R2 , τu ), ( f , g)( x ) := ( f ( x ), g( x )).
f + g : X → (R, τu ), ( f + g)( x ) := f ( x ) + g( x ).
f · g : X → (R, τu ), ( f · g)( x ) := f ( x ) + g( x ).
f /g : X → (R, τu ), ( f /g)( x ) := f ( x )/g( x ), siempre que g( x ) 6= 0 para todo x ∈ X.
Dem: Probemos la continuidad de ( f , g). Recordemos que las bolas { B∞ (( x, y), e) : ( x, y) ∈
R2 , e > 0} son una base de la topologia τu en R2 , y simplemente observemos que ( f , g)−1 B∞ (( x, y), e) =
f −1 (] x − e, x + e[) ∩ g−1 (]y − e, y + e[) es abierto de τ ya que f −1 (] x − e, x + e[) y g−1 (]y − e, y +
e[) ∈ τ por la continuidad de f y g.
La función f + g es continua por ser composición de funciones continuas: f + g = + ◦ ( f , g),
usar el Lemma 4.1.
6
F.J. LÓPEZ
La función f · g es continua por ser composición de funciones continuas: f · g = · ◦ ( f , g), usar
el Lemma 4.1.
La función f /g es continua por ser composición de funciones continuas: f /g = / ◦ ( f , g), usar
el Lemma 4.1.
Como consecuencia inmediata de este resultado, las funciones polinómicas P : (Rn , τu ) →
(R, τu ) son continuas. Igualmente, las funciones racionales o cocientes de polinomicas P1 /P2 : (Rn −
Z, τu ) → (R, τu ) son continuas en su dominio natural Rn − Z (Z es el cerrado P2−1 ({0}), recordar
que la imagen inversa por una aplicación continua de un cerrado es un subconjunto cerrado).
También se podrı́a haber abordado la prueba de este resultado usando la caracterización de la
continuidad por sucesiones del Teorema 3.1.
5. A PLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS
Unas de las aplicaciones más interesantes para la topologı́a son las que respetan los abiertos (cerrados), esto es, llevan abiertos en abiertos (cerrados en cerrados). Estas propiedades
topológicas tienen muchas implicaciones en el campo del análisis complejo y de la geometrı́a
en general.
Definición 5.1. Una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) se dice abierta si y solo si
f (O) ∈ τ2 ∀O ∈ τ1 .
Algunos ejemplos sencillos:
•
•
•
•
•
Dado ( X, τ ) espacio topológico, A ∈ τ ⇐⇒ i A : ( A, τA ) → ( X, τ ) es abierta.
Cualquiera aplicación f : ( X, τ ) → (Y, τd ) es abierta.
Cualquiera aplicación f : ( X, τt ) → (Y, τ ) es abierta.
Cualquiera aplicación sobreyectiva f : ( X, τCF ) → (Y, τCF ) es abierta.
Cualquiera aplicación sobreyectiva f : ( X, τCN ) → (Y, τCN ) es abierta.
La siguiente proposición se muestra muy útil:
Proposición 5.2. Dada una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), son equivalentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
f es abierta.
Si B ⊆ τ1 es una base de τ1 , entonces f ( B) ∈ τ2 para todo B ∈ B .
f ( A◦ ) ⊆ f ( A)◦ para todo A ⊆ X1 .
τ
Para todo x ∈ X1 y U ∈ U x 1 , f (U ) ∈ U fτ(2x) .
Dem: (a)=⇒ (b) Trivial.
(b)=⇒ (a) Dado O ∈ τ1 , se tiene que O = ∪i∈ I Bi , donde { Bi , i ∈ I } ⊆ B . Por tanto
f (O) = ∪i∈ I f ( Bi ) ∈ τ2 ; téngase en cuenta que por hipótesis f ( Bi ) ∈ τ2 para todo i ∈ I.
(a)=⇒ (c) Consideremos A ∈ X1 . Como A◦ ⊆ A deducimos que f ( A◦ ) ⊆ f ( A). Pero al ser f
abierta f ( A◦ ) ∈ τ2 , y por tanto f ( A◦ ) ⊆ f ( A)◦ por definición de interior.
(c)=⇒ (a) Si O ∈ τ1 entonces O◦ = O, y de nuestras hipótesis f (O) = f (O◦ ) ⊆ f (O)◦ . Como
la inclusión contraria siempre es cierta inferimos que f (O) = f (O)◦ , esto es, f (O) es un abierto.
τ
(a)=⇒ (d) Consideremos x ∈ X1 y U ∈ U x 1 . Sabemos por la definición de entorno que existe
O ∈ τ1 tal que x ∈ O ⊆ U, y por tanto, f ( x ) ∈ F (O) ⊆ f (U ). Como por hipótesis f (O) ∈ τ2 ,
deducimos que f (U ) ∈ U fτ(2x) .
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
7
τ
(d)=⇒ (a) Supongamos que O ∈ τ1 . Esto es equivalente a decir que O ∈ U x 1 para todo x ∈ O.
Por hipótesis, f (O) ∈ U fτ(2x) para todo f ( x ) ∈ f (O), de donde f (O) ∈ τ2 .
Recordemos que una función f : Ω ⊆ Rn → Rm , n ≥ m, donde Ω es un abierto de Rn , se dice
ser una submersión si la diferencial dFp : Rn → Rm es sobreyectiva para todo p ∈ Ω. La siguiente
proposición nos presenta algunas aplicaciones abiertas básicas:
Proposición 5.3. Toda submersión f : Ω ⊆ Rn → Rm , n ≥ m, es abierta. Como consecuencia las
siguientes aplicaciones son abiertas:
(i) pσ : (Rn , τu ) → (Rk , τu ), k ≤ n, pσ ( x1 , . . . , xn ) = ( xσ(1) , . . . , xσ(k) ), donde σ : {1, . . . , k} →
{1, . . . , n} es una aplicación injectiva (en particular, p j : (Rn , τu ) → (R, τu ), p j ( x1 , . . . , pn ) = x j ,
es abierta, j = 1, . . . , n).
(ii) p : (R, τu ) → (S1 , τu ), p(t) = (cos(t), sin(t)).
(iii) n : (Rn+1 − {0}, τu ) → (Sn , τu ), n( x ) = x/k x k2 .
Dem: La prueba de este resultada se basa en la escritura local de las submersiones como consecuencia del teorema de la función implı́cita. Omitiremos los detalles.
Los resultados (i), (ii) y (iii) son consecuencia sencilla de este resultado general ya que todas las
aplicaciones involucradas son submersiones. En cualquier caso ofreceremos una prueba ad-hoc
para cada uno de ellos.
Para probar (i), recordemos que B = { B∞ (( x1 , . . . , xn ), e) : ( x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , e > 0} es una
base de τu y tengamos en cuenta Proposici
ón 5.2-(b). Tomemos B∞ (( x1 , . . . , xn ), e) ∈ B arbitrario,
y observemos que pσ B∞ (( x1 , . . . , xn ), e) = B∞ (( xσ(1) , . . . , xσ(k) ), e) ∈ τu , de donde pσ es abierta.
Para probar (ii), tengamos en cuenta que la familia B = {] a, b[ : 0 < b − a ≤ 2π } es una
base de τu y utilicemos de nuevo Proposición 5.2-(b). Fijemos [ a, b[∈ B , y observemos que
p(] a, b[) = arg−1 (] a, b[) para una conveniente rama del argumento
arg : S1 − {p( a)} →] a, a + 2π [.
Como arg : (S1 − {p( a)}, τu ) → (] a, a + 2π [, τu ) es una función continua, inferimos que p(] a, b[) ∈
τu , y por tanto, que p es abierta.
Por último demostremos (iii). Ahora tendremos en cuenta que B = { B2 (q, e) : q ∈ Rn+1 −
{0}, e > 0} es una base de τu en Rn+1 − {0} y de
nuevo la Proposición 5.2-(b). Si tomamos
q
B2 (q, e) ∈ B , se tiene que n( B2 (q, e)) = B2 kqk , keqk ∩ Sn , que es abierto en la topologı́a usual de
Sn .
El concepto de aplicación cerrada es el natural:
Definición 5.4. Sean ( X − 1, τ1 ) y X2 , τ2 ) dos espacios topológicos, y denotemos por F j la familia
de cerrados en ( X j , τj ), j = 1, 2.
Una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) se dice cerrada si y solo si
f ( F ) ∈ F2 ∀ F ∈ F1 .
Veamos algunos ejemplos sencillos:
• Dado ( X, τ ) espacio topológico, A ⊆ X es cerrado ⇐⇒ i A : ( A, τA ) → ( X, τ ) es cerrada.
• Cualquiera aplicación f : ( X, τ ) → (Y, τd ) es cerrada.
• Cualquiera aplicación f : ( X, τt ) → (Y, τ ) es cerrada.
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F.J. LÓPEZ
• Cualquiera aplicación f : ( X, τCF ) → (Y, τCF ) es cerrada.
• Cualquiera aplicación f : ( X, τCN ) → (Y, τCN ) es cerrada.
Es interesante notar que las proyecciones pσ : (Rn , τu ) → (Rk , τu ), donde σ : {1, . . . , k} → {1, . . . , n}
no son cerradas. El contraejemplo más sencillo es el siguiente. En (R2 , τu ) el conjunto F =
{( x, 1/x ) : x ∈ R − {0}} es cerrado en (R2 , τu ), mientras que p1 ( F ) = p2 ( F ) = R − {0} no
es cerrado en (R, τu ).
Proposición 5.5. Dada una aplicación f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ), son equivalentes:
(a) f es cerrada.
(b) f ( A) ⊆ f ( A) para todo A ⊆ X1 .
Dem: (a) =⇒ (b) Consideremos A ⊆ X1 . Como A es cerrado, por hipótesis deducimos que f ( A)
es cerrado. Pero al ser A ⊆ A tenemos que f ( A) ⊆ f ( A), de donde f ( A) ⊆ f ( A) = f ( A).
(b) =⇒ (a) Sea F ⊆ X1 cerrado. Por hipótesis, f ( F ) ⊆ f ( F ) = f ( F ). Como la inclusión contraria
siempre es cierta f ( F ) = f ( F ) y f ( F ) es cerrado.
