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Capacitancia y materiales
dieléctricos
Cuando preparamos una ratonera antigua de resorte o tensamos la cuerda de un arco, almacenamos
energía mecánica en forma de energía potencial elástica. Un capacitor es un dispositivo que almacena
energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno
del otro. Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro,
de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe
realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los
conductores, y el trabajo efectuado se almacena como energía potencial eléctrica.
Los capacitores tienen un gran número de aplicaciones prácticas en dispositivos tales como unidades
de flash electrónicas para fotografía, láseres de pulso, sensores de bolsas de aire para automóviles y
receptores de radio y televisión. Para un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada
conductor y la diferencia de potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia. La
capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material aislante (si lo
hay) entre ellos. En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre los conductores, la
capacitancia aumenta cuando está presente un material aislante (un dieléctrico). Esto sucede porque
en el interior del material aislante ocurre una redistribución de la carga, llamada polarización. El
estudio de la polarización ampliará nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la materia
1
Los capacitores también ofrecen una forma nueva de pensar acerca de la energía potencial eléctrica.
La energía almacenada en un capacitor con carga, guarda relación con el campo eléctrico en el
espacio entre los conductores. Veremos que la energía potencial eléctrica puede considerarse
almacenada en el mismo campo. La idea de que el campo eléctrico es en sí un almacén de energía
está en el corazón de la teoría de las ondas electromagnéticas y de nuestra concepción moderna de
la naturaleza de la luz
Capacitores y capacitancia
Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor (figura 24.1). En la
mayoría de las aplicaciones prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero, y los
electrones son transferidos de un conductor al otro; a esta acción se le denomina cargar el capacitor.
Entonces, los dos conductores tienen cargas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el
capacitor en su conjunto permanece igual a cero. En este capítulo se supondrá que éste es el caso.
Cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q está almacenada en el capacitor,
significa que el conductor con el potencial más elevado tiene carga +Q y el conductor con el potencial
más bajo tiene carga -Q (si se supone que Q es positiva). En los diagramas de circuito, un capacitor se
representa con cualquiera de estos símbolos:
2
El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la
magnitud Q de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial Vab entre los
conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la magnitud de la carga en cada
conductor, también se duplican la densidad de carga en cada conductor y el campo eléctrico en
cada punto, al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sin embargo, la razón
entre la carga y la diferencia de potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del
capacitor:
La capacitancia C de un capacitor se define como la relación de la magnitud de la
carga en cualquiera de los conductores a la magnitud de la diferencia de potencial
entre dichos conductores:
La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor del
físico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la
ecuación (24.1), un farad es igual a un coulomb por volt ( C/V):
3
Cálculo de la capacitancia
1.Capacitor de placas paralelas con carga
Cuando la separación de las placas es pequeña en comparación con su tamaño , el
campo eléctrico de los bordes es despreciable. Entonces
El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por lo que la
diferencia de potencial (voltaje) entre las dos placas es
A partir de esto se observa que la capacitancia C de un capacitor de
placas paralelas con vacío es
Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es
proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la
separación de las placas.
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2.Capacitor Esférico
Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por vacío. La coraza interior
tiene una carga total Q y exterior ra, y la coraza exterior tiene carga -Q y radio interior rb (figura
24.5). (La coraza interior está unida a la coraza mediante delgadas varillas aislantes que tienen
un efecto despreciable sobre la capacitancia.) Determine la capacitancia del capacitor esférico.
Solución: Aplicando la ley de Gauss tenemos
La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente a
una carga puntual Q, por lo que la expresión para el potencial
también puede tomarse como la misma que la correspondiente a
una carga puntual. De ahí que el potencial del conductor interior
(positivo) en r = ra con respecto al del conductor exterior
(negativo) en r = rb es
5
Otra forma(condensador esférico)
En este caso, como
si
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3.Capacitor cilíndrico
Un conductor cilíndrico sólido, de radio a y carga Q, es coaxial con una cubierta cilíndrica de
grosor despreciable, radio b > a y carga –Q (figura 26.4a). Encuentre la capacitancia de este
capacitor cilíndrico si su longitud es l .
