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Determinación y análisis de las principales deficiencias en la identificación de
números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R,
en alumnos ingresantes a FACENA en 2001. III. Análisis por fila. Primera parte.
Porcel, Eduardo - Ramírez Arballo, María Gloria
Facultad de Cs. Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
Av. Libertad 5450 - (3400) Corrientes - Argentina.
Tel./Fax: +54 (03783) 457950 INT. 405
E-mail: eporcel@exa.unne.edu.ar
ANTECEDENTES
En el presente trabajo se desarrolla un estudio preliminar acerca de las principales deficiencias y dificultades de
alumnos ingresantes en la identificación de números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R.
Es parte del proyecto “Análisis de factores que inciden en el rendimiento académico y desgranamiento de alumnos de
FACENA” ( Secyt-Unne Pid 506), dado que uno de los factores que inciden en el bajo rendimiento es la falta de los
conocimientos matemáticos necesarios para cursar las materias de la carrera seleccionada, especialmente las de primer
cuatrimestre de primer año, momento de mayor desgranamiento en todas las carreras de la Facultad.
MATERIALES Y METODOS
En la prueba de diagnóstico de conocimientos previos que se tomó en marzo de 2001 a los alumnos que ingresaron ese
año a la FACENA- (U.N.N.E.) (pretest) se incluyó el siguiente ejercicio con el objetivo de observar la identificación de
elementos de R y de sus distintos subconjuntos numéricos por parte de los alumnos:
Dada la siguiente tabla, coloca una cruz en él o los casilleros correspondientes a todos los conjuntos numéricos a
los cuales pertenece cada uno de los números dados:
3
3
2
-2
-1,5 − 49
2
−
2
4
N (Naturales)
Z (Enteros)
Q (Racionales)
I (Irracionales)
R (Reales)
La forma de recolección de información por medio de una tabla de doble entrada, permite plantear el análisis y la
interpretación de la matriz de datos, al menos desde los siguientes puntos de vista: I) Análisis de las 35 variables
dicotómicas que constituyen el vector que se generó por cada alumno, es decir, la descripción e interpretación de los
datos del cuadro por celda. II) Análisis por columnas de los datos contenidos en la tabla de doble entrada, es decir,
centrando la atención en el reconocimiento de cada número, de acuerdo con los distintos tipos propuestos. III) Análisis
por filas de los datos de la misma tabla, lo cual equivale a decir centrar la atención en los conocimientos acerca de los
conjuntos numéricos: N, Z, Q, I y R. Cada celda se identifica por su ubicación en fila y columna. En el análisis
estadístico de los resultados se utilizaron técnicas de estadística descriptiva y análisis de asociación de variables en
tablas de contingencia.
La realización de la tarea de señalar los números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos que se pidió en el
ejercicio, implicó la ejecución por parte de los alumnos del proceso cognitivo de identificar, proceso que H. Hernández
[1989, 1990, 1993] y C. Delgado Rubí [1995] incluyen entre las habilidades conceptuales, es decir, aquéllas que operan
directamente con los conceptos, al describir el sistema básico de las habilidades que consideran imprescindibles para el
quehacer matemático. Estos autores definen la identificación como el proceso de “distinguir el objeto de estudio
matemático sobre la base de sus rasgos escenciales; determinar si el objeto pertenece a una determinada clase de
objetos que presentan ciertas características distintivas”. Sostienen que esta habilidad matemática posibilita un
dominio adecuado de los conceptos y disminuye la comisión de errores en el quehacer matemático de los estudiantes y
que la formación de esta habilidad complementa al sujeto de un recurso teórico insustibuible para la toma de decisiones
y la resolución de problemas contribuyendo, por lo tanto, a la formación de un pensamiento matemático riguroso,
reflexivo y profundo. Asimismo, consideran que el proceso de identificar es, en cierto modo, el proceso inverso del de
definir que definen como establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes del objeto de
estudio. Sostienen que este proceso, presupone precisar el objeto a definir y referir los atributos que lo caracterizan y
contribuye a la formación de la habilidad de identificar. Desde este punto de vista resulta pertinente conocer la
capacidad de los alumnos de identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales o reales, por cuanto estaría
vinculada a su posterior rendimiento académico.