Para acabar, comentaremos una condición suficiente para que una aplicación continua sea cerrada, en el contexto de espacios métricos.
Teorema 5.6. Consideremos ( X j , d j ), j = 1, 2, dos espacios métricos, donde ( X1 , d1 ) tiene la siguiente
propiedad: ”Toda sucesión acotada en ( X1 , d1 ) admite una parcial convergente”.
Supongamos que f : ( X1 , τ [d1 ]) → ( X2 , τ [d2 ]) es una aplicación continua satisfaciendo que f −1 ( A)
es acotado en ( X1 , d1 ) para todo A ⊆ X2 acotado en ( X2 , d2 ).
Entonces f es una aplicación cerrada.
Dem: Sea F ⊆ X1 cerrado en ( X1 , τ [d1 ]), y consideremos f ( F ) ⊆ X2 . Para comprobar que f ( F )
es cerrado en ( X2 , τ [d2 ]) utilizaremos la caracterización del cierre por sucesiones expuesta en el
tema anterior. En efecto, tomemos { f ( xn )}n∈N ⊆ f ( F ), donde { xn }n∈N ⊆ F, y supongamos que
{ f ( xn )}n∈N → y0 ∈ X2 . Nuestro objetivo es garantizar que y0 ∈ f ( F ). Para ello, observemos que
el conjunto A = { f ( xn ) : n ∈ N} es acotado en ( X2 , d2 ) por ser la sucesión convergente. De
nuestras hipótesis f −1 ( A) es acotado, y en particular la sucesión { xn }n∈N ⊆ f −1 ( A) es acotada.
Teniendo en cuenta la propiedad de ( X1 , τ1 ) en el enunciado del teorema ha de existir una
sucesión parcial { xσ(n) }n∈N de { xn }n∈N convergente a un punto x0 ∈ X1 . Como F es cerrado en
( X1 , τ [d1 ]) inferimos que x0 ∈ F. Por otra parte, la continuidad de f y el Teorema 3.1 nos garantizan que { f ( xσ(n) )}n∈N → f ( x0 ). Por la unicidad del lı́mite, f ( x0 ) = y0 ∈ f ( F ) como querı́amos
demostrar.
Corolario 5.7. Consideremos subconjuntos X ⊆ Rn e Y ⊆ Rm dotados ambos de las correspondientes
topologı́as euclidianas inducidas, donde X se supone cerrado en (Rn , τu ). Supongamos que f : ( X, τu ) →
(Y, τu ) es una aplicación continua satisfaciendo que f −1 ( A) es acotado para todo A ⊆ Y acotado.
Entonces f es una aplicación cerrada.
Dem: Las topologı́as ( X, τu ) e (Y, τu ) son metrizables (son las asociadas a la distancia euclidiana
restringida a X e Y, respectivamente). Además, por ser X cerrado en (Rn , τu ), el Teorema de
Bolzano-Weierstrass nos dice que toda sucesión acotada en X admite una parcial convergente.
Podemos por tanto aplicar el Teorema 5.6 para concluir que f es cerrada.
Como aplicación directa de este corolario, las siguientes aplicaciones son cerradas:
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
9
• k · k2 : (Rn , τu ) → (R, τu ).
• Cualquier función polinómica P : (Rn , τu ) → (R, τu ).
Concluiremos esta sección con la siguiente proposición.
Proposición 5.8. Consideremos apliciones f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) y g : ( X2 , τ2 ) → ( X3 , τ3 ). Los siguientes enunciados son ciertos:
(a) Si f y g son abiertas (resp., cerradas) =⇒ g ◦ f es abierta (resp., cerrada).
(b) Si g ◦ f es abierta (resp., cerrada) y f es sobreyectiva y continua =⇒ g es abierta (resp., cerrada).
(c) Si g ◦ f es abierta (resp., cerrada) y g es inyectiva y continua =⇒ f es abierta (resp., cerrada).
Dem: (a) es trivial por definición.
Probemos (b) en la versión para aplicaciones abiertas (para cerradas la prueba es análoga).
Supongamos que O ⊆ X2 es abierto. Como f es continua tenemos que f −1 (O) ∈ τ1 , de donde
( g ◦ f )( f −1 (O)) ∈ τ3 por ser g ◦ f abierta. Teniendo en cuenta que f ( f −1 (O)) = O por ser f
sobreyectiva, inferimos que ( g ◦ f )( f −1 (O)) = g(O) ∈ τ3 , esto es, g es abierta.
Demostremos (c) en su versión para aplicaciones cerradas (para abiertas la prueba es análoga).
Sea F ⊆ X1 un subconjunto cerrado. Por ser g ◦ f cerrada tenemos que g( f ( F )) es cerrado en
( X3 , τ3 ), de donde por ser g continua g−1 ( g( f ( F ))) es cerrado en ( X2 , τ2 ). Como g es inyectiva
g−1 ( g( f ( F ))) = f ( F ), de donde f ( F ) es cerrado en ( X2 , τ2 ) concluyendo la prueba.
6. H OMEOMORFISMOS
Los homeomorfismos entre espacios topológicos materializan la idea de equivalencia o isomorfismo topológico. Intuitivamente, dos objetos en un espacio euclidiano son homeomorfos si uno
se obtiene de otro tras una deformación.
Definición 6.1. Una aplicación entre espacios topológicos f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) se dice un homeomorfismo si f es biyectiva, continua, y la aplicación inversa f −1 : ( X2 , τ2 ) → ( X1 , τ1 ) es continua.
Dos espacios topológicos ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ) se dicen homeomorfos, y escribiremos ( X1 , τ1 ) ∼
=
( X2 , τ2 ), si existe un homeomorfismo f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ).
Veamos algunos ejemplos sencillos de homeomorfismos:
•
•
•
•
•
•
•
Id : ( X, τ ) → ( X, τ ).
f : ( X1 , τt ) → ( X2 , τt ), f biyectiva.
f : ( X1 , τCF ) → ( X2 , τCF ), f biyectiva.
f : ( X1 , τCN ) → ( X2 , τCN ), f biyectiva.
f : ( X1 , τd ) → ( X2 , τd ), f biyectiva.
F : (Rn , τu ) → (Rn , τu ), f ( x ) = Ax + b, donde A ∈ Mn (R) es una matriz regular y b ∈ Rn .
( X1 , τ1 ) = (S2 , τu ), ( X2 , τ2 ) = ( E, τu ), donde E = {( x, y, z) : x2 /a2 + y2 /b2 + z2 /c2 = 0},
a, b, c > 0, f : (S2 , τu ) → ( E, τu ), f ( x, y, x ) = ( ax, by, cz).
Teorema 6.2. Sea f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) una aplicación biyectiva. Son equivalentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f es un homeomorfismo.
f es continua y abierta.
f es continua y cerrada.
f ( A ) = f ( A ) , ∀ A ⊆ X1 .
f ( A ◦ ) = f ( A ) ◦ , ∀ A ⊆ X1 .
10
F.J. LÓPEZ
Dem: (a) =⇒ (b) La continuidad de f se sigue de la definición de homeomorfismo. La aplicación
f es abierta como consecuencia de que f −1 es continua y el Teorema 2.3-(b).
(b) =⇒ (a) La continuidad de f −1 se sigue de que f es abierta.
(a) =⇒ (c) La continuidad de f se sigue de la definición de homeomorfismo. La aplicación f es
cerrada como consecuencia de que f −1 es continua y el Teorema 2.3-(c).
(c) =⇒ (a) La continuidad de f −1 se sigue de que f es cerrada.
(a) ⇐⇒ (d) Se sigue de la Proposición 5.5-(b) y el Teorema 2.3-(d).
(a) ⇐⇒ (e) Se sigue de la Proposición 5.2-(b) y el Teorema 2.3-(e).
Los homeomorfismos representan la igualdad topológica, toda propiedad u objeto topológico
dentro de un espacio topológico tiene su equivalente en cualquiera otro homeomorfo a él. La
siguiente proposición nos muestra sólo algunos ejemplos significativos de ello:
Proposición 6.3. Sea f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) una aplicación biyectiva. Son equivalentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
f es un homeomorfismo.
τ2 = f (τ1 ) := { f (O) : O ∈ τ1 }.
∀B ⊆ τ1 base de τ1 , f (B) := { f ( B) : B ∈ B} es base de τ2 .
∀ x ∈ X1 , U fτ(2x) = f (U xτ1 ) := { f (U ) : U ∈ U xτ1 }.
τ
τ
τ
τ
τ
(e) ∀ x ∈ X1 y ∀ β x1 ⊆ U x 1 base de de entornos de x en ( X1 , τ1 ), f ( β x1 ) := { f (V ) : β x1 ∈ β x1 } es base
de entornos de f ( x ) en ( X2 , τ2 ).
Dem: (a) ⇐⇒ (b) Los homeomorfismos son las aplicaciones biyectivas, continuas y abiertas entre
espacios, esto es, para las que τ2 = f (τ1 ). La equivalencia es pues trivial.
(b) ⇐⇒ (c) Los abiertos de una topologı́a se generan a partir de los abiertos de cualquiera de
sus bases (todo abierto es unión de abiertos básicos). La equivalencia se sigue del hecho de que la
operación imagen directa por una aplicación respeta la unión.
(b) ⇐⇒ (d) Los abiertos de una topologı́a se caracterizan por la propiedad de ser entornos de
todos sus puntos. La equivalencia es pues trivial.
(c) ⇐⇒ (d) Los entornos de un punto en un espacio topológico se generan a partir de los entornos básicos de una base de entornos del punto cualquiera (son los subconjuntos que contienen
en su interior un entorno básico). La equivalencia se sigue del hecho de que la operación imagen
directa por una aplicación respeta la inclusión.
La siguiente proposición se muestra en ocasiones muy útil:
Proposición 6.4. Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es un homeomorfismo y A ⊆ X1 , entonces F : ( A, (τ1 ) A ) →
( f ( A), (τ2 ) f ( A) ), F ( a) = f ( a) para todo a ∈ A, es un homeomorfismo.
Dem: Proposición 2.4-(iii) y Proposición 2.4-(iv) aplicados a f y a f −1 implican que F y F −1 son
continuas.
Uno de los conceptos fundamentales de la topologı́a es el de invariante topológico. Se trata aquellas propiedades de los espacios topológicos que permanecen invariantes por homeomorfismos.
