Introducción al filtrado digital

Introducción al filtrado digital
Emilia Gómez Gutiérrez
Síntesi i Processament del So I
Departament de Sonologia
Escola Superior de Musica de Catalunya
Curso 2009-2010
emilia.gomez@esmuc.cat
2 de noviembre de 2009
Índice
1. Introducción
2. Los
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2
filtros
Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Respuesta impulsional, frecuencial y de fase de un filtro
Teoría de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tipos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ancho de banda y factor de calidad . . . . . . . . . . . .
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4. Ejemplos de filtros FIR
4.1. Filtro paso bajo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Filtro paso alto FIR de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Filtro paso de banda FIR de segundo orden . . . . . . . . . . . .
7
7
9
9
3. Introducción a los filtros digitales
3.1. Funcionamiento de base . . . . .
3.2. Los filtros en ecuaciones . . . . .
3.2.1. Filtros FIR . . . . . . . .
3.2.2. Filtros IIR . . . . . . . .
3.2.3. FIR vs IIR . . . . . . . .
3.2.4. El orden de un filtro . . .
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5. Ejemplos de filtros IIR
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5.1. Filtro paso bajo IIR de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2. Filtro paso alto IIR de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6. Los comb filters o filtros en peine
12
7. Filtros pasa-todo (allpass filters)
13
8. Bibliografía
14
1
1.
Introducción
Veremos una breve introducción al filtrado y a los filtros digitales, que serán
esenciales para la síntesis substractiva y para muchos efectos y transformaciones
sonoras.
2.
2.1.
Los filtros
Generalidades
En su definición más general, un filtro se puede definir como todo procesado
que altera la naturaleza de una señal sonora de una forma o de otra. Un filtro
es un proceso computacional o algoritmo mediante el cual una señal digital
(secuencia de muestras) es transformada en una segunda secuencia de muestras
o señal digital de salida.
Los filtros se utilizan mucho en todos los ámbitos del procesado de señal,
más o menos musicales, y son una componente esencial en toda cadena de comunicación. Constituyen la base del procesado de señal, que puede aplicarse a
señales de todo tipo (sonidos, imágenes, vídeo, vibraciones sísmicas, etc).
En el dominio de las señales de audio, definiremos un filtro específicamente
como un objeto que altera el espectro o el contenido frecuencial de una señal.
De ahí su importancia fundamental en la música electroacústica. Los filtros se
utilizan de forma práctica en todo tipo de situaciones musicales, ya sea para
la modificación radical de una señal sintética o para situar espectralmente una
grabación de música instrumental.
2.2.
Respuesta impulsional, frecuencial y de fase de un
filtro
La respuesta impulsional es la reacción de un filtro a un impulso que
se envía a su entrada. La respuesta impulsional caracteriza a un filtro en el
dominio temporal. Podemos pensar, por ejemplo, en la respuesta impulsional de
una sala de conciertos que podemos generar si damos un golpe seco en la sala. Al
trabajar en el dominio digital, dicha respuesta impulsional estará discretizada
en el tiempo y por tanto definida por una serie de muestras:
h[n]
La transformada de Fourier de una respuesta impulsional de un filtro corresponde a su función de transferencia o representación frecuencial, que
caracteriza al filtro en el dominio frecuencial. Dicha caracterización se realiza a
través de su espectro de amplitud y de su espectro de fase.
H(f )
Amplitud : |H(f )|
F ase :< H(f )
Por naturaleza, un filtro no puede ser a la vez preciso en el dominio temporal
y frecuencial. De hecho, un filtro con una transición rápida (por ejemplo, con una
banda pasante estrecha) presenta una respuesta impulsional larga (el impulso
2
resona mucho tiempo). Por el contrario, una banda pasante ancha corresponde
a una respuesta impulsional corta.
Sea una señal digital de entrada x[n] que procesamos con un filtro para
generar una señal de salida y[n]. El espectro de la señal de salida Y (f ) se obtiene
multiplicando el espectro de entrada X(f ) por la respuesta frecuencial del filtro
H(f ), es decir:
Y (f ) = X(f ) · H(f )
Ésto equivale a la operación de convolución (representada con un "*") entre
las señales en el dominio temporal:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Los filtros tienen también un efecto importante en la fase de las señales.