En el presente trabajo, desarrollaremos la primera parte del análisis por fila, centrando la atención en las deficiencias de
la identificación de números naturales y de números enteros por parte de los alumnos, restando aún realizar un análisis
similar acerca de la identificación de números racionales, irracionales y reales.
Atendiendo a la confluencia de procesos cognitivos en la tarea del ejercicio propuesto, esta parte del análisis por filas se
orienta a responder las siguientes preguntas:
§ ¿ En qué medida pueden los alumnos de la población en estudio identificar como natural a un número que es
natural y como entero a un número que es entero?
§ ¿ Señalan también como elementos de N o de Z a números que no pertenecen a cada uno de esos conjuntos?
En esos casos, ¿ a qué conjuntos numéricos pertenecen mayoritariamente esos otros números ? o, dicho de otro
modo ¿con qué otro conjunto numérico confunden más a N y a Z?
§ ¿ En cuáles de estas identificaciones se registran los errores más frecuentes ?
Para ello, en este trabajo se da un tratamiento distinto a las cruces consignadas en las casillas que debían haber señalado
de las colocadas en casillas que debían haber dejado en blanco, considerando pertinente, a los fines de desarrollar este
estudio, el diseño de las categorías para el análisis por filas de las variables significativas que se describen a
continuación:
Variable
Reconoce
Confunde
Categorías
SI
NO
SI
NO
Definición
Presencia de cruz en una casilla que debía haber señalado en esa fila
Ausencia de cruz en una casilla que debía haber señalado en esa fila
Presencia de cruz en una casilla que no debía haber señalado en esa fila
Ausencia de cruz en una casilla que no debía haber señalado en esa fila
Lo que equivale a decir que, a los fines de este análisis, separamos la realización del proceso de identificación cuando
opera sobre números que pertenecen al conjunto numérico al que corresponde esa fila (en este trabajo, a N o a Z)
proceso cuya realización correcta denominamos: “reconoce”, de aquél en que la identificación opera sobre los números
que no pertenecen a ese conjunto, cuya realización correcta denominamos: “ no confunde”.
Asimismo, para un análisis posterior se construye una variable con las siguientes categorías:
§
Categorías comunes del análisis de ambas filas: N(Naturales) y Z(Enteros):
I. Reconoce y no confunde
III. No reconoce y no confunde
II. Reconoce y confunde
IV. No reconoce y confunde
A los fines de profundizar el análisis, los alumnos que confunden se clasifican a su vez en función del conjunto al que
pertenecen los números que ha señalado de más en esa fila, mediante las siguientes subcategorías de la II. y la IV.:
1. Confunde sólo con Q
2. Confunde con Q e I
3. Confunde sólo con I
§
Categorías específicas de cada una de estas dos filas:
o
Para la fila N(Naturales): Consideramos, dentro de las categorías II.1. y IV.1. las siguientes subcategorías:
i. Confunde sólo con Z
ii. Confunde con Q-Z
o
Para la fila Z(Enteros): Dado que habían tres números enteros en el cuadro, para distinguir niveles de
reconocimiento consideramos dentro de las categorías I. y II. las siguientes subcategorías:
a. Reconoce 3 de 3 enteros
b. Reconoce 2 de 3 enteros
c. Reconoce 1 de 3 enteros
En el análisis estadístico de los datos se utilizaron estadísticas descriptivas y cálculo de χ2 en tablas de contingencia.
DISCUSION DE RESULTADOS
En primer lugar se advierte la existencia de alumnos que no marcaron ninguna cruz en alguna o algunas filas, aún
cuando habían en el cuadro números de los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I y R e incluso, varios de ellos
pertenecientes a un mismo conjunto, salvo en el caso de N e I en que había uno sólo de cada uno, registrándose los
siguientes porcentajes de omisión por filas:
Tabla 1: Alumnos que no señalaron ninguna cruz en las distintas filas – Cifras porcentuales
F.1: Naturales
5,9
F.2: Enteros
6,4
F.3: Racionales
11,8
F.4: Irracionales F.5: Reales
18,4
20,7
Si bien los porcentajes registrados son relativamente bajos porque van de alrededor del 6 al 20 %, hay que tener en
cuenta que los mismos están evidenciando que el 5,9% de la población no señala al 2 como número natural, el 6,4% de
la población no señala como entero a ninguno de los tres enteros del cuadro, el 11,8% no señala como racional a
ninguno de los seis racionales del cuadro, el 18,4%, no señala a 2 como irracional y el 20,7% de la población en
estudio no señaló como real a ninguno de los siete números reales que contenía el cuadro, o bien que se trata de
alumnos con marcadas dificultades en la comprensión de la consigna.