Definición 6.5. Sea P una propiedad lógicamente atribuible a espacios topológicos. Se dice que
P es un invariante topológico si y sólo si es cierto el siguiente enunciado:
Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es un homeomorfismo y ( X1 , τ1 ) satisface P , entonces ( X2 , τ2 )
satisface P .
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
11
Uno de los objetivos de este curso, si no el fundamental, será el presentar algunos invariantes
topológicos. Comentaremos algunos ejemplos sencillos:
• La propiedad ”ser Hausdorff o T2 ” es un invariante topológico (trivial por la Proposición
6.3-(d)).
• La propiedad ”toda función continua valuada sobre (R, τu ) admite un máximo” es un invariante topológico.
La principal utilidad de los invariantes topológicos es la de establecer que dos espacios no son
homeomorfos. Veamos algunos ejemplos que aclaren esta idea.
• (Rn , τCF ) y (Rn , τu ) no son homeomorfos: el primero no es T2 y el segundo sı́. De hecho, ( X, τCF ), donde X es infinito, no es homeomorfo a ningún espacio metrizable por la
misma razón.
• ([0, 1], τu ) no es homeomorfo a (]0, 1[, τu ): en el primer caso cualquier función continua
f : ([0, 1], τu ) → (R, τu ) admite máximo, pero no en el segundo (considerar f : (]0, 1[, τu ) →
(R, τu ), f ( x ) = x).
6.1. Homeomorfismos notables. Vamos a presenar algunos de los homeomorfismos básicos más
relevantes, en algún caso con interesante trasfondo geométrico. Las topologı́as subyacentes en los
siguientes ejemplos serán siempre las correspondientes topologı́as euclidianas inducidas.
6.1.1. Intervalos de la recta real. Todos los intervalos abiertos de la recta real son homeomorfos
entre si. En efecto, téngase en cuenta que:
• f : ]0, 1[→] a, b[, f (t) = a + (b − a)t, es un homeomorfismo con inverso f −1 : ] a, b[→]0, 1[,
f −1 (s) = b−1 a (s − a).
• f : ]0, 1[→] a, +∞[, f (t) = 1−t t + a, es un homeomorfismo con inverso f −1 : ] a, +∞[→]0, 1[,
f −1 (s) = s+s−1−a a .
• f : ]0, 1[→] − ∞, a[, f (t) = t−t 1 + a, es un homeomorfismo con inverso f −1 : ] − ∞, a[→
]0, 1[, f −1 (s) = s−s−1−a a .
• f : ]0, +∞[→ R, f (t) = log( x ), es un homeomorfismo con inverso f −1 : R →]0, +∞[,
f −1 ( s ) = e s .
Análogamente, es posible probar que
• [0, 1] es homeomorfo a [ a, b] para todo a < b.
• Los intervalos [ a, b[, [ a, +∞[, ] − ∞, a] y a ]c, d] son homeomorfos a [0, 1[ para cuales quiera
a < b, c < d.
6.1.2. Conjuntos de estructura anular. Para cada subconjunto J ⊆ [0, +∞[, denotemos por AnJ :=
{ x ∈ Rn : k x k2 ∈ J } ⊆ Rn , n ≥ 2. Se tiene que
AnJ ∼
= Sn−1 × J = {( x, z) ∈ Rn × R ≡ Rn+1 : k x k2 = 1 y z ∈ J }.
p
En efecto, obsérvese que la aplicación f : AnJ → Sn−1 × J, f ( p) = ( k pk , k pk2 ), y su inversa
2
f −1 : Sn−1 × J → AnJ , f −1 (q, r ) = rq, son continuas (usando el Teorema 3.1 es un ejercicio sencillo).
Si h : J1 → J2 es un homeomorfismo, es fácil comprobar (por ejemplo, usando de nuevo el Teorema 3.1) que la aplicación F : Sn−1 × J1 → Sn−1 × J2 , F ( p, r ) = ( p, h(r )), es un homeomorfismo
también. Este hecho tiene algunas consecuencias sencillas:
• An]a,b[ ∼
= An]0,+∞[ = R2 − {(0, 0)}, 0 ≤ a < b.
12
F.J. LÓPEZ
∼ An , 0 < a < b, 0 < c < d.
• An[a,b] =
[c,d]
• An]a,b] ∼
= An]c,d] , 0 ≤ a < b, 0 ≤ c < d.
6.1.3. La proyección estereográfica. Para cada n ≥ 1, la región esférica Sn − { N }, donde N =
(0, . . . , 0, 1) es el polo Norte de Sn , y el espacio euclidiano Rn son homeomorfos de forma natural.
Uno de los homeomorfismos clásicos entre estos dos objetos viene dado por la llamada proyección
estereográfica de la esfera sobre el hiperplano H n := {( x1 , . . . , xn+1 ) : xn+1 = 0} (hiperplano del
ecuador) de Rn+1 . Expliquemos los detalles.
Lo primero, obsérvese que Rn y H n son homeomorfos de forma canónica: nótese que la aplicación i : Rn → H n , i( x ) = ( x, 0), y su inversa i−1 : H n → Rn , i−1 ( x, 0) = x, son continuas. En lo
que sigue Rn y H n se considerarán naturalmente identificados vı́a i.
La aplicación proyección estereográfica σ : Sn − { N } → H n ≡ Rn obedece a la siguiente construcción geométrica:
Para cada punto p = ( x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn − { N }, consideramos la semirecta L p con punto ini~ p = p − N. Por definición σ( p) = L p ∩ H n . Analı́ticamente,
cial N y orientada según el vector N
L p = {(0, . . . , 0, 1) + λ( x1 , . . . , xn+1 − 1) : λ > 0}, de donde σ ( p) es el punto de L p para el valor
λ = 1− x1 , esto es,
n +1
σ ( x 1 , . . . , x n +1 ) = (
x1
xn
x1
xn
,...,
, 0) ≡ (
,...,
) ∈ Rn .
1 − x n +1
1 − x n +1
1 − x n +1
1 − x n +1
El procedimiento geométrico inverso nos dice que para cada y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ,
σ −1 ( y 1 , . . . , y n ) =
1
(2y1 , . . . , 2yn , kyk22 − 1).
1 + kyk22
Obviamente ambas aplicaciones σ y σ−1 son continuas (fácil comprobación por sucesiones, Teorema 3.1), por lo que σ es un homeomorfismo.
6.1.4. La proyección de Mercator. Para cada n ≥ 2, la región esférica Sn − { N, S} (donde N =
(0, . . . , 0, 1) es el polo Norte y S = (0, . . . , 0, −1) es el polo Sur de Sn ) y el cilindro n-dimensional
Sn−1 × R := {( x, z) ∈ Rn × R ≡ Rn+1 : k x k2 = 1}
son homeomorfos de forma natural. El homeomorfismo clásico entre estos dos objetos viene dado
por la llamada proyección de Mercator.
La proyección de Mercator µ : Sn − { N, S} → Sn−1 × R obedece a la siguiente construcción
geométrica:
Para cada punto p = ( x, xn+1 ) ∈ Sn − { N, S}, consideramos la semirecta R p con punto inicial
el origen 0 y orientada según el vector ~p. Por definición µ( p) = R p ∩ Sn−1 × R. Analı́ticamente,
R p = {λ( x, xn+1 ) : λ ≥ 0}, de donde µ( p) es el punto de L p para el valor λ = k x1k , esto es,
2
µ( x, xn+1 ) = (
x x n +1
,
) ∈ Sn−1 × R.
k x k2 k x k2
El procedimiento geométrico inverso nos dice que para cada y ∈ Sn−1 × R,
µ −1 ( y ) =
y
∈ Sn − { N, S}.
k y k2
Como en el caso anterior, µ es un homeomorfismo.
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
13
6.1.5. El hiperboloide y el cilindro. El cilindro C = S1 × R ⊆ R3 y el hiperboloide de una hoja
H1 = {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + 1} son naturalmente homeomorfos. Geometricamente
ambos espacios están foliados por circunferencias, es más, el corte de uno y otro con planos horizontales Πk = {( x, y, z) ∈ R3 : z = k}, k ∈ R, es una circunferencia centrada en el punto (0, 0, z).
Lo único que hay que hacer es aplicar homotéticamente
para cada altura k la circunferencia de
√
radio uno C ∩ Πk en la circunferencia de radio k2 + 1 H1 ∩ Πk , homotecia que actua sólo sobre
las dos primeras coordenadas y deja la tercera invariante.
√
√
Analı́ticamente, f : C → H1 , f ( x, y, z) = ( z2 + 1x, x2 + 1y, z), es una aplicación biyectiva
y
y
x
y continua, con inversa f −1 : H1 → C, f −1 ( x, y, z) = ( √ x2 , √ 2 , z) = ( k( x,y
,
, z ),
)k2 k( x,y)k2
z +1
z +1
también continua.
7. L A T OPOLOG ÍA P RODUCTO
La categorı́a de espacios topológicos es productiva, lo que traducido a un lenguaje más sencillo
quiere decir que el producto cartesiano de dos espacios topológicos soporta de forma natural una
topologı́a, conocida como topologı́a producto. Esta topologı́a es canónica en el sentido de que
es la topologı́a menos fina en el producto cartesiano de los espacios que hace a las proyecciones
continuas.
Comentemos todos los detalles de esta construcción.
Proposición 7.1. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos. Entonces la familia
τ1 × τ2 := {O1 × O2 : O1 ∈ τ1 , O2 ∈ τ2 }
es base de una (única) topologı́a τ (τ1 × τ2 ) en X1 × X2 .
Dem: Como trivialmente ∪O1 ×O2 ∈τ1 ×τ2 O1 × O2 = X1 × X2 , lo único que resta demostra es que
dados O1 × O2 , O10 × O20 ∈ τ1 × τ2 y un punto ( x1 , x2 ) ∈ (O1 × O2 ) ∩ (O10 × O20 ), existe O100 × O200 ∈
τ1 × τ2 tal que ( x1 , x2 ) ∈ O100 × O200 ⊆ (O1 × O2 ) ∩ (O10 × O20 ). Basta con elegir O100 × O200 =
(O1 ∩ O10 ) × (O2 ∩ O20 ) ∈ τ1 × τ2 .
