f(X) - Universidad de Colima

Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
VECTORES, MATRICES Y VARIABLES SUBINDIZADAS.
INTRODUCCION.
Supongamos que se tiene la siguiente lista de estaturas de 10 personas escogidas al azar:
1.78
1.60
1.58
1.90
1.86
1.70
1.75
1.89
1.81
1.75
Se puede denotar todos los valores de la lista utilizando un solo símbolo, por ejemplo h, pero
con diferentes subíndices.
h1
h2
h3
h4
h5
h6
h7
h8
h9
h10
Observe que los subíndices denotan la posición de los valores de la lista, por ejemplo:
h1 = 1.78
h8
= 1.89
A este conjunto o línea de valores se llama vector o arreglo lineal (unidimensional).
Utilizando esta notación de subíndices, es posible escribir la suma y el promedio de las estaturas
como:
10
10
 hi = h1 + h2.+ h3 + ... + h10
y
( hi )/10
i=1
i=1
Análogamente se podrá hacer una lista de las calificaciones finales de 30 alumnos que cursaron
5 materias, por lo tanto, también solo se necesita usar un símbolo, digamos c, pero ahora, con dos
subíndices para denotar las entradas de la tabla como:
c1,1
c1,2
c1,3
c1,4
c1,5
c2,1
...
h30,5
Donde ci,j denota las calificaciones del alumno i-ésimo en la j-ésima materia, así:
c1,1 = 8
c3,2 = 10
h30,5 = 10
Se llama matriz o arreglo de dos dimensiones a tal arreglo rectangular.
Alumno\Materia
A1
A2
A3
...
A30
M1
8
7
10
...
5
Maestría en Ciencias Area Computación.
M2
9
9
10
...
7
M3
5
10
9
...
9
M4
10
8
6
...
6
M5
6
5
8
...
10
Pag. 1
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
VECTORES.
Con un vector u, solamente se quiere decir una lista de números o una n-tupla:
u = (u1, u2, u3, ..., un)
A los números ui se les llama componentes de u. Si todos los ui = 0, entonces a u se le llama
vector cero. Dos vectores u y v, son iguales u = v, si tienen el mismo número de componentes y si los
componentes correspondientes son iguales.
De los siguientes vectores que características tienen:
(3, -4, 2)
(7, 8)
(3, -4, 1)
(4, 0, 5)
(8, 7)
(4, 0, 5)
(0, 0, 0)
* Longitud y componentes.
* Vector cero.
* Igualdad.
Si dos vectores, u y v, tienen el mismo número de componentes, su suma, escrita u + v, es el
vector obtenido al sumar componentes correspondientes de u y de v:
u + v = (u1, u2, u3, ..., un) + (v1, v2, v3, ..., vn)
= (u1+ v1, u2 + v2, ..., un + vn)
El producto de un escalar k y un vector u, escrito ku, es el vector obtenido de multiplicar cada
componente de u por k:
ku = k (u1, u2, u3, ..., un) = (ku1, ku2, ku3, ..., kun)
También podemos definir:
 -u = (-1) u
 u – v = u + (- v)
 k(u + v) = ku + kv
Sea u = (2, 3, -4) y v = (1,-5, 8). Realice lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
u+v
5u
v
2u – 3v
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 2
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
MATRICES.
Una matriz A, es un arreglo rectangular de números:
A
=
a11
a21
a31
...
am1
a12
a22
a32
...
am2
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
amn
Las m n-tuplas horizontales se les llama filas y las n m-tuplas verticales se les llama columnas.
Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz m por n, escrito m X n. La pareja
de números m y n se llama tamaño de la matriz. Dos matrices, A y B, son iguales, A = B, si tienen el
mismo tamaño y si los elementos correspondientes son iguales.
Se llama matriz cero a una matriz cuyas entradas son todas cero y generalmente se denota por 0.
Que características tiene la siguiente matriz:
1
-3
0
5
-2
3
* Longitud.
* Filas y columnas.
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 3
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
ADICION MATRICIAL Y MULTIPLICACION ESCALAR.
Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. La suma de A y B, A + B, es la matriz obtenida al
sumar los elementos correspondientes de A y B:
A11
A21
A31
...
