D I V S

CEPRE-UNAM-2015
JUEVES 13-11-14
DIVISIBILIDAD
¿Cuáles son los múltiplos de 8?
 INTRODUCCIÓN
La suma, diferencia y producto de dos
números enteros resulta siempre enteros. Es lo
que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado”
de números enteros, refiriéndose a las
operaciones
de
adición,
sustracción
y
multiplicación.
Pero referido a la operación de división,
este conjunto deja de ser cerrado: hablando en
general, el cociente de la división de un entero
por otro puede no ser entero. Al expresar
“número” vamos a entender siempre, si no se
dice lo contrario, que es entero.
En la lectura “La Herencia” el número de
camellos ¿se podía dividir exactamente entre 2?
Rpta.: _____________

 DIVISIÓN
Si un número A se puede dividir
exactamente entre otro B se dice que: “A es
divisible por B”. Ejemplo:
¿Entre
qué
números
exactamente
se
puede
dividir
24 aparte del 1?
2
24
3
24
4
24
6
24
12
24
8
24
6
24
4
0
0
2 =
8 x
=
8 x
=
8 x
=
Textualmente
se tiene
Notación
Simbólica
“A es múltiplo
de B”
A= B

Los términos divisible y múltiplo están
siempre asociados.
0
24
8
24
12
24
24
24
3
24
3
24
1
0
8 x
NOTA:
Una característica de la matemática es su
lenguaje simbólico, lo cual permite resumir
considerablemente lo que textualmente
sería un poco difícil de entender.
64
0
1 = 8
OBSERVACIÓN:
24
0
8 x
8
0
24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
¿Entre que números es divisible 16?
16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____
porque:
16
16
16
16
 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
I.
DIVISIBILIDAD POR 2
 Divisibilidad por 2 = (21)
Calcula el residuo de las
divisiones:
siguientes
47 
2 = _______ resto ________
24 
2 = _______ resto ________
320 
2 = _______ resto ________
0
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
wilsonramirezrq@gmail.com
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Un número es divisible por 2 si termina en
_____________
o
en
número
_________
 Divisibilidad por 8 = (2
3
)
Es divisible por 8 cuando sus _________
Ejm:
últimas
46 es divisible por 2
46 es múltiplo de 2
cifras
son
____________
o
múltiplo de _______________

46 = 2
¿ 48ab35ab 128
87 no es divisible por 2 porque resta
_______________
87 se puede dividir entre 2 con resto
_______________
87
es
múltiplo
de
2
con
resto
_______________
es divisible por 8?
Si, porque 128  8 = __________, residuo
_________
¿36894 211 es divisible por 8?
______, porque 211  8 = _______ resto
________

87 = 2 + resto
59 _______ divisible por 2 porque resta

36894211 = 8 + _______
___________
59 =

2
II. DIVISIBILIDAD POR 5n
+
63 ________ divisible por 2 porque resta
¿En qué cifra debe terminar un número
para que sea divisible por 5?
____________
63 =
 Divisibilidad por 5 = (51)

2 +
Veamos:
120  5
resto ____________
241  5
resto ____________
482  5
resto ____________
Un número es divisible por 4 si sus _____
633  5
resto ____________
últimas ________ son ___________ o
684  5
resto ____________
múltiplo de ___________.
905  5
resto ____________
 Divisibilidad por 4 = (2
2
)
Ejm:
Para que un número sea divisible por 5 su
¿ abc4 84 es divisible por 4?
última _________ debe ser _________ o
Si, porque: 84 es múltiplo de 4
_____________

abc484  4

120 = 5
¿231 25 es divisible por 4?
No, porque 25 no es múltiplo de 4

241 = 5 + 1


25 = 4 con resto _____

23125 = 4 con resto _____
=
633 = 5 +

684 = 5 +

482 = 5 +


23125 = 4 + _____
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
905 = 5 +
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
 Divisibilidad por 25 = ( 5
2
31 = 3 +
)
=

368851 = 3 +
Un número es divisible por 25 cuando sus
_______________ cifras son ________
o múltiplos de ___________. Ejem:
abc00 es divisible por 25 porque sus 2
últimas cifras son ___________
 Un número es divisible por 9 si la
__________
de
sus
________
es
________ de 9.
Ejm:
¿48575 es divisible por 25?
________ porque 75 ________ múltiplo
de 25.

¿Cuál es el resto en: 48abc28  25 + resto?
Rpta.: _____________
¿Cuándo un número será divisible por
125 = 53?
Rpta.: _____________
¿4329918 es divisible por 9?
Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36
36  9 = 4

4329918 = 9
¿72652 es divisible por 9?
No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22
22  9 = ______ resto ______

22 = 9 +
=

72652 = 9 +
III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9
 Un número es divisible por 3 si la ______
de sus ________ es ___________ de 3.
Ejm:
¿48651 es divisible por 3?
Solución:
4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24
24 es múltiplo de 3
48651 es divisible por 3
IV. DIVISIBILIDAD POR 11
¿84436 es divisible por 11?
¿Cómo saberlo?
PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se
suman de manera intercalada las cifras.
8 4 4 3 6

48651 = 3
¿352164 es divisible por 3?
3+5+2+1+6+4=
6+4+8
PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las
cifras que quedaron.
______ múltiplo de 3
352164 __________ divisible por 3.
8 4 4 3 6
= (6 + 4 + 8) – (4 + 3)
¿368851 es divisible por 3?
No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31
31  3 = ______ resto _____
Prof. Roberto W. Ramirez Q.