Definición 7.2 (Topologı́a producto). Dados espacios topológicos ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ), la topologı́a
τ (τ1 × τ2 ) construida en la Proposición 7.1 es conocida como topologı́a producto de τ1 y τ2 .
El espacio topológico ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 ) sera referido como el espacio topológico producto de los
espacios ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ).
A la hora de trabajar con más comodidad con la topologı́a producto, es conveniente tener en
cuenta la siguiente:
Proposición 7.3. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos y ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 ) el espacio
topológico producto. Los siguientes enunciados son ciertos:
(i) Si B j ⊆ τj es base de τj , j = 1, 2, entonces B× B2 = { B1 × B2 : B1 ∈ B1 , B2 ∈ B2 } es base de
τ (τ1 × τ2 ).
τ
τ
(ii) Si ( x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , entonces U x11 × U xτ22 = {U1 × U2 : U1 ∈ U x11 , U2 ∈ U xτ22 } es base de
entornos de ( x1 , x2 ) en ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )).
j
(iii) Si ( x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 y β x j es base de entornos de x j en ( X j , τj ), j = 1, 2, entonces β1x1 × β2x2 =
{V1 × V2 : V1 ∈ β1x1 , V2 ∈ β2x2 } es base de entornos de ( x1 , x2 ) en ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )).
14
F.J. LÓPEZ
Dem: Probemos (i). Tomemos O ∈ τ (τ1 × τ2 ) y ( x1 , x2 ) ∈ O. Como τ1 × τ2 es base de τ (τ1 × τ2 ),
existe O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 tal que ( x1 , x2 ) ∈ O1 × O2 ⊆ O. Pero al ser B j base de τj , existe Bj ∈ B j
con x j ∈ Bj ⊆ O j , j = 1, 2, de donde ( x1 , x2 ) ∈ B1 × B2 ⊆ O1 × O2 ⊆ O. Como B1 × B2 ∈ B1 × B2
concluimos que B1 × B2 es base de τ (τ1 × τ2 ).
τ (τ ×τ )
Demostremos (iii) (el enunciado (ii) es consecuencia inmediata de (iii)). Sea U ∈ U( x ,x1 ) 2 un
1 2
entorno arbitrario de ( x1 , x2 ) en ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )). Por definción de entorno sabemos que existe O ∈ τ (τ1 × τ2 ) tal que ( x1 , x2 ) ∈ O ⊆ U. Al igual que el el caso anterior, podemos encontrar
O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 tal que ( x1 , x2 ) ∈ O1 × O2 ⊆ O ⊆ U. Como x j ∈ O j ∈ τj inferimos que
τj
j
j
O j ∈ U x j , de donde por ser β x j base de entornos de x j en ( X j , τj ) podemos encontrar Vj ∈ β x j tal
que Vj ⊆ O j , j = 1, 2. Por lo tanto, V1 × V2 ∈ β1x1 × β2x2 y V1 × V2 ⊆ O1 × O2 ⊆ O ⊆ U, lo que
prueba el enunciado.
Veamos algunos ejemplos sencillos de esta construcción:
• Si ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) son espacios topológicos triviales (esto es, τj ≡ τt topologı́a trivial,
j = 1, 2), entonces τ (τ1 × τ2 ) es la topologı́a trivial en X1 × X2 . La prueba es directa.
• Si ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) son espacios topológicos discretos (esto es, τj ≡ τd topologı́a discreta, j = 1, 2), entonces τ (τ1 × τ2 ) es la topologı́a discreta en X1 × X2 . En efecto, dado
( x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , el hecho de que { x j } ∈ τj , j = 1, 2, implica que { x1 } × { x2 } =
{( x1 , x2 )} ∈ τ1 × τ2 ⊆ τ (τ1 × τ2 ).
• Si ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) son espacios topológicos cofinitos (esto es, τj ≡ τCF topologı́a cofinita,
j = 1, 2), entonces τ (τ1 × τ2 ) no ha de ser la topologı́a cofinita. En efecto, si X1 y X2 son
conjuntos infinitos y O j = X j − Fj donde Fj es finito, j = 1, 2, entonces ( X1 × X2 ) − (O1 ×
O2 ) no es finito (contiene al conjunto infinito ( X1 × F2 ) ∪ ( F1 × X2 )), y por tanto O1 × O2
no es abierto cofinito.
• (Rn × Rm , τ (τun × τum )) = (Rn+m , τun+m ). En efecto, para todo ( x, y) ∈ Rn × Rm y e >
n+m (( x, y ), e ) = Bn ( x, e ) × Bm ( y, e ), donde Bk ( p, δ ) representa la bola abierta en
0, B∞
∞
∞
∞
(Rk , d∞ ) de centro p ∈ Rk y radio δ > 0. Como las bolas abiertas para d∞ son una base de
la topologı́a euclidiana en cualquiera dimensión, el resultado se sigue de la Proposición
7.3-(i).
Proposición 7.4. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos y ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) el espacio
topológico producto. Consideremos subconjuntos A j ⊆ X j , j = 1, 2.
Los siguientes enunciados son ciertos:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
( A1 × A2 )◦ = A1◦ × A2◦ .
A1 × A2 = A1 × A2 .
Fr( A1 × A2 ) = ( A1 × Fr( A2 )) ∪ (Fr( A1 ) × A2 ).
( A1 × A2 , τ (τ1 × τ2 ) A1 × A2 ) = A1 × A2 , τ (τ1 ) A1 × (τ2 ) A2 .
Dem: Probemos (i). Como A1◦ × A2◦ ∈ τ1 × τ2 ⊆ τ (τ1 × τ2 ) y A1◦ × A2◦ ⊆ A1 × A2 , por definición
de interior A1◦ × A2◦ ⊆ ( A1 × A2 )◦ . Para la otra inclusión, tomemos ( x1 , x2 ) ∈ ( A1 × A2 )◦ . Esto
τ (τ ×τ )
quiere decir que existe U ∈ U( x ,x1 ) 2 tal que U ⊆ A1 × A2 . Sabemos existe O ∈ τ (τ1 × τ2 ) tal
1 2
que ( x1 , x2 ) ∈ O ⊆ U, de donde al ser τ1 × τ2 base de tau(τ1 × τ2 ) deducimos que existe O j ∈ τj ,
j = 1, 2, tal que ( x1 , x2 ) ∈ O1 × O2 ⊆ O ⊆ U ⊆ A1 × A2 . En particular x j ∈ O j ∈ A j , de donde
x j ∈ A◦j , j = 1, 2 y ( x1 , x2 ) ∈ A1◦ × A2◦ . Esto prueba que ( A1 × A2 )◦ ⊆ A1◦ × A2◦ .
Demostremos (ii). Consideremos un punto ( x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , y consideremos la base de
τ
entornos U x11 × U xτ22 de ( x1 , x2 ) en ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )). Tenemos que
( x1 , x2 ) ∈ A1 × A2 ⇐⇒ ∀ U1 × U2 ∈ U xτ11 × U xτ22 , (U1 × U2 ) ∩ ( A1 × A2 ) 6= ∅ ⇐⇒
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
15
τ
⇐⇒ ∀Uj ∈ U x jj , Uj ∩ A j 6= ∅, j = 1, 2 ⇐⇒ x j ∈ A j , j = 1, 2 ⇐⇒ ( x1 , x2 ) ∈ A1 × A2 .
Para comprobar (iii), observemos que Fr( A1 × A2 ) = A1 × A2 − ( A1 × A2 )◦ , de donde usando
·
(i)y (ii) deducimos que Fr( A1 × A2 ) = A1 × A2 − A1◦ × A2◦ . Como A j = Fr( A j ) ∪ A◦j , j = 1, 2,
tenemos que
·
·
Fr( A1 × A2 ) = (Fr( A1 ) ∪ A1◦ ) × (Fr( A2 ) ∪ A2◦ ) − A1◦ × A2◦ =
·
·
= (Fr( A1 ) × Fr( A2 )) ∪ (Fr( A1 ) × A2◦ ) ∪ ( A1◦ × Fr( A2 )) =
·
·
(Fr( A1 ) × Fr( A2 )) ∪ (Fr( A1 ) × A2◦ ) ∪ (Fr( A1 ) × Fr( A2 )) ∪ ( A1◦ × Fr( A2 )) =
·
·
= Fr( A1 ) × (Fr( A2 )) ∪ A2◦ ) ∪ (Fr( A1 ) ∪ A1◦ ) × Fr( A2 ) = (Fr( A1 ) × A2 ) ∪ ( A1 × Fr( A2 )).
Por último, demostremos (iv). Como τ1 × τ2 es base de τ (τ1 × τ2 ), sabemos que
B := {(O1 × O2 ) ∩ ( A1 × A2 ) : O1 × O2 ⊆ τ1 × τ2 }
es base de τ (τ1 × τ2 ) A1 × A2 . Pero es inmediato comprobar que B = (τ1 ) A1 × (τ2 ) A2 , ya que
(O1 × O2 ) ∩ ( A1 × A2 ) = (O1 ∩ A
1 ) × ( A2 ∩ O2 ) para todo O1 × O2 ⊆ τ1 × τ2 . Esto es, B es la
base natural de τ (τ1 ) A1 × (τ2 ) A2 , de donde se sigue que τ (τ1 × τ2 ) A1 × A2 = τ (τ1 ) A1 × (τ2 ) A2 .
La topologı́a producto satisface una propiedad universal que la caracteriza. Para explicar los
detalles, necesitamos presentar las aplicaciones proyección.
Definición 7.5. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) dos espacios topológicos y ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) el espacio
topológico producto. Las aplicaciones proyección (o simplemente proyecciones) p j , j = 1, 2, vienen
dadas por las siguientes expresiones:
p j : X1 × X2 → X j , p j ( x1 , x2 ) = x j , j = 1, 2.
Teorema 7.6. Dados ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) espacios topológicos y el producto topológico ( X1 × X2 , τ (τ1 ×
τ2 )), se tiene que:
(a) p j : ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) → ( X j , τj ) es continua y abierta, j = 1, 2.
(b) Si ( X, τ ) es un espacio topológico y f : ( X, τ ) → ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) una aplicación, entonces
f es continua ⇐⇒ p j ◦ f es continua, j = 1, 2.