En el análisis de las deficiencias en la identificación de números naturales, se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 2 : Identificación de números naturales – Cifras porcentuales
NO
CONFUNDE
RECONOCE
NO
RECONOCE
TOTAL
Sólo con Q
CONFUNDE
Con Q
Total
eI
Sólo
con I
TOTAL
TOTAL
Sólo
con Z
Con
Q-Z
54,4
11,6
13,1
24,7
7,0
1,3
33,0
87,4
5,9
1,5
5,2
6,7
0,0
0,0
6,7
12,6
60,3
13,1
18,3
31,4
7,0
1,3
39,7
100,0
De la tabla anterior, surge que algo más que la mitad de la población en estudio, el 54,4%, señala correctamente al 2
como número natural y no señala con cruz elementos que no pertenezcan a N (cat. I. Reconoce y no confunde). En
tanto, el 33% de esta población de estudiantes se concentra en la categoría: II (reconoce y confunde), es decir que señala
como natural al 2 pero, además, confunde a N con otros conjuntos numéricos por cuanto también señala con cruz otros
números que no pertenecen a N. Entre ellos, hay una mayor tendencia en señalar como naturales, a números racionales
(24,7%), y entre estos alumnos, más de la mitad (13,1% de la población total), ha confundido a N, señalando también
como naturales números racionales que no son enteros; en nuestro caso, 3/2, -3/4 y -1,5, es decir, números fraccionarios
y/o negativos, denotando deficiencias en sus conocimientos acerca de la caracterización de los números naturales. Esta
tendencia se repite también dentro de la categoría IV, es decir, en la clase de los alumnos que no reconocen al 2 como
natural y, además, confunden a N con otros conjuntos numéricos, acentuándose aún más esta situación (5,2% frente a
1,5 %). Son bajos los porcentajes de alumnos que se ubican en las categorías III (no reconoce y no confunde) y IV (no
reconoce y confunde) , 5,9 y 6,7%, respectivamente. Por otra parte, también son bajos los porcentajes de confusión de N
con Q e I y sólo con I de los alumnos de ambas categorías, II y IV, resultando llamativo el hecho de que los alumnos
que no señalan al número 2 como natural pero sí a números de otros conjuntos como naturales, señalan correctamente
que 2 ∉ I, de donde resultan vacías las sub-clases: IV.2. (no reconoce y confunde con Q e I) y IV.3. (no reconoce y
confunde sólo con I).
Los procesos de reconocer y no confundir estan postivamente asociados (χ2=8,34; P=0.004; gl=1).
En el análisis de las deficiencias en la identificación de números enteros se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 3: Identificación de números enteros – Cifras porcentuales
CONFUNDE
NO CONFUNDE
NO RECONOCE
TOTAL
Con Q e I
Sólo con I
TOTAL
8,5
2,-2 y - 49
2 y –2
-2 y - 49
2 de 3
2 y - 49
Total
Sólo 2
Sólo -2
Sólo - 49
1 de 3
Total
Total
4,4
20,3
0,5
1,9
7,9
1,8
0,6
0,2
0,3
1,6
0,9
0,0
4,1
9,0
2,1
0,4
21,2
23,1
9,9
0,0
33,0
58,6
0,2
9,9
2,2
4,8
0,2
7,2
19,0
0,0
0,5
0,4
0,2
0,4
1,0
2,1
0,0
0,9
0,6
0,2
0,0
0,8
3,3
0,2
11,3
3,2
5,2
0,6
9,0
24,4
6,4
6,4
10,0
0,1
0,5
10,6
17,0
65,0
29,0
2,2
3,8
35,0
100,0
3 de 3
RECONOCE
TOTAL
Sólo con Q
32,5
42,0
83,0
De la tabla anterior, surge que sólo el 4,4 % de la población en estudio identificó correctamente a los tres números
enteros que contenía el cuadro del ejercicio y no señaló como entero a ningún número que no lo sea.
