Series aritméticas

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LECCIÓN
CONDENSADA
11.1
Series aritméticas
En esta lección
●
●
Aprenderás la terminología y la notación asociada con las series
Descubrirás dos fórmulas para la suma parcial de una serie aritmética
Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, considera
la secuencia
u1 4
un un1 2
donde n 2
La suma de los términos de esta secuencia es la serie
u1 u2 u3 u4 · · ·
ó
4 6 8 10 · · ·
La suma de los primeros n términos en una serie se representa por Sn. Por ejemplo,
S6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 4 6 8 10 12 14 54
La suma de cualquier número finito, o limitado, de términos se llama una suma
6
parcial de la serie. Las notaciones S6 y
u1 u2 u3 u4 u5 u6.
un son formas cortas de escribir
n1
Para hallar la suma de los enteros de 1 a 100, podrías sumar los términos uno por
uno. Puedes usar una fórmula recursiva y tu calculadora para hacer esto rápidamente.
Primero escribe una regla recursiva para la secuencia de enteros positivos.
u1 1
un un1 1
donde n 2
La fórmula recursiva para la serie es, entonces,
S1 1
Sn Sn1 un donde n 2
Esta fórmula establece que la suma de los primeros n términos es igual a la suma
de los primeros (n 1) términos, más el enésimo término. Ya que un un1 1,
puedes reescribir esto como
S1 1
Sn Sn1 un1 1
donde n 2
Introduce las dos fórmulas recursivas en tu calculadora. En la tabla se muestra
cada término en la secuencia y la secuencia de sumas parciales. Los puntos en
la gráfica representan las sumas parciales de S1 a S100. Puedes usar la tabla o la
gráfica para hallar que S100, la suma de los enteros de 1 a 100, es 5050.
[0, 110, 10, 3000, 10000, 1000]
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Lección 11.1 • Series aritméticas (continuación)
En la investigación encontrarás una fórmula para hallar una suma parcial de una
serie aritmética, sin tener que encontrar todos los términos y sumar.
Investigación: Fórmula de la serie aritmética
La investigación en tu libro te pide seleccionar tres enteros entre 2 y 9. A
continuación, utilizamos 3, 6, y 7.
Paso 1 Usa 7 como el primer término de la secuencia y 3 como la diferencia
común. Escribe los diez primeros términos de la secuencia y las diez primeras
sumas de la serie correspondiente.
Secuencia:
un {7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34}
Sumas parciales: Sn {7, 17, 30, 46, 65, 87, 112, 140, 171, 205}
Paso 2 Usa las diferencias finitas para encontrar el grado de la ecuación polinomial
que se ajustaría a los puntos n, Sn. Debes encontrar que las segundas diferencias
son constantes, lo cual indica que un polinomio de la forma Sn an2 bn c se
ajusta a los puntos. Sustituyendo (1, 7), (2, 17), y (3, 30), puedes escribir el sistema
abc7
4a 2b c 17
9a 3b c 30
Resuelve este sistema para encontrar a, b, y c. Debes obtener a 1.5, b 5.5,
y c 0. Por tanto, el polinomio Sn 1.5n2 5.5n se ajusta a los datos.
Crea una nueva serie, intercambiando
el primer término o la diferencia común con
otro de los tres enteros 3, 6, y 7. Encuentra un
polinomio que se ajuste a la serie. Esta tabla
muestra los resultados para todos los posibles
primeros términos y diferencias comunes.
Pasos 3 y 4
En la tabla, busca una relación entre los
coeficientes de cada polinomio y los valores de u1
y d. Debes encontrar que el coeficiente de n 2 es
la mitad de la diferencia común y que el coeficiente
de n es el primer término menos la mitad de la
diferencia común. Así que puedes escribir la fórmula
explícita
Paso 5
d
d
Sn 2 n 2 u1 2 n
Primer
término
u1
Diferencia
común
d
Suma parcial
Sn
7
3
Sn 1.5n2 5.5n
7
6
Sn 3n2 4n
7
7
Sn 3.5n2 3.5n
3
6
Sn 3n2
3
7
Sn 3.5n2 0.5n
3
3
Sn 1.5n2 1.5n
6
3
Sn 1.5n2 4.5n
6
7
Sn 3.5n2 2.5n
6
6
Sn 3n2 3n
Puedes usar esta fórmula para hallar la suma parcial de cualquier serie aritmética.
Usa la fórmula de la investigación para verificar que la suma de los enteros de 1
a 100 es 5050. Después lee el ejemplo en tu libro, que muestra otra manera de
encontrar esta suma. El método del ejemplo puede extenderse para derivar otra
fórmula para la enésima suma parcial de una serie aritmética
nu1 un
Sn 2
donde n es el número de términos, u1 es el primer término, y un es el último término.
