10. solucion de ecuaciones lineales o de primer grado

9. ECUACIONES
Conexión histórica: Uno de los iniciadores de en el trabajo con ecuaciones fue el
matemático griego DIOFANTE (siglo III D.C). Su trabajo fue de gran importancia para Las
ecuaciones. Entre sus escritos figura UN tratado sobre ecuaciones llamado " Aritmética".
En dicho texto maneja unos tipos especiales de ecuaciones, llamadas: " Ecuaciones
Diofantinas". En Su tumba se aprecia la ecuación de Su existencia, la cual reza: " Diofante
pasó una sexta parte de Su vida en la niñez, una doceava parte en la juventud, una
séptima parte soltero, cinco años después de Su matrimonio nació UN niño que murió
cuatro años antes de que Su padre cumpliera la mitad de Su edad. Este epitafio se
traduce así matemáticamente:
x x x
x
  5 4  x
6 12 7
2
Resuelve esta ecuación y tendrás la vida de Diofante.
ECUACIONES: Definición: Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraica
que contiene incógnitas. Resolver una ecuación es hallar los valores de Las incógnitas,
llamadas también raíces de la ecuación, que al reemplazarlas en la ecuación, se convierte
en una igualdad.
Clases de ecuaciones
1. Ecuación racional entera 2x + 2 = 3x + 1
2. Ecuación racional
x 1 2

x
3
3. Ecuación cúbica x 3  8  0
4. Ecuación Cuadrática y 2  2 y  2
5. Ecuación logarítmica log x  1  2
6. Ecuación Exponencial 2 x 1  4
7. Ecuación trigonométrica sen 2 x  2  1
Estas son algunas de Las clases de ecuaciones que se pueden presentar para darles
solución a través del curso de matemáticas generales.
MATEMATICAS GENERALES
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10. SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER
GRADO
Al enfrentarnos a la solución de una ecuación de primer grado debemos de tener en
cuenta las propiedades fundamentales de Las igualdades, pues al una ecuación ser
también una Igualdad, debe cumplir también con esas propiedades, mencionemos
algunas de ellas.
a) Se pueden sumar o restar a ambos miembros de una igualdad una misma
cantidad y esta no varía.
Ejemplo:
4=4 entonces 4+2 = 4+2
. Si se lo aplicamos a una ecuación
tendremos:
x+2=3 entonces x+2-2=3-2 tenemos x+0 = 3-2 quiere decir que x=1
Observemos que si colocamos el valor 1 en la ecuación, se nos convierte esta
Ecuación en una identidad ó sea 1+2=3 lo que implica decir 3=3. A éste valor
de x lo llamamos raíz de la ecuación ó solución de la ecuación.
b) Se pueden multiplicar o dividir ambos miembros de una igualdad por una misma
cantidad diferente de cero y la igualdad no varía:
Ejemplo: Si 3=3 entonces 3* 2=3*2 Si le aplicamos esta misma propiedad a una
ecuación tenemos: Si 2y = 4 podemos multiplicar ambos miembros de la
ecuación por 1/2 y tenemos:
2y * 1/2 = 4* 1/2 con lo que tenemos 2y/2 = 4/2 quiere decir que y = 2., Si
tomamos este valor de y y lo colocamos en la ecuación nos conduce a una
igualdad numérica.
Ejemplo: resolver la ecuación 4-2x=2 Como lo que queremos es hallar el valor de
x, entonces
Podemos sumarle al miembro de la izquierda la cantidad -4 pero por Las
propiedades vistas lo mismo tendremos que hacer al miembro de la derecha con lo
que tenemos: 4-4-2x=2-4 quedándonos -2x= -2 , si multiplicamos por -(1/2)
ambos miembros de la ecuación tendremos: -1/2 (-2x) = -1/2 ( -2) implica que
2x/2 = 2/2 quiere decir que X = 1 y si colocamos el valor de x o sea el 1 en la
ecuación original tendremos una igualdad numérica entonces decimos que
tenemos resuelta la ecuación y que Su raíz es x=1.
En general cuando nos proponemos a trasladar miembro de UN lugar a otro de
una igualdad, basta con sumarle la cantidad opuesta a ésta en ambos miembros y
ésta cantidad se traslada automáticamente al lado deseado: ejemplo.
Resolver : 5x=8x-15, si deseamos trasladar la cantidad 8x,para reunirlo con 5x
entonces basta con sumarle a ambos miembros de la ecuación, -8x y esta
cantidad se traslada automáticamente así: 5x -8x =8x-8x-15 tenemos -3x = -15
implica que 3x=15 y si queremos trasladar el 3 debemos multiplicar por 1/3 los dos
miembros de la ecuación y tendremos :
3x *1/3 = 15 * 1/3 lo que implica 3x/3 = 15/3 con lo que X= 5.Coloca el cinco en
la ecuación original y tendrás una igualdad numérica.
MATEMATICAS GENERALES
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Nota: Cuando resolvemos ecuaciones donde en el denominador esta la variable,
a la cual le vamos a encontrar Su raíz, debemos de tener en cuenta que al aplicar
Las propiedades de multiplicación y división por una cantidad que involucre esa
variable, es posible que se obtenga Un resultado que al reemplazarlo en la
ecuación original no se cumpla la igualdad numérica, esto debido a que en el
denominador de uno de los miembros de la ecuación exista UN valor que me
pueda hacer cero ese denominador, en cuyo caso tendremos una cantidad
indefinida porque la división por cero no se está definida.
Ejemplo: Resuelva la ecuación:
3x
6