El filtrado en sí mismo es una aplicación de los retardos (modificando la fase
de la señal), lo que explica su comportamiento en el dominio temporal y su
implantación digital.
2.3.
Teoría de filtros
La teoría de filtros tiene una componente matemática compleja que hace
que se aleje de la experiencia humana. La ecuación de un filtro, por ejemplo, no
está relacionada necesariamente con sus cualidades sonoras. En los textos técnicos, los filtros se describen mediante una herramienta matemática denominada
transformada z. La transformada z relaciona los efectos de retardos de muestras
en una imagen de dos dimensiones de la representación frecuencial (H(f)) que se
demonima el plano complejo z. Los polos en dicho plano representan los picos de
resonancia o puntos que hacen que la respuesta frecuencial se haga infinita. Los
ceros representan los puntos de amplitud nula de la respuesta frecuencial. Por
ejemplo, un filtro de 2 polos tiene 2 picos de resonancia. La transformada z es
un concepto esencial para el diseño de filtros, ya que proporciona una relación
matemática entre las características del filtro que queremos diseñar y los parámetros de implementación del mismo. Sin embargo, la complejidad matemática
de la transformada z sólo está indirectamente relacionada con los parámetros
que tienen significación perceptual.
Nosotros adoptaremos una forma más intuitiva de abordar el estudio de
filtros digitales que presenta el libro (Roads 1996). En ella, partiremos de los
diagramas de bloques de los filtros y estudiaremos casos sencillos analizando la
salida de los filtros a una serie simple de entradas.
2.4.
Tipos de filtros
Los filtros más corrientes son los filtros paso bajo (Low Pass, LP), paso
alto (High Pass, HP), paso de banda (Band Pass, BP) y los filtros rechazo de
banda (o paso no banda) (Band Reject, Band stop o Notch). En la figura 1 se
representan estos 4 tipos de filtros mediante su respuesta en frecuencia o espectro
de amplitud.
Cada punto de la respuesta en frecuencia nos indica la atenuación a la que
se someterá una señal a una frecuencia determinada.
3
Figura 1: Tipos de filtros
Los filtros paso bajo (LP) dejan pasar las frecuencias que están por
debajo de una determinada frecuencia.
Los filtros paso alto (HP) dejan pasar las frecuencias que están por
encima de una determinada frecuencia.
Estos dos tipos de filtros están definidos por su frecuencia de corte, que
es la frecuencia a la cual la amplitud de la señal se reduce a 0.707 ( √12 ) de su
valor máximo, es decir, sufre 3 dB de atenuación.
Los filtros paso banda (BP) dejan pasar las frecuencias que están situadas en una determinada banda de frecuencia, es decir, entre dos determinadas frecuencias.
Los filtros rechazo de banda (BR) dejan pasar todas las frecuencias
excepto las que están situadas en una determinada banda de frecuencia,
es decir, entre dos determinadas frecuencias f1 y f2 . Estas frecuencias son
las frecuencias a las que la amplitud de la señal se reduce a 0.707 ( √12 ) de
su valor máximo, es decir, sufre 3 dB de atenuación.
Estos dos tipos de filtros están definidos por su frecuencia central y su
ancho de banda, que sería la diferencia entre las frecuencias de corte inferior
y superior.
Como se ilustra en la figura 1, las transiciones entre la banda pasante y la
banda de corte no son generalmente limpias en los filtros reales. Existe, por
tanto, una banda de transición entre la zona donde teóricamente todo pasa y
la zona donde teóricamente nada pasa.
Los filtros pueden combinarse en serie o en paralelo para obtener respuestas
frecuenciales más complejas.
4
2.5.
Ancho de banda y factor de calidad
En un filtro ideal, toda componente espectral que se sitúe más allá de la
frecuencia de corte debería, en principio, ser eliminada completamente. En realidad, no podemos implementar este tipo de filtros con los métodos que veremos.