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LECCIÓN
CONDENSADA
11.2
Serie geométrica infinita
En esta lección
●
●
●
Aprenderás que algunas series geométricas infinitas convergen a un valor a
largo plazo, o suma
Descubrirás una fórmula para hallar la suma de una serie geométrica
convergente
Encontrarás la suma de una serie geométrica, usando una gráfica de sumas
parciales
En la Lección 11.1, encontraste las sumas parciales de una serie aritmética. A
medida que aumenta el número de términos, n, de una serie aritmética, el valor
absoluto de la suma parcial, Sn, aumenta. Así que la suma de un número
infinito de términos de una serie aritmética es infinita. En esta lección descubrirás
que éste no siempre es el caso con una serie geométrica.
Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica.
Por ejemplo, considera la secuencia geométrica
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , . . .
2 4 8 16 32 64 128
Esta serie tiene una razón constante de 12, de modo que los términos se hacen
cada vez más pequeños. Puedes sumar los términos para crear una serie
geométrica. He aquí algunas de las sumas parciales:
1
1
3
S2 2 4 4
1
1
1
7
S3 2 4 8 8
1
1
1
1
15
S4 2 4 8 1
6 16
127
Si continúas encontrando sumas parciales, obtendrás 3312 , 6634 , 128 , y así
sucesivamente. Aunque las sumas parciales se hacen cada vez más grandes,
siempre son menores que 1. Parece que, si sumas un número infinito de
términos, el resultado no será infinito.
Una serie geométrica infinita es una serie geométrica con un número infinito
de términos. Una serie convergente es una serie para la cual la secuencia de
sumas parciales se aproxima a un cierto valor, a medida que el número de
términos aumentan. Este valor a largo plazo es la suma de la serie. La serie
1
1
1
1
1
es una serie convergente con un valor a largo plazo,
16
32
2
4
8
o suma, de 1.
Investigación: Fórmula de un serie geométrica infinita
La investigación en tu libro te pide escoger tres enteros entre 2 y 9. En lo que
sigue, usarás los números 7, 8, y 9.
Usando 7 como el primer término de la secuencia y
la razón común, se obtiene la fórmula recursiva
Paso 1
1
10
de 8, ó 0.8, como
u1 7
un 0.8un1 donde n 2
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Lección 11.2 • Serie geométrica infinita (continuación)
La secuencia de sumas parciales de la correspondiente serie se define por
S1 7
Sn Sn1 0.8un1 donde n 2
Introduce estas fórmulas en tu calculadora y encuentra S400 y S500. Debes hallar
que S400 35 y S500 35, de modo que el valor a largo plazo, o la suma infinita,
es 35.
Crea una nueva serie, ya sea cambiando 7 por 8 ó 9, o cambiando 0.8 por 0.7 ó
0.9. Encuentra la suma infinita para la nueva serie.
Paso 3 La tabla a la derecha, muestra la suma
infinita, S, para cada una de las combinaciones
posibles. La última columna muestra la razón
entre el primer término y la suma infinita.
Busca patrones en la tabla. Observa que,
u
en cada caso, S1 1 r. Esto se puede escribir
u1
como S 1 r.
Paso 4
En las series que has visto hasta ahora, r 1.
u1
Si r 1, la fórmula no funciona porque 1r
queda indefinida. Un ejemplo de este tipo de
serie es 2 2 2 2 · · · . La secuencia de
sumas parciales 2, 4, 6, 8, 10, . . . aumenta sin
límite, de modo que la serie no converge.
Primer término
u1
Razón común
r
Suma
S
u
1
S
7
0.7
23.3
0.3
7
0.8
35
0.2
7
0.9
70
0.1
8
0.7
26.6
0.3
8
0.8
40
0.2
8
0.9
80
0.1
9
0.7
30
0.3
9
0.8
45
0.2
9
0.9
90
0.1
Si r 1, entonces las sumas parciales se hacen
cada vez más grandes a medida que se suman
más términos. Por ejemplo, considera 3 6 12 24 · · · , que tiene una
razón constante de 2. La secuencia de sumas parciales 3, 9, 21, 45, . . . aumenta
sin límite, de modo que la serie no converge. En este ejemplo, la fórmula resulta
en S 3, así que es claro que no funciona.
Lee el Ejemplo B en tu libro, que usa una gráfica de sumas parciales para hallar
la suma de una serie. Lee el ejemplo atentamente y asegúrate de que entiendes
el método. Después lee el recuadro que sigue el ejemplo, en la que se resume la
fórmula para encontrar la suma de una serie geométrica infinita convergente.