(c) Si τ es una topologı́a en X1 × X2 tal que p j : ( X1 × X2 , τ ) → ( X j , τj ) es continua, j = 1, 2, entonces
τ (τ1 × τ2 ) ⊆ τ.
Dem: Probemos (a). Para comprobar que p1 es continua, considérese O1 ∈ τ1 y obsérvese que
p1−1 (O1 ) = O1 × X2 ∈ τ1 × τ2 ⊆ τ (τ1 × τ2 ). Para ver que p1 es abierta, considérese un abierto
básico O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 y obsérvese que p1 (O1 × O2 ) = O1 ∈ τ1 . Análogamente se razonarı́a
con p2 .
Demostremos ahora (b). La implicación =⇒) es trivial ya que la composición de aplicaciones
continuas es una aplicación continua.
Probemos ⇐=). Dado un abierto básico O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 , f −1 (O1 × O2 ) = f −1 (p1−1 (O1 ) ∩
−1
p2 (O2 )) = f −1 (p1−1 (O1 )) ∩ f −1 (p2−1 (O2 )) = (p1 ◦ f )−1 (O1 ) ∩ (p2 ◦ f )−1 (O2 ). Como (p j ◦
f )−1 (O j ) ∈ τj por la continuidad de p j ◦ f , j = 1, 2, deducimos (p1 ◦ f )−1 (O1 ) ∩ (p2 ◦ f )−1 (O2 ) ∈
τ1 × τ2 ⊆ τ (τ1 × τ2 ) y por tanto f es continua.
Por último comprobemos (c), que simplemente expresa que la topologı́a producto es la menos
fina haciendo continuas a las proyecciones. Para probarlo, supongamos que τ es una topologı́a
16
F.J. LÓPEZ
en X1 × X2 tal que p j : ( X1 × X2 , τ ) → ( X j , τj ) es continua, j = 1, 2. Tomemos O j ∈ tau j , j = 1, 2,
1
arbitrarios, y observemos que de nuestras hipótesis p−
j (O j ) ∈ τ, j = 1, 2, esto es, O1 × X2 ,
X1 × O1 ∈ τ. Por tanto, O1 × O2 = (O1 × X2 ) ∩ ( X1 × O1 ) ∈ τ, de donde como O j ∈ τj es arbitrario, j = 1, 2, deducimos que τ1 × τ2 ⊆ τ. Como τ1 × τ2 es base de τ (τ1 × τ2 ), concluimos que
τ (τ1 × τ2 ) ⊆ τ.
Este resultado tiene interesantes consecuencias.
Corolario 7.7. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ) y ( X, τ ) espacios topológicos y f j : X → X j , j = 1, 2, aplicaciones.
Consideremos la aplicación evaluación
( f 1 , f 2 ) : X → X1 × X2 , ( f 1 , f 2 )( x ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( x )).
Se tiene que
( f 1 , f 2 ) : ( X, τ ) → ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) es continua ⇐⇒ f j : ( X, τ ) → ( X j , τj ), j = 1, 2, son continuas.
Dem: =⇒) f j = p j ◦ ( f 1 , f 2 ) es continua por ser composición de continuas, j = 1, 2; téngase en
cuenta el Teorema 7.6-(a).
⇐=) Como p j ◦ ( f 1 , f 2 ) = f j es continua, j = 1, 2, el resultado se sigue del Teorema 7.6-(b). Corolario 7.8. Sean ( X1 , τ1 ), ( X2 , τ2 ), (Y1 , τ10 ) e (Y2 , τ20 ) espacios topológicos y f j : X j → Yj , j = 1, 2,
aplicaciones. Consideremos la aplicación producto
f 1 × f 2 : X1 × X2 → Y1 × Y2 , ( f 1 × f 2 )( x1 , x2 ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( x )).
Se tiene que
f 1 × f 2 : ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) → (Y1 × Y2 , τ (τ10 × τ20 )) es continua (abierta) ⇐⇒
⇐⇒ f j : ( X1 , τ1 ) → (Yj , τj0 ), j = 1, 2, son continuas (abiertas).
En particular,
f 1 × f 2 : ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) → (Y1 × Y2 , τ (τ10 × τ20 )) es un homeomorfismo ⇐⇒
⇐⇒ f j : ( X1 , τ1 ) → (Yj , τj0 ), j = 1, 2, son homeomorfismos.
Dem: Definamos
Fj : ( X1 × X2 , τ (τ1 × τ2 )) → (Yj , τj0 ), Fj ( x1 , x2 ) = f j ( x j ),
y observemos que Fj es continua si y solo si f j es continua, j = 1, 2. En efecto, tomemos O1 ∈ τ10
y observemos que F1−1 (O1 ) = f 1−1 (O1 ) × X2 . Esto prueba que F1−1 (O1 ) ∈ τ (τ1 × τ2 ) si y solo si
f 1−1 (O1 ) ∈ τ1 , de donde la continuidad de F1 es equivalente a la de f 1 (analogamente se razona
con F2 y f 2 ). Por otra parte f 1 × f 2 = ( F1 , F2 ), de donde por el Corolario 7.7 la continuidad de
f 1 × f 2 es equivalente a la de Fj , j = 1, 2, esto es, a la de f j , j = 1, 2.
Para comprobar el correspondiente resultado para aplicaciones abiertas, téngase en cuenta que
dado O1 × O2 ∈ τ1 × τ2 , se tiene que
( f 1 × f 2 )(O1 × O2 ) = f 1 (O1 ) × f 2(O2 ) ∈ τ (τ10 × τ20 ) ⇐⇒ f j (O j ) ∈ τj0 , j = 1, 2;
téngase en cuenta que las proyecciones son abiertas y la definición de la topologı́a producto.
Para la segunda parte del Corolario, obsérvese que el producto de aplicaciones biyectivas es
una aplicación biyectiva y ( f 1 × f 2 )−1 = f 1−1 × f 2−1 , y téngase en cuenta lo ya probado.
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
17
La construcción del producto topológico se extiende al caso de una cantidad finita de espacios
(e incluso de una infinita, aunque ese caso no lo trataremos aquı́).
Nota 7.9. Dados ( X j , τj ), j = 1, . . . , n, n ≥ 2, una familia finita de espacios topológicos, por un
procedimiento inductivo estandar podemos definir ∏nj=1 X j , τ (∏nj=1 τj ) como
n −1
n −1
( ∏ X j ) × Xn , τ (τ ( ∏ τj ) × τn ) .
j =1
j =1
Salvo la identificación canónica (∏nj=−11 X j ) × Xn ≡ ∏nj=1 X j , (( x1 , . . . , xn−1 ), xn ) ≡ ( x1 , . . . , xn−1 , xn ),
la topologı́a τ (∏nj=1 τj ) no es sino la que admite por base a ∏nj=1 τj = {O1 × . n. . On : O j ∈ τj , j =
1, . . . , n}
Todos los enunciados probados para el caso n = 2 admiten una traslación natural y análoga al
caso general del producto de n espacios. Dejamos los detalles al alumno.
8. T OPOLOG ÍA COCIENTE : I DENTIFICACIONES
Una de las construcciones más interesantes en Topologı́a es la que permite inducir la estructura
de espacio topológico sobre el cociente de un espacio topológico por una relación de equivalencia. En ocasiones, es común identificar puntos de un espacio o realizar operaciones de pegado
en el mismo para generar un objeto nuevo. Sirva como ejemplo intuitivo el caso de una cinta de
papel, que tras pegar o identificar puntos simétricos de dos de sus bordes paralelos u opuestos
proporciona un cilindro. La misma operación de pegado pero realizando previamente un bucle en la cinta genera una cinta de Möbius. El propio cilindro puede ser sometido a este tipo de
procedimientos, si se dobla convenientemente e identifican los cı́rculos opuestos obtenemos un
neumático (toro topológico). Son muchas las posibilidades que se nos ocurren para este tipo de
operaciones de pegado, por lo que podemos afirma sin temor a equivocarnos que estamos ante
una herramienta crucial para la construcción de un gran número de espacios topológicos.
Para una mayor flexibilidad a la hora de presentar estas ideas, es apropiado introducir el concepto de topologı́a final para una aplicación e identificación topológica.
Teorema 8.1. Sean ( X, τ ) un espacio topológico, Y un conjunto y f : X → Y una aplicación sobreyectiva.
Llamemos τ [ f ] := {O ⊆ Y : f −1 (O) ∈ τ } ⊆ P ( X ). Entonces
(a) τ [ f ] es una topologı́a en Y.
(b) τ [ f ] es la más fina topologı́a en Y haciendo a f continua.
(c) Dado un espacio topológico ( Z, τ 0 ) y una aplicación h : : Y → Z,
h : (Y, τ [ f ]) → ( Z, τ 0 ) es continua ⇐⇒ h ◦ f : ( X, τ ) → ( Z, τ 0 ) es continua.
Dem: Probemos (a). Como f −1 (∅) = ∅ ∈ τ y f −1 (Y ) = X ∈ τ, ∅, Y ∈ τ [ f ].
Si O1 , O2 ∈ τ [ f ], f −1 (O j ) ∈ τ, j = 1, 2, de donde f −1 (O1 ) ∩ f −1 (O2 ) = f −1 (O1 ∩ O2 ) ∈ τ y
O1 ∩ O2 ∈ τ [ f ].
Por último, si {Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τ [ f ], por el hecho de que f −1 (Oλ ) ∈ τ para todo λ ∈ Λ uno
deduce que ∪λ∈Λ f −1 (Oλ ) = f −1 ∪λ∈Λ Oλ ∈ τ, esto es ∪λ∈Λ Oλ ∈ τ [ f ].
Demostremos ahora (b). Obviamente, por definición f : ( X, τ ) → (Y, τ [ f ]) es continua. Sea
τb cualquier topologı́a en Y tal que f : ( X, τ ) → (Y, τb) es continua. Por continuidad, si O ∈ τb
entonces f ( O) ∈ τ, de donde O ∈ τ [ f ] y τb ⊆ τ [ f ].