= 18 – 7 = 11 = 11
 84436 es divisible por 11
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Si el resultado fuera cero también será
divisible por 11.
3.

483a  25  8
¿51030507 es divisible por 11?
5 1 0 3 0
5
Hallar “a”, si:
a) 4
d) 1
4.
a) 0
d) 3
 51030507 es divisible por 11
5.
Hallar el valor de “a” si:

7a6  3
¿Cuál es el valor de “a”?


y
4bca  5
a) 0
d) 4
Si: 548429 = 11 + a
8
4
2
6.
9
b) 2
e) 5
b3a  11
(9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5)

y 4b  5
a) 7
d) 8
17 – 15 = 2
2  11 = ____ resto

=
+
11
7.
Si:
b) 5
e) 0

b43b  5
a) 1
d) 4
8.
Ejercicios
de
Aplicación
II.
2.

) 2
) 3
III. 26132
(
) 5
Colocar verdadero
corresponda:

(V) o
10.
falso
(F) según
)
 El número abba es divisible por 11 (
)
 El número ab25 es divisible por 25 (
)
11.
b) 1
e) 4
c) 2
¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
b) 33
e) 38
c) 34
¿Cuántos múltiplos de 7 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 564?
a) 60
d) 90
 El número ab46 es divisible por 4 (
Prof. Roberto W. Ramirez Q.

a) 30
d) 37

(
c) 3
Si: 864a  11
a) 0
d) 3
9.
81423
b) 2
e) 5
Calcular el residuo de dividir: dba8 entre 4.
Relacione ambas columnas:
(
c) 9
Calcular el residuo de dividir: 437b entre 9.
a=
4125
c) 3
Hallar el valor de “a” si:

I.
c) 2


1.
b) 1
e) 4
Hallar “a”, si:
a36482a  9  2
16 – 5 = 11 = 11
548429 =
c) 2
0 7
(7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)
5 4
b) 3
e) 0
b) 70
e) 100
c) 80
¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
21; 22; 23; … ; 287?
a) 29
d) 31
b) 28
e) 32
c) 30
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12.
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¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
4; 5; 6; 7; … ; 787?
a) 70
d) 73
13.
b) 71
e) 74
d) 0
6.
c) 72
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
14.
b) 65
d) 63
e) 62
21(4); 22(4); 23(4); … ; 3020(4)?
b) 11
d) 13
e) 14
2.
)
3
II. 5027 (
)
4
III. 61602 (
)
11

a) 0
d) 6
a) 30
d) 33

11.
(
)
 El número 63851 es divisible por 11. (
)
Hallar “a” si:
c) 4
b) 31
e) 34
c) 32
¿Cuántos múltiplos de 9 hay en:
18; 19; 20; 21; … ; 364?
a) 40
d) 37
c) 3

a8672a  9 + 4
b) 2
e) 5
c) 3

8a3  9
78a5  25
a) 5
b) 2
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
b) 146
e) 143
c) 145
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
b) 10
e) 13
c) 11
14. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en:
12(4); 13(4); 20(4); … ; 313(4)?
a) 1
d) 4
Hallar “a” si:
c) 38
13. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en:
a) 9
d) 12
Hallar “a” si:
b) 39
e) 36
12. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en:
32; 33; 34; … ; 1624?
a) 147
d) 144
b) 2
e) 8

b) 2
e) 8


5.
Calcular “b”
86325 = 9 + b
Colocar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
 El número 4624 es divisible por 25. (
)
a) 1
d) 4

10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; … ; 264?
387a  25 + 3
4.


(
a) 1
d) 7
c) 2
Si: 64a7  11
c) 12
 El número ab65 es divisible por 4.
3.
b) 1
e) 5
Calcular el residuo de dividir: db8a entre 4.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Relacione ambas columnas:
1724
a) 0
d) 3
8.
Ta rea
Domici liaria
Nº
I.
aa63a  8
Si: 431a  4
¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”?
a) 4
b) 2
c) 6
d) 8
e) 10
9.
1.

b2a  9
7.
c) 64
¿Cuántos múltiplos de 15 hay en:
a) 10
Hallar el valor de “b” si:

¿Cuántos múltiplos de 3 hay en:
a) 66
e) 6
b) 2
e) 5
c) 3
c) 7
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III
1768
1780
0a.C.
Arquímedes
Inicio
Rev.
Euler
de
de
Túpac
nuestra
“Arit.
Amaru
era
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Universal”
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