Por lo tanto, tenemos que establecer la rigidez o rapidez del corte, expresado en
dB por octava.
El factor de calidad Q de un filtro BP o BR permite regular la rapidez o
la pendiente de la campana que se representa en la figura 2.
Figura 2: Factor de calidad Q
El factor de calidad Q corresponde a un cociente entre la frecuencia central
del filtro y el ancho de banda a los puntos con 3 dB de atenuación:
Q=
fcentral
(fC2 − fC1 )
(1)
La figura 2 representa un filtro BP en el que hacemos variar el factor de
calidad manteniendo fija la frecuencia central.
La amplitud máxima o ganancia de un filtro BP o BR también es importante. El control de bandas múltiples, por ejemplo, y la ganancia de cada una
de ellas, permitirá fabricar módulos ecualizadores o filtros gráficos.
3.
3.1.
Introducción a los filtros digitales
Funcionamiento de base
El funcionamiento de base de un filtro digital es relativamente simple. Distinguimos de hecho dos tipos de funcionamiento, que se ilustran en la figura 3.
Figura 3: Diagrama de bloques de los dos tipos de filtros digitales: (a) FIR y
(b) IIR
(a) retardamos ligeramente una copia de la señal de entrada (de uno o
varios períodos de muestreo) y combinamos la señal de entrada retrasada
5
con la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este funcionamiento se dice que son de respuesta impulsional finita o FIR (Finite
Impulse Response).
(b) retardamos una copia de la señal de salida, la cuál combinamos
con la nueva señal de entrada. Los filtros digitales basados en este funcionamiento se dice que son de respuesta impulsional infinita o IIR (Infinite
Impulse Response). También se les denomina filtros recursivos o con
feedback.
3.2.
Los filtros en ecuaciones
Podemos describir los filtros mediante una ecuación que relaciona una señal de entrada con una señal de salida en el dominio digital. De ésta manera,
la salida del filtro se especifica como una resultado de sumas, restas y multiplicaciones de muestras de entrada actuales y anteriores. Dichas ecuaciones se
denominan técnicamente ecuaciones lineales en diferencias. Lineales significa
que si la entrada de un filtro es la suma de dos funciones escaladas, la salida
del filtro es igual a la suma escalada de las salidas del filtro para cada una de
dichas funciones.
3.2.1.
Filtros FIR
En el caso de un filtro con respuesta impulsional finita (FIR), una muestra
de la salida se puede definir como una combinación linear de muestras de la
entrada presentes y pasadas. Podemos expresar esta relación con una ecuación
del tipo:
y[n] = a0 · x[n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x[n − 2] + ... + aN · x[n − N ]
(2)
Esta ecuación expresa que la muestra actual de la salida y[n] es igual a la
suma de las muestras de la entrada actual x[n] multiplicada por el factor a0
y de la muestra anterior x[n − 1] multiplicada por el factor a1 , y de todas las
muestras anteriores hasta el instante [n − M ] multiplicadas por su respectivo
factor.
Los factores ai son los coeficientes del filtro. Modificando estos coeficientes
podremos variar de forma drástica las características del filtro.
La serie de coeficientes a0 , a1 , ... constituye la respuesta impulsional del filtro. De hecho, podemos verificar que la respuesta del filtro a la señal impulso
(digital):
x = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}
(3)
y = {a0 , a1 , a2 , a3 , ..., aN , 0, 0, 0, ...}
(4)
es la señal de salida:
lo cual explica la denominación de filtro a respuesta impulsional finita.
6
3.2.2.
Filtros IIR
Los filtros con respuesta impulsional infinita (IIR) se distinguen de los filtros
FIR por la presencia de una recursividad: la señal de salida del filtro se reinyecta
a la entrada del mismo, constituyendo un circuito recursivo o con feedback.
Este método permite implementar filtros con respuesta más compleja y con menos datos. Como inyectamos constantemente energía en el circuito, la respuesta
impulsional tiene una duración potencial infinita, y de ahí le viene el nombre.