Para probar (c), observemos que h : (Y, τ [ f ]) → ( Z, τ 0 ) es continua si y sólo si h−1 (O) ∈ τ [ f ]
para todo O ∈ τ 0 , esto es, si y solo si f −1 (h−1 (O)) = (h ◦ f )−1 (O) ∈ τ para todo O ∈ τ 0 :
18
F.J. LÓPEZ
téngase en cuenta la definición de τ [ f ]. Pero este último enunciado es equivalente a decir que
h ◦ f : ( X, τ ) → ( Z, τ 0 ) es continua.
Definición 8.2. Dados un espacio topológico ( X, τ ), un conjunto Y y una aplicación sobreyectiva
f : X → Y, la topologı́a τ [ f ] del Teorema 8.1 será referida como topologı́a final inducida por la
aplicación f en Y.
Definición 8.3. Una aplicación f : ( X, τ ) → (Y, τ 0 ) se dice una identificación topológica si y solo si
f es sobreyectiva y τ 0 = τ [ f ]. En este caso también se dice que (Y, τ 0 ) es el espacio identificación
asociado al espacio topológico ( X, τ ) y a la aplicación sobreyectiva f : X → Y.
Corolario 8.4. Sean ( X, τ ) un espacio topológico, Y un conjunto y f : X → Y una aplicación sobreyectiva. Llamemos F [ f ] := { F ⊆ Y : f −1 ( F ) ∈ F } ⊆ P ( X ), donde F es la familia de cerrados en ( X, τ ).
Entonces
(a) F [ f ] es la familia de cerrados de τ [ f ].
(b) Si τ 0 es una topologı́a en Y tal que f : ( X, τ ) → (Y, τ 0 ) es continua =⇒ F 0 ⊆ F [ f ], donde F 0 es la
familia de cerrados de τ 0 .
Dem: Obsérvese que τ [ f ] = {Y − F : F ∈ F [ f ]} y utilı́cese el Toerema 8.1.
Dada una aplicación sobreyectiva f : X → Y, un subconjunto A ⊆ X se dice f -saturado si
= A. En ese contexto, si τ es una topologı́a en X entonces
f −1 ( f ( A))
τ [ f ] = { f (O) : O ∈ τ y O es f -saturado}.
La prueba de estos dos enunciados es trivial por definición de identificación.
Un caso particular especialmente interesante es el de las proyecciones al cociente por una
relación de equivalencia.
Definición 8.5. Sea ( X, τ ) un espacio topológico y sea R una relación de equivalencia en X. Sean
X/R := {[ x ] : x ∈ X } el espacio cociente de las clases de equivalencia de R en X y π : X → X/R,
π ( x ) = [ x ], la correspondiente proyección.
La topologı́a τ/R := τ [π ] es conocida como la topologı́a cociente asociada a τ y R. También se
dice que ( X/R, τ/R) es el espacio topológico cociente de ( X, τ ) por la relación de equivalencia R.
Obviamente, en las condiciones de la definición anterior π : ( X, τ ) → ( X/R, τ/R) es una identificación. Por tanto, el Teorema 8.1 nos dice que:
Corolario 8.6. Sea ( X, τ ) un espacio topológico y R una relación de equivalencia en X. Sea ( X/R, τ/R)
el espacio topológico cociente y π : ( X, τ ) → ( X/R, τ/R) la aplicación proyección (identificación).
Entonces
(a) τ/R es la más fina topologı́a en X/R haciendo a π continua.
(b) Dado un espacio topológico ( Z, τ 0 ) y una aplicación h : : X/R → Z,
h : ( X/R, τ/R) → ( Z, τ 0 ) es continua ⇐⇒ h ◦ π : ( X, τ ) → ( Z, τ 0 ) es continua.
Tal y como se ha presentado el concepto de espacio topológico cociente, pareciera un caso
particular del aparentemente más general de espacio identificación. Sin embargo, los espacios
identificación y los cocientes topológicos son dos construcciones esencialmente equiparables o
equivalentes. Vamos a explicar por qué.
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
19
Definición 8.7. Sean X e Y dos conjuntos, y sea f : X → Y una aplicación sobreyectiva. Denotaremos por R f a la relación binaria de equivalencia en X dada por:
xR f y ⇐⇒ f ( x ) = f (y).
Denotaremos por fb : X/R f → Y a la única aplicación biyectiva satisfaciendo fb ◦ π = f . Para
ser más preciso,
fb : X/R f → Y, fb([ x ]) = f ( x ).
Teorema 8.8. Sea f : ( X, τ ) → (Y, τ [ f ]) una identificación topológica, y sea π : ( X, τ ) → ( X/R f , τ/R f )
la proyección topológica al cociente ( X/R f , τ/R f ).
Entonces fb : ( X/R f , τ/R f ) → (Y, τ [ f ]), fb([ x ]) = f ( x ), es un homeomorfismo.
Dem: Como fb ◦ π = f es continua, fb es continua por el Corolario 8.6-(b) (o el Teorema 8.1-(c)).
Como fb−1 ◦ f = π es continua, fb−1 es continua por el Teorema 8.1-(c).
El mensaje de este teorema es que, salvo un homeomorfismo (que no es sino la equivalencia
topológica entre espacios) todo espacio identificación es un espacio cociente. Este resultado es
útil para reconocer algunos espacios cociente como comprobaremos más adelante.
Es interesante tener criterios operativos para decidir si una aplicación es una identificación.
Ese es el objetivo de la siguiente:
Teorema 8.9. Sea f : ( X, τ ) → (Y, τ 0 ) una aplicación. En cualquiera de las siguientes tres circunstancias
f es una identificación:
(a) f sobreyectiva, continua y abierta.
(b) f sobreyectiva, continua y cerrada.
(c) f sobreyectiva, continua y admite una inversa continua a la derecha (∃ g : (Y, τ 0 ) → ( X, τ ) sobreyectiva y continua tal que f ◦ g = IdY ).
Dem: Demostremos (a). Veamos pues que τ 0 = τ [ f ]. Como f es continua, el Teorema 8.1-(b) nos
da que τ 0 ⊆ τ [ f ]. Para la otra inclusión tomemos O ∈ τ [ f ], esto es, O ⊆ Y con f −1 (O) ∈ τ. Como
f es abierta, f ( f −1 (O)) ∈ τ 0 , y por la sobreyectividad O = f ( f −1 (O)) ∈ τ 0 . Esto prueba que
τ 0 = τ [ f ].
Probemos (b). en este caso veamos que F 0 = F [ f ], donde F 0 y F [ f ] son las familias de cerrados en (Y, τ 0 ) y (Y, τ [ f ]), respectivamente; ver Corolario 8.4. Como f es continua, el Corolario
8.4-(b) nos da que F 0 ⊆ F [ f ]. Para la otra inclusión tomemos F ∈ F [ f ], esto es, F ⊆ Y con
f −1 ( F ) ∈ F , donde F es la familia de cerrados en ( X, τ ). Como f es cerrada, f ( f −1 ( F )) ∈ F 0 , y
por la sobreyectividad F = f ( f −1 ( F )) ∈ F 0 . Esto prueba que F 0 = F [ f ].
Por último, demostremos (c). Como arriba veamos pues que τ 0 = τ [ f ]. Como f es continua, el
Teorema 8.1-(b) nos da que τ 0 ⊆ τ [ f ]. Para probar la otra inclusión, tomemos O ∈ τ [ f ], esto es,
O ⊆ Y con f −1 (O) ∈ τ. Como g es continua, g−1 ( f −1 (O)) = ( f ◦ g)−1 (O) ∈ τ 0 , de donde al ser
f ◦ g = IdY deducimos que O ∈ τ 0 . Esto prueba que τ 0 = τ [ f ].
Como complemento al Teorema 8.9, ofrecemos el siguiente corolario.
Corolario 8.10. Consideremos ( X j , d j ), j = 1, 2, dos espacios métricos, donde ( X1 , d1 ) tiene la siguiente
propiedad: ”Toda sucesión acotada en ( X1 , d1 ) admite una parcial convergente”.
Supongamos que f : ( X1 , τ [d1 ]) → ( X2 , τ [d2 ]) es una aplicación sobreyectiva y continua satisfaciendo
que f −1 ( A) es acotado en ( X1 , d1 ) para todo A ⊆ X2 acotado en ( X2 , d2 ).
20
F.J. LÓPEZ
Entonces f es una identificación.
En particular, si X ⊆ Rn e Y ⊆ Rm son subconjuntos dotados de la correspondiente topologı́a euclidiana, X es cerrado en (Rn , τu ), y f : ( X, τu ) → (Y, τu ) es una aplicación sobreyectiva y continua
satisfaciendo que f −1 ( A) es acotado para todo A ⊆ Y acotado, entonces f es una identificación.
Dem: En ambos casos f es una aplicación cerrada como consecuencia del Teorema 5.6 y del Corolario 5.7, respectivamente. Téngase en cuenta el Toerema 8.9-(b).
Para acabar la parte teórica del tema, comentemos algunas propiedades básicas de las identificaciones.
Proposición 8.11. Los siguientes enunciados son ciertos:
(a) Si f 1 : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) y f 2 : ( X2 , τ2 ) → ( X3 , τ3 ) son identificaciones entonces f 2 ◦ f 1 : ( X1 , τ1 ) →
( X3 , τ3 ) es una identificación.
(b) Si f 1 : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es una identificación y f 2 : ( X2 , τ2 ) → ( X3 , τ3 ) una aplicación continua
tal que f 2 ◦ f 1 : ( X1 , τ1 ) → ( X3 , τ3 ) es identificación, entonces f 2 es una identificación.
(c) Si f : ( X1 , τ1 ) → ( X2 , τ2 ) es una aplicación inyectiva,
f es una identificación ⇐⇒ f es un homeomorfismo.
Dem: Demostremos (a). Por hipótesis, τ2 = τ1 [ f 1 ] y τ3 = τ2 [ f 2 ], y hemos de probar que τ3 =
τ1 [ f 2 ◦ f 1 ]. Como f 1 y f 2 son continuas por ser identificaciones, f 2 ◦ f 1 es continua y por tanto
τ3 ⊆ τ1 [ f 2 ◦ f 1 ] por el Teorema 8.1-(b). Para comprobar la otra inclusión, sea O ∈ τ1 [ f 2 ◦ f 1 ] un
abierto arbitrario. Por definición de τ1 [ f 2 ◦ f 1 ], ( f 2 ◦ f 1 )−1 (O) = f 1−1 ( f 2−1 (O)) ∈ τ1 . Pero esto implica que f 2−1 (O) ∈ τ1 [ f 1 ] = τ2 por ser f 1 una identificación, y análogamente que O ∈ τ2 [ f 2 ] = τ3
por ser f 2 una identificación.
Probemos (b). Por hipótesis τ2 = τ1 [ f 1 ] y τ3 = τ1 [ f 2 ◦ f 1 ], y hemos de probar que τ3 = τ2 [ f 2 ].
Como f 2 es continua, el Teorema 8.1-(b) nos dice que τ3 ⊆ τ2 [ f 2 ]. Para la otra inclusión tomemos
O ∈ τ2 [ f 2 ], esto es, tal que f 2−1 (O) ∈ τ2 = τ1 [ f 1 ]. Esto implica que f 1−1 ( f 2−1 (O)) = ( f 2 ◦
f 1 )−1 (O) ∈ τ1 , de donde O ∈ τ1 [ f 2 ◦ f 1 ] = τ3 , como querı́amos demostrar.
Por último, demostremos (c). Obviamente, si f es un homeomorfismo entonces es una identificación (por ejemplo, es sobreyectiva, continua y abierta).
Supongamos ahora que f es una identificación. Como f ha de ser sobreyectiva deducimos que
f es biyectiva. También de nuestras hipótesis f es continua, por lo que basta con demostrar que
f es abierta. Sea O ∈ τ1 y consideremos f (O) ⊆ X2 . Como f −1 ( f (O)) = O ∈ τ1 , deducimos que
f (O) ∈ τ1 [ f ]. Pero τ1 [ f ] = τ2 por ser f identificación, de donde f (O) ∈ τ2 y f es abierta.
8.1. Ejemplos notables de espacios identificación. En este apartado presentaremos algunos ejemplos significativos de espacios identificación.
8.1.1. Cociente por un subconjunto. Sea ( X, τ ) un espacio topológico y A ⊆ X un subconjunto arbitrario. Establezcamos en X la siguiente relación de equivalencia:
x ∼ A y ⇐⇒ x = y ó { x, y} ⊆ A.
Observemos que la clase de equivalencia [ x ] de un punto x ∈ X obedece a la fórmula
{ x } si x ∈
/A
[x] =
A si x ∈ A
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
21
Si observamos, lo que hacemos es identificar todos los puntos de A con un sólo punto en el cociente. El espacio cociente ( X/ ∼ A , τ/ ∼ A ) es usualmente denotado por ( X/A, τ/A), y referido
como el cociente de ( X, τ ) por el subconjunto A ⊆ X.
Es fácil ver que si A es cerrado en ( X, τ ) entonces la proyección al cociente π : ( X, τ ) →
( X/A, τ/A) es cerrada. En efecto, para todo subconjunto cerrado F ⊆ X se tiene que
F si F ∩ A = ∅
π −1 (π ( F )) =
F ∪ A si F ∩ A 6= ∅
es un subconjunto cerrado de ( X, τ ), lo que demuestra que π ( F ) es cerrado en ( X/A, τ/A); ver
el Corolario 8.4.
Analogamente, si A es abierto en ( X, τ ) entonces π es abierta.
8.1.2. La circunferencia unidad como cociente de la recta real. La aplicación
p : (R, τu ) → (S1 , τu ), p(t) = (sin(t), cos(t)),
es abierta como consecuencia de la Proposición 5.3, y obviamente sobreyectiva. Por tanto una
identificación según el Teorema 8.9-(a). Como consecuencia del Teorema 8.8, (S1 , τu ) es de forma
natural homeomorfo al cociente (R/Rp , τu /Rp ), donde por definición tRp s si y solo si (sin(t), cos(t)) =
(sin(s), cos(s)), esto es,
tRp s ⇐⇒ s − t = 2πk para algún k ∈ Z.
La anterior construcción nos permite interpretar el espacio cociente ([0, 2π ]/A, τu /A) para
A = {0, 2π } como la circunferencia (S1 , τu ). En efecto, consideremos q := p|[0,2π ] : ([0, 2π ], τu ) →
(S1 , τu ), y observemos que q es continua y sobreyectiva. Como consecuencia del Corolario 8.10,
q es además cerrada. El Teorema 8.9-(b) nos garantiza que q es una identificación, y por tanto
(S1 , τu ) es igualmente homeomorfo al cociente ([0, 2π ]/Rq , τu /Rq ), donde en este caso
tRq s ⇐⇒ |s − t| ∈ {0, 2π } ⇐⇒ t ∼ A s.
Por tanto Rq =∼ A y se obtiene lo deseado.
8.1.3. El toro n-dimensional. Para cada n ∈ N, n ≥ 2, denotaremos por Tn al conjunto S1 × . n. .
×S1 ⊆ (R2 )n ≡ R2n , y nos referiremos a él como el toro n-dimensional. La aplicación
P = p× . n. . ×p : (Rn , τu ) → Tn , P( x1 , . . . , xn ) = {(sin( x j ), cos( x j ))} j=1,...,n ,
es abierta por ser producto de abiertas (téngase en cuenta la Proposición 5.3 y el Corolario 7.8),
y obviamente sobreyectiva. Por tanto una identificación según el Teorema 8.9-(a). Como consecuencia del Teorema 8.8, (Tn , τu ) es de forma natural homeomorfo al cociente (Rn /RP , τu /RP ),
donde
( x1 , . . . , xn ) RP (y1 , . . . , yn ) ⇐⇒ x j − y j = 2πk j para algún k j ∈ Z, j = 1, . . . , n.
Como en el caso anterior, esta construcción nos permite interpretar el espacio cociente ([0, 2π ]n /R, τu /R)
para la relación de equivalencia
xRy ⇐⇒ | x j − y j | ∈ {0, 2π }, j = 1, . . . , n,
como el toro (Tn , τu ).
En efecto, si ahora consideramos Q := P|[0,2π ]n : ([0, 2π ]2 , τu ) → (Tn , τu ), obviamente Q es
continua y sobreyectiva. Como consecuencia del Corolario 8.10, Q es además cerrada. El Teorema
8.9-(b) nos garantiza que Q es una identificación, y por tanto (Tn , τu ) es igualmente homeomorfo
al cociente ([0, 2π ]n /RQ , τu /RQ ), donde en este caso
( x1 , . . . , xn ) RQ (y1 , . . . , yn ) ⇐⇒ Q( x1 , . . . , xn ) = Q(y1 , . . . , yn ) ⇐⇒ | x j − y j | ∈ {0, 2π }, j = 1, . . . , n.
22
F.J. LÓPEZ
Por tanto RQ = R y se obtiene lo deseado.
8.2. La cinta de Möbius y la botella de Klein. Presentemos dos superficies clásicas muy importantes en el estudio de la orientabilidad topológica.
Comenzaremos con la cinta de Möbius. En el cilindro C = S1 × R se considera la relación de
equivalencia pRq ⇐⇒ p = ±q. El espacio topológico cociente (C/R, τu /R) es conocido como la
cinta de Möbius infinita.
Análogamente el espacio cociente ((S1 × [−1, 1])/R, τu /R) para la relación de equivalencia
pRq ⇐⇒ p = ±q es conocido como la cinta de Möbius finita.
De forma similar, el cociente (T1 /R, τu /R) por la relación de equivalencia pRq ⇐⇒ p = ±q es
conocido como la la botella de Klein.
8.2.1. El Espacio Proyectivo. En este apartado vamos a presentar tres modelos equivalentes del espacio proyectivo n-dimensinal, uno de los espacios con mayor relevancia tanto para la topologı́a
como para la geometrı́a.
En la esfera n-dimensional Sn , n ≥ 2, consideramos la relación de equivalencia:
pR0 q ⇐⇒ p = ±q,
esto es, dos puntos están relacionados por R0 si son iguales o antı́podas.
Definición 8.12. El espacio topológico cociente (Sn /R0 , τu /R0 ) es conocido como espacio proyectivo n-dimensional. En lo que sigue, el cociente Sn /R0 será denotado por RPn .
Denotaremos por π0 : (Sn , τu ) → (RPn , τu /R0 ), π0 ( p) := [ p]0 ≡ { p, − p}, a la correspondiente
proyección al cociente.
Proposición 8.13. El espacio proyectivo (RPn , τu /R0 ) es un espacio T2 .
Dem: Dados dos puntos [ p]0 , [q]0 ∈ RPn , [ p]0 6= [q]0 , es fácil encontrar abiertos euclidianos O p y
Oq suficientemente pequeños tales que
p ∈ O p , q ∈ Oq , y O p ∩ Oq = O p ∩ (−O p ) = O p ∩ (−Oq ) = ∅,
donde para cada O ⊆ Sn el conjunto −O representa el conjunto de los puntos antı́podas de O en
Sn . Si tomamos U = π0 (O p ) y V = π0 (Oq ), es claro que U, V ∈ τu /R0 ; basta tener en cuenta
que π0−1 (U ) = O p ∪ (−O p ) ∈ τu y π0−1 (V ) = Oq ∪ (−Oq ) ∈ τu . Como [ p]0 ∈ U, [q]0 ∈ V y
U ∩ V = ∅, los conjuntos U y V son abiertos disjuntos en (RPn , τu /R0 ) separando [ p]0 y [q]0 . Presentemos otro modelo del espacio proyectivo RPn . Consideremos en Rn∗ +1 = Rn+1 − {0}
la siguiente relación de equivalencia
xR1 y ⇐⇒ ∃λ ∈ R − {0} tal que y = λx,
(Rn∗ +1 , τu )
y denotemos por π1 :
→ (R∗n+1 /R1 , τu /R1 ), π1 ( x ) := [ x ]1 ≡ {λx : λ 6= 0} la correspondiente proyección al cociente.
Proposición 8.14. Los espacios (RPn , τu /R0 ) y (Rn∗ +1 /R1 , τu /R1 ) son homeomorfos.
