La circunferencia y sus propiedades geométricas

 CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Circunferencia Ricardo Villafaña Figueroa 2 Contenido Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio ..................... 3 La ecuación de la circunferencia dados tres puntos .............................................................. 6 La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro ..................... 10 Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica ................................. 14 Circunferencia inscrita en un triángulo ................................................................................ 15 Circunferencia circunscrita a un triángulo ........................................................................... 18 Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia ................................ 20 Aplicaciones .......................................................................................................................... 31 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 3 Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en A (‐1, 5) y radio 7. Solución 1 En la ecuación general de la circunferencia sustituimos los
valores de las coordenadas del centro y el radio dados utilizando la función subs
(almacenamos el resultado en la variable temporal eq1 para facilitar su manipulación):
Expandir el resultado obtenido en eq1: Igualar el resultado a cero: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 4 Solución 2 Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple. Inicio de variables y carga de biblioteca: Función para encontrar la ecuación de la circunferencia dadas las coordenadas de su centro (punto A) y la longitud de su radio: ,
,
Definimos la circunferencia c a partir del punto y radio dados: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Los detalles de la ecuación encontrada los obtenemos con la función detail: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 5 Dibujar el punto y la circunferencia: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 6 La ecuación de la circunferencia dados tres puntos Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (‐1, 4), B (1,‐ 2), C(5,2). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud de su radio y su área. Solución 1 En la ecuación general de la circunferencia valores de los tres puntos dados: sustituimos los
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 7 Convertimos el valor de r encontrado en forma de radical: Sustituimos los valores de h, k y r en la fórmula general de la circunferencia: Expandimos la ecuación encontrada: Igualamos a cero la ecuación: Ordenamos la ecuación conforme a X e Y: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 8 Solución 2 Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple. Inicio de variables y carga de biblioteca: Función para encontrar la ecuación de la circunferencia dados tres de sus puntos ,
, ,
Definimos la circunferencia c a partir de los tres puntos dados con la función: Encontramos la ecuación: Encontramos las coordenadas del centro y la longitud del radio con la función detail: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 9 Las coordenadas del centro también podemos encontrarlas con las funciones center y coordinates: La longitud del radio la encontramos con la función radius: El área del círculo se calcula con la función area: Dibujamos los tres puntos y la circunferencia: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 10 La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos puntos finales de su diámetro son A(0,0), B (5, 0). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud del radio, dibujar la gráfica de la circunferencia dada y calcular su área. Solución 1 Definimos los puntos dados en forma de vector: Encontramos el punto medio entre los puntos A y B (centro de la circunferencia): Encontramos la longitud del radio por medio de la fórmula de distancia entre dos puntos: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 11 Sustituimos las coordenadas del centro y el radio en la fórmula general de la circunferencia: Expandimos el resultado encontrado: Igualamos a cero la ecuación: Ordenamos los términos de la ecuación: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 12 Solución 2 Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple. Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Fórmula para encontrar la ecuación de la circunferencia dados los puntos extremos de su diámetro ,
,
Definimos la circunferencia C a partir de los dos puntos dados: Encontramos la ecuación: Detalles de la ecuación encontrada: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 13 Encontrado el centro y sus coordenadas: Encontrando el radio de la circunferencia: Dibujamos la gráfica de la circunferencia Calculamos el área del círculo: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 14 Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica Ejemplo 9 encontrar las coordenadas de su centro y la longitud de su Dada la ecuación radio. Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Función para definir una circunferencia a partir de su representación algebraica ,
ó
Definición de la circunferencia: Detalles de la circunferencia encontrada: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 15 Circunferencia inscrita en un triángulo Ejemplo Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto denominado incentro (centro de la circunferencia inscrita en el triángulo). Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: 2 4
3
12
5
14
3
28
5
Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Función para encontrar la circunferencia inscrita a un triángulo ,
á