La ecuación típica de un filtro IIR se expresa de la siguiente manera:
y[n] = a0 · x[n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x[n − 2] + ... + aN · x[n − N ]+
−b1 · y[n − 1] − b2 · y[n − 2] − b3 · y[n − 3] − ... − bM · y[n − M ]
(5)
Esta ecuación expresa que la salida es función de N+1 muestras de la entrada
(actual y N anteriores), así como de M muestras anteriores de salida.
3.2.3.
FIR vs IIR
Los filtros FIR ofrecen en general una respuesta de fase más lineal y no
entran jamás en oscilación (es decir, no se vuelven inestables), ya que no poseen
realimentación. Por otro lado, requieren un gran número de términos en sus
ecuaciones y eso les hace más costosos en cuanto a cálculo o carga computacional.
Un filtro FIR con un corte muy abrupto (es decir, que tenga una banda de
transición muy corta) puede requerir hasta centenas de retardos.
En cuanto a los filtros IIR, son muy eficaces y pueden proporcionar pendientes de corte muy pronunciadas. Por otro lado, al poseer características de
realimentación (o feedback), tienen tendencia a entrar en oscilación y en resonancia.
3.2.4.
El orden de un filtro
El número de muestras anteriores a la actual que se utilizan en un filtro
para generar una muestra de salida corresponde al orden del filtro. Un filtro
de primer orden utiliza una sola muestra precedente. De esta forma, un filtro
recursivo de segundo orden se expresaría con la ecuación siguiente:
y[n] = a0 · x[n] + a1 · x[n − 1] + a2 · x[n − 2] − b1 · y[n − 1] − b2 · y[n − 2] (6)
Este filtro utiliza dos muestras anteriores de entrada y dos muestras anteriores de la salida. Es la forma que tendría un filtro paso de banda que se utiliza
bastante, denominado biquad (de bicuadrático).
Mientras mayor sea el orden de un filtro (cuantas más retardos se utilicen
en el circuito), el corte del filtro será más abrupto.
4.
4.1.
Ejemplos de filtros FIR
Filtro paso bajo de primer orden
Para construir un filtro paso bajo FIR simple (que atenuará las frecuencias
altas de una señal de entrada), sólo hace falta efectuar la media de los valores de
7
la muestra actual y la muestra precedente, como ilustra el diagrama de bloques
de la figura 4.
Figura 4: Diagrama de bloques de un filtro LP FIR
El funcionamiento de este filtro se puede expresar mediante la ecuación siguiente:
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · x[n − 1]
(7)
Se puede entender intuitivamente el efecto paso bajo de esta operación, ya
que al efectuar la media atenuamos las variaciones bruscas de la señal, lo que
origina un suavizado de la señal de entrada.
Este filtro es un ejemplo del filtro de tipo (moving average) (promedio móvil).
Veamos cuál sería la respuesta de este filtro a diferentes señales de entrada.
Consideremos primero una señal constante:
x = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
(8)
De la ecuación, deducimos que la señal de salida sería:
y = {0,5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
(9)
Por lo tanto, después de un transitorio corto (la primera muestra que vale
0.5), la señal de salida es igual a la señal de entrada: una señal constante de
amplitud 1. Para una señal constante, que tiene una frecuencia nula, verificamos
que las bajas frecuencias no se atenúan en el filtrado.
Consideremos ahora una señal que oscila entre −1 y +1 a la frecuencia de
Nyquist (la frecuencia máxima):
x = {+1, −1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, ...}
(10)
En este caso, la señal de salida se atenúa muy rápidamente como podríamos
preveer:
y = {0,5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}
(11)
Podemos observar la respuesta en frecuencia del filtro en la figura 5. La
ganancia, en función de la frecuencia, viene dada por:
8
A(f ) = cos(
π·f
)
fs
(12)
Figura 5: Respuesta en frecuencia de un filtro LP FIR
La frecuencia de corte vale f4s (un cuarto de la frecuencia de muestreo). La
simplicidad del filtro se paga con una banda de transición ancha.
4.2.
Filtro paso alto FIR de primer orden
La estructura de un filtro paso alto FIR elemental es muy similar a la del
filtro paso bajo FIR que acabamos de ver, pero en vez de sumar dos muestras
consecutivas, las restamos:
y[n] = 0,5 · x[n] − 0,5 · x[n − 1]
(13)
El efecto paso alto se explica fácilmente: al restar dos muestras sucesivas
atenuamos la señal en los puntos en los que varía lentamente (bajas frecuencias)
y acentuamos allí donde la señal varía rápidamente (altas frecuencias).
La ganancia en función de la frecuencia viene dada por:
π·f
)
(14)
fs
El diagrama de bloques de este filtro está representado en la figura 6, así
como su función de transferencia en la figura 7.
A(f ) = sin(
4.3.
Filtro paso de banda FIR de segundo orden
La ecuación de un de un filtro paso de banda (BP) simple no recursivo de
segundo orden es la siguiente:
y[n] = 0,5 · x[n] − 0,5 · x[n − 2]
(15)
Este filtro es de segundo orden, ya que utiliza un retardo de dos períodos
de muestreo como máximo (para obtener x[n − 2]). La ganancia del filtro en
función de la frecuencia viene dada por la siguiente ecuación:
9
Figura 6: Diagrama de bloques de un filtro simple HP FIR
Figura 7: Respuesta en frecuencia de un filtro simple HP FIR
A(f ) = sin(
2·π·f
)
fs
(16)
lo cual corresponde a un filtro paso de banda de frecuencia central f4s
Si en vez de restar sumáramos las muestras x[n] y x[n − 2], obtendríamos un
filtro rechazo de banda de frecuencia central f4s .
5.
5.1.
Ejemplos de filtros IIR
Filtro paso bajo IIR de primer orden
Un filtro LP recursivo de primer orden simple efectúa la media de la muestra
actual de entrada y de la muestra de salida anterior, como ilustra el diagrama
de la figura 8 y la fórmula siguiente:
10
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · y[n − 1]
(17)
La respuesta en frecuencia (sobre la figura 9) tiene una forma diferente a
la del filtro LP no recursivo. Este filtro se denomina ETA (Exponential Time
Average).
Figura 8: Diagrama de bloques de un filtro simple LP IIR
Figura 9: Respuesta en frecuencia de un filtro simple LP IIR
Para verificar el concepto de respuesta impulsional infinita, reemplazemos
y[n − 1] por su expresión deducida de la misma ecuación:
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · y[n − 2])
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · (0,5 · x[n − 2] + 0,5 · y[n − 3]))
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,5 · (0,5 · x[n − 1] + 0,5 · (0,5 · x[n − 2] + 0,5 · (0,5 · x[n − 3] + 0,5 · y[n − 4])))
etc...
(18)
Finalmente podemos observar que este filtro es una versión del filtro FIR
(no recursivo) siguiente:
y[n] = 0,5 · x[n] + 0,25 · x[n − 1] + 0,125 · x[n − 2] + 0,0625 · x[n − 3] + ... (19)
11
La ecuación comprende teóricamente un número infinito de términos. La respuesta impulsional es, por tanto, teóricamente infinita, lo que explica el nombre
que se le da a este tipo de filtros.
La forma general de un filtro IIR de primer orden es:
y[n] = a · x[n] + b · y[n − 1]
(20)
Una variación de los coeficientes de reinyección (coeficiente b en este ejemplo)
permitirá controlar la frecuencia de corte del filtro. Cuando b crece, la frecuencia
de corte baja.
5.2.
Filtro paso alto IIR de primer orden
Como para los filtros FIR, una resta en vez de una suma nos genera un filtro
HP en vez de LP:
y[n] = a · x[n] − b · y[n − 1]
6.
(21)
Los comb filters o filtros en peine
Los filtros en peine (comb filters) son un tipo particular de filtros que crean
una serie de picos y de valles en el espectro de la señal. Estos picos y valles se
sitúan a una distancia frecuencial igual. Los filtros en peine pueden ser de tipo
FIR o IIR.