Dem: Consideremos las siguientes aplicaciones continuas:
i : (Sn , τu ) → (Rn∗ +1 , τu ), i( p) = p; n : (Rn∗ +1 , τu ) → (Sn , τu ) n( x ) =
y observemos que las aplicaciones
bi : (RPn , τu /R0 ) → (Rn∗ +1 /R1 , τu /R1 ), bi([ p]0 ) = [i( p)]1
b : (Rn∗ +1 /R1 , τu ) → (RPn , τu /R0 ) n
b([ x ]1 ) = [n( x )]0
n
x
,
k x k2
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
23
b = IdRn+1 /R y n
b ◦ bi = IdRPn , esto es, son biyectivas y una es la
están bien definidas. Además, bi ◦ n
∗
1
inversa de la otra.
Como π0 ◦ bi = i ◦ π1 es continua por ser composición de continuas, el Corolario 8.6 nos dice
b = n ◦ π0 es continua y por tanto n
b es continua. Esto
que bi es continua. Análogamente, π1 ◦ n
b
b y i son homeomorfismos, y por tanto la proposición.
prueba que n
Por último, presentaremos un tercer modelo del espacio proyectivo RPn . Consideremos en
B := B2n (0, 1) = { x ∈ Rn : k x k ≤ 1} la siguiente relación de equivalencia
x1 = x2 y k x1 k2 < 1
x1 R2 x2 ⇐⇒
x1 = ± x2 y k x1 k2 = 1
{ x } si k x k2 < 1
n
n
y denotemos por π2 : (B , τu ) → (B /R2 , τu /R2 ), π2 ( x ) := [ x ]2 ≡
la
{ x, − x } si k x k2 = 1
correspondiente proyección al cociente.
n
n
Proposición 8.15. Los espacios (RPn , τu /R0 ) y (B /R2 , τu /R2 ) son homeomorfos.
n
Dem: Consideremos la aplicación continua f 0 : (B , τu ) → (Sn , τu ), f 0 ( x ) = ( x, +
notemos que
p
1 − k x k2 ), y
n
f := π0 ◦ f 0 : (B , τu ) → (RPn , τu /R0 )
es continua y sobreyectiva.
Comprobemos que f es cerrada.
Para ello, llamemos Sn+ al subconjunto cerrado de (Sn , τu ) dado por la expresión
Sn+ := {( x1 , . . . , xn+1 : xn+1 ≥ 0},
n
y observemos que la aplicación continua fb0 : (B , τu ) → (Sn+ , τu ), fb0 ( x ) = f 0 ( x ), es un homeon
morfismo, y por tanto una aplicación cerrada. En efecto, su inversa fb0−1 : (Sn+ , τu ) → (B , τu ) no
es sino la proyección fb0−1 ( x1 , . . . , xn+1 ) = ( x1 , . . . , xn ), obviamente también continua.
Por otra parte, la proyección π0 : (Sn , τu ) → (RPn , τu /R0 ) es claramente una aplicación cerrada; basta con tomar cualquier cerrado F ⊆ Sn , observar que π −1 (π ( F )) = F ∪ (− F ) es cerrado
por ser unión de los cerrados F y − F (la aplicación antı́poda en Sn es un homeomorfismo, y por
tanto lleva cerrados a cerrados), y tener en cuenta el Corolario 8.4. Esto prueba que π0 ( F ) es
cerrado.
Como conclusión, f = π0 ◦ fb0 es una aplicación cerrada ya que es composición de cerradas.
n
Por el Teorema 8.9-(b), deducimos que f es una identificación y (B /R f , τu /R f ) ∼
= (RPn , τu /R0 ).
Pero un calculo directo nos dice que
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇐⇒ [( x1 , +
q
1 − k x1 k2 )]0 = [( x2 , +
q
1 − k x2 k2 )]0 ⇐⇒
q
q
⇐⇒ ( x1 , + 1 − k x1 k2 ) = ±( x2 , + 1 − k x2 k2 ) ⇐⇒ x1 R2 x2 ,
y por tanto R f = R2 . Esto concluye la demostración.
24
F.J. LÓPEZ
9. T EMA II: R ELACI ÓN DE P ROBLEMAS
(1) Dotemos a N de la topologı́a de los divisores (ejercicio 12 de la Relación de Espacios Topológicos),
y sea f : N → N una aplicación.
Probar que f es continua si y sólo si f respeta la divisibilidad (esto es, si n divide a m
entonces f (n) divide a f (m)).
(2) Sea ( X, τ ) un espacio topológico, y supongamos que para cualquier espacio ( X 0 , τ 0 ) y aplicación f : ( X, τ ) → ( X 0 , τ 0 ), f es continua. Probar que τ es la topologı́a discreta.
Análogamente, si para cualquier espacio ( X 0 , τ 0 ) y aplicación f : ( X 0 , τ 0 ) → ( X, τ ), se tiene
que f es continua, entonces τ es la topologı́a trivial.
(3) Encontrar dos espacios topológicos ( X1 , τ1 ) y ( X2 , τ2 ), un subconjunto A ⊂ X1 y una aplicación f : X1 → X2 de forma que f no sea continua en ningún punto de A y f | A : ( A, (τ1 ) A ) →
( X2 , τ2 ) es globalmente continua.
(4) Sean f , g : ( X, τ ) → (R, τu ) dos funciones continuas. Estudiar si los siguientes conjuntos son
abiertos o cerrados:
(i) { x ∈ X : f ( x ) < g( x )}.
(ii) { x ∈ X : f ( x ) 6= g( x )}.
(iii) { x ∈ X : f ( x ) = g( x )}.
(iv) { x ∈ X : f ( x ) ≤ g( x )}.
(5) Probar que las aplicaciones continuas y sobreyectivas aplican conjuntos densos en conjuntos densos. Probar que una aplicación que aplique conjuntos densos en conjuntos densos no
necesariamente es continua.
(6) Dada una aplicación f : ( X, τ ) → ( X 0 , τ 0 ), son equivalentes:
(i) f es continua.
(ii) ∀ A ⊂ X, f ( A0 ) ⊂ f ( A).
(iii) Fr( f −1 ( B)) ⊂ f −1 (Fr( B)).
(7) Probar que la aplicación p : R → S1 , p(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) es abierta. Probar también
que p|[0,1) : [0, 1) → S1 es continua y biyectiva, pero no abierta (en particular, no es un homeomorfismo).
(8) Consideremos Rn dotado de la topologı́a usual. Probar que:
(i) La aplicación norma k · k : Rn → [0, +∞), es abierta (extender este resultado a cualquier
espacio normado).
(ii) La aplicación normalización n : Rn − {(0, . . . , 0)} → Sn−1 , n( x ) = k xxk , es abierta.
(9) Probar que la función caracterı́stica c : [0, 1] → {0, 1} del intervalo [0, 1/2] es sobreyectiva,
abierta y cerrada, pero no continua.
(10) Probar que toda aplicación biyectiva f : ( X, τCF ) → ( X, τCF ) es un homeomorfismo.
(11) Probar que Sn − {(0, . . . , 0, 1)} y Rn son homeomorfos.
(12) Probar que la esfera S2 es homeomorfa a cualquier elipsoide de R3 .
(13) Probar que R2 es homeomorfo a R × (0, +∞).
(14) Probar que cualquier transformación afı́n f : Rn → Rm es continua. Como consecuencia,
probar que dos subespacios afines de Rn con la misma dimensión son homeomorfos.
(15) Probar que los siguientes espacios topológicos, todos dotados de la topologı́a usual, son
homeomorfos:
(i) R2 − {(0, 0}.
p
(ii) {( x, y) ∈ R2 : 0 < a < x2 + y2 < b}.
(iii) S1 × R = {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}.
(iv) S1 × (0, +∞).
(v) S1 × ( a, b), a < b.
(vi) {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + 1}.
(vii) {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + 1, a < z < b}.
(16) Probar que el cono {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 , z > 0} es homeomorfo al cilindro S1 × R.
APLICACIONES ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(17)
(18)
(19)
(20)
25
Probar que la bola euclı́dea B(0, 1) de Rn es homeomorfa a Rn .
Probar que el paraboloide {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z} es homeomorfo al plano R2 .
Probar que S2 − {(0, . . . , 0, ±1)} es homeomorfo al cilindro S1 × (−1, 1).
En R se considera la relación de equivalencia
tRs ⇔ s − t = 2πm, para algún m ∈ Z.
Probar que el cociente (R/R, τu /R) es homeomorfo a la circunferencia S1 dotada de la topologı́a
usual.
(21) En [0, 1] e considera la relación de equivalencia:
tRs ⇔ t = s ó {t, s} = {0, 1}.
Probar que el cociente ([0, 1]/R, τu /R) es homeomorfo a la circunferencia S1 dotada de la
topologı́a usual.
(22) En R2 se consideran las siguientes relaciones de equivalencia:
( x1 , y1 ) R1 ( x2 , y2 ) ⇔ x2 − x1 = 2πm, para algún m ∈ Z
( x1 , y1 ) R1 ( x2 , y2 ) ⇔ x2 − x1 = 2πm1 , y2 − y1 = 2πm2 para algunos m1 , m2 ∈ Z.
Probar que los cocientes (R2 /R1 , τu /R1 ) y (R2 /R2 , τu /R2 ) son homeomorfos a S1 × R y
S1 × S1 , respectivamente.
(23) En Q := [0, 1] × [0, 1] se consideran las siguientes relaciones de equivalencia:
( x1 , y1 ) R1 ( x2 , y2 ) ⇔ | x2 − x1 |, |y2 − y1 | ∈ {0, 1}
( x1 , y1 ) R1 ( x2 , y2 ) ⇔ | x2 − x1 | ∈ {0, 1} e y1 = y2 .
Probar que los cocientes ( Q/R1 , τu /R1 ) y ( Q/R2 , τu /R2 ) son homeomorfos a S1 × S1 y S1 ×
[0, 1], respectivamente.
(24) En Rn se considera la relación de equivalencia xRy ⇔ k x k = kyk. Probar que (Rn /R, τu /R)
es homeomorfo al intervalo [0, +∞).
y
(25) En Rn∗ = Rn − {(0, . . . , 0)}, n ≥ 2, se considera la relación de equivalencia xRy ⇔ k xxk = kyk .
Probar que (Rn∗ /R, τu /R) es homeomorfo a Sn−1 .
Depto. de Geometrı́a y Topologı́a, Universidad de Granada, E-18071 Granada, (Spain), email: fjlopez@ugr.es