Función para definir un triángulo a partir de las ecuaciones de cada uno de sus lados , 1, 2, 3 Definición del triángulo Almacenamos las tres ecuaciones dadas en variables temporales:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 16 Definimos las ecuaciones para utilizarlas con el paquete de geometry: Definimos el triángulo con la función triangle a partir de las tres líneas dadas: Detalles del triángulo encontrado: Encontramos el incentro del triángulo con la función incircle y lo llamamos inc: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 17 Detalles del incentro: Dibujamos el incentro y el triángulo: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 18 Circunferencia circunscrita a un triángulo Ejemplo Encontrar la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son A (‐2, 0), B (2, 3) y C(2, 0). Solución Cargar la biblioteca de geometría: Función para definir la circunferencia circunscrita a un triángulo ,
á
Definición del triángulo T: Definición de la circunferencia Cc: Detalles de la circunferencia:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 19 Dibujo de la circunferencia: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 20 Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia Ejemplo Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta circunferencia 4
8
16 0. 2
0 interseca a la Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Definimos la ecuación de la recta: Definimos la ecuación de la circunferencia: Detalle de la circunferencia definida: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 21 Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion: Note que el sistema devuelve dos resultados (la línea corta a la circunferencia en dos puntos. Detalles del objeto geométrico Interseccion: Para fines de graficación, encontramos por separado las coordenadas de los dos puntos de intersección y definimos los puntos de corte respectivos: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 22 Dibujamos los puntos de corte A y B, la circunferencia C1 y la línea l1: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 23 Ejemplo Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta 2
20. circunferencia Solución 10
0 interseca a la Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Definimos la ecuación de la recta: Definimos la ecuación de la circunferencia: Detalle de la circunferencia definida: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 24 Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion: Note que la función intersection sólo devuelve un valor. La recta toca un solo punto de tangencia de la circunferencia. Detalles del objeto geométrico Interseccion: A partir de las coordenadas del punto de intersección, definimos el punto A para su graficación: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 25 Dibujamos el punto de tangencia A, la circunferencia C1 y la línea l1:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 26 Ejemplo Determinar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta punto (2, 5), y el centro está sobre la recta 2
5 0. 3
0 en el Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Definición de la línea tangente (l1): Definición del punto de tangencia (A): Cálculo y definición de la línea perpendicular a la tangente (lp): Definición de la línea que pasa por el centro (l2): Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 27 Cálculo de la intersección entre la línea del centro (l2) y la línea perpendicular a tangente (lp), centro de la circunferencia: Definición de las coordenadas del centro (centro): Cálculo del radio (radio): Definición de la circunferencia a partir del centro (C) y del radio (radio): Reduciendo la ecuación: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 28 Dibujar el punto, la circunferencia, la línea tangente y la línea que pasa por el centro de la circunferencia: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 29 Ejemplo Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2
1
. en el punto Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Definición del punto (A): Definición de la circunferencia (C): Detalle de la circunferencia encontrada: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 30 Definición de la línea tangente (l) con la función tangentpc:
Ecuación buscada: Dibujar el punto de tangencia, la circunferencia y la línea tangente: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 31 Aplicaciones Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 cuyo centro está sobre las rectas 5 7 0 y 4 9 0. 4 4
0 y Solución Inicio de variables y carga de biblioteca: Definimos las ecuaciones dadas: Determinamos las coordenadas del centro con la función intersection: Para calcular el radio de la circunferencia usamos la función distance en su forma de punto y línea: Definimos la ecuación de la circunferencia con la función circle en su forma centro ‐ radio: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 32 Determinamos la ecuación de la circunferencia y de las líneas: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 33 Ejemplo Deducir una(s) ecuación(es) del o de los círculos de radio 4, cuyo centro está en la recta 4 3 7 0 y es o son tangentes a 3 4 34 0. Solución Inicio de variables y carga de biblioteca: Para encontrar las coordenadas del centro vamos a considerar que la ecuación de la circunferencia debe satisfacer las tres condiciones dada: (1) El radio dado: (2) Un punto cualquiera (h, k) que pase por la circunferencia debe también satisfacer a la recta que pasa por el centro: (3) La tercera condición viene dada por la distancia que existe entre el radio y la recta tangente dada. Definimos primero la recta tangente en función de (h, k): Y luego definimos la ecuación de la distancia en función de la línea obtenida el radio dado:
Resolvemos el par de ecuaciones encontradas con la función solve: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 34 El par de ecuaciones nos da dos pares de valores para encontrar las ecuaciones de los círculos: Primer círculo: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Segundo círculo: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Graficamos las circunferencias encontradas, la línea que pasa por el centro y la línea tangente. Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 35 Definimos la línea del centro para graficarla: Dibujamos las dos circunferencias y las dos líneas: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple