ejercicios de hidrostática

EJERCICIOS DE HIDROSTÁTICA
1.- En la figura se muestra un recipiente que contiene tres líquidos
inmiscibles. Determina la presión hidrostática que soporta el fondo del
recipiente sabiendo que las densidades del agua, del aceite y del mercurio
son, respectivamente, 1 g/cm3, 0.8 g/cm3 y 13.6 g/cm3.
Sol.: 33712 Pa
2.- Se tiene un tubo en U parcialmente lleno con un líquido de densidad ρ. Por una de sus ramas
se añade aceite de densidad 800 kg/m3 hasta una altura de 12 cm. Cuando el sistema se
equilibra, la interfase aire/aceite está a 6 cm sobre la interfase líquido/aire. Calcula ρ.
Sol.: 1600 kg/m3
3.- El tubo en forma de U mostrado en la figura contiene tres líquidos
inmiscibles A, B y C. Si las densidades de A y C son 500 y 300 kg/m3
respectivamente, calcular la densidad del líquido B.
Sol.: 1600 kg/m3
4.- El barómetro que se muestra en la figura contiene mercurio (ρ=13.6 kg/l) hasta una altura de
26 cm. Calcula la presión que ejerce el vapor de agua en el balón. Sol.: 66672 Pa
5.- Una esfera está sumergida entre dos líquidos inmiscibles, de
densidades 2 y 1.2 g/cm3 respectivamente, como se muestra en el
dibujo. Calcular la densidad de la esfera para que la mitad esté en
el líquido más denso.
Sol.: 1’6 g/cm3
6.- ¿Qué tiempo empleará un cuerpo de masa 800 kg y
densidad 800 kg/m3 para llegar a la superficie del agua si
se deja en libertad en el punto A de la figura?
Sol.: 4’04 s
7.- Las secciones rectas de los émbolos de una prensa hidráulica son 1800 cm2 y 40 cm2. Si en
el émbolo pequeño aplicamos una fuerza de 20 N:
a) ¿Cuál será la fuerza que se ejerce sobre el otro?
b) ¿Qué presión soportará cada émbolo?
Sol.: a) 900 N; b) 0’5 N/cm2
1.- La presión hidrostática en el fondo del recipiente es debida a la presión de los líquidos que tiene
encima. La presión de cada líquido viene dada por la ley fundamental de la hidrostática:
p = d ⋅h⋅ g
donde p es la presión, d la densidad del líquido, h la altura de líquido y g la aceleración de la
gravedad. En este caso, la presión total será la suma de las presiones de cada líquido:
p = pmercurio + pagua + paceite
p = d mercurio ⋅ hmercurio ⋅ g + d agua ⋅ hagua ⋅ g + d aceite ⋅ haceite ⋅ g
p = 13600
kg
m
kg
m
kg
m
⋅ 0'2 m ⋅ 9'8 2 + 1000 3 ⋅ 0'4 m ⋅ 9'8 2 + 800 3 ⋅ 0'4 m ⋅ 9'8 2
3
m
s
m
s
m
s
p = 26656 Pa + 3920 Pa + 3136 Pa
p = 33712 Pa
2.- El tubo en U se encuentra en la situación siguiente:
Los puntos A y B están sometidos a la misma presión, ya que el
tubo está en equilibrio. Por otro lado, la presión que soporta A es
la de la columna de aceite que tiene por encima, mientras que la
presión en B es la del líquido que tiene encima:
p A = pB
d aceite ⋅ haceite ⋅ g = d líquido ⋅ hlíquido ⋅ g
12 cm
6 cm
A
B
d líquido =
d líquido =
800
d aceite ⋅ haceite
hlíquido
kg
⋅ 0'12 m
kg
m3
= 1600 3
0'06 m
m
3.- En los puntos marcados como (1) y (2) en la figura la presión ha de ser la misma:
(1)
(2)
La presión hidrostática en cada uno de los puntos es debida a las columnas de líquido que tiene cada
punto por encima de él. El punto (1) tiene una columna de líquido A de 25 cm de altura. El punto
(2) tiene una columna de líquido B de 5 cm de altura y otra columna de líquido C de 15 cm.
Igualando las presiones en los puntos (1) y (2):
p1 = p2
d A ⋅ hA ⋅ g = d B ⋅ hB ⋅ g + d C ⋅ hC ⋅ g
d A ⋅ hA = d B ⋅ hB + d C ⋅ hC
500
kg
kg
⋅ 0'25 m = d B ⋅ 0'05 m + 300 3 ⋅ 0'15 m
3
m
m
dB =
500
kg
kg
⋅ 0'25 m − 300 3 ⋅ 0'15 m
3
m
m
0'05 m
kg
d B = 1600 3
m
4.- En la figura tomamos dos puntos A y B que se encuentran al mismo nivel:
B
A
La presión hidrostática debe ser la misma en los dos puntos. En el punto A la presión es la de la
atmósfera. En el punto B la presión es la de la columna de mercurio y la del vapor de agua:
p A = pB
p A = d Hg ⋅ hHg ⋅ g + pvapor
kg
m
⋅ 0'26 m ⋅ 9'8 2 + pvapor
3
m
s
= 101325 Pa − 34653 Pa
101325 Pa = 13600
pvapor
pvapor = 66672 Pa
5.- La esfera está sometida a tres fuerzas: su peso y el empuje que ejercen sobre ella cada uno de los
líquidos en los que está sumergida.
EA
EA
EB
P
El peso de la esfera se relaciona con su densidad:
P=d·V·g
El empuje del líquido A es debido a la parte de la esfera que está sumergida en este líquido:
EA = dA · Vsumergido en A · g
El empuje del líquido B es debido a la parte de la esfera que está sumergida en este líquido:
EB = dB · Vsumergido en B · g
El volumen sumergido en A es el mismo que el sumergido en B, y ambos son la mitad del volumen
de la esfera. Igualando las fuerzas:
P = EA + EB
d · V · g = dA · V/2 · g + dB · V/2 · g
Puedo simplificar los factores comunes g y V:
d · V · g = dA · V/2 · g + dB · V/2 · g
d = dA/2 + dB/2
d = 1 g/cm3 + 0’6 g/cm3 = 1’6 g/cm3
6.- Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo son su peso y el empuje del agua:
E
P
El peso del objeto:
P=d·V·g
El empuje es debido al agua:
E = dagua · V · g
La fuerza total que se aplica sobre el cuerpo es:
F=E–P
F = V · g · (dagua – d)
Utilizando el principio fundamental de la dinámica:
F=m·a
V · g · (dagua – d) = m · a
V · g · (dagua – d) = d · V · a
V · g · (dagua – d) = d · V · a
g · (dagua – d) = d · a
a = g · (dagua – d) / d
a = 9’8 m/s2 · (1000 kg/m3 – 800 kg/m3) / 800 kg/m3
a = 2’45 m/s2
El movimiento de ascenso del cuerpo es un MRUA:
v = vi + a ⋅ t
a ⋅t2
s = si + vi ⋅ t +
2
Utilizando la ecuación de la posición:
20 m = 2’45 m/s2 · t2 / 2
2 ⋅ 20 m
t=
m
2'45 2
s
t = 4’04 s
7.- Para resolver el ejercicio se aplica el principio de Pascal: P1 = P2
a) Las presiones en los dos émbolos se igualan:
F1 F2
=
S1 S 2
20 N
F2
=
2
40 cm
1800 cm 2
20 N ⋅1800 cm 2
F2 =
40 cm 2
F2 = 900 N
b) La presión en cada émbolo es la misma, y es la relación entre la fuerza aplicada y su superficie:
F
F
P1 = 1
P2 = 2
S1
S2
20 N
N
P1 =
= 0'5
2
40 cm
cm 2
900 N
N
P2 =
= 0'5
2
1800 cm
cm 2