SOLUCIÓN
Como
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Combinaciones de capacitores
Combinación en paralelo
Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.7a (página 728) se conocen como
combinación en paralelo de capacitores. La figura 26.7b muestra un diagrama de circuito para esta
combinación de capacitores. Las placas izquierdas de los capacitores se conectan a la terminal positiva
de la batería mediante un alambre conductor y debido a eso están con el mismo potencial eléctrico
que la terminal positiva. Del mismo modo, las placas derechas se conectan a la terminal negativa y por
tanto están con el mismo potencial que la terminal negativa. En consecuencia, las diferencias de
potencial individuales a través de capacitores conectados en paralelo son las mismas e iguales a la
diferencia de potencial aplicada a través de la combinación. Es decir,
∆V1 = ∆V2 = ∆V
donde ∆V es el voltaje de terminal de la batería.
Fig26.7
8
Después de que la batería se une al circuito, los capacitores rápidamente alcanzan su
carga máxima. Sean las cargas máximas en los dos capacitores Q 1 y Q 2. La carga total
Q tot almacenada por los dos capacitores es
Qtot = Q1 + Q2
(26.7)
Es decir, la carga total en capacitores conectados en paralelo es la suma de las cargas en los
capacitores individuales.
Suponga que quiere sustituir estos dos capacitores por un capacitor equivalente que tenga una
capacitancia Ceq, como en la fi gura 26.7c. El efecto que este capacitor equivalente tiene sobre
el circuito debe ser exactamente el mismo que el efecto de la combinación de los dos
capacitores individuales. Es decir: el capacitor equivalente debe almacenar carga Q tot cuando
se conecte a la batería. La fi gura 26.7c muestra que el voltaje a través del capacitor equivalente
es ∆V porque el capacitor equivalente se conecta directamente a través de las terminales de la
batería. Por lo tanto, para el capacitor equivalente,
Qtot = Ceq ∆V
Al sustituir para las cargas en la ecuación 26.7 se obtiene
Ceq ∆V = C1∆V1 + C2 ∆V2
Ceq = C1 + C2
En consecuencia, la capacitancia equivalente de una combinación de capacitores en paralelo es 1)
la suma algebraica de las capacitancias individuales y 2) mayor que cualquiera de las
capacitancias individuales.
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Combinación en serie
Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.8a, así como el diagrama de circuito
equivalente de la figura 26.8b, se conocen como combinación en serie de capacitores. Al conectar la
batería, se transfieren electrones que salen de la placa izquierda de C1 y entran en la placa derecha de
C2. Conforme se acumula esta carga negativa en la placa derecha de C2, una cantidad equivalente de
carga negativa es expulsada de la placa izquierda de C2 y esta placa izquierda resulta con un exceso de
carga positiva. La carga negativa que sale de la placa izquierda de C2 hace que se acumulen cargas
negativas en la placa derecha de C1. Como resultado, todas las placas derechas terminan con una carga
Q y las izquierdas con una carga Q. Por lo tanto, las cargas de los capacitores conectados en serie son
iguales.
Q1 = Q2 = Q
donde Q es la carga que se movió entre
un alambre y la placa exterior conectada
de uno de los capacitores.
La fi gura 26.8a muestra que el voltaje
total ∆Vtot a través de la combinación se
divide entre los dos capacitores:
∆V = ∆V1 + ∆V2
Fig26.8
10
donde ∆V1 y ∆V2 son las diferencias de potencial presentes en los capacitores C1 y C2,
respectivamente.
En general, la diferencia de potencial total aplicada a cualquier cantidad de capacitores conectados
en serie es la suma de las diferencias de potencial presentes entre cada uno de los capacitores
individuales.
Suponga que el simple capacitor individual equivalente de la fi gura 26.8c ejerce un efecto idéntico
sobre el circuito que la combinación en serie cuando está conectado a la batería. Una vez que está
totalmente cargado, el capacitor equivalente deberá tener una carga igual a Q en su placa derecha y
una carga de Q en su placa izquierda. Al aplicar la definición de capacitancia al circuito de la fi gura
26.8c, se tiene
∆Vtot =
Q
Ceq
Al sustituir por el voltaje en la ecuación 26.9 se tiene
Q
Q Q
= +
Ceq C1 C2
1
1
1
= +
Ceq C1 C2
Esto demuestra que 1) el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma algebraica de los
inversos de las capacitancias individuales y 2) la capacitancia equivalente de una combinación en
serie siempre es menor que cualquiera de las capacitancias individuales incluidas en la combinación.
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Energía almacenada en un capacitor con carga
Ya que las cargas positiva y negativa están separadas en el sistema de dos conductores
en un capacitor, en el sistema se almacena energía potencial eléctrica.
Suponga que q es la carga del capacitor en un determinado instante durante el proceso
de carga. En ese mismo momento, la diferencia de potencial a través del capacitor es
∆V=q/C. Se sabe que el trabajo necesario para transferir un incremento de carga dq de la
placa que tiene una carga -q a la placa que tiene una carga q (que está con el potencial
eléctrico más elevado) es
dW = ∆Vdq =
q
dq
c
Fig26.10
12
Fig26.11
Esto se ilustra en la fi gura 26.11. El trabajo total requerido para cargar el capacitor
desde q = 0 hasta una carga final q = Q es
Q
W =∫
o
q
C
Q2
dq =
2C
El trabajo invertido al cargar el capacitor se presenta como una energía potencial
eléctrica U almacenada en el mismo. Es posible expresar la energía potencial
almacenada en el capacitor con carga como:
Q2 1
1
2
U=
= Q∆V = C ( ∆V )
2C 2
2
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Considere la energía almacenada en un capacitor como si estuviera almacenada en el
campo eléctrico producido entre las placas al cargar el capacitor. Esta descripción es
aceptable porque el campo eléctrico es proporcional a la carga del capacitor. En el caso
de un capacitor de placas paralelas, la diferencia de potencial está relacionada con el
campo eléctrico mediante la correspondencia ∆V =Ed. Además, su capacitancia es C =
e0A/d . Si sustituye estas expresiones en la ecuación 26.11, obtiene
U=
1
2
ε0 A
d
(E d ) =
2
2
1
2
ε 0 ( Ad ) E 2
En vista de que el volumen ocupado por el campo eléctrico es Ad, la energía por cada
unidad de volumen uE =U/Ad, conocida como densidad de energía, es
uE = 12 ε 0 E 2
Es decir, la densidad de energía en cualquier campo eléctrico en un punto dado es
proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico.
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Dieléctricos
Un material no conductor como por ejemplo el vidrio, el papel o la madera, se denomina
dieléctrico. Faraday descubrió que cuando el espacio entre los dos conductores de un condensador
se ve ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor k que es característico del
dieléctrico y que se denomina constante dieléctrica. La razón de este incremento es que el campo
eléctrico entre las placas de un conductor se debilita por causa del dieléctrico. Así, para una carga
determinada sobre las placas, la diferencia de potencial se reduce y la relación Q/V se incrementa.
La figura 24.14a ilustra un electrómetro
conectado a través de un capacitor con carga,
con magnitud de carga Q en cada placa y
diferencia de potencial V0. Cuando entre las
placas se inserta una lámina sin carga de
material dieléctrico, como vidrio, parafina o
poliestireno, los experimentos muestran que
la diferencia de potencial disminuye a un valor
pequeño V (figura 24.14b). Al retirar el
dieléctrico, la diferencia de potencial vuelve a
su valor original V0, lo que demuestra que las
cargas originales en las placas no han
cambiado.
Fig24.14 Efecto de un dieléctrico entre las placas
paralelas de un capacitor. a) Con una carga dada, la
diferencia de potencial es V0. b) Con la misma carga
pero con un dieléctrico entre las placas, la
diferencia de potencial V es menor que V0.
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La capacitancia original C0 está dada por C0 = Q/V0, y la capacitancia C con el dieléctrico presente es C
= Q/V. La carga Q es la misma en ambos casos, y V es menor que V0, de donde se concluye que la
capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor que C0. Cuando el espacio entre las placas está
lleno por completo por el dieléctrico, la razón de C a C0 (igual a la razón de V0 a V) se denomina
constante dieléctrica del material, K:
Cuando la carga es constante, Q =
C0V0 = CV y C/C0 =V0/V. En este caso, la
ecuación anterior se puede expresar
de la forma
V
V= 0
( Q = cte )
k
Con el dieléctrico presente, la diferencia
de potencial para una carga Q dada se
reduce en un factor de K.
La constante dieléctrica K es un número
puro. Como C siempre es mayor que C0,
K siempre es mayor que la unidad.
Entonces, un dieléctrico
tiene las siguientes ventajas:
• Incrementa la capacitancia.
• Incrementa el voltaje máximo de
operación.