Am1
a12
a22
a32
...
am2
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
amn
a11 + b11
a21 + b21
a31 + b31
...
am1 + bm1
=
+
b11
b21
b31
...
bm1
a12 + b12
a22 + b22
a32 + b32
...
am2 + bm2
b12
b22
b32
...
bm2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b1n
b2n
b3n
...
bmn
a1n + b1n
a2n + b2n
a3n + b3n
...
amn + bmn
El producto de un escalar k y una matriz A, kA ó Ak, es la matriz obtenida al multiplicar cada
elemento de A por k:
K
a11
a21
a31
...
am1
a12
a22
a32
...
am2
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
amn
=
ka11
ka21
ka31
...
kam1
ka12
ka22
ka32
...
kam2
...
...
...
...
...
ka1n
ka2n
ka3n
...
kamn
Por lo tanto se puede definir lo siguiente:
 - A = (-1) A
 A – B = A + (-B)
A la matriz – A se le llama negativo de la matriz A.
Realice lo siguiente:
1
0
-2
4
3
5
+
3
1
0
-2
4
3
5
2
3
4
-1
6
-5
Maestría en Ciencias Area Computación.
3
2
0
-3
0
1
2
-3
-6
1
Pag. 4
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
Propiedades para la adición matricial y la multiplicación escalar.







(A + B) + C = A + (B + C)
Asociativa.
A + B = B + A Conmutativa.
A+0=0+A=A
k(A + B) = kA + kB
(k + k´)A = kA + k´A
(kk´)A = k(k´A)
1A=A
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 5
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
SIMBOLOGIA DE SUMATORIA.
Antes de definir la multiplicación matricial, es conveniente introducir el símbolo de sumatoria
 (letra griega sigma).
Supongamos que f(k) es una expresión algebraica con la variable k. La expresión.
n
 f(k)
k=1
Tiene entonces el siguiente significado. Primero hacemos k = 1 en f(k), obteniendo f(1), luego
hacemos k = 2 en f(k), obteniendo f(2) y lo sumamos a f(1) y así sucesivamente, hasta obtener la suma:
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1) + f(n)
Observe que a cada paso el valor de k se incrementa en 1 hasta que k sea igual a n Es lógico
que en lugar de k podríamos utilizar cualquier otra variable.
También generalizamos la definición haciendo que la suma vaya de cualquier entero n 1, a
cualquier entero n2, tales que n1 <= n2, o sea:
n2
 f(k) = f(n1) + f(n1 + 1) + f(n1 + 2) + ... + f(n2)
k=n1
Obtenga las expresiones o la sumatoria de lo siguiente:
1.- h1 + h2.+ h3 + h4 + h5
n
2.- ai bi
i=1
3.- 22 + 32 + 42 + 52
4.- a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
p
5.-  aik bkj
k=1
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 6
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
MULTIPLICACION MATRICIAL.
Supongamos ahora que A y B son dos matrices tales, que el número de columnas de A es igual
al número de filas de B, digamos que A es una matriz m X p y B es una matriz p X n. El producto de
A y B, AB, es entonces la matriz m X n cuya entrada ij se obtiene multiplicando los elementos de la
fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B y luego sumamos todos esos
productos:
a11
...
ai1
...
am1
...
...
...
...
...
a1p
...
aip
...
amp
b11
...
...
...
bp1
...
...
...
...
...
b1j
...
...
...
bpj
...
...
...
...
...
b1n
...
...
...
bpn
=
c11
...
...
...
cm1
...
...
cij
...
...
c1n
...
...
...
cmn
En donde:
p
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj =  aik bkj
k=1
Si el número de columna de A no es igual al número de filas de B, entonces el producto AB no
está definido.
Realice lo siguiente y verifica la ley conmutativa.
1
3
2
4
1
0
1
2
1
0
1
2
1
3
2
4
1
2
3
-1
Realiza AB.
A=
B=
2
3
0
-2
-4
6
La multiplicación matricial posee las siguientes propiedades:




(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(B+C)A = BA + CA
k(AB) = (kA)B = A(kB) donde k es un escalar.
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 7
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
Una aplicación de las matrices se da en las ecuaciones lineales por ejemplo:
x + 2y – 3z = 4
5x – 6y + 8z = 8
Es equivalente a la ecuación matricial
1
5
2
-6
-3
8
Maestría en Ciencias Area Computación.
x
y
z
4
=
8
Pag. 8
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
MATRICES CUADRADAS.
Una matriz con el mismo número de filas y de columnas se llama matriz cuadrada. Una matriz
cuadrada con n filas y n columnas se dice que es de orden n. La diagonal principal, o simplemente
diagonal, de una matriz cuadrada de orden n A = (aij) consta de los elementos a11, a22, ..., ann.
La matriz:
1
0
5
-2
-4
3
0
-1
2
Es una matriz cuadrada de orden 3. Los números de la diagonal principal son 1, -4 y 2
A la matriz de orden n con unos a lo largo de la diagonal principal y ceros en los demás sitios
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Se le llama matriz unidad y se denota por I. La matriz unidad I desempeña el mismo papel en
la multiplicación matricial que el número uno en la multiplicación ordinaria de números.
Específicamente:
AI = IA = A, para cualquier matriz cuadrada A
Podemos formar potencias de una matriz cuadrada X definiendo:
X2 = XX, X3 = X2X, ... y X0 = I
También podemos formar polinomios en X. O sea, para todo polinomio
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Definimos f(x) como la matriz
f(X) = a0I + a1X + a2X2 + ... + anXn
Realice lo siguiente: Sea,
1
2
3
-4
A=
Encuentra:
F(x) = 2x2 – 3x + 5
G(x) = x2 + 3x - 10
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 9
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
MATRICES INVERTIBLES.
Una matriz cuadrada A se dice que es invertible si existe una matriz B con la propiedad:
AB = BA = I, la matriz identidad
Tal matriz B es única; se llama inverso de A y se denota como A-1.
inverso de A si y sólo si A es el inverso de B. Por ejemplo, suponga que
A=
2
1
5
3
B=
3
-1
Observe que B es el
-5
2
Compruebe si A y B son inversos.
Se sabe que AB = I si y sólo si BA = I; entonces es necesario verificar solamente uno de los
productos para determinar si dos matrices dadas son inversos.
Comprueba si las siguientes matrices son inversos entre sí:
A=
1
2
4
0
-1
1
2
3
8
Maestría en Ciencias Area Computación.
B=
-11
-4
6
2
0
-1
2
1
-1
Pag. 10
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
DETERMINANTES.
A cada matriz cuadrada de orden n A = (aij) le asignamos un número específico, llamado
determinante de A, denotado det (A) ó |A| ó
a11
a21
a31
...
an1
a12
a22
a32
...
an2
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
ann
Debemos hacer hincapié en que un arreglo n X n de números encerrados entre dos rectas,
llamado determinante de orden n, no es una matriz, si no denota el número que la función determinante
le asigna al arreglo correspondiente de números, o sea, a la matriz cuadrada correspondiente.
Los determinantes de orden uno, dos y tres se definen como sigue:
|a11| = a11
a11
a21
a12 = a11 a22 - a12 a21
a22
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31+ a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32
a33
Así, el determinante es igual al producto de los elementos a lo largo de la flecha marcada con
más, menos el producto de los elementos a lo largo de la flecha marcada con menos.
más
a11
a21
a31
a12
a22
a32
menos
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
5
2
4
3
2
-4
1
6
2
4
6
1
6
1
3
-1
0
Teorema: Para dos matrices cuadradas cualesquiera de orden n A y B, det (AB) = det (A). det (B).
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 11
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
MATRICES INVERTIBLES Y DETERMINANTES.
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si tiene un determinante distinto de cero.
Por lo tanto demostraremos cómo calcular el inverso de una matriz de 2 X 2
a
c
A=
b
d
Cuyo determinante no es cero. Buscamos escalares x, y, z y w tales que
a
c
b
d
x
z
y
w
=
1
0
0
1
ó
ax + bz
cx + dz
ay + bw
cy + dw
=
1
0
0
1
Resolviendo las siguientes ecuaciones encontraremos el valor de los escalares buscados, es
decir la matriz inverso.
ax + bz = 1
cx + dz = 0
y
ay + bw = 0
cy + dw = 1
Otra forma para encontrar la matriz inverso es siguiendo los siguientes pasos:
1.- Intercambiar los elementos de la diagonal principal.
2.- Hacer negativos los otros elementos.
3.- Dividiendo cada elemento por el determinante de la matriz original.
Esto es:
A-1 =
a
c
d
d
-1
=
d/|A|
-c/|A|
-b/|A|
a/|A|
=
1
|A|
d
-c
-b
a
Encuentra la matriz inverso de la siguiente matriz por las dos formas:
A=
2
4
3
5
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 12
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
VARIABLES SUBINDIZADAS.
Los nombres de los datos o variables en programas de computador, también se llaman variables
no subindizadas o variables escalares, ya que cada una de tales variables representa una celda de
memoria en la cual se guarda un solo valor. Frecuentemente, uno quiere usar el mismo nombre de
datos para referirse a un arreglo de valores, más que a un solo valor. Esto se puede hacer usando
variables subindizadas. Sin embargo, como las instrucciones de computadores deben ser escritas en
una línea los subíndices aparecen en paréntesis, por ejemplo:
Z(1), Z(2), Z(3),... en lugar de z1, z2, z3,...
S(1,1), S(1,2), S(1,3),... en lugar de s11, s12, s13,...
Al número de subíndices se llama dimensión del arreglo o de la variable subindizada. Así, la Z
anterior es un arreglo unidimensional, también llamado arreglo lineal o arreglo vector, y la variable S
es un arreglo bidimensional, también llamado arreglo matriz.
La mayoría de los computadores
pueden manejar arreglos con uno, dos o tres subíndices y algunas otras hasta siete subíndices. Si la
dimensión es dos o tres, al primer subíndice se le llama fila, al segundo columna, y el tercero (si lo
tiene) página.
En la figura se muestra un diagrama de flujo de un algoritmo para calcular el peso promedio de
35 personas. Verifique el manejo de la variable subindizada.
En general, cuando se usa una variables subindizada en un programa de computador, se debe de
dar al compilador la siguiente información antes de ejecutar el programa:
1.- El nombre de la variable subindizada.
2.- El número de subíndices o sea la dimensión del arreglo.
Cada lenguaje de programación tiene su propia sintaxis para realizar lo siguiente.
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 13
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
Inicio
Lea PESO(J)
J = 1 a 35
SUMA = 0
Do K = 1 a 35
SUMA =SUMA + PESO(k)
PROMEDIO = SUMA/35
Escriba PROMEDIO
Fin
Pseudocódigo:
INICIO
Lea PESO(J), J=1 a 35
SUMA = 0
DO K = 1 a 35
SUMA = SUMA + PESO(K)
ENDDO
PROMEDIO = SUMA/35
Escriba PROMEDIO
FIN
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 14
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
EJERCICIOS.
1.- Sea u = (2, -7, 1), v = (-3, 0, 4) y w = (0, 5, -8). Encuentre:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
u+v
v+w
-3u
-w
3u – 4v
2u + 3v – 5w
2.- Realiza lo siguiente:
1
4
2
5
3
6
+
-2
1
2
0
7
-3
-1
-
2
1
-3
-2
8
-6
3
2
3
-5
0
1
-4
1
0
-1
3
2
-5
-2
1
0
-2
-1
-3
5
+4
0
1
1
-1
-2
-1
3.- Para la multiplicación matricial. Encuentre los tamaños de aquellas matrices cuyos productos estan
definidos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(2 x 3) (3 x 4)
(4 x 1) (1 x 2)
(1 x 2) (3 x 1)
(5 x 2) (2 x 3)
(4 x 4) (3 x 3)
(2 x 2) (2 x 4)
4.- Encuentre AB.
A=
2
1
-3
-1
0
4
1
-2
-5
3
4
0
B=
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 15
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
5.- Calcule.
1
-3
6
5
4
2
1
-3
6
5
2
-7
1
-6
1
-3
6
5
1
6
3
2
2
-1
1
-6
0
-1
6.- La transpuesta de una matriz A es cambiar las filas por columnas o las columnas por filas y se
escribe AT.
Sea A
1
2
0
3
-1
4
1
2
4
-3
A=
Encuentre:
a) AT.
b) AAT.
c) ATA
7.- Sea
A=
Encuentre:
a) A2.
b) A3
c) f(x) = 2x3 – 4x + 5
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 16
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
8.- Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
3
4
-2
5
-1
0
6
4
a -b
B
b
a+b
1
4
0
2
-2
5
3
3
-1
4
0
5
-1
2
2
-2
-3
1
2
1
-1
-3
2
-2
4
-3
5
9.- Encuentra el inverso por las dos formas de la siguiente matriz:
3
2
-5
3
11.- Determina las dimensiones y el número de elementos de las siguientes entradas.
Lea PRUEBA(J)
J = 1 a86
Maestría en Ciencias Area Computación.
Lea B(J,K,L)
J=1a6
K=1a8
L=1a4
Lea NOMBRE,
TASA,
HORAS
Pag. 17
Universidad de Colima.
Vectores, matrices y variables subindizadas.
12.- Determine la salida del diagrama.
Inicio
Do J = 1 a 5
Aj = 2J +1
Bj = J2
Do K = 1 a 5 de 2
Ak = Ak + 2Bk
B k = B k + Ak
Escriba Aj, Bj
J=1a5
Inicio
Maestría en Ciencias Area Computación.
Pag. 18