 1 m ultiplicam os am bosm iem brospor x  2 y tenem os:
x2 x2
x  2 3x   x  2 6  1 otenem os3x  6  x  2 im plica que :
 x 2
x2 
3x  x  6  2 esto es 2 x  4 por lo tanto x  2
Si reemplazamos este valor en la ecuación original observamos que ese
denominador se me hace cero por lo tanto no obtendríamos una solución para la
ecuación propuesta y a este valor de x lo llamamos solución extraña ó aparente.
c) Se pueden elevar al mismo exponente ambos miembros de una igualdad y ésta no
varía.
Ejemplo: si 3=3 entonces 32  32 implicaque 9  9
Cuando manejamos ecuaciones debemos de tener en cuenta que esta propiedad la
podemos aplicar pero no se puede garantizar que Las ecuaciones sean equivalentes
es decir, que Las ecuaciones no quedan con la misma solución a pesar de que la
propiedad se puede aplicar. Ejemplo Si X - 1 = 2 puedo elevar ambos miembros de
esta ecuación a una misma potencia pero la solución de la primera ecuación es UN
número mientras que la solución de la segunda vendrían a ser dos números. Como
podemos observar
2
Al elevarlos al cuadrado  X  1  22 la solución a ésta ecuación la podrás
observar en el capítulo de solución a las ecuaciones cuadráticas.
d) Se puede extraer la misma raíz a ambos miembros de una igualdad y ésta no
varía:
Ejemplo: Si 9=9 entonces
9  9 implicaque 3  3 . Al igual que en el
caso anterior, cuando tenemos una ecuación y aplicamos ésta propiedad nos
encontramos con que se le puede aplicar pero la solución a la ecuación no va a
ser correcta pues se puede votar soluciones que hacen parte de la solución de la
ecuación: ejemplo. Si
X 2  25 entonces X 2  25 implicaque X  5
Observemos que ésta sería una parte de la solución, pues la ecuación planteada
es una ecuación cuadrática y obtuvimos UN solo número como solución de ella y
una ecuación si es cuadrática debe de tener dos soluciones.
Ejercicios:
Resuelva aplicando las propiedades de las igualdades
MATEMATICAS GENERALES
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3
P4
2
4
1 1 4
7)
 2 8)  
x 1
t 5 5
1) 4 x  10 2). 5 x  3  12 3) 2 x  4 x  5
5)
2Y  3 6Y  7

4
3
6)
9) 7  2k  k  1
4) p 
7  2h  1 8h

3
5
1
2
10)

0
n
5n  2
En las siguientes ecuaciones literales despeja la letra pedida que está en el paréntesis:
1) i  C.r.t t  2) S 
4) S  p1  rt  r 
n
a1  an  an  3) r  2kf m
2
x(m  1)
5) ax  b  0 x 
Al resolver problemas debemos de plantearnos modelos matemáticos o ecuaciones que
nos permitan darle solución a los problemas si los hay.
EJEMPLO1: En una sala rectangular el largo mide 3 metros más que el ancho si Su
perímetro es de 72 metros. Cuáles son sus dimensiones. Hagamos UN dibujo
representando la sala y representemos el ancho por una variable llamémosle A ser A,
luego miremos Las condiciones que da el problema para plantear UN modelo matemático
que nos conduzca a la solución del problema.
A+3
A
A
Tenemos que el perímetro de esta figura es la suma de los lados
A+3
Luego:
A+A+(A+3)+(A+3) = 72 RESOLVIÉNDO ESTA ECUACION PARA A
4 A  6  72 IMPLICA QUE 4 A  6  6  72  6
4 A 66

A  16.5 igual ancho
Tenemos 4 A  66 de donde
4
4
A  3  16.5  3  19.5 igual l arg o
Ejemplo2: Las edades de UN padre y Su hijo suman 83 años, la edad del padre excede
en tres años al triplo de la edad del hijo. Hallar ambas edades.
Llamemos X a la edad del padre
Entonces 83 - X será la edad del hijo
Como el padre excede en tres años al triplo de la edad del hijo entonces el modelo
matemático lo formamos con esta condición: X-3 = 3 ( 83-X ) le restamos los tres años
que le excede el padre al hijo, porque tenemos que formar una igualdad y como el padre
le excede esos tres años al triplo de la edad del hijo entonces ese modelo que
establecimos nos resuelve el problema resolvámoslo:
MATEMATICAS GENERALES
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X-3= 3 ( 83-X) implica que X-3 = 249-3X implica que X+3X = 249+3 luego 4X= 252 por
tanto
X=
252
 63 años y por tanto el hijo tiene 83-63 = 20 años si regresamos a la condición
4
del problema tenemos que la edad del padre si excede en tres años al triplo de la edad
del hijo o sea a 60 años.
Ejemplo 3: Si invierto $ 20000 en dos entidades financieras, colocando en una cierta
cantidad de dinero al 6% y el resto en la otra al 7.5%. Recibiendo unos intereses totales
de 1440. Se desea saber qué cantidad se invirtió en cada entidad financiera.
Supongamos que invertimos en la primera entidad X cantidad de dinero, entonces en la
otra entidad quedó invertida la cantidad 20000-X. Ahora planteamos la condición que da
el problema:
Por X cantidad recibí el 6% entonces recibí 0.06X
Por 20000-X recibí el 7.5% entonces recibí (20000-X) 0.075
Por todo recibí de intereses 1440 entonces recibí 0.06X + ( 20000-X ) 0.075 = 1440
Resolviendo este modelo tenemos: 0.06X + 1500-0.075X = l440 implica que - 0.015X= 60
O sea que X =
 60
 4000 pesos en la primera entidad y 20000-4000 = 16000 en
 0.015
la segunda entidad
Ejemplo 4 : Una compañía fabrica UN producto a UN costo variable de $ 2.20 por unidad.
Sus costos fijos son de $ 95000 y vende cada unidad a $3.00. ¿ Cuántas unidades deben
venderse para que tenga una utilidad de 50000 ?. ¿ Con cuántas unidades obtiene Su
punto de equilibrio? .
Contablemente la utilidad se obtiene: Utilidad= Ingresos totales menos costos totales
Ingreso= precio de venta por unidades vendidas
Costo total = Costo variable + costo fijo
Costo variable= precio por costo por unidad producida
Punto de equilibrio: 0 = Ingreso total menos costo total (cuando la utilidad es cero se
obtiene el punto de equilibrio o también cuando los ingresos totales son iguales a los
costos totales.
Teniendo en cuenta esta información podemos formar los modelos que plantea el
problema veamos:
Costo variable por unidad producida que la podemos llamar X (2.20X)
Costos fijos de la compañía
($95000)
Costo total de la compañía
(2.20X + 95000)
Ingreso total de la compañía
(3.00X)
Utilidad a obtener
($ 50000)
Entonces tenemos el modelo matemático: 50000 = 3.00X - (2.20X + 95000)