• Proporciona un posible soporte
mecánico entre las placas, lo que
permite que estén
cerca una de la otra sin tocarse, así
reduce d y aumenta C.
k≡
C
C0
TABLA 26.1
Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas aproximadas de
diversos materiales a temperatura ambiente
Intensidad dieléctrica
Material
Constante dieléctrica k
(106 V/m)
Aceite de silicón
2.5
15
Agua
80
—
Aire (seco)
1.000 59
3
Baquelita
4.9
24
Cloruro de polivinilo
3.4
40
Cuarzo fundido
3.7
88
Hule de neopreno
6.7
12
Mylar
3.2
7
Nylon
3.4
14
Papel
3.7
16
Papel impregnado en
3.5
11
parafina
Poliestireno
2.56
24
Porcelana
6
12
Teflón
2.1
60
Titanato de estroncio
233
8
Vacío
1.000 00
—
Vidrio pirex
5.6
14
16
Carga inducida(o Ligada) y polarización
Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la
carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor K. Por
lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor. Si E0 es el valor con
vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces
E=
E0
k
( Q = cte )
Como la magnitud del campo eléctrico es menor
cuando el dieléctrico está presente, la densidad
superficial de carga (que crea el campo) también debe
ser menor. La carga superficial en las placas
conductoras no cambia, pero en cada superficie del
dieléctrico aparece una carga inducida de signo
contrario (figura 24.15). Originalmente, el dieléctrico
era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales
inducidas surgen como resultado de la redistribución
de la carga positiva y negativa dentro del material
dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización.
Se supondrá que la carga superficial inducida es
directamente proporcional a la magnitud del campo
eléctrico E en el material; de hecho, éste es el caso
de muchos dieléctricos comunes.
Fig24.15 Líneas de campo eléctrico cuando entre las
placas hay a) vacío y b) un dieléctrico.
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Es posible obtener una relación entre esta carga superficial inducida y la carga en las placas. Se
denotará como σi la magnitud de la carga inducida por unidad de área en las superficies del
dieléctrico (la densidad superficial de carga inducida).
El campo entre las placas se relaciona con la densidad superficial de carga de acuerdo con E = σneta/ɛ0.
Sin el dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene
E0 =
σ
ε0
E=
σ −σi
ε0


1
σ i = σ 1 − 
k
Al usar estas expresiones y reordenar el resultado, se encuentra que

ε ≡ kε 0
El producto Kɛ0 se llama permitividad del dieléctrico, y se denota con ɛ :
En términos de ɛ, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se expresa como
E=
σ
ε
La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada por
C = C0 k = kε 0
La energía almacenada en el capacitor con
dieléctrico es
Y la densidad de energía en
presencia de dieléctrico es:
u=
A
A
=ε
d
d
Q02
U
U=
= 0
2kC 0
k
1
1
kε 0 E 2 = ε E 2
2
2
Capacitor de placas paralelas
con dieléctrico
Disminuye
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Los Dieléctricos y la Ley de Gauss
19
→
→
→
1. La integral de flujo ahora comprende k E , no sólo E .( El vector ε k E se llama a
veces desplazamiento eléctrico D , de modo que la ec 38 se puede escribir en la
forma ∫ Did A = q .)
2. La carga q encerrada por la superficie de Gauss es ahora considerada sólo carga
libre . La carga superficial inducida se desprecia deliberadamente en el lado derecho
de la ec 38, habiendo sido tomada por completo en cuenta al introducir la constante
dieléctrica en el lado izquierdo.
3. La ec 38 difiere de la original ley de Gauss, sólo en que ε en la última ecuación ha
sido sustituida por kε . Se mantiene k dentro de la integral de la ec 38 para
considerar los casos en los que k no es constante sobre toda la superficie de Gauss.
0
→
→
→
0
0
20
EJEMPLO 26.7 Efecto de una lámina metálica
Un capacitor de placas paralelas tiene una separación de
placas d y área de placa A. Una lámina metálica sin carga, de
grosor a, se inserta a medio camino entre las placas.
A) Encuentre la capacitancia del dispositivo.
SOLUCIÓN
En este caso podemos considerar el
sistema como dos condensadores
conectados en serie, entonces
Si
a→0
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EJEMPLO 26.8 Capacitor parcialmente lleno
Un capacitor de placas paralelas, con una separación de placa d, tiene una capacitancia C0 en ausencia
de un dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando entre las placas se inserta una lámina de material
dieléctrico con constante dieléctrica k y grosor fd (figura 26.25a), donde f es una fracción entre
0 y 1?
SOLUCIÓN
En este caso también ,podemos considerar
el sistema como dos capacitores conectados
en series, entonces
Fig 26.25
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