Observa que una serie geométrica converge solamente si r 1. Finalmente,
lee el Ejemplo C. He aquí otro ejemplo.
EJEMPLO
Encuentra la suma de la serie infinita
∞
130(0.84)n1
n1
Solución
En este caso, r 0.84 y u1 130. Usando la fórmula,
130
S
1 0.84 812.5
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LECCIÓN
Sumas parciales de las
series geométricas
CONDENSADA
11.3
En esta lección
●
Descubrirás una fórmula para las sumas parciales de las series geométricas
En la Lección 11.2, encontraste las sumas infinitas de unas series geométricas
convergentes. En esta lección encontrarás las sumas parciales de unas series
geométricas. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar una gráfica de
calculadora para hallar las sumas parciales de una serie geométrica. Lee el
ejemplo atentamente.
En la Lección 11.1, descubriste una fórmula para las sumas parciales de las series
aritméticas. En esta investigación, encontrarás una fórmula para las sumas
parciales de las series geométricas.
Investigación: Fórmula para la serie geométrica
Escoge dos enteros entre 2 y 9. Sea uno de ellos el valor inicial de una secuencia
geométrica, y sea un décimo del otro la razón común. Trabaja los Pasos 1 a 3 de
la investigación en tu libro. En los resultados siguientes se usa una secuencia con
un término inicial de 4 y una razón común de 0.6.
Paso 1 La secuencia se define por u1 4 y un 0.6un1, donde n 2. He aquí
los primeros diez términos de la secuencia y las primeras diez sumas parciales de
la serie correspondiente.
un {4, 2.4, 1.44, 0.864, 0.5184, 0.31104, 0.186624, 0.1119744,
0.06718464, 0.040310784}
Secuencia:
Sumas parciales: Sn {4, 6.4, 7.84, 8.704, 9.2224, 9.53344, 9.720064, 9.8320384,
9.89922304, 9.939533824}
Paso 2
He aquí una gráfica de los puntos n, Sn:
[0, 10, 1, 0, 12, 1]
La ecuación que se ajusta a estos datos tiene la forma Sn L abn, donde L es el
valor a largo plazo. Usando la fórmula de la Lección 11.2,
u1
4
L
1r 1 0.6 10
Para hallar los valores de a y b, sustituye las coordenadas de los puntos (1, 4) y
(2, 6.4) en Sn 10 abn para obtener el sistema
46.41010abab
1
2
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Lección 11.3 • Sumas parciales de las series geométricas (continuación)
Puedes escribir estas ecuaciones como ab 6 y ab 2 3.6. Dividiendo
la segunda ecuación entre la primera, se obtiene b 0.6. Sustituyendo
b por 0.6 en la primera ecuación, se obtiene a 10. Entonces, la
ecuación es Sn 10 10(0.6)n. La ecuación se ajusta a los puntos.
Paso 3
La ecuación en el Paso 2 está en la forma Sn Esto es equivalente a Sn u11 r n
.
(1 r)
u1
1r
u
1
n
1 rr .
[0, 10, 1, 0, 12, 1]
Paso 4 ¿Funcionará la fórmula si la razón común es mayor que 1? Pruébalo,
considerando la secuencia u1 2 y un 2(3)n, donde n 2 y la razón común es
3. He aquí los primeros diez términos de la secuencia y las primeras diez sumas
parciales de la serie correspondiente:
Secuencia:
un {2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366}
Sumas parciales: Sn {2, 8, 26, 80, 242, 728, 2186, 6560, 19682, 59048}
Paso 5
Aplicando la fórmula en el Paso 3 a esta secuencia, se obtiene
21 310
u11 r 10
S10 (1 r) 1 3 59048
Éste es el valor correcto de S10, así que la fórmula parece funcionar para r 1.
Ahora tienes una fórmula explícita para hallar una suma parcial de cualquier serie
geométrica. Sólo necesitas conocer el primer término, la razón común, y el
número de términos. Para prácticar el uso de la fórmula, resuelve los problemas
de los Ejemplos B y C en tu libro. Después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Encuentra cada suma parcial.
11
a.
9(2.75)n1
n1
b. 1024 768 576 · · · 136.6875
Solución
a. u1 9 y r 2.75. Usa la fórmula para la suma parcial S11.
91 2.7511
u11 r 11
349830.5303
S11 (1 r)
1 2.75
b. El primer término, u1, es 1024. Cada término es tres cuartos del término
anterior, por tanto r 0.75. Introduce u1 1024 y un 0.75un1 en tu
calculadora y construye una tabla.
El último término, 136.6875, es u8. Necesitas encontrar S8. Usando la fórmula,
u11 r 8
10241 0.758
3685.9375
S8 (1 r)
1 0.75
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