V. Corrientes eléctricas

V. Corrientes
eléctricas
4. Conductores lineales:
medios óhmicos
Campos Electromagnéticos
® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Ingeniero de Telecomunicación
V. Corrientes eléctricas
1.
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Introducción
M
Magnitudes
it d para lla corriente
i t eléctrica
lé t i
Leyes de la corriente eléctrica
Conductores lineales: medios óhmicos
z Ley de Ohm
Generadores
† medio óhmico: conductividad
Coeficientes de conductancia
z Resistencia eléctrica de un tubo de corriente
Circuito
equivalente
z Conductor filiforme
Corrientes
no estacionarios
† resistencia
eléctrica de un hilo
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
z
5.
6.
7.
8.
Disipación de energía. Ley de Joule
Generadores
f
de conductancia
Coeficientes
Circuito equivalente
Corrientes no estacionarias
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
2
V. Corrientes eléctricas
Ley
ey de
e Ohm
O
((medio
e oó
óhmico)
co)
„Comportamiento
zrégimen
lineal de conductor
t ≥ t0
estacionario en medio conductor:
9equilibrio dinámico → velocidad arrastre
(
)
q ± E(r ) + Fdis± = 0 ⇒ dv ± dt = 0
zmodelo
Ω;; σ
v+(r)
Fdis+
lineal de fuerza “disipativa”
Δτ ∼P
Fe+
q+
9efecto del medio sobre la corriente
±
Fdis
= −γ ± v ± (r );
„Ley
L
de Oh
Ohm: conductividad
d
d ti id d
zrelación
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
(γ ± > 0)
Fe
constitutiva del medio óhmico:
v ± (r ) = ( q ± γ ± ) E(r ) ⇒ J (r ) = σ E(r )
eléctrica “σ”
9sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)
¾Conductividad
_
_
J(r)
E(r)
v (r)
q
_
_
Fdis
ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
⎧σ → ∞ : conductor perfecto
9en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0 → ⎨σ = 0 : dieléctrico ideal
⎩
9medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
3
V. Corrientes eléctricas
Resistencia eléctrica
„Tubo
de corriente (estacionaria)
Ω; σ J(r)= σE(r) =−σ∇φ
zconjunto
de líneas de corriente entre dos
superficies equipotenciales:
9J es tangente a la superficie lateral SL
9 medio óhmico, J es normal a S1 y S2
9en
zley
S2: φ(
φ(r)=V
) 2
de conservación de la carga:
„Resistencia
R i t
i
⇒ I = ∫ J ⋅ n 2 dS = − ∫ J ⋅ n1dS
eléctrica
lé t i
S2
S1
dif. de potencial−intensidad en tubo τ:
9 ól depende
9sólo
d
d de
d la
l geometría
t í del
d l tubo
t b y de
d σ
P2
V1 − V2 ∫P1 ( J σ ) ⋅ dr ley de Ohm
Rτ =
=
(integral)
I
J
⋅
d
S
∫
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
zrelación
9unidades (en el SI):
4
S
dr
S1: φ(r)=V1
P1
nL ⊥ J
V ((voltio))
= Ω (ohmio)
( h i )
A (amperio)
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
dSn|| J
S: φ(r)=V
S ⊥J
[ Rτ ] = [V ] [ I ] =
P2
τ
9en el tubo entra y sale la misma intensidad
v∫∂τJ ⋅ dS = 0
n2 || J
SL
n1 || J
V. Corrientes eléctricas
Ejercicio
j
5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica
a) en la dirección longitudinal
n2=uz
ε0; σ=0
S2:φ(z
(z=L)
L)=V
V2
Z
K
Ω; σ
Eext≠0;
Ω; σ
Jext=0
EΩ(r)
nlat=uρ
Ω; σ
Jext=0
EΩ(r)
n=uz
JΩ(r)
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
z=L
V =V1−V2
JΩ(r)
I
JΩ ⊥ S
long
Ω
R
L
V
=
=
I π σ (b2 − a 2 )
z=0
∂
∂τ
a
b
RΩlong = ( L σS )Ω
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
5
n
S1:φ(z=0)=V1
V. Corrientes eléctricas
Ejercicio
j
5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica
Eext≠0; Jext=0
b) en la dirección transversal
nlat=uz
ε0; σ=0
S ⊥ JΩ
Z
n=uρ
Ω; σ
Ω; σ
EΩ(r)
Ω; σ
Jext=0
n1
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
JΩ(r) S1:
φ(ρ
(ρ=a))=V1
tran
Ω
R
V ln ( b a )
= =
2π σL
I
long
Ω
R
JΩ(r)
S2:φ(ρ=b)=V2
n2=uρ
z=0
a
b
b
= ∫ dρ σS (ρ)
a
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
EΩ(r)
z=L
6
I
V =V
V1−V
V2
V. Corrientes eléctricas
Conductores filiformes
φ(S1 )=V1
„Descripción
z“hilo”
de material óhmico Ωfil:
9se identifica con curva C: r=r(l)
T(r) vector tangente unitario
9T(r)
„Densidad
zlíneas
I
δ→0
Lδ
Jext=0
de J confinadas en Ωfil ≈ C:
S →0
⇒ J (r ) ≈ ( I S ) T(r )
9 verifica condiciones de contorno
I T(r )
z sección variable S(l): J (r ) ≈
S (l )
„Resistencia
del hilo
Ωfil ≈ C
SL
J(r)
dS=dS T
S(l)→0
zel
hilo constituye un tubo de corriente
L
dl
L
V1 − V2
=
(σ , S ctes.))
≈
Rfil =
σS
I
0 σS
∫
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
nL •T≅0
nL•[J]SL=0
Ωfil; σ
9en general, no verifica ∇·J=0
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abriel Cano G
Gómez, 10/11
ll=L
L
l 0
l=0
de corriente
I = ∫ J ⋅ dS ≈ J S
φ(S2 )=V2
I
T(r)
7
L]
[
1
S(siemens)
=
=
[ σ] =
m
[ R ][ S ] Ωm
V. Corrientes eléctricas
Disipación
s pac ó de energía.
e e g a. Ley
ey de Joule
„Potencia
ztrabajo
δWdis
disipada en medio óhmico
Δτ ∼ P ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
“disipativo”
disipativo en Δτ~P:
Δτ
≈ ( n + Fdis+ ⋅ v + + n − Fdis− ⋅ v − ) dt Δτ
Fe+
±
= −q ± E(r )
9en
estacionario:
9 régimen
é i
i
i Fdis
zpotencia “disipativa” (por unidad de volumen):
dPdis
( δWdis dt )
= lim
= − J (r ) ⋅ E(r )
Δ
τ
→
0
Δ
τ
dτ P
zpotencia
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abriel Cano G
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Pdis
„L
Ley
Ω; σ
Fe
disipada (perdida) en región Ω:
_
_
J(r))
J(
E(r)
_
v (r)
(_ )
Fdis
q
= −∫ J ⋅ E d τ = −∫ σ E d τ < 0
2
Ω
Ω
Ω
d
de JJoule
l
zcalor
q+ v+(r)
Fdis+
por unidad de tiempo cedido por Ω:
Ω
dr
d
J(r)=σ E(r)
dS
9la energía se pierde en forma de calor: efecto
Joule
δQ
dt
= I (V1 − V2 ) = I 2 RΩ = ∫ J ⋅ E d τ = Pdis
Ω
Ω
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
8
I
δQ =|δWdis| φ(S2 )=V
φ(S1)=V1 δQ=|δW
V2
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