Especialidad en matemáticas Tarea 6

Especialidad en matemáticas
Tarea 6
(22 de marzo del 2011)
1. Prueba a partir de los axiomas de los números reales (propiedades de la suma y
multiplicación) que para cualquier número real a se cumple que a·0 = 0.
Sea a un número real. Como 0 =0+0, tenemos que a·0 = a(0+0); por la propiedad
distributiva de los reales la última expresión se puede reescribir como a·0 = a0+ a0. Al
sumar el inverso aditivo de a0 a ambos lados de la última igualdad obtenemos que 0= a0
que es lo que se quería demostrar.
2. Define qué significa poder dividir por un número a y di muy brevemente por
qué el concepto de dividir heredado de “las rebanadas de un pastel” no basta como
definición de dividir. Demuestra que no se puede dividir por cero partiendo únicamente
de propiedades de los números reales y/o resultados previamente demostrados.
Dividir a un número real a por un número real b distinto de cero, significa multiplicar al
inverso multiplicativo de b por a; esto se puede denotar por a/b . El concepto de dividir
dos números, heredado de “las rebanadas de un pastel” permite explicar la división de
dos números naturales, pero es posible dividir cualquier número real entre cualquier
número real; es en este sentido esta definición es incompleta.
3. Enuncia cuáles son las reglas de exponentes para los números reales en el caso
de exponentes enteros.
Para cualquier número real a y cualesquiera n,m números enteros se cumple:
i) a n a m  a nm ;
ii)
an
 a n m si a es distinto de cero;
m
a
iii) a n   a nm .
m
4.I Da un ejemplo de una operación que no sea conmutativa. Explica por qué.
La resta de números reales no es conmutativa; observamos que 5-4=1 es distinto de 45=-1.
4.II Da un ejemplo de una operación que no sean asociativa. Explica por qué.
La división de los números reales no es asociativa; observamos que (5/4)/2=5/8 que es
distinto a 5/(4/2) =5/2.
4.III Da un ejemplo de una operación que no es cerrada. Explica por qué.
La resta de números naturales no es una operación cerrada en el conjunto de los números
naturales pues 4-5=-1 que no es un número natural.
5. Resuelve paso por paso las siguientes fracciones:
a) 3/5 + 5/3 + 2= 18/5
b) 8 + 1/17 + 17=426/17
c) 1/√2 + 7/√3=(√2+7√3) /√6
d) 7/3 + 27/9 - (2π)/6= (16- π)/3
e) 2/3 + 13/7 + 41/2 – 500/21=-(11/21)
6. Da un ejemplo de una función:
a) Biyectiva: La función que a cada número natural le asigna el doble de ese
número natural, es decir, f(n)=2n para todo n número natural. Esta función es biyectiva
si tiene como dominio y contradominio (rango) al conjunto de números naturales.
b) Suprayectiva: La función que a cada número natural le asigna su residuo al ser
dividido por 4. Esta función es suprayectiva si tiene como dominio los números
naturales y contradominio el conjunto cuyos únicos elementos son :0,1,2,3.
c) Inyectiva: La función que a cada persona le asigna su peso en k.g. Esta función
es inyectiva si tiene como dominio los habitantes de Irapuato y contradominio todos los
números reales positivos pues cada persona tiene un único peso.
7. Determina el valor de X
Primero notamos que los triángulos ABF y CEF son semejantes pues sus tres ángulos
son iguales. Esto nos dice que sus lados son proporcionales, es decir, que
24 18

x 12
Por lo que x=16.
8. Determina el valor de X
9. Demuestra el teorema de Pitágoras.
Queremos demostrar que un triángulo rectángulo de catetos a,b e hipotenusa c
cumple el teorema de Pitágoras.
Formamos un cuadrado de lado a+b y trazamos los puntos A,B,C,D de la
siguiente manera:
El área de este cuadrado es a  b2 , y esta área también es igual a la suma de las
áreas de los cuatro triángulos y el cuadrilátero que formamos al trazar los puntos
A,B,C,D.
Observar que el cuadrilátero ABCD es un cuadrado de lado c, por lo que su área
es c 2 ; y los cuatro triángulos que forman el cuadrado de lado a+b tienen altura a
y base b por lo que el área de cada uno es
ab
.
2
Tenemos entonces que a  b2 =4
ab
+ c 2 . Al desarrollar el lado izquierdo de esta
2
igualdad y simplificar, obtenemos que c 2 = a 2 + b 2 que es lo que se quería
demostrar.
10.Demuestre que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° .
Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera. Supongamos que hemos nombrado sus vértices de
tal manera que los vértices B y D no están unidos por ninguno de los lados del
cuadrilátero (es decir, que no son contiguos). Trazamos un segmento que una los puntos
B y D (como referencia ver la siguiente figura).
Con el segmento BD, dividimos el cuadrilátero ABCD exactamente en dos triángulos, a
saber ABD y BCD; por lo que la suma de los cuatro ángulos internos del cuadrilátero
ABCD es igual a la suma de los ángulos internos de los dos triángulos ABD y BCD.
Recordando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, concluimos
que la suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD es igual a 360°.