La estructura del filtro en peine FIR, que se representa en el esquema de
bloques de la figura 10, es similar al filtro BP FIR. Su ecuación es:
y[n] = x[n] + x[n − D]
(22)
Figura 10: Diagrama de bloques de un comb filter
D indica un retardo medido en número de muestras. Para valores de retardo
muy pequeños, el efecto del filtro es despreciable (a 48 KHz, un retardo de una
muestra corresponde a 0.0208 ms). Cuando D aumenta, aparecen picos y valles
en la respuesta frecuencia, que están cada vez más próximos a medida que el
retardo aumenta.
Estos picos y valles provienen de la anulación y la suma de fase de dos señales
(original y retrasada). El primer pico se sitúa en la frecuencia:
f0 =
12
fs
D
(23)
donde D es el retardo en muestras y fs la frecuencia de muestreo. Los picos
sucesivos se encuentran en las frecuencias 2 · f0 , 3 · f0 , ....
La figura 11 muestra la respuesta frecuencial de un filtro comb con un retardo de 10 muestras, equivalente a 0,227 ms a 44100 Hz. A esta frecuencia de
muestreo, el primer pico se encuentra en la frecuencia 4410 Hz.
Figura 11: Respuesta en frecuencia de un filtro comb
La ecuación siguiente:
y[n] = x[n] − x[n − D]
(24)
describe un filtro comb sustractivo.
Los filtros comb IIR incluyen una recursión, que se expresa en la ecuación
siguiente:
y[n] = a · x[n] + b · y[n − D]
(25)
Con una implantación de este tipo podemos obtener curvas de atenuación
mucho más finas.
7.
Filtros pasa-todo (allpass filters)
Un filtro pasa todo es un procesador peculiar, ya que deja pasar todas las
frecuencias sin cambio alguno de amplitud, tal y como su nombre indica. Por
tanto, tiene una respuesta frecuencial de amplitud constante en todo el rango
de frecuencias audio.
Respecto a la respuesta de fase, dicho filtro aplica un cambio de fase a la
señal de entrada. Es decir, retrasa diferentes regiones de frecuencia con diferentes
valores de retardo. Éste tipo de retardo dependiente de la frecuencia se denomina
dispersión.
Los efectos audibles de un filtro pasa todo se manifiestan sobre todo en los
períodos de transición como son el ataque y decaimiento, cuando la señal se
colorea mediante un cambio de fase que depende de la frecuencia.
13
La ecuación siguiente describe un filtro pasa todo simple con una respuesta
frecuencial constante (desde 0 a f2s ) que retrasa varias frecuencias con diferentes
valores de retardo. Cuando el retardo en muestras D es grande, el filtro genera
una serie de ecos que decaen, un efecto que se utiliza en los allpass reverberators.
y[n] = (−g · x[n]) + x[n − D] + (g · y[n − D])
Éste filtro pasa todo corresponde a un filtro comb IIR con realimentación
(controlada por la constante g) en un circuito que también alimenta parte de
la señal de entrada hacia la salida con una ganancia −g. Dicha sustracción
cancela el efecto espectral del filtro comb mientras que preserva el echo y las
características de retardo.
Los usos musicales de éste tipo de filtros son variados. El uso más aplicado
sería utilizar éstos filtros para contrarrestar el efecto de fase de otros filtros. Por
ejemplo, algunas empresas de audio fabricaban filtros pasa todo que compensaban la distorsión de fase inherente a los grabadores digitales primitivos. Otra
aplicación se encuentra en algunos sintetizadores, donde un filtro pasa todos
puede cretar un retardo de fase variable en el tiempo y en la frecuencia para
enriquecer sonidos estáticos. Un ejemplo sería el efecto çhorus", una combinación de retardo y cambio de fase. La aplicación más importante de éste tipo de
filtros se encuentra en los efectos de reverberación, como veremos en los temas
siguientes.
8.
Bibliografía
1. Roads, C. "The Computer Music Tutorial", MIT Press, 1996. pp. 396-440.
2. Smith, J. O. Ïntroduction to digital filters with audio applications", http://ccrmawww.stanford.edu/˜ jos/filters/
14