En tanto, han señalado como entero a por lo menos uno de los tres números enteros del cuadro el 83% del total de
alumnos, entre los cuales el 58,6 % no incluyó cruces en números que no sean enteros (I. reconoce y no confunde) y el
24,4 % sí lo hizo (II. reconoce y confunde).
La exploración de la clase I.(reconoce y no confunde), permite visualizar que los errores más frecuente entre estos
alumnos es que señalen sólo uno de los tres números enteros (33, 0 %) y entre ellos, en particular, mayoritariamente
identificaron correctamente sólo al 2 (23,1 %) o sólo al –2 ( 9,9%) o bien, señalaron dos de los tres enteros (21,2% ), lo
que, prácticamente, equivale a decir que señalaron el 2 y el –2 (20,3 % ), porque son ínfimos los porcentajes de las otras
subclases de la clase I.b.
En tanto, al interior de las clases II. y IV., es decir, entre los alumnos que más allá de haber señalado o no alguno de los
números enteros del cuadro, marcaron con cruz algún número que no es entero, hay una marcada tendencia a confundir
a Z señalando como enteros sólo a elementos de Q-Z (suma de porcentajes en la columna de las sub-clases II.1.: 29,0%
frente a las sumas de otras subclases: 2,2 % y 2,8 % ).
Por otra parte, en el grupo de alumnos con distintos niveles de reconocimiento de Z y que confunden con otros
conjuntos numéricos, se advierte que es más frecuente reconocer dos de los tres enteros y confundir (11,3 %), que
reconocer uno de tres y confundir (9,0 %) y, más aún, que reconocer los tres enteros y confundir (4,1 % ).
Señalar el 2 y el –2 o bien señalar sólo el –2, y señalar también como enteros números que no lo son, constituyen los
errores más frecuentes dentro de estos subgrupos. (7,9 % y 4,8 %, respectivamente).
Similarmente a lo que ocurría con los números naturales, entre los enteros, los procesos de reconocimiento y no
confusión están positivamente asociados (χ2=50,83; P=0.000; gl=1). Esta asociación es más fuerte que en el caso de los
naturales.
CONCLUSIONES
1) Hay mayores dificultades en la identificación correcta de números enteros que de naturales.
2) En el caso de los enteros, aparecen distintos niveles de reconocimiento en función del número de enteros que
se señalan y los errores más frecuentes consisten en: a) señalar sólo uno de ellos: sólo el 2 o sólo el –2 y b)
señalar dos de los tres, en particular, el 2 y el –2. Esta cuestión ratifica la detección de la representación
semiótica de - 49 como un obstáculo del proceso de identificación al que ya nos hemos referido en el análisis
por columnas.
3) En cuanto al consignar cruces de más señalando números que no pertenecen al conjunto al que corresponde esa
fila, hay una marcada tendencia a señalar números racionales como si fueran naturales o enteros.
BIBLIOGRAFIA
* Hernández, H. 1990 “Saltar a la vista lo evidente” , Revista Cubana de Educación Superior, Vol. X, Nº1, La Habana,
Cuba.
* Hernández, H. 1993 “Estructurando el conocimiento matemático”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el
debate. E.P.N. Quito, Ecuador.
* Hernández, H. (1993) “Sistema Básico de Habilidades Matemáticas”, Didáctica de la Matemática, Artículos para el
debate, E.P.N., Quito Ecuador.
* Delgado, J.C. (1995) “Un sistema de habilidades para la enseñanza de la Matemática” –Memorias de la IX Reunión
Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa – La Habana –
Cuba
* “Determinación y análisis de las principales deficiencias en la identificación de números pertenecientes a los distintos
conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R, en alumnos ingresantes a FACENA en 2001. II. Análisis por columna.”, Porcel,
E.; Ramírez Arballo, M. G., 2002.