Resolviendo este modelo para X tenemos: 50000 = 3.00X - 2.20X - 95000 implica que:
MATEMATICAS GENERALES
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50000 + 95000 = 08X por tanto X =
145000
 181 .250 unidades a producir para obtener
0.8
esa utilidad
Punto
de
equilibrio
0=
3.00X
-
(2.20X
+
95000)
implica
que
X
=
9500
 118 .750 unidades a producir para obtener el punto de equilibrio
0 .8
MATEMATICAS GENERALES
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TALLER 10
Para los siguientes problemas forma UN modelo matemático y resuélvelo para darle
solución al problema.
1. UN estudiante está cursando cuatro materias este semestre, si Las notas en tres de
ellas fueron: 3.2, 2.5, y 4.1, ¿ cuál debe ser la cuarta nota para obtener promedio de
3.5 ?
2. UN almacén que está en liquidación anuncia que todos los precios de sus artículos
fueron rebajados en
UN 30%. Si el precio de actual de UN artículo es de $ 3.395. ¿Cuánto valía este
artículo antes de la
Liquidación ?.
3. El costo de producir UN traje es de $ 288. Y depende de la materia prima y de Su
mano de obra. Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra.
¿Cuál es el costo de cada uno de ellos ?
4. La suma de Las edades de tres personas es de 85 años. Cuál es la edad de cada una
, si la edad de la segunda es el doble de la primera y la tercera tiene 15 años menos
que la segunda ?.
5. UN padre tiene 39 años y Su hijo 15 años. ¿ cuánto tiempo hace que la edad del
padre era el triple de la edad de Su hijo ?.
6. El área de UN rectángulo es de 56 metros cuadrados y Su perímetro es de 30 metros.
Hallar sus dimensiones.
7. En una familia de hermanos hay una niña más que niños, si se va UN niño quedan
dos veces mas niñas que niños. ¿ Cuántos niños y niñas hay ?.
8. Hace dos años John tenía cinco veces la edad de Pedro. Ahora es 8 años mayor que
Pedro. Hallar ambas edades.
9. UN auto viaja desde una ciudad A a otra ciudad B a una velocidad de 55 km por hora
y regresa a una velocidad de 50 Km por hora. Hallar la distancia entre Las dos
ciudades.
10. Una llave puede llenar UN tanque en 24 minutos y otra lo puede llenar en 18 minutos.
¿ Cuánto tiempo demorarán Las dos en llenarlo ?.
11. Hallar dos números enteros consecutivos y que Su suma se igual a 161.
12. El largo de UN salón rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si Su perímetro es
de 72 metros, hallar sus dimensiones.
13. La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es de 31, hallar los
números.
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14. UN fabricante vende UN producto a $ 8.35. por unidad, tiene unos costos fijos de $
2.116.
Y Su costo variable es de $ 7.20. por unidad producida.
a.) A que nivel de producción tendrá una utilidad de $ 4.600 ?.
b.) Hallar el nivel de producción en el punto de equilibrio
c.) Cuál fue Su producción si obtuvo una pérdida de $ 1.150.
15 Hallar la base y la altura de UN triángulo con área 2 metros cuadrados, siendo Su
base 3 metros
mayor que Su altura
16 Al cambiar UN cheque de $ 40.000. recibí billetes de $ 200. Y de $ 500. Si recibí UN
total de 140 billetes. ¿ Cuántos billetes recibí de cada uno ?.
17. UN hombre ha gastado 1/3 de Su dinero en golosinas y los 2/3 del resto en pasajes.
Aún le quedan 1200 pesos. ¿ Cuánto dinero tenía ?.
18. UN señor promete a Su criado pagarle con 10 monedas y una capa al año. Después
de 8 meses lo despide y le da 2 monedas y la capa. ¿ Cuántas monedas vale la capa
?.
19. Una epidemia destruye los 3/5 del ganado de una hacienda, si en la hacienda habían
10.000 cabezas,
¿ Cuántas cabezas sobrevivieron ?
20. El costo de UN producto al menudeo es de $ 3.40. Si se desea obtener una ganancia
del 20% sobre el precio de venta, ¿ A que precio debe venderse